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专题 15.5 易错易混专题：分式与分式方程中常见的易错与含参数问题
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【易错一 分式值为0时求值，忽略分母不为0】..................................................................................................1
【易错二 自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0】..................................................................................3
【易错三 分式方程无解与增根混淆不清】............................................................................................................7
【易错四 已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值】.......................................10
【易错五 与分式运算有关的规律探究问题】......................................................................................................13
【易错六 与分式运算有关的新定义型问题】......................................................................................................23
【典型例题】
【易错一 分式值为0时求值，忽略分母不为0】
例题：（24-25八年级上·广西桂林·期中）若分式 的值为零，那么 的值为 ．
【答案】
【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②
分母的值不为0，这两个条件缺一不可．根据分式为零的条件“分子等于0，且分母不等于0”列式求解即
可
【详解】解： 分式 的值为零，
， ，
，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）若分式 的值为0，则x的值为 ．
【答案】
【知识点】绝对值方程、分式值为零的条件【分析】本题考查分式为零的条件：分子为零，分母不等于零，据此求解即可．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴ 且 ，
解得 ，
故答案为： ．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）若分式 的值为零，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②
分母的值不为0，这两个条件缺一不可．根据分子等于0且分母不等于0列式求解即可．
【详解】解：由题意，得 且 ，
解得 ．
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若分式 的值为0，则m的值为 ．
【答案】−2
【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零，掌握以上
知识是解题的关键．根据分式的值为零的条件得： 且 ，即可求解．
【详解】解：根据分式的值为零的条件得： 且 ，
解得： ．
故答案为：−2．
4．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）若分式 的值为 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】分式值为零的条件、分式的求值
【分析】本题考查了分式的值为 的条件和分式的意义，求分式的值；根据分式的值为 的条件是：（1）
分子为 ；（2）分母不为 ．两个条件需同时具备，缺一不可．据此求得 ，代入代数式，即可求解．
【详解】解：由题意可得 ，解得 ，
又∵ ，
∴ ，
综合上述，解得： ．
当 时，
故答案为： ．
5．（24-25七年级上·上海·阶段练习）当 时， 分式 的值为零
【答案】6
【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题考查了分式值为零的条件：分子为零，分母不为零；根据分子为零，得关于x的方程，解方
程即可，注意分母不为零．
【详解】解：由题意得： ，
左边分解因式得： ，
解得： ，
当 时， ，
∴ ；
故答案为：6．
【易错二 自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0】
例题：（24-25八年级上·重庆·期中）先化简，再求值： ，请从 、 、0、
3中选取合适的 的值代入．
【答案】 ，当 时，原式
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
先根据分式的混合运算法则将原式进行化简，再结合原式中各个分式有意义的条件找出x的值，代入化简
以后的式子中求值即可．【详解】解：
，
要使原分式有意义，则x应满足
，即 且 且 ，
∴当 时，原式 ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值： ，请从不等式组 的
整数解中选择一个合适的值代入求值
【答案】 ，当 时，原式为
【知识点】分式化简求值、求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查了分式的化简求值，解不等式组，解题的关键是掌握相关知识．先求出不等式组的解集，
再将所求的分式化简，最后代入合适的值计算即可，注意不要选使原分式无意义的值．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，不等式组的解集为 ，
不等式组的整数解为： ， ， ，
；
∵ ， ，
∴ ， ，
当 时，原式 ．
2．（24-25九年级上·云南昆明·期中）先化简，再求值： 请从 中选择一
个数字a代入求值．
【答案】 ，3
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意
义的值，计算即可．
【详解】解：；
∵ ，
∴当 时，原式 ．
3．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）先化简，再求值： ，再从 ， ，
0，1，2中取一个数代入求值其中．
