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专练 36 直线、平面平行的判定与性质
授课提示：对应学生用书77页
[基础强化]
一、选择题
1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A．一条直线不相交
B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交
D．任意一条直线都不相交
答案：D
解析：由线面平行的定义可知，当a∥α时，a与平面α内的任意一条直线都不相交．
2．[2024·全国甲卷(理)]设α，β为两个平面，m，n为两条直线，且α∩β＝m.下述四个
命题：
①若m∥n，则n∥α或n∥β；
②若m⊥n，则n⊥α或n⊥β；
③若n∥α且n∥β，则m∥n；
④若n与α，β所成的角相等，则m⊥n.
其中所有真命题的编号是( )
A．①③ B．②④
C．①②③ D．①③④
答案：A
解析：对于①，因为α∩β＝m，m∥n，所以当n α时，n∥β；
当n β时，n∥α；当n⊄α，且n⊄β时，n∥α且n∥β，故①正确．
⊂
对于②，因为α∩β＝m，m⊥n，所以n与α，β的位置关系为在平面内、与平面平行或
⊂
相交，故②错误．
对于③，因为n∥α且n∥β，α∩β＝m，所以m∥n，故③正确．
对于④，如图，在正方体ABCDABC D 中，记平面ADD A 为α，平面ABCD为β，
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则直线AD为m，记直线BD 为n，由正方体的性质可知 BD 与平面ADD A ，所成角为
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∠ADB，则 sin ∠ADB＝，BD 与平面 ABCD 所成角为∠DBD ，则 sin ∠DBD ＝＝sin
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∠ADB，此时BD 与AD不垂直，即m与n不垂直，故④错误．故选A.
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3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，则“m∥β”是“α∥β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件 ⊂
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：∵当α∥β，m α时，m∥β即：α∥β m∥β，
当m α，m∥β时，α与β可能相交，也可能平行，
⊂ ⇒
即：m∥β D /α∥β，∴m∥β是α∥β的必要不充分条件．
⊂
⇒4．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是( )
A．平面BEM∥平面ACN
B．AF∥CN
C．BM∥平面EFD
D．BE与AN相交
答案：A
解析：还原正方体易知AN∥BM，AC∥EM且AN∩AC＝A，
所以平面ACN∥平面BEM，故选A.
5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝
1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
答案：B
解析：
如图，由题意 EF∥BD，且 EF＝BD，HG∥BD，且 HG＝BD，所以 EF∥HG，且
EF≠HG，又HG 平面BCD，EF⊄平面BCD，所以EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯
形，故选B.
6. ⊂
如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列直线与平面AD′C平行的是( )
A．B′C′ B．A′B
C．A′B′ D．BB′
答案：B
解析：连接A′B，∵A′B∥CD′，A′B⊄平面AD′C，CD′ 平面AD′C，∴A′B∥平面AD′C.
7．过三棱柱ABC－ABC 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABBA 平行的直
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线共有( ) ⊂
A．4条 B．6条
C．8条 D．12条
答案：B
解析：如图E，F，G，H是相应线段的中点，故符合条件的直线只能出现在平面
EFGH中，故有EF，FG，GH，HE，FH，EG共6条直线．8．已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于点A、
C，过点P的直线n与α、β分别交于点B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为(
)
A．16 B．24或
C．14 D．20
答案：B
解析：设BD＝x，由α∥β AB∥CD △PAB∽△PCD ＝.
①当点P在两平面之间时，
⇒ ⇒ ⇒
如图1，＝，
∴x＝24；
②当点P在两平面外侧时，
如图2，＝，
∴x＝.
9．[2024·广东广州模拟]在三棱柱ABC－ABC 中，E是棱AB的中点，动点F是侧面
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ACC A(包括边界)上一点．若EF∥平面BCC B，则动点F的轨迹是( )
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A．线段 B．圆弧
C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
答案：A
解析：
如图所示，分别取AC，AC ，AB 的中点N，F，M，连接ME，MF，NE，FN.
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因为E为AB的中点，所以NE∥BC且NE＝BC，
同理FM∥BC ，且MF＝BC ，所以N，E，M，F四点共面．
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因为ME∥BB，NE∥BC，
1
所以ME∥平面BCC B ，NE∥平面BCC B ，而NE∩ME＝E，所以平面NEMF∥平面
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BCC B ，而EF 平面NEMF，所以EF∥平面BCC B ，所以要使EF∥平面BCC B ，则动
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点F的轨迹为线段FN.故选A.
