文档内容
计算-公式类计算-平方差公式-4 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
平方差公式 B 1.熟悉平方差公式 少考
2.能够灵活应用平方差公式进行计
算。
知识提要
平方差公式
平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
精选例题
平方差公式
19 12
1. 算式 (19×19-12×12)÷[ - ] ．
12 19
【答案】 228
【分析】
19 12
(19×19-12×12)÷[ 12 - 19 ] (192-122 )÷ 192-122 ¿=¿(192-122 )÷ 12×19 ¿=¿12×19¿=¿228¿
12×19 192-122
¿
2. 计算：50×50+49×51+48×52+47×53+46×54= ．
【答案】 12470
【分析】
原式= 502+(50-1)×(50+1)+(50-2)×(50+2)+
502+502-12+502-12+502-22+502-32+502-42 ¿=¿5×2500-(1+4+9+16)¿=¿12500-30¿=¿12470.¿
¿ ¿3. 2009×2009-2008×2008= ．
【答案】 4017
【分析】 方法一：
原式 =2009×(2008+1)-(2009-1)×2008
¿ =2009+2008
¿ ¿
方法二：
原式 =20092-20082
¿ =4017×1
¿ ¿
4. 计算：11×29+12×28+⋯+19×21= ．
【答案】 3315
【分析】
原式 =(202-92)+(202-82)+⋯+(202-12)
1
¿ =3600- ×9×10×19
6
¿ ¿
5. 计算：33.8752-
(31) 2
= ．
8
【答案】 1132.5
原式 =33.8752-3.8752
【分析】 ¿ =37.75×30
¿ ¿
6. 计算：1×3+2×4+3×5+⋯9×11= ．
【答案】 375
【分析】
原式 =(2-1)(2+1)+(3-1)(3+1)+⋯+(10-1)(10+1)
¿
=(22+32+⋯+102)-9
10×11×21
¿ = -10
6
¿ ¿1 1
7. 一根铁丝，第 1 次截去总长度的 ，第 2 次截去剩余长度的 ，第 3 次截去剩余长
22 32
1 1
度的 ⋯ 第 2008 次截去剩余长度的 ，此时该铁丝还剩 2010 厘米，那么该铁丝
42 20092
原长为 厘米．
【答案】 4018
【分析】 设铁丝的原长度为 a 厘米，则根据题意可知：
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
a 1- × 1- × 1- ×⋯× 1- =2010,
22 32 42 20092
( 1) ( 1) ( 1 ) ( 1 )
a× 1+ × 1- ×⋯× 1+ × 1- =2010,
2 2 2009 2009
(3 4 2010) (1 2 2008) 1005
a× × ×⋯× × × ×⋯× =2010，a× =2010，a=4018．
2 3 2009 2 3 2009 2009
8. 计算：101×99-100×98+99×97-98×96+⋯+5×3-4×2 = ．
【答案】 5047
原式 =1002-1-992+1+982-1-972+⋯+42-1-32+1
【分析】 ¿ =100+99+98+97+⋯+4+3
¿ =5047.
9. 计算：
（1）(31415926) 2-31415925×31415927= ；
（2）12342+87662+2468×8766= ．
【答案】 （1）1；（2）100000000
【分析】 （1）观察可知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1，设
a=31415926，
原式 =a2-(a-1)(a+1)
¿ =1;
（2）
原式 =12342+87662+2×1234×8766
¿
=100002
¿ ¿10. 计算 12-22+32-42+52-62+⋯+172-182+192= ．
【答案】 190
【分析】 这个题目重新整理得：
12+(32-22 )+(52-42 )+(72-62 )⋯+(192-182
)
1+(3+2)(3-2)+(5+4)(5-4)+⋯+(19+18)(19-18)¿=¿1+3+2+5+4+⋯+19+18¿=¿1+2+3+4+⋯+17+18+19¿=¿20×9+10¿=¿190.¿
¿
11. 计算：1×2×3+2×3×4+3×4×5+⋯+8×9×10= ．
【答案】 1980
【分析】
原式 =2×(22-1)+3×(32-1)+4×(42-1)+⋯+9×(92-1)
¿ =(1+2+3+⋯+9) 2-1-(2+3+4+⋯+9)
¿ =1980.
