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2012年第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第2
试）
一．填空题（每小题5分，共60分）
1．（5分）将6个连续的自然数从小到大地排列，如果后3个数的和是前3个数的2倍，那么
这6个数中最大的数是 ，这6个数的和是 ．
2．（5分）规定：n个a相乘，记为： ＝an
观察下面的计算：81＝8；82＝64；83＝512；84＝4096；85＝32768；86＝262144；87＝
2097152；88＝16777216，…
而82012除以10，得到的余数是 ．
3．（5分）如果6个连续奇数的乘积为135135，那么这6个数的和是 ．
4．（5分）今年，姐姐的年龄是妹妹的3倍，2年后，姐姐的年龄将是妹妹的2倍，那么，今年，
姐姐的年龄是 岁．
5．（5分）A型电脑的键盘有104个键，比B型钢琴的键的个数的2倍少72个，则B型钢琴的
键盘有 个键．
6．（5分）如图表示的是一个建筑的顶部结构的平面图，由11根钢材组成，图中三角形的个数
是 ．
7．（5分）已知m＞1，m个连续的自然数的和是33，则m所有可能取的值是 ．
8．（5分）有两个数：515，53，将第一个数减去11，第二个数加了11，这算一次操作，那么操作
次后，第一个数和第二个数相等．
9．（5分）将11个球分别放在三个盒子里，使盒子里球的个数彼此不同，那么，放球最多的盒
子里最多可放 个球，至少要放 个球．
10．（5分）如图所求，AB＝24（厘米），长方形BDEF中EF＝15（厘米），阴影△BCE的面积是
60平方厘米，则△DCE的面积是 平方厘米．
第1页（共12页）11．（5分）一条公交线路的两端分别是A站，B站，公交公司规定：
（1）每辆公交车都在50分钟内驶完一个单程（包括在中间站依靠的时间），当达到一端时
停驶10分钟．
（2）A站和B站每6分钟各发一辆车．那么，这条公交线路上需要的公交车至少有
辆．
12．（5分）元旦前，小芳给她的五位同学做贺卡，将贺卡装入信封时她装错了，五位同学都没
收到小芳给自己做的贺卡，收到的是小芳给别人的贺卡，则一共有 种可能出现的
情形．
二．解答题（每题15分，共60分，每题都要写出推算过程）
13．（15分）某天，M市大雾天气，只能看清楚100米之内的物体．甲、乙两人在一条平直的马
路边的A点反向同时出发，甲、乙两人的速度分别是4米/秒，6米/秒，1分钟后，甲走到B
点，乙走到C点，然后甲、乙同时掉头往回走，此后，多长时间后甲、乙就能彼此看见？此
时，甲、乙分别离A多少米？
14．（15分）某商场大厅的主楼梯如图所示，1楼到2楼共15级台阶，每级台阶高16厘米，每
级台阶进深26厘米，已知楼梯宽3米，要在1楼到2楼的楼梯上铺设每平方米80元的地
毯，则买地毯至少需要多少钱？
15．（15分）甲、乙两个商场推出迎新年优惠活动，甲商场规定：“每满200元减101元．”乙
商场规定：“每满101减50元．”小明的爸看中了一双标价699元的运动鞋和一件标价
910的羊毛衫，这两类商品在两个商场都有销售，问：怎么买更便宜呢？共需多少钱？请
说明理由．
16．（15分）某次射箭比赛中，所用的箭靶上画有4个同圆心的圆环．如图，每个圆环内的数
字是射中此圆环时可得到的分数，运动员黄亮射中10支箭，每个圆环都有箭射中，共得
第2页（共12页）110分，问：每个圆环各被射中几支？
第3页（共12页）2012 年第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四
年级第 2 试）
参考答案与试题解析
一．填空题（每小题5分，共60分）
1．（5分）将6个连续的自然数从小到大地排列，如果后3个数的和是前3个数的2倍，那么
这6个数中最大的数是 7 ，这6个数的和是 2 7 ．
【分析】可先设其中任意一个自然数为n，表示出其他的自然数，根据题意列出方程解答即
可．
【解答】解：设6个连续的自然数为n﹣2，n﹣1，n，n+1，n+2，n+3
[（n﹣2）+（n﹣1）+n]×2＝（n+1）+（n+2）+（n+3），
（3n﹣3）×2＝3n+6，
n＝4；
所以6个连续的自然数2，3，4，5，6，7，
6个数中最大的是7
这6个数的和是27，
故答案为：7，27．
【点评】本题主要考查数字和问题，根据题意设出未知数列方程是解答本题的关键．
2．（5分）规定：n个a相乘，记为： ＝an
观察下面的计算：81＝8；82＝64；83＝512；84＝4096；85＝32768；86＝262144；87＝
