微分方程考试有一个很朴素的生存原则：

要会解题，首先要理解出题的老登在想什么。

最危险的事情往往不是不会算，而是太早开始算。

出题人一般不会随机从宇宙里抓一个方程扔到卷子上。他既然给你某种特殊的系数、右端项、初值或者边界条件，就大概率希望你认出某个结构。

如果右端恰好是 ，为什么偏偏是 ？

如果给你一个形如  的东西，为什么每一阶导数前面都刚好补了相应次数的 ？

如果非齐次项刚好和齐次解撞车，是巧合吗？

通常不是。

最近偶尔在空闲时间做题放松，一时兴起就记录一些总结。我们直接从几种比较像考试题的结构出发，看看命题人通常在考什么，以及应该怎样顺着他的思路把题拆开。

哦对我 17 过大半了，还有三个月 ArXiv 就不用防沉迷了哈哈哈哈哈哈哈哈

1. 非齐次线性方程：右端长什么样，决定你该猜什么

考虑

先别算。

出题人在想什么？

这道题最显眼的地方不是二阶，也不是常系数。

而是右边的

对于常系数线性方程，看到指数函数作为 forcing term，第一反应通常是待定系数法。

但如果你立刻猜

你就掉坑里了。

为什么？

先看对应的齐次方程：

特征方程为

即

所以齐次解是

现在再看右端：

它已经出现在齐次解空间里了。

这就是这道题真正想考的东西。

命题信号

对于形如

的右端项，先检查  是否为齐次特征方程的根。

如果不是，正常猜。

如果是单根，乘一个 。

如果是二重根，乘 。

更一般地，如果  是重数为  的特征根，那么试探解需要额外乘

本题中  是二重根，因此应该猜

正式求解

一种直接方法当然是求两次导数再代回去。

但这道题其实还能看得更干净一点。

左边的微分算子可以写成

其中

令

则

再作用一次得到

所以原方程变成

因此

积分两次：

于是

这题最常见的死法

直接写

然后发现代进去左边等于零。

这时候不是“A 算不出来”。

而是你猜的函数本来就在齐次算子的核里面。

换句话说，出题老登就是特地把 forcing term 塞进齐次解空间里，看你会不会发现。

2. Euler 方程：系数里出现  不是为了让你受苦

考虑

乍一看它不像常系数方程。

但它的系数排列得非常整齐：

这种整齐一般不是装饰。

出题人在想什么？

每做一次导数，幂函数  都会降低一次次数：

而题目偏偏在  前乘一个 ，在  前乘一个 。

这就意味着，如果我们试

那些损失掉的  次数恰好会被补回来。

于是三个项最后都会带有同样的 。

这才是 Euler-Cauchy 方程的核心。

正式求解

令

那么

代入：

整理：

由于 ，只需要解

即

所以

得到重根

因此

为什么重根以后会出现 ？

如果只是背模板，这一步非常容易显得莫名其妙。

可以令

也就是

Euler 方程经过这个变量代换以后，会变成一个关于  的常系数线性微分方程。

所以常系数方程里的

变回  以后就对应

因此  并不是突然冒出来的。

它本质上就是常系数方程重根解里的那个 。

命题信号

看到

这种导数阶数与  次数配套出现的结构，就应该想到 Euler-Cauchy，而不是硬想办法把它“整理成常系数”。

3. Bernoulli 方程：他给你一个非线性项，是因为它刚好能被消掉

考虑

它不是线性方程，因为出现了

但它又长得离线性方程非常近：

这种“只多了一项 ”的非线性，往往不是命题人真的想让你研究什么复杂非线性动力系统。

恰恰相反。

他就是在暗示你：

这个非线性是可以通过代换消掉的。

出题人在想什么？

我们希望把  变成某个新变量的一次项。

对于 Bernoulli 方程

标准代换是

本题 ，所以令

求导：

在  的解区间上，把原方程除以 ：

利用

以及

得到

乘以 ：

现在它已经是标准的一阶线性方程。

积分因子为

所以

积分：

因此

恢复

得到

因此，在  的解区间上，

其中考虑使

成立的区间。

另外不要忘记：

也是原方程的解。

这题到底在考什么？

不是考你会不会积分。

真正的测试是：

你能不能从

认出 Bernoulli 结构。

如果认出来，后面基本是一阶线性方程。

如果认不出来，就会开始对着  发呆。

4. 已知一个解，求另一个解：题目为什么平白无故送你答案？

考虑

并且题目告诉你：

是一个解。

要求求出另一个线性无关解。

