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有理数与循环小数的等价关系证明——补上小学的一课

发布时间：2026-09-15 18:09:43 最近访问：2026-09-15 18:09:42

有理数可以表示为分数，可以写成循环小数，这是小学时必然要掌握的知识点，但是有两个简单的问题，可能大多数小学并没有教，第一：为什么分数一定能写成循环小数？第二：给出一个循环小数，如何找到对应的分数？

答案只用到非常简单的方法。

第一：为什么分数一定能写成循环小数。

回答这个问题时，只需要把“除法”这个动作拆解。

首先，给出一个分数

将它化为小数的过程，拆解为以下几个动作：

1.求出整数部分p₀：用带余除法，p=q×p₀+r₀，得到整数部分p₀和余数r₀，其中 r₀ <p₀

2.计算小数部分

将余数乘以10，再使用带余除法

10×r₀ = p₁×q+ r₁, 得到第一位小数p₁和第1次余数r₁

对上一步进行循环：

在第i步后，对第i次余数r_i乘以10，再用带余除法：

10×r_i = p_i+1×q+ r_i+1，得到第i+1位小数p_i+1和第i+1次余数r_i+1

_{（如果某一个r=0，则说明整除，不在讨论范围内）}

如果我们发现首个重复的余数，也就是第j+k步得到的余数r_j+k =r_j

那么显然第j+k+1步的运算结果与第j+1步相同，也就是

10×r_j = p_j+1×q+ r_j+1=10×r_j+k = p_j+k+1×q+ r_j+k+1

那么显然p_j+1= p_j+k+1

得到第一组循环序列p₁p₂……p_j-1

那么得到循环小数

找出循环节点的关键在于得到r_j+k =r_j

（注意，是余数相等，而非p_j+1= p_j+k+1）

只要可以找到相等的余数，就可以找到循环节点。所以分数一定能写成循环小数的关键在于是否能找到相等的余数，答案是肯定的，因为q是有限大的正整数，每一步的余数r_i只能是小于q的整数，所以互不相同的r_i只能从q-1个数字中选择（如果为0，说明整除，不需要讨论），将“上一步的余数乘以10，除以q，得到新的余数”这个过程重复q次，至少会产生一个重复的余数，也就一定能得到有限循环小数。另外也得到另一个推论，循环节点长度一定小于q,这是因为r_i只能从q-1个数字中选择。