高中数学|二元条件别急着硬算:基本不等式求最值的消元法

看到两个变量、一个等式条件，再去求一个线性式的最值，很多同学会本能地想着“怎么同时处理x,y”。这类题往往不需要两头用力：先借助等式条件消去一个变量，把二元问题变成一元问题，再观察能不能凑出基本不等式的标准结构。今天这道题，就是“消元法+基本不等式”最典型的一种组合。

已知实数x,y满足

3xy+y²=1,y>0,

则2x+y的最小值是（　　）

A.B.C.D.

第一步：利用等式条件消元。

由

3xy+y²=1,

且y>0，所以y≠0，可以解出

这样一来，原本含有两个变量的目标式2x+y，就可以完全改写成只含y的式子。

第二步：代入目标式，并配凑基本不等式的结构。

代入得

因为y>0，所以，。两项均为正，可以使用基本不等式：

因此，2x+y至少为。

第三步：检查等号能否真正取到。

基本不等式取等号要求两项相等，即

由此得到y²=2。又因为题设规定y>0，所以只能取

此时

确实是实数，并且满足原等式条件。因此等号可以成立，最小值能够取到。

所以

选B。

这道题的核心不是“看到最值就立刻用基本不等式”，而是先判断怎样把式子整理到基本不等式能发挥作用的形态。题目给出的是二元等式条件，而目标式也是二元式，先从条件中解出一个变量，往往能显著降低结构复杂度，这就是消元法的价值。

使用基本不等式时，要牢牢记住素材中强调的三个检查点：“一正、二定、三相等”。本题中，“一正”来自y>0；“二定”体现在两项乘积

是常数；“三相等”则要求最后必须验证是否与原题条件相容。少做其中任何一步，都可能只是得到一个下界，而不能确认它就是最小值。

以后遇到“等式约束+二元目标式求最值”时，可以优先搜索这种思路：先消元，再化成正项之和或正项之积，最后用基本不等式并核对取等条件。真正熟练之后，你会发现很多看似二元的最值题，本质上只是一个被等式条件藏起来的一元问题。