二、填空题⊂
10.如图，在正方体ABCD－ABC D 中，E为DD 的中点，则BD 与平面AEC的位置关
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系为________．
答案：平行
解析：连接BD，交AC于O点，
∵ABCD－ABC D 为正方体，
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∴O为BD的中点，又E为DD 的中点，∴EO∥BD，
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又EO 平面AEC，BD⊄平面AEC，
1
∴BD∥平面AEC.
1
⊂
11.
如图所示，正方体ABCD－ABC D 中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．
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若EF∥平面ABC，则线段EF的长度等于________．
1
答案：
解析：在正方体ABCD－ABC D 中，AB＝2，∴AC＝2.又E为AD中点，EF∥平面
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ABC，EF 平面ADC，平面ADC∩平面ABC＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝
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AC＝.
12. ⊂
如图所示，在正四棱柱 ABCD－ABC D 中，E，F，G，H分别是棱CC ，C D ，
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DD，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条
1
件________时，就有MN∥平面BBDD .(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考
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虑全部可能情况)
答案：点M在线段FH上(或点M与点H重合)
解析：连接HN，FH，FN，则FH∥DD ，HN∥BD，
1
∴平面FHN∥平面BBDD ，只需M∈FH，则MN 平面FHN，∴MN∥平面BBDD .
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⊂[能力提升]
13．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．1条或2条
答案：C
解析：
如图所示，EFGH为平行四边形，
则EF∥GH，又EF⊄面BCD，HG 面BCD，
∴EF∥面BCD，
⊂
又面BCD∩面ACD＝CD，∴EF∥CD，
∴CD∥面EFGH，同理可得AB∥面EFGH.
14．[2024·九省联考]设α，β是两个平面，m，l是两条直线，则下列命题为真命题的
是( )
A．若α⊥β，m∥α，l∥β，则m⊥l
B．若m α，l β，m∥l，则α∥β
C．若α∩β＝m，l∥α，l∥β，则m∥l
D．若m⊂⊥α，⊂l⊥β，m∥l，则α⊥β
答案：C
解析：如图，正方体ABCDABC D 中，
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对于A，设平面α为平面ABCD，平面β为平面ADD A ，m＝BC ，l＝BC，m∥α，
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l∥β，α⊥β，但m∥l，A错．
对于B，m＝BC，平面α为平面ABCD，l＝AD，平面β为平面ADD A ，此时m α，
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l β，m∥l，但α与β不平行，B错．
⊂
对于 D，平面 α 为平面 ABCD，平面 β 为平面 ABC D ，m＝AA ，l＝BB ，此时
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⊂
m⊥α，l⊥β，m∥l，但平面α与平面β平行不垂直，D错．选C.
15．已知正方体ABCD－ABC D，下列结论中，正确的是________．
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①AD∥BC ；
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②平面ABD∥平面BDC ；
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③AD∥DC ；
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④AD∥平面BDC .
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答案：①②④
解析：∵ABCD－ABC D 为正方体，
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∴AB綊DC ，∴ABCD 为平行四边形，∴AD∥BC ，故①正确；∵AD∥BC ，BC
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平面BDC ，AD⊄平面BDC ，∴AD∥平面BDC ，
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⊂
又BD∥BD，BD⊄平面BDC ，BD 平面BDC ，
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∴BD∥平面BDC ，又AD∩BD＝D，
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⊂
∴平面ABD∥平面BDC ，故②正确；故④正确；对于③，AD 与DC 为异面直线，
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故③不正确.
16．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m β，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l⊥m；
②若l⊥m，则α∥β； ⊂
③若α⊥β，则l∥m；
④若l∥m，则α⊥β.
其中为真命题的序号是________．
答案：①④
解析：①正确，因为l⊥α，α∥β l⊥β，又m β，故l⊥m；②错，当两平面相交且交
线为直线m时也满足题意；③错，各种位置关系均有可能；④正确，l⊥α，l∥m m⊥α，
⇒ ⊂
又m β，所以α⊥β，综上可知命题①④为真命题．
⇒
⊂
