文档内容
计算-公式类计算-平方差公式-5 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
平方差公式 B 1.熟悉平方差公式 少考
2.能够灵活应用平方差公式进行计
算。
知识提要
平方差公式
平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
精选例题
平方差公式
1. 计算：1×3+2×4+3×5+⋯9×11= ．
【答案】 375
【分析】
原式 =(2-1)(2+1)+(3-1)(3+1)+⋯+(10-1)(10+1)
¿
=(22+32+⋯+102)-9
10×11×21
¿ = -10
6
¿ ¿
1 1
2. 一根铁丝，第 1 次截去总长度的 ，第 2 次截去剩余长度的 ，第 3 次截去剩余长
22 32
1 1
度的 ⋯ 第 2008 次截去剩余长度的 ，此时该铁丝还剩 2010 厘米，那么该铁丝
42 20092
原长为 厘米．【答案】 4018
【分析】 设铁丝的原长度为 a 厘米，则根据题意可知：
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
a 1- × 1- × 1- ×⋯× 1- =2010,
22 32 42 20092
( 1) ( 1) ( 1 ) ( 1 )
a× 1+ × 1- ×⋯× 1+ × 1- =2010,
2 2 2009 2009
(3 4 2010) (1 2 2008) 1005
a× × ×⋯× × × ×⋯× =2010，a× =2010，a=4018．
2 3 2009 2 3 2009 2009
3. ⑴ (31415926) 2-31415925×31415927= ；
⑵ 12342+87662+2468×8766= ．
【答案】 ⑴ 1；⑵ 100000000
【分析】 ⑴观察可知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1，
设 a=31415926，
原式=a2-(a-1)(a+1)=a2-(a2-1)=1;
⑵
原式 =12342+87662+2×1234×8766
¿
=100002
¿ ¿
4. 计算：11×29+12×28+⋯+19×21= ．
【答案】 3315
【分析】
原式 =(202-92)+(202-82)+⋯+(202-12)
1
¿ =3600- ×9×10×19
6
¿ ¿
5. 计算：12-22+32-42+⋯+20052-20062+20072= ．
【答案】 2015028【分析】
原式= 20072-20062+⋯+52-42+32-22+12
1
= (2007-2006)×(2007+2006)+(2005-2004)×2007+2006+2005+2004+⋯+3+2+1¿=¿ ×(2007+1)×2007¿=¿2015028.¿
2
¿ ¿
12+32 22+42 32+52 982+1002
6. 计算： + + +⋯+ = ．
22-1 32-1 42-1 992-1
4751
【答案】 198
4950
12+32 10 22+42 20 32+52 34
【分析】 = ， = ， = ，⋯
22-1 3 32-1 8 42-1 15
10 4 20 4 34 4
由于 =2 ， =2 ， =2 ，
3 3 8 8 15 15
可见
4 4 4 4
原式 =2 +2 +2 +⋯+2
22-1 32-1 42-1 992-1
1 ( 1 1 1 1 1 1 1 )
¿ =196+4× × 1- + - + - +⋯+ -
2 3 2 4 3 5 98 100
199
¿ =196+3-2×
9900
¿ ¿
12 22 32 502
7. 计算： + + +⋯+ = ．
1×3 3×5 5×7 99×101
63
【答案】 12
101
【分析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据
平方差公式分别变为 22-1，42-1，62-1，⋯，1002-1，可以发现如果分母都加上 1，那
么恰好都是分子的 4 倍，所以可以先将原式乘以 4 后进行计算，得出结果后除以 4 就得到
原式的值了．
1 ( 22 42 62 1002 )
原式= × + + +⋯+
4 22-1 42-1 62-1 1002-1
1 ( 1 1 1 1 ) 1 [ 1 ( 1 1 1 1 1 1 1 )] 1 [ 1 ( 1 )] 1 50 63
1
× 50+ + + +⋯+ ¿=¿ × 50+ × 1- + - + - +⋯+ - ¿=¿ × 50+ × 1- ¿=¿ ×50 ¿=¿12 .¿
= × 4 1×3 3×5 5×7 99×101 4 2 3 3 5 5 7 99 101 4 2 101 4 101 101
4
¿ ¿
8. 计算：20×20-19×19+18×18-17×17+⋯+2×2-1×1．【答案】 210
【分析】 做这道题的时候，可能有些以前记住了 20 以内平方数的同学就高兴了，
但是其实并不需要，大家看，利用平方差公式：
20×20-19×19=(20+19)(20-19)=20+19，18×18-17×17=18+17，⋯，
2×2-1×1=2+1．
于是，
原式 =20+19+18+17+⋯+2+1
¿ =210.