12 22 32 502
12. 计算： + + +⋯+ = ．
1×3 3×5 5×7 99×101
63
【答案】 12
101
【分析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据
平方差公式分别变为 22-1，42-1，62-1，⋯，1002-1，可以发现如果分母都加上 1，那
么恰好都是分子的 4 倍，所以可以先将原式乘以 4 后进行计算，得出结果后除以 4 就得到
原式的值了．
1 ( 22 42 62 1002 )
原式= × + + +⋯+
4 22-1 42-1 62-1 1002-1
1 ( 1 1 1 1 ) 1 [ 1 ( 1 1 1 1 1 1 1 )] 1 [ 1 ( 1 )] 1 50 63
1
× 50+ + + +⋯+ ¿=¿ × 50+ × 1- + - + - +⋯+ - ¿=¿ × 50+ × 1- ¿=¿ ×50 ¿=¿12 .¿
= × 4 1×3 3×5 5×7 99×101 4 2 3 3 5 5 7 99 101 4 2 101 4 101 101
4
¿ ¿
13. ⑴ (31415926) 2-31415925×31415927= ；
⑵ 12342+87662+2468×8766= ．
【答案】 ⑴ 1；⑵ 100000000
【分析】 ⑴观察可知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1，
设 a=31415926，原式=a2-(a-1)(a+1)=a2-(a2-1)=1;
⑵
原式 =12342+87662+2×1234×8766
¿
=100002
¿ ¿
2017 2017 2017 2017 2017
+ + +⋯⋯+ +
22-1 42-1 62-1 20142-1 20162-1
14. 算式 = ．
2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016
- - - - - -
1 2 4 8 16 32 64
【答案】 32
【分析】
1 1 1 1
2017×( + + +⋯⋯+ )
1×3 3×5 5×7 2015×2017
原式=
1 1 1 1 1
2016×(1- - - - - )
2 4 16 32 64
1 1
2017× ×(1- )
2 2017
=
1
2016×
64
= 32
15. 计算：12-22+32-42+⋯+20052-20062+20072= ．
【答案】 2015028
【分析】
原式= 20072-20062+⋯+52-42+32-22+12
1
= (2007-2006)×(2007+2006)+(2005-2004)×2007+2006+2005+2004+⋯+3+2+1¿=¿ ×(2007+1)×2007¿=¿2015028.¿
2
¿ ¿
1 1 1 1 1 1
16. 计算： + + + + + = ．
32-1 52-1 72-1 92-1 112-1 132-1
3
【答案】
14
【分析】 这题是利用平方差公式进行裂项：a2-b2=(a-b)×(a+b)，
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
原式= + + + + (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 (1 1 ) 1 3
2×4 4×6 6×8 8×10 - + - + - + - + - + - ¿× ¿=¿ - × ¿=¿ .¿
2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 2 2 14 2 14
¿ ¿32+1 52+1 72+1 19932+1 19952+1
17. 计算： + + +⋯+ + = ．
32-1 52-1 72-1 19932-1 19952-1
997
【答案】 997
1996
【分析】
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
原式= 1+ + 1+ + 1+ +⋯+ ( 2 2 2 ) (1 1 1 1 1 1 ) (1 1 ) 997
32-1 52-1 72-1 997+ + +⋯+ ¿=¿997+ - + - +⋯+ - ¿=¿997+ - ¿=¿997 .¿
2×4 4×6 1994×1996 2 4 4 6 1994 1996 2 1996 1996
¿ ¿
18. 看规律 13=12，13+23=32，13+23+33=62，⋯，试求 63+73+⋯+143 = ．
【答案】 10800
【分析】
原式 =(13+23+⋯+143)-(13+23+⋯+53)
¿
=1052-152
¿ =90×120
¿ ¿
19. 两个正方形的面积之差为 2016 平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，
那么满足上述条件的所有正方形共有 对．
【答案】 12
【分析】
a2-b2=(a+b)(a-b)=2016.
