八上数学|实数重难点例题+专项习题

题型1｜非负数之和为0

例1

已知 √(x‑4)+|y+2|+(z‑3)²=0，求 x+y+z 的值。

解析：

算术平方根、绝对值、平方数都是非负数，也就是√(x‑4)≥0，|y+2|≥0，(z‑3)²≥0。

几个非负数相加等于0，只能每一项都等于0。

x‑4=0

y+2=0

z‑3=0

解得：x=4，y=-2，z=3

代入计算：x+y+z=4+(-2)+3=5

题型2｜√(a²)=|a|化简

例2

化简：√[(π‑3.14)²]

解析：

公式：√(a²)=|a|

原式=|π‑3.14|

因为π≈3.1415，所以π‑3.14＞0，正数的绝对值等于它本身。

|π‑3.14|=π‑3.14

例3

已知 2＜x＜5，化简 √[(x‑2)²]+√[(x‑5)²]

解析：

根据√(a²)=|a|，原式转化为：|x‑2|+|x‑5|

已知2<x<5

x‑2＞0，正数去绝对值等于自身；

x‑5＜0，负数去绝对值等于它的相反数。

原式=(x‑2)+(5‑x)

=x‑2+5‑x

=3

例4（数轴综合）

实数a,b满足：a＜0，b＞0，|a|＞|b|

化简：√(a²)‑|a+b|+√[(b‑a)²]

解析：

第一步：原式=|a|‑|a+b|+|b‑a|

条件分析：

a<0，所以|a|=-a；

a<0，b>0，|a|>|b|，说明a+b<0，|a+b|=-(a+b)；

b‑a>0，|b‑a|=b‑a。

原式=-a‑[-(a+b)]+(b‑a)

=-a+a+b+b‑a

=2b‑a

题型3｜无理数的整数部分、小数部分

核心公式：小数部分 = 原数 − 整数部分

重要规则：小数部分必须满足 0 ≤ 小数部分 ＜1

💡这里就用到估算：先找被开方数介于哪两个完全平方数之间，确定无理数夹在哪两个整数之间。负数估算时，不等号方向要反转。

例5（正数无理数）

已知√13整数部分为a，小数部分为b，求a‑b。

解析：

先估算大小：3²=9，4²=16

9<13<16，所以 3<√13<4。

整数部分就是较小的整数：a=3

小数部分 =原数‑整数部分：b=√13‑3

代入：

a‑b=3‑(√13‑3)

=3‑√13+3

=6‑√13

例6（负数无理数，高频易错）

求‑√11的整数部分和小数部分。

解析：

先估算正数：3²=9，4²=16，3<√11<4

两边同时乘负号，不等号反向：‑4<‑√11<‑3

⚠️负数取整数部分，向更小的整数取，所以整数部分：‑4

小数部分 = 原数 − 整数部分

小数部分 =‑√11‑(‑4)=4‑√11

检验：0<4‑√11<1，满足小数部分范围。

❌常见错误：整数部分写‑3，会得到负数的小数部分，不符合定义。

例7

已知5‑√7的整数部分是m，小数部分是n，求m+n。

解析：

估算：2²=4，3²=9，2<√7<3

不等式全部乘‑1：‑3<‑√7<‑2

不等式全部加5：5‑3<5‑√7<5‑2，即2<5‑√7<3

整数部分 m=2

小数部分 n=(5‑√7)‑2=3‑√7

m+n=2+(3‑√7)=5‑√7

题型4｜分母有理化 & 裂项相消

例8

计算：1/(√2+1) + 1/(√3+√2) + 1/(√4+√3)

解析：

分母有理化：

1/(√2+1)=√2‑1

1/(√3+√2)=√3‑√2

1/(√4+√3)=√4‑√3

原式=(√2‑1)+(√3‑√2)+(√4‑√3)

中间项全部抵消

=√4‑1=2‑1=1

题型5｜正数两个平方根互为相反数

例9

已知一个正数的两个平方根是2a‑1和a‑5，求这个正数。

解析：

一个正数有两个平方根，它们互为相反数，互为相反数两数相加等于0。

(2a‑1)+(a‑5)=0

3a‑6=0，解得 a=2

把a=2代入：2a‑1=2×2‑1=3；a‑5=2‑5=-3。

这个正数是平方根的平方：3²=9。

 题型6｜多解陷阱

例10

已知√a=3，b²=16，求a+b。

解析：

√a=3，两边平方：a=3²=9。

b²=16，平方等于16的数有两个：b=4 或者 b=-4。

分两种情况计算：

①当b=4：a+b=9+4=13

②当b=-4：a+b=9+(-4)=5

所以a+b的值为13或5。

题型7｜整体代入求值

例11

已知x=√2+1，y=√2‑1，求x²+y²。

解析：

完全平方变形公式：x²+y²=(x+y)²‑2xy，用整体代入简化运算，不用直接算平方。

先算和：x+y=(√2+1)+(√2‑1)=2√2

再算积：xy=(√2+1)(√2‑1)=2‑1=1

x²+y²=(x+y)²‑2xy

=(2√2)²‑2×1

=8‑2

=6

题型8｜根式有意义取值范围

例12

求 √(x+1) / (x‑2) 中x取值范围。

解析：

分式+二次根式，同时满足两个条件：

1.根号里面的数≥0：x+1≥0，得x≥‑1

2.分母不能等于0：x‑2≠0，得x≠2

综合得：x≥‑1且x≠2

10道专项练习题

1. 已知√(a‑2)+|b+3|+(c‑1)²=0，求 a+b+c 的值。

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2. 化简：√[(2‑√5)²]

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3. 实数a＜0，b＞0，化简 √(a²)+|a‑b|。

4.已知3＜x＜7，化简 √[(x‑3)²]‑√[(x‑7)²]。

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5. 已知√17的整数部分是m，小数部分是n，求 m‑n。

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6. 求‑√13的整数部分与小数部分。

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7. 已知一个正数的两个平方根分别为3a+2和a‑10，求这个正数。

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8. 计算：1/(√3+√2)+1/(√4+√3)+1/(√5+√4)

​

9. 已知x=√3‑1，y=√3+1，求 x²+y² 的值。

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10. 求 √(2‑x) / (x+1) 中x的取值范围。

📎习题参考答案

1. 0

​2. √5‑2

​3. b‑2a

​4. 2x‑10

​5. 8‑√17

​6. 整数部分‑4，小数部分4‑√13

​7. 64

​8. √5‑√2

​9. 8

​10. x≤2 且 x≠‑1

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