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【九上2】一元二次方程2《孙维刚初中数学(第二版)》读后笔记17
此篇是《孙维刚初中数学（第二版）》（作者：孙维刚）阅读笔记的第17篇。
内容提要
1.与“判别式”有关的“一元二次方程讨论”
2.与“根与系数的关系”有关的“一元二次方程讨论”
3.区分两类有关“一元二次方程的讨论问题”
下面对上述内容进行展开。
一、与“判别式”有关的“一元二次方程讨论”
与“判别式”有关的“一元二次方程讨论”：
解好利用“判别式”为工具的有关“一元二次方程讨论”的基本题目
(1)a、b、c都是已知数，判断根的情况（指有无实根、不等或相等实根）。方法是，先算出判别式Δ的值，再做结论。
(2)a、b、c中含有字母，证明关于根的情况[含义同(1)]的结论。方法是，先求出并化简Δ的表达式，然后，证明这个表达式的值，一定大于、等于或小于零。
(3)给出了根的情况[含义同(1)]的结论，求a、b、c中所含字母的取值或取值范围。方法是，先求出并化简Δ的表达式，然后，根据所给结论，接以 ≥0 或 <0 或 >0 或 =0 ，再解所得不等式或方程。
《孙维刚初中数学（第二版）》 作者：孙维刚
二、与“根与系数的关系”有关的“一元二次方程讨论”
解好利用“根与系数关系”为工具的有关“一元二次方程讨论”的基本题目
解这类问题的实质，是利用x₁+x₂及x₁x₂去表达关于x₁、x₂的对称式……其中最基本的为：
（见下图）
基本题目大致分以下两种：
(1)a、b、c都是已知数，要求出关于x₁和x₂的对称式的值。方法是，先把这个对称式变形为用x₁+x₂和x₁·x₂表达的式子，再把x₁+x₂与x₁·x₂的值代入。
(2)给出了关于x₁和x₂的某个对称式的值或范围，要求出a、b、c中字母的取值或取值范围。方法是，先把这个对称式变形为用x₁+x₂和x₁·x₂表达的式子，再根据所给值或取值范围，构造一个方程或不等式并解出它。
切勿忘记a≠0这个条件。
《孙维刚初中数学（第二版）》 作者：孙维刚
一元二次方程根的对称式
具有下述性质的一元二次方程两根α、β的代数式：互换α与β之后所得到的代数式同原代数式恒等。
例如:α³+β³，(α-β)²，β/α+α/β，αβ²+βα²，…等都是关于一元二次方程两根α、β的对称式。
某些关于α、β的对称式，可变形为关于α+β和 αβ的代数式。例如:α²+β²=(α+β)²-2αβ，α³+β³=(α+β)³-3αβ(α+β)。
如果α，β是一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的两个根，那么上面的式子就是这个一元二次方程二根的对称式。
根据韦达定理，α+β=-b/a，αβ=c/a。代入之后，便可求出它们的值。因此，不解一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)便可以求出方程的根的对称式的值。
《初中数学学习词典》作者：曹才翰，余炯沛主编
三、区分两类有关“一元二次方程的讨论问题”
所谓“一元二次方程讨论问题”是指，并不要求解方程的根，而要求分析根的情况，或者分析未知数的系数中的字母的情况。
解好这类问题的关键，是在“判别式”或“根与系数关系”中选准利用哪一个。方法如下。
(1)题目的叙述只涉及方程“有实数根”或“无实数根”“相等实数根"“不相等实数根”的论述，选用“判别式”这个工具。
(2)题目的叙述谈及两根的过程中，不涉及方法(1)中所述字样，试试“根与系数关系”这个工具。
(3)叙述中，对于方法(1)和(2)都有涉及者，两个工具联合使用。
(4)表面上未涉及方法(1)中所列字样，但实质涉及时，不要遗漏考虑利用“判别式”。例如，叙述中有“两根都是负数”的字样，这时，应当考虑应用“判别式”，
《孙维刚初中数学（第二版）》 作者：孙维刚