a+b 与 a-b 奇偶性相同，乘积是偶数，必然都是偶数，且和大于差，
2016÷4=504=22×32×7 的因数有 24 个，即 12 组不同的分拆，故有 12 组解．
1 1 1 1 1 1 1
20. 计算： + + + + + + = ．
3 15 35 63 99 143 195
7
【答案】
15
【分析】 分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：
3=22-1=1×3，15=42-1=3×5，⋯⋯，195=142-1=13×15，
所以1 1 1 1 1 1 1
原式 = + + + + + +
1×3 3×5 5×7 7×9 9×11 11×13 13×15
1 (1 1 )
¿ = × -
2 1 15
¿ ¿
12+32 22+42 32+52 982+1002
21. 计算： + + +⋯+ = ．
22-1 32-1 42-1 992-1
4751
【答案】 198
4950
12+32 10 22+42 20 32+52 34
【分析】 = ， = ， = ，⋯
22-1 3 32-1 8 42-1 15
10 4 20 4 34 4
由于 =2 ， =2 ， =2 ，
3 3 8 8 15 15
可见
4 4 4 4
原式 =2 +2 +2 +⋯+2
22-1 32-1 42-1 992-1
1 ( 1 1 1 1 1 1 1 )
¿ =196+4× × 1- + - + - +⋯+ -
2 3 2 4 3 5 98 100
199
¿ =196+3-2×
9900
¿ ¿
3 4 5 12
22. 计算： + + +⋯+ =
1×2×4×5 2×3×5×6 3×4×6×7 10×11×13×14
．
75
【答案】
616
【分析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是 5 个连续自然
数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：
32 42 52 122
原式= + + +⋯+
1×2×3×4×5 2×3×4×5×6 3×4×5×6×7 10×11×12×13×14
现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，
可以用平方差公式：
32=1×5+4，42=2×6+4，52=3×7+4⋯⋯32 42 52 122
原式 = + + +⋯+
1×2×3×4×5 2×3×4×5×6 3×4×5×6×7 10×11×12×13×14
( 1 1 1 1 ) ( 4 4 4 4 )
¿ = + + +⋯+ + + + +⋯+
2×3×4 3×4×5 4×5×6 11×12×13 1×2×3×4×5 2×3×4×5×6 3×4×5×6×7 10×11×12×13×14
1 ( 1 1 ) ( 1 1 )
¿ = × - + -
2 2×3 12×13 1×2×3×4 11×12×13×14
1 77+1
¿ = -
8 11×12×13×14
1 1
¿ = -
8 308
¿ ¿
23. 已知 a2-b2=133，a、b 是正整数，求 a、b 的值．
【答案】 67、66 或 13、6．
【分析】 观察算式发现 a2-b2=(a+b)(a-b) 只要把 133 写成两个数的正整数的
积．
133=1×133=19×7 再利用和差公式分别求出 a 与 b．
原式 =(a+b)(a-b)
¿ =19×7.
{a+b=133
,
a-b=1
所以
a=(133+1)÷2=67,
b=67-1=66.
或者
{a+b=19
,
a-b=7
所以
a=(19+7)÷2=13,
b=19-13=6.
24. 求所有不超过 1000 的这样的整数，它的平方的末两位数码相同，但不等于 0．【答案】 12、38、62、⋯、988 共 40 个数．
【分析】 由完全平方数的尾数只能是 0、1、4、5、6、9 及完全平方数除以 4 只
能余 0 或 1 知：满足要求的完全平方数的末两位是 44，最小的为 122=144，设不超过
1000 的整数为 m，m2 的末两位为 44，则有 m2-122=100k，即
(m+12)(m-12)=4×25k，m+12、m-12 不能同时为 5 的倍数或 25 的倍数，所以
m+12、m-12 中有一个为 25 的倍数，由于 m+12、m-12 应为偶数，则 m=50k+12
或 50k-12(也可写成50k+38)，m⩽1000，则 m 有 12、38、62、⋯、988 共 40
个数．
25. 有一串数 1，4，9，16，25，36⋯ 它们是按一定规律排列的，那么其中第 1990 个数
与第 1991 个数相差多少？
【答案】 3981
【分析】 这串数中第 1990 个数是 19902，而第 1991 个数是 19912，它们相差
19912-19902 =(1991+1990)×(1991-1990)
¿ =3981.