【答案】 ，当 时，原式
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约
分化简，最后把合适的所给字母的值代入计算．
【详解】解：
，
由题意： 、 、 ，
故a取1，当 时，
原式 ．
4．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）先化简： ，再从 ， 中选择一个
合适的m值代入求值．
【答案】 ，当 时，原式 ．【知识点】分式化简求值
【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的乘法，然后从 ， 中选择一个使得原分式有意义的值代
入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【详解】解：
，
或 时，原分式无意义，
，
当 时，原式
5．（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值： ，再从 ，0，1这三个
数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
【答案】 ， 时，原式
【知识点】分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最
后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可．
【详解】解：，
∵分式要有意义，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，原式 ．
【易错三 分式方程无解与增根混淆不清】
例题：（23-24九年级下·山东临沂·阶段练习）若关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值为
．
【答案】3
【分析】本题考查解分式方程，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以应先确定增根的
可能值，让最简公分母 ，得到 ，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【详解】解：方程两边都乘 ，得 ，
∵原方程有增根，
∴最简公分母 ，
解得 ，
当 时， ，
解得 ．
故答案为：3．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·河北邢台·期末）若关于 的分式方程 有增根，则增根是 ，
的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为 确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先确定最简公分母，令最简公
分母为 ，求出 的值，然后把分式方程化为整式方程，再将 的值代入整式方程，解关于 的方程即可．
【详解】解：分式方程 的最简公分母为 ，
分式方程有增根，
，
解得： ，
增根是 ，
分式方程去分母得： ，
把 代入方程得： ，
解得： ，
故答案为： ， ．
2．（23-24八年级上·山东济宁·期末）若分式方程 无解，则 的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查解分式方程和分式方程的解，理解分式方程无解的意义是解答的关键．先将分式方程化
为整式方程，再根据分式方程的增根为 求解a值即可．
【详解】解：去分母，得： ，则 ，
∵分式方程 无解，
∴ 是分式方程的增根，
∴ ，则 ，
故答案为：6．
3．（2024八年级·全国·竞赛）若关于 的分式方程 无解，则 的值为 ．
【答案】 或1
【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键．
去分母，整理得 ，根据分式方程无解可知增根分别为 或 ，分别求解即可．
【详解】分式方程两边都乘以最简公分母 ，得： ，整理得： ，
关于 的分式方程 无解，
当 时，得 ，解得 ，
当 时，得 ，解得 ．
∴ 的值为 或1．
故答案为： 或1．
4．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）若关于x的方程 无解，则a的值为
______．
【答案】 或 或
【分析】分增根无解和化简后的一元一次方程无解两种情况计算即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
整理，得 ，
当 时，方程无解，
解得 ；
∵ 的增根为 ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，熟练掌握分式方程无解的分类计算方法是解题的关键．
5．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的分式方程 .(1)若方程的增根为x＝2，求a的值；
(2)若方程有增根，求a的值；
(3)若方程无解，求a的值．
【答案】（1）－2；（2）－2；（3）3或－2
【详解】试题分析：（1）原方程化为整式方程，求解出增根，然后代入求解即可；
（2）由增根求出x的值，然后代入化成的整式方程即可；
（3）方程无解，可分为有增根和化成的整式方程无解两种情况求解即可.
试题解析：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10.
因为原方程的增根为x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.
(2)因为原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2.
因为x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根为x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝
－2.
(3)①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解；
②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，此时a＝－2.综上所述，a的值为3或－2.
点睛：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的
解使最简公分母等于0或整式方程无解．
【易错四 已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值】
例题：（2023上·内蒙古乌兰察布·八年级校联考期末）若关于x的分式方程 的解为正数，
则k的取值范固是 ．
【答案】 且
【分析】本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相