出题人在想什么？

考试里如果题目主动送你一个解，通常不是出题人突然良心发现。

他是在告诉你：

不要从头解。

对于二阶齐次线性方程，如果一个解  已知，就可以通过 reduction of order 把原来的二阶问题降成一阶。

最直接的想法是：

既然已经知道一个解 ，那么第二个解不妨设成

本题于是令

那么

以及

代入原方程：

最后两项中的  抵消：

除以 ：

令

则

也就是

积分得到

因此

其中常数项只会重新产生已知解 ，所以可以取第二个线性无关解为

所以通解为

命题信号

题目如果写：

Given that  is one solution...

基本就在脸上写着

了。

除非课程刚好在考某个特定公式，否则没有必要假装没看到这个提示，从头再造一遍轮子。

5. 方程组：真正的问题通常藏在矩阵的特征值里

考虑系统

写成矩阵形式：

其中

出题人在想什么？

看到线性系统，尤其是

真正的主角通常不是两个方程分别怎么解。

而是矩阵 。

为什么？

因为如果  有特征向量 ，满足

那么沿着这个方向寻找解

时，

于是微分方程的问题变成了线性代数问题。

正式求解

求特征多项式：

得到

因此

这里只有一个二重特征值：

计算

所以特征向量可以取

但只有一个线性无关特征向量。

这时候事情就开始有意思了。

需要找广义特征向量 ，使得

例如可以取

因为

于是系统的一组基本解为

以及

所以

这道题为什么故意给重特征值？

因为如果两个特征值不同，这题就太直了。

命题人把矩阵选成 defective 的情况，就是为了看你知不知道：

这里考的已经不只是微分方程，而是线性代数和微分方程之间的连接。

6. 边值问题：为什么条件不都给在同一个点？

考虑

满足

这里最重要的其实不是解 。

而是参数

出题人在想什么？

如果这是普通初值问题，通常会给

但这里条件分别放在区间两端。

这意味着问题不是：

给定参数以后，哪条轨道经过这个初始点？

而变成：

什么样的参数，允许一个非零解同时满足两个边界条件？

这就是 eigenvalue problem 的味道。

首先需要分别讨论 、 和 。

情形一：

此时方程变成

所以

由

得到

再由

得到

因此只有零解。

情形二：

写成

此时方程变成

通解可以写成

由

得到

因此

再由

得到

由于  时

只能有

所以  时也只有零解。

情形三：

写

方程变成

所以

由

得到

因此

再使用

有

如果只要零解，那么当然没有什么值得讨论的。

真正有意思的是寻找非零解，也就是要求

于是必须有

因此

最终

对应的非零解为

的任意非零常数倍。

这类题的思想为什么重要？

因为这已经开始接近 Sturm-Liouville 理论、Fourier 展开以及偏微分方程里的 separation of variables。

所谓“允许哪些 ”，后来就会变成我们熟悉的 eigenvalues。

所谓对应的 ，就是 eigenfunctions。

所以题目把两个条件分别钉在边界上，并不是单纯为了换一种初值条件写法。

它在改变整个问题的性质。

考试时到底应该先看什么？

最后把老登的常见心理活动总结一下。

看到

时，先看右端  长什么样，再看它会不会和齐次解产生 resonance。

看到

时，不要被变系数吓到。命题人把每一阶导数前面的  次数排得这么整齐，就是希望你试 。

看到

时，那个  通常不是为了告诉你“这是一个很难的非线性方程”，而是在提醒你 Bernoulli substitution。

题目主动送你一个解 ，通常是在暗示 reduction of order。

看到

就应该开始想 eigenvalues、eigenvectors，以及矩阵是否 diagonalizable。

如果条件分别给在区间两端，而且题目里还有一个待定参数 ，就应该警觉这可能根本不是普通的“求通解”，而是 eigenvalue problem。

微分方程的很多考试题，真正的计算量其实没有那么大。

当你开始习惯反过来揣摩命题结构以后，很多原本看起来毫无关系的题，会突然变得非常有规律。

毕竟出题的老登也不是真的随机生成微分方程。

他总得考你点什么。

——致那位始终没能吵赢我的数学老师