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专练 28 复数
授课提示：对应学生用书59页
[基础强化]
一、选择题
1．[2024·新课标Ⅰ卷]若＝1＋i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
答案：C
解析：由＝1＋i，可得＝1＋i，即1＋＝1＋i，所以＝i，所以z－1＝＝－i，所以z＝1
－i，故选C.
2．[2024·新课标Ⅱ卷]已知z＝－1－i，则|z|＝( )
A．0 B．1
C． D．2
答案：C
解析：由z＝－1－i，得|z|＝＝.故选C.
3．[2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：A
解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为
(6，8)，位于第一象限，故选A.
4．[2023·新课标Ⅰ卷]已知z＝，则z－z＝( )
A．－i B．i
C．0 D．1
答案：A
解析：因为z＝＝＝－i，所以z＝i，所以z－z＝－i－i＝－i.故选A.
5．|2＋i2＋2i3|＝( )
A．1 B．2
C． D．5
答案：C
解析：|2＋i2＋2i3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝.故选C.
6．设z＝，则z＝( )
A．1－2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
答案：B
解析：z＝＝＝＝1－2i，所以z＝1＋2i.故选B.
7．[2022·全国甲卷(理)，1]若z＝－1＋i，则＝( )
A．－1＋i B．－1－i
C．－＋i D．－－i
答案：C
解析：因为z＝－1＋i，所以＝＝＝－＋i.故选C.
8．[2023·全国甲卷(文)]＝( )
A．－1 B．1
C．1－i D．1＋i
答案：C
解析：由题意知，＝＝＝1－i，故选C.9．(多选)[2024·山东菏泽期中]已知复数z＝cos θ＋isin θ(其中i为虚数单位)，下列说
法正确的是( )
A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限
B．|z|＝cos θ
C．z·z＝1
D．z＋为实数
答案：CD
解析：复数z＝cos θ＋isin θ(其中i为虚数单位)，
复数z在复平面上对应的点(cos θ，sin θ)不可能落在第二象限，所以A不正确；
|z|＝＝1，所以B不正确；
z·z＝(cosθ＋isin θ)(cos θ－isin θ)＝cos2θ＋sin2θ＝1，所以C正确；
z＋＝cosθ＋isin θ＋＝cos θ＋isin θ＋cos θ－isin θ＝2cos θ为实数，所以D正确.
二、填空题
10．若(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则a－b＝________．
答案：－7
解析：＝＝b－ai，(2－i)2＝3－4i，因为这两个复数互为共轭复数，所以b＝3，a＝－
4，所以a－b＝－4－3＝－7.
11．i是虚数单位，复数＝________．
答案：4－i
解析：＝
＝＝＝4－i.
12．设复数z，z 满足|z|＝|z|＝2，z＋z＝＋i，则|z－z|＝________．
1 2 1 2 1 2 1 2
答案：2
解析：设复数z＝a＋bi，z＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，又z＋
1 2 1
z ＝(a＋c)＋(b＋d)i＝＋i，∴a＋c＝，b＋d＝1，则(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋
2
2bd＝4，∴8＋2ac＋2bd＝4，即2ac＋2bd＝－4，∴|z－z|＝＝＝＝2.
1 2
[能力提升]
13．(多选)[2024·九省联考]已知复数z，w均不为0，则( )
A．z2＝|z|2 B．＝
C．＝z－w D．＝
答案：BCD
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，w＝c＋di(c，d∈R)；
对A：z2＝(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2＝a2－b2＋2abi，|z|2＝()2＝a2＋b2，故A错误；
对B: ＝，又z·z＝2，即有＝，故B正确；
对C：z－w＝a＋bi－c－di＝a－c＋(b－d)i，则＝a－c－(b－d)i，z＝a－bi，w＝c－
di，则z－w＝a－bi－c＋di＝a－c－(b－d)i，
即有＝z－w，故C正确；
对D：＝＝
＝
＝
＝
＝
＝，
＝＝
＝
＝，
故＝，故D正确．故选BCD.
14．[2022·全国乙卷(理)，2]已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则(
)
A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2
C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2答案：A
解析：由z＝1－2i可知z＝1＋2i.由z＋az＋b＝0，得1－2i＋a(1＋2i)＋b＝1＋a＋b＋
(2a－2)i＝0.根据复数相等，得解得故选A.
15．[2023·全国甲卷(理)]设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案：C
解析：∵(a＋i)(1－ai)＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋(1－a2)i＝2，∴2a＝2且1－a2＝0，解得a
＝1，故选C.
16．已知z(1＋i)＝1＋ai，i为虚数单位，若z为纯虚数，则实数a＝________．
答案：－1
解析：方法一 因为z(1＋i)＝1＋ai，所以z＝＝＝，因为z为纯虚数，
所以＝0且≠0，解得a＝－1.
方法二 因为z为纯虚数，
所以可设z＝bi(b∈R，且b≠0)，则z(1＋i)＝1＋ai，即bi(1＋i)＝1＋ai，所以－b＋bi
＝1＋ai，所以，解得a＝b＝－1.