关计算方法是解决本题的关键．根据题意，将分式方程的解 用含 的表达式进行表示，进而令 ，再
因分式方程要有意义则 ，进而计算出 的取值范围即可．
【详解】解：方程两边同时乘以 ，
根据题意 且∴
∴
∴k的取值范围是 且 ．
故答案为： 且 ．
【变式训练】
1．（2023上·河北张家口·八年级统考期末）若关于 的分式方程 的解为正数，则 的取值范
围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查根据分式方程解的情况求值．解分式方程得： ，再根据其解的情况求解即可，
注意分母不能为0的条件．掌握分式方程的解法是解题的关键．
【详解】解： ，
化为整式方程为 ，
解得： ．
∵该分式方程的解为正数，
∴ ，且 ，
∴ 且 ．
故答案为： 且 ．
2．（2024上·上海·八年级校考期末）若关于 的方程 的解为负数，则 的取值范
围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了分式方程的解与解不等式，把 看作常数，根据分式方程的解法求出 的表达式，再
根据方程的解是负数列不等式组并求解即可，解题的关键是牢记分式有意义的条件，熟练掌握解方程的步骤．
【详解】解： ，
，
，
，
，
∵分式方程的解为负数，
∴ ，解得： ，
又∵ ，
∴ 且 ，解得： 且 ，
综上可知： 且 ，
故答案为： 且 ．
3．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）已知关于x的分式方程 的解为非负数，则
a的取值范围 ．
【答案】 且
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程方程求出分式方程的解为 ，再
根据分式方程的解为非负数以及方程不能有增根列出不等式组求解即可．
【详解】解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，∵关于x的分式方程 的解为非负数，
∴ ，
∴ 且 ，
故答案为： 且 ．
4．（2023上·湖南怀化·九年级校联考阶段练习）若关于y的分式方程 的解为正整数，则所
有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】
【分析】此题考查了解分式方程，利用分式方程的解求参数，先解分式方程，用a表示方程的解，根据方
程的解是正整数的要求得出a的值，即可得到答案．
【详解】分式两边都乘以 ，得 ，
得 ，
∵该分式方程的解为正整数，
∴ 的值为1或2或3，
∴所有满足条件的整数a的值为2或 或 ，
所有满足条件的整数a的值之和是 ，
故答案为： ．
【易错五 与分式运算有关的规律探究问题】
例题：（24-25九年级上·安徽宣城·开学考试） ； ；
；…
(1)根据上面 个等式存在的规律写出第 个等式；
(2)用含 的代数式表示出第 个等式，并证明．
【答案】(1) ；(2) ，证明见解析．
【知识点】数字类规律探索、异分母分式加减法
【分析】（ ）根据前 个等式特点写出第 个等式；
（ ）根据第（ ）结论归纳出第 个等式的规律；
此题考查了数字的变化规律，分式的运算，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题是
解题的关键．
【详解】（1）解： ；
；
；
∴第 个等式 ；
（2）解： ；
；
；
；
第 个等式 ；
证明：左边
右边．
【变式训练】
1．（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式：第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
根据以上规律，解决下列问题．
(1)直接写出第5个等式：________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【知识点】分式乘方、异分母分式加减法
【分析】此题考查的是归纳总结能力，分式的运算法则等知识，抓住题目中的相似点找到其中的规律是解
题的关键．
（1）观察前几个式子，然后进行仿写，即可得到答案；
（2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为 ，再利用分式的
减法和乘方运算进行计算，得到左边等于右边，即可得到验证．
【详解】（1）解：第1个等式： ；
第2个等式： ；第3个等式： ；
第4个等式： ；
则第5个等式为
故答案为：
（2） ，证明如下：
∵左边 ，
右边 ，
∴左边=右边．
故原等式成立．
2．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
⋯⋯
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)(2) ，见解析
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、运用平方差公式进行运算、异分母分式加减
法
【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；
（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．
【详解】（1）解：第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
⋯⋯
第6个等式： ；
故答案为： ；
（2）猜想：第 个等式： ，
证明：∵
，
∴ 成立．
故答案为： ．
【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，分式的混合运算，平方差公式，解答本题的关键是明确题意，
发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明．3．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）观察下列等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
……
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：___________________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析．
【知识点】分式的规律性问题、分式加减乘除混合运算
【分析】此题考查的是归纳总结能力，抓住题目中的相似点找到其中的规律是解题的关键．
（1）观察前几个式子，然后进行仿写，即可得到答案；
（2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为，第n个等式，左边第一项的分母为 ，
分子是 ，第二项是 ，等式右边为 ．代入再进行验证正确性即可．