26. 计算：
⑴ (x+2) 2 (x-2) 2；
⑵ (x+5 y-9)(x-5 y+9)；
⑶ (a+b+c)(a-b-c)；
1
⑷先化简，再求值：(3x+2)(3x-2)-5x(x-1)-(2x-1) 2，其中 x=- ．
3
【答案】 ⑴ x4-8x2+16；
⑵ x2-25y2+90y-81；
⑶ a2-b2-c2-2bc；
⑷ -8．
【分析】 ⑴
(x+2) 2 (x-2) 2 =[(x+2)(x-2)] 2
¿
=x4-8x2+16;
⑵
(x+5 y-9)(x-5 y+9) =x2-(5 y-9) 2
¿ =x2-25 y2+90 y-81;
⑶原式 =[a+(b+c)][a-(b+c)]
¿
=a2-b2-c2-2bc;
⑷
(3x+2)(3x-2)-5x(x-1)-(2x-1) 2
9x2-4-5x2+5x-(4x2-4x+1)¿=¿9x-5,¿
¿
1 ( 1)
又 x=- ，故 原式=9x-5=9× - -5=-8．
3 3
27. 三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为 80，第二大的数减
去最小的数的差为 60，求这三个数．
【答案】 分别为 12、8、2．
【分析】 设这三个数从大到小分别为 A2、B2、C2，那么有 (A+B)(A-B)=80，
(A+C)(A-C)=140，因为 140=2×2×5×7，A+C、A-C 同奇同偶，所以有
A+C=14，A-C=10 或 A+C=70，A-C=2，分别解得 A=12，C=2 和 A=36，
C=34，对于后者没有满足条件的 B，所以 A 只能等于 12，C=2，继而求得 B=8，所以
这三个数分别为 12、8、2．
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
28. 计算： 1- × 1- ×⋯× 1- ．
22 32 992
50
【答案】 ．
99
( 1)( 1)( 1)( 1) ( 1 )( 1 )
原式 = 1- 1+ 1- 1+ ⋯ 1- 1+
2 2 3 3 99 99
【分析】 1 100
¿ = ×
2 99
¿ ¿
29. 计算：20×20-19×19+18×18-17×17+⋯+2×2-1×1．
【答案】 210
【分析】 做这道题的时候，可能有些以前记住了 20 以内平方数的同学就高兴了，
但是其实并不需要，大家看，利用平方差公式：
20×20-19×19=(20+19)(20-19)=20+19，18×18-17×17=18+17，⋯，
2×2-1×1=2+1．
于是，
原式 =20+19+18+17+⋯+2+1
¿ =210.30. 计算：343×345×347-342×345×348
【答案】 1725
【分析】 综合题目，先提取公因数，再采用平方差公式计算
原式 =345×(343×347-342×348)
¿ =345×[(3452-22)-(3452-32)]
¿ =345×5
¿ ¿
31. 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如 16=52-32，
16 就是一个“智慧数”．请问：从 1 开始的自然数列中，第 2008 个“智慧数”是多少？
【答案】 2680
【分析】 通过尝试可以发现如下规律：
相邻两个平方数的差为 3,5,7,9,11⋯ 即除 1 外，所有的奇数均为“智慧数”．
相邻两个奇数的平方差与相邻两个偶数的平方差为 8,12,16,20,24,28… 即除 4 之外，所有
4 的倍数的数是“智慧数”．
所以 1∼2000 的“智慧数”有 2000÷2+2000÷4-2=1498(个)．
1∼2500 的“智慧数”有 2500÷2+2500÷4-2=1873(个)．
1∼2700 的“智慧数”有 2700÷2+2700÷4-2=2023(个)．
