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专练 22 三角恒等变换
授课提示：对应学生用书45页
[基础强化]
一、选择题
1．若sin ＝，则cos α＝( )
A．－ B．－
C． D．
答案：C
解析：cos α＝1－2sin2＝1－2×＝.
2．若α为第四象限角，则( )
A．cos2α>0 B．cos 2α<0
C．sin 2α>0 D．sin 2α<0
答案：D
解析：方法一 ∵α是第四象限角，
∴－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，
∴－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，
∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，
∴sin 2α<0，cos 2α可正、可负、可零，故选D.
方法二 ∵α是第四象限角，
∴sin α<0，cos α>0，
∴sin 2α＝2sin α cos α<0，故选D.
3．函数f(x)＝sin2x＋sinx·cos x在上的最小值为( )
A．1 B．
C．1＋ D．
答案：A
解析：f(x)＝＋sin 2x＝sin ＋，
∵≤x≤，∴≤2x－≤π，
∴当2x－＝π即x＝时f(x) ＝＋＝1.
min
4．[2024·九省联考]已知θ∈(，π)，tan 2θ＝－4tan (θ＋)，则＝( )
A． B．
C．1 D．
答案：A
解析：由题θ∈(，π)，tan 2θ＝－4tan (θ＋)，
得＝⇒－4(tan θ＋1)2＝2tan θ，
则(2tan θ＋1)(tan θ＋2)＝0 tan θ＝－2或tan θ＝－，
因为θ∈(，π)，tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－，
⇒
＝＝＝＝.故选A.
5．若sin ＝，则cos ＝( )
A．－ B．－
C． D．
答案：A
解析：∵－α＋＝，∴cos ＝sin ＝，∴cos ＝2cos2－1＝2×－1＝－.
6．[2024·新课标Ⅰ卷]已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝( )
A．－3m B．－
C． D．3m
答案：A解析：由tan αtan β＝2，可得＝2，即sin αsin β＝2cos αcos β.由cos (α＋β)＝cos
αcos β－sin αsin β＝m，可得cos αcos β＝－m，sin αsin β＝－2m，所以cos (α－β)＝cos
αcos β＋sin αsin β＝－3m，故选A.
7．[2023·新课标Ⅱ卷]已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝( )
A． B．
C． D．
答案：D
解析：方法一 由题意，cos α＝＝1－2sin2，得sin2＝＝＝()2，又α为锐角，所以
sin>0，所以sin ＝，故选D.
方法二 由题意，cos α＝＝1－2sin2，得sin2＝，将选项逐个代入验证可知D选项满
足，故选D.
8．已知向量a＝(sinθ，－2)，b＝(1，cos θ)，且a⊥b，则sin 2θ＋cos2θ的值为( )
A．1 B．2
C． D．3
答案：A
解析：∵a⊥b，∴sinθ－2cos θ＝0，∴tan θ＝2，
∴sin 2θ＋cos2θ＝2sinθcos θ＋cos2θ＝＝1.
9．(多选)下列各式中值为的是( )
A．1－2cos275°
B．sin135°cos 15°－cos 45° cos 75°
C．tan 20°＋tan 25°＋tan 20° tan 25°
D．
答案：BD
解析：对于A，1－2cos275°＝－cos150°＝cos 30°＝，A错误；
对于B，sin 135°cos 15°－cos 45°cos 75°＝sin 45°sin 75°－cos 45°cos 75°＝－cos 120°
＝，B正确；
对于C，∵tan 45°＝1＝，
∴1－tan 20°tan 25°＝tan 20°＋tan 25°，
∴tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1，C错误；
对于D，
＝
＝
＝
＝＝，D正确．故选BD.
二、填空题
10．已知sin α＋cos α＝2，则tan α＝________．
答案：
{sin α＝2－ eq ¿(3) cos α
解析：由 ，解得4cos2α－4cosα＋3＝(2cos α－)2＝
sin2α＋cos2α＝1
0，得cos α＝，则sin α＝，所以tan α＝＝.
11．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 4α＝________．
答案：
解析：由sin α＋cos α＝，得1＋sin 2α＝，
∴sin 2α＝－，∴cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×＝.
12．已知2cos2x＋sin2x＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________．
答案： 1
解析：∵2cos2x＋sin2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝sin ＋1，又2cos2x＋sin2x＝A sin (ωx＋φ)
＋b.∴A＝，b＝1.
[能力提升]
13．已知tan θ＝，则tan ＝( )A．7 B．－7
C． D．－
答案：D
解析：tan 2θ＝＝＝，
∴tan＝＝＝－.
14．[2023·新课标Ⅰ卷]已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝( )
A． B．
C．－ D．－
答案：B
解析：依题意，得，
所以sin αcos β＝，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝，所以cos (2α＋2β)
＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝，故选B.
15．若sin＝，α∈，则＝________.
答案：
解析：因为＋＝，
所以＋α＝－.
又2＋2α＝，得2α＝－2.
故＝
＝＝2cos .
由于α∈，－α∈，所以cos (－α)>0，
故cos ＝，＝2×＝.
16．化简：.
解析：方法一 原式
＝
＝
＝
＝1.
方法二 原式＝
＝
＝
＝
＝1.