【详解】（1）解：第1个等式： ，
第2个等式： ，第3个等式： ，
第4个等式： ，
则第5个等式为： ；
故答案为： ；
（2）解：根据题意，则：
第n个等式为： ；
证明：等式左边
，
等式右边 ，
∴左边 右边．
4．（2024·安徽滁州·二模）观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：第3个等式：
第4个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、分式加减乘除混合运算
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式，不难得出第n个等式为： ，通过对等式的左边的运算即可证
明．
本题主要考查数字的变化规律，列代数式，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
【详解】（1）由题给出的等式可得第5个等式为： ，
故答案为： ；
（2）猜想：第n个等式为： ，
证明：等式左边 右边，
故猜想成立．
第n个等式为： ．
5．（23-24七年级下·全国·单元测试）观察下列等式的规律，并回答下列问题：第 个等式： ；
第 个等式： ；
第 个等式： ；
第 个等式： ；
(1)请写出第 个等式：__________________；
(2)请你写出第 个等式，并证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【知识点】数字类规律探索、分式乘法、异分母分式加减法
【分析】本题主要考查数字的变化规律，分式的化简，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
（1）根据前4个等式即可得出答案；
（2）根据（1）中得出规律，进行通分证明等式的左边等于右边即可．
【详解】（1）解：因为第 个等式： ；
第 个等式： ；
第 个等式： ；
第 个等式： ；
所以 ，
故答案为： ；
（2）解：由（1）得出规律为：
第 个式子为 ，等式左边为 ，
等式右边为 ，
因为等式左边 等式右边，
所以此等式成立．
6．（2023·安徽·模拟预测）观察以下等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
第5个等式： ，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：______；
(2)写出你猜想的第 个等式：______（用含 的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2) ，见解析
【知识点】数字类规律探索、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的式子．
（1）根据题目中的等式，可以写出第6个等式；
（2）根据题目中的等式，可以写出第n个等式，然后根据分式的减法和除法可以将等号左边的式子化简，从而可以证明结论成立．
【详解】（1）解：第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
第5个等式： ，
第6个等式： ，
（2）由（1）归纳总结可得：
，
左边 右边，
等式成立．
7．（2024·安徽合肥·一模）观察以下等式：
第1个等式： ；第2个等式： ；第3个等式： ；第4个等式：
；第5个等式： ；…；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．【答案】(1)
(2) ，见解析
【知识点】数字类规律探索、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了数字的变化规律，观察等式并找到规律是解题关键．
（1）按照所给的等式，逐项的探究规律，写出第6个等式即可；
（2）根据（1）得到的规律，写出第n个等式，再通分，利用分式的加减法则计算即可解答此题．
【详解】（1）解：（1） 第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
第5个等式： ．
第六个等式为： ，
故答案为： ；
（2）解：猜想第 个等式为： ．
证明：左边 ，
右边 ，
左边 右边，
猜想成立；故答案为： ．
【易错六 与分式运算有关的新定义型问题】
例题：（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【知识背景】
若分式 与分式 的差等于它们的积， ，则称分式 是分式 的“友好分式”．如 与 ，
因为 ， ，所以 是 的“友好分式”．
【知识应用】
（1）分式 ______ 分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）；
（2）小明在求分式 的“友好分式”时，用了以下方法：
设 的“友好分式”为 ，则 ，
，
．
请你仿照小明的方法求分式 的“友好分式”；
【拓展延伸】
（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“友好分式”______；
②若 是 的“友好分式”，求 的值．
【答案】（1）是；（2） ；（3）① ；② ．
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值、异分母分式加减法
【分析】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键．
（1）根据友好分式的定义进行判断；
（2）仿照题目中给到的方法进行求解；（3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论，类比形式求解即可．
【详解】解：（1）∵ ,
∴ 与 是“友好分式”
故答案为：是；
（1）设 的“友好分式”为N，则 ，
，
；
（3）①设 的“关联分式”为 ，则 ，
∴ ，
∴ ．
规律是：将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”.
故答案为： ；
②将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”.
据此可得 ，
整理得
∴ ．
【变式训练】
1．（2023·江苏盐城·一模）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“N⊕分式”．
例如.分式 与 互为“三⊕分式”．(1)分式 与_____互为“六⊕分式”；
(2)若分式 与 互为“一⊕分式”（其中a，b为正数），求ab的值；
(3)若正数x，y互为倒数，求证：分式 与 互为“五⊕分式”．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【知识点】整式与分式相加减、异分母分式加减法