因此第 2008 个“智慧数”为 2680．
32. a、b 代表任意数字，若 (a+b)×(a-b)=a×a-b×b，这个公式在数学上称为平方差公
式．根据公式，你来巧算下列各题吧．
⑴ 98×102；⑵ 67×73；⑶ 64×28；⑷ 2×29×3×31
【答案】 ⑴ 9996；⑵ 4891；⑶ 1792；⑷ 5394
【分析】 这个公式可以给我们的计算带来很多便利，在以后的奥数学习中会经常遇到，
同学们最好记住哦．我们就依据公式 (a+b)×(a-b)=a×a-b×b 来进行下面的计算：
⑴
98×102 =(100-2)×(100+2)
¿ =10000-4
¿ ¿
⑵
67×73 =(70-3)×(70+3)
¿ =4900-9
¿ ¿
⑶64×28 =2×32×28
¿ =2×(30×30-2×2)
¿ ¿
⑷
2×29×3×31 =2×3×(30-1)×(30+1)
¿ =5400-6
¿ ¿
33. 如果三个正整数 a、b、c 满足 a2+b2=c2，则称这三个数构成一个勾股数组 (a,b,c)．
与 5 有关的勾股数组有两组：(3,4,5) 和 (5,12,13)，请问：与 13 有关的勾股数组有哪些？
【答案】 (5,12,13)、(13,84,85)
【分析】 当 c=13 时，则很显然 (5,12,13) 是一组勾股数．当 a=13 时，则
132+b2=169+b2=c2
即
c2-b2=(c+b)×(c-b)=169×1
由此可得
{c+b=169
c-b=1
解得
{c=85
b=84
因此 (13,84,85) 也是一组勾股数．
3 3 3 3
34. （1） +9 +99 +999 +1；
4 4 4 4
1 2 3 99
（2） × × ×⋯× ；
2 3 4 100
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
（3） 1- × 1- ×⋯× 1- ；
22 32 992
(1 1 1 ) (2 2 2 ) (98 98 ) 99
（4） + +⋯+ + + +⋯+ + + + ．
2 3 100 3 4 100 99 100 100
1 50
【答案】 （1）1111；（2） ；（3） ；（4）2475
100 99
【分析】 详解：（1）凑整；（2）约分；（3）平方差公式后约分；（4）找规律计算，
括号展开后分别计算同分母分数，会发现等差数列．
35. 一个数减去 100 是一个平方数，减去 63 也是一个平方数，问这个数是多少？【答案】 424
【分析】 设这个数减去 63 为 A2，减去 100 为 B2，则
A2-B2=(A+B)(A-B)=100-63=37=37×1，
可知 A+B=37，且 A-B=1，所以 A=19，B=18，这样这个数为
182+100=424．
36. ⑴先化简后求值：[(x- y) 2+(x+ y)(x- y)]÷2x，其中 x=3，y=1.5．
⑵计算：(2x- y+2)(y-2x+2)．
【答案】 ⑴ 1.5；⑵ 4-4x2+4xy- y2
【分析】 ⑴
[(x- y) 2+(x+ y)(x- y)]÷2x (x2-2xy+ y2+x2- y2 )÷2x¿=¿(2x2-2xy)÷2x¿=¿x- y.¿
¿
又 x=3，y=1.5，故原式 =x- y=3-1.5=1.5．
法 2：
[(x- y) 2+(x+ y)(x- y)]÷2x
(x- y)⋅2x÷2x¿=¿x- y¿=¿1.5.¿
¿
⑵
原式 =[2+(2x- y)][2-(2x- y)]
¿
=4-4x2+4xy- y2.
37. 计算：667×668×669-666×668×670
【答案】 2004
【分析】 综合题目，先提取公因数，然后使用平方差公式逆用
原式 =668×(667×669-666×670)
¿ =668×(4-1)
¿ ¿