【分析】（1）根据新定义，用 即可求解；
（2）根据定义可得 ，根据分式的加减进行计算，即可求解；
（3）根据题意首先利用倒数关系，将 、 进行消元，然后两分式相加计算得到结果，利用新定义即可判
断．
【详解】（1）解：依题意， ，
∴分式 与 互为“六⊕分式”，
故答案为： ；
（2）解：∵分式 与 互为“一⊕分式”
∴
即
∴ ，
即 ，
∵a，b为正数∴
（3）∵正数x，y互为倒数，
∴
∴
∴分式 与 互为“五⊕分式
【点睛】本题主要考查了分式的加法，正确理解题意并掌握分式通分、约分运算方法是解决本题的关键．
2．（23-24八年级上·北京平谷·期末）阅读理解:
定义：若分式 和分式 满足 （ 为正整数），则称 是 的“ 差分式”．
例如： 我们称 是 的“ 差分式”，
解答下列问题：
(1)分式 是分式 的“ 差分式”．
(2)分式 是分式 的“ 差分式”．
① （含 的代数式表示）；
②若 的值为正整数， 为正整数，求 的值．
(3)已知 ，分式 是 的“ 差分式”（其中 为正数），求 的值．
【答案】(1)
(2)① ；② 的值为 或
(3) 的值为
【知识点】新定义下的实数运算、完全平方公式分解因式、异分母分式加减法、解分式方程
【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用，
（1）根据材料提示进行计算即可求解；
（2）根据“ 差分式”的计算方法可得 ，结合分式的混合运算即可求解；
（3）根据“ 差分式”的计算方法可得 ，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合 ，由此即可求解．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：① ，
∴ ，
解得， ；
② ， 为正整数，
∴当 时，x=2，则 ；
当 时，x=1，则 ；
当 时，x=0，不符合题意，舍去；
当 时， ，不符合题意，舍去；
∴ 的值为 或 ；
（3）解： ，
，且 ，
∴ ，
∵ 为正整数，
∴ ，
∴ 的值为 ．3．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）定义：若分式 与分式 的差等于它们的积，即 ，则称分
式 是分式 的“可存异分式”．如 与 ，因为 ，
，所以 是 的“可存异分式”．
(1)填空： 分式 __________分式 的“可存异分式”（填“是”或“不是”）；
分式 的“可存异分式”是__________；
(2)已知分式 是分式 的“可存异分式”．
求分式 的表达式；
求整数 为何值时，分式 的值是正整数，并写出分式 的值．
【答案】(1) 不是； ；
(2) ； ， 或 ．
【知识点】分式乘法、异分母分式加减法、解分式方程
【分析】（ ） 根据“可存异分式”的定义进行判断即可；
根据“可存异分式”的定义进行解答即可求解；
（ ） 根据“可存异分式”的定义进行解答即可求解；
根据整除的定义进行求解即可；
本题考查了分式加减运算、乘法运算，解分式方程，代数式求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
分式 不是 分式的“可存异分式”，
故答案为：不是；
依题意得， ，
∴ ，
解得 ，即分式 的“可存异分式”是 ，
故答案为： ；
（2）解： 依题意 ，
∴ ，
解得 ；
，
当整数 或 时，分式 的值分别是1， ， 或 ，
又 分式 的值是正数，
整数 或 ，分式 的值分别是 ， 或 ．
4．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）新定义：如果两个实数 ， 使得关于 的分式方程 的解是
成立，那么我们就把实数 ， 组成的数对 称为关于 的分式方程 的一个“关联数
对”．
例如： ， 使得关于 的分式方程 的解是 成立，所以数对 就是
关于 的分式方程 的一个“关联数对”．
(1)判断下列数对是否为关于 的分式方程 的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，
打“×”．
① （ ）；② （ ）；③ （ ）；
(2)若数对 是关于 的分式方程 的“关联数对”，求 的值；
(3)若数对 （ 且 ， ）是关于 的分式方程 的“关联数对”，且关于 的方程 有整数解，求整数 的值．
【答案】(1)①×；②√；③×
(2) ；
(3) ．
【知识点】新定义下的实数运算、解分式方程、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“方程数
对”的定义是解题的关键．
（1）根据“方程数对”定义分别判断即可；
（2）根据“方程数对”定义计算即可；
（3）根据“方程数对”定义计算即可．
【详解】（1）解：当 ， 时，分式方程为 ，
方程无解，
∴① 不是关于 的分式方程 的“方程数对”；
当 ， 时，分式方程为 ，
解得 ，
，
② 是关于 的分式方程 的“方程数对”；
当 ， 时，分式方程为 ，
解得 ，
，
③ 不是关于 的分式方程 的“方程数对”；
故①×；②√；③×；（2）解： 数对 是关于 的分式方程 的“方程数对”，
， ，
，
解得 ；
（3）解： 数对 ， 且 ， 是关于 的分式方程 的“方程数对”，
， ，
，
解得 ．
∵ 可化为
∴ ，
解得： ．
方程有整数解，
整数 ，即
又 ， ，
．．
5．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）我们定义：形如 （m，n不为零），且两个解分别为
， 的方程称为“十字分式方程”．
例如 为十字分式方程，可化为 ，∴ ， ．
再如 为十字分式方程，可化为 ．∴ ， ．应用上面的结论解答下列问题：
(1)若 为十字分式方程，则 ______， ______．
(2)若十字分式方程 的两个解分别为 ， ，求 的值．
(3)若关于x的十字分式方程 的两个解分别为 ， （ ， ），
求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)2022
【知识点】新定义下的实数运算、通过对完全平方公式变形求值、因式分解的应用、解分式方程
【分析】（1）将方程改写成 ，再根据十字分式方程的定义作答即可；
（2）先根据十字分式方程的定义求出 ，再化简 得 ，最后代入计算求
解即可；
（3）先根据十字分式方程的定义以及 、 、 的取值范围求出 ， ，即
， ，然后代入求解即可．
【详解】（1）解： 方程 是十字分式方程，可化为 ，
，
故答案为： ， ．
（2）解： 十字分式方程 的两个解分别为 ， ，
，
∵ ，∴原式 ．
（3）解：方程 是十字分式方程，可化为
，
∴ ，
，
∵ ， ，
∴ ， ，即 ， ，
代入 得， ，
∴ 的值为2022．
【点睛】本题考查了新定义运算，利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程
的定义是解题关键．