2097152；88＝16777216，…
而82012除以10，得到的余数是 6 ．
【分析】观察“81＝8；82＝64；83＝512；84＝4096；85＝32768；86＝262144；87＝2097152；88
＝16777216，…”知道除去第一项，后面的几个项除以10的余数是4、2、6、8、4、2、6、
8、…即以4、2、6、8为一组进行循环，因此用2012﹣1除以4求出几个循环余几，即可得出
答案．
【解答】解：（2012﹣1）÷4，
＝2011÷4，
第4页（共12页）＝502…3，
即一个循环中的第3个数，所以82012除以10，得到的余数是6，
故答案为：6．
【点评】关键是根据给出的式子，找出除以10的余数的规律，再由规律解决问题．
3．（5分）如果6个连续奇数的乘积为135135，那么这6个数的和是 4 8 ．
【分析】首先把135135分解质因数，再根据连续奇数的排列规律，相邻的两个奇数相差2，
然后根据题意再把135135的质因数作适当的调整计算即可．
【解答】解：135135＝3×3×3×5×11×7×13；
由于是6个连续的奇数，因此除了奇数3，5，7，11，13外，还有：3×3＝9，
所以6个连续奇数分别是：3，5，7，9，11，13，
6个连续奇数的和是：3+5+7+9+11+13＝48；
故答案为：48．
【点评】此题主要根据分解质因数的方法把质因数作适当的调整来解决问题．
4．（5分）今年，姐姐的年龄是妹妹的3倍，2年后，姐姐的年龄将是妹妹的2倍，那么，今年，
姐姐的年龄是 6 岁．
【分析】设妹妹今年的年龄为x岁，则根据“今年，姐姐的年龄是妹妹的3倍，”知道姐姐
今年的年龄是3x岁，2年后妹妹的年龄是x+2岁，姐姐是3x+2岁，最后根据“2年后，姐
姐的年龄将是妹妹的2倍，”即2年后，姐姐的年龄＝妹妹的年龄×2，列出方程求出妹妹
的年龄，进而求出姐姐的年龄．
【解答】解：设妹妹今年的年龄为x岁，则姐姐今年的年龄是3x岁，则2年后妹妹的年龄是
x+2岁，姐姐是3x+2岁，
3x+2＝2×（x+2），
3x+2＝2x+4，
x＝4﹣2，
x＝2，
姐姐今年的年龄：3×2＝6（岁），
答：今年姐姐的年龄是6岁，
故答案为：6．
【点评】关键是根据题意设出一个未知数，另外的未知数用设出的字母表示，再找出数量
关系等式，由等式列出方程解决问题
5．（5分）A型电脑的键盘有104个键，比B型钢琴的键的个数的2倍少72个，则B型钢琴的
第5页（共12页）键盘有 8 8 个键．
【分析】根据已知比一个数的几倍少几的数是多少，求这个数，首先求出B型钢琴键的个
数的2倍是多少，然后再用除法解答．
【解答】解：（104+72）÷2，
＝176÷2，
＝88（个）；
答：B型钢琴的键盘有88个键．
故答案为：88．
【点评】此题属于已知比一个数的几倍少几的数是多少，求这个数，先用加法求出这个数
（B型钢琴键的个数）的2倍，再用除法解答．
6．（5分）如图表示的是一个建筑的顶部结构的平面图，由11根钢材组成，图中三角形的个数
是 3 4 ．
【分析】不在同一直线上三点可以确定一个三角形，据此即可计数．
【解答】解：以A为顶点的三角形有：21个，
以B为顶点的三角形有：6个，
以C为顶点的三角形有：5个，
以D为顶点的三角形有：1个，
以E为顶点的三角形有：1个，
所以共21+6+5+1+1＝34（个），
故答案为：34．
【点评】本题主要考查了三角形的认识，按正确的顺序计算三角形的个数是解决本题的关
键，要做到不重不漏．
7．（5分）已知m＞1，m个连续的自然数的和是33，则m所有可能取的值是 2 、 3 、 6 ．
第6页（共12页）【分析】因为m＞1，则m最小为2．只要求出m最大为多少即可知道m的取值可能；而m
最大的时候，一定是从1开始，1+2+3+4+5+6+7＝28＜33；1+2+3+4+5+6+7+8＝35＞33；所
以m最大为7．因此m的所有可能取值为2到7的自然数；再对m的取值进行验证．
【解答】解：33÷2＝16.5，所以16+17＝33，所以m＝2
33÷3＝11 推出 10+11+12＝33，所以m＝3
33÷4＝8.25 推出7+8+9+10＝34 所以舍去m＝4
33÷5＝6.6 推出5+6+7+8+9＝35 所以舍去m＝5
33÷6＝5.5 推出3+4+5+6+7+8＝33，所以m＝6，
33÷7＝4.7，1+2+3+4+5+6+7+8＝28＜不符合题意 舍去m＝7，．
8个连续自然数相加，肯定大于33，所以m不可能是比8大的数．所以m的所有可能取值：
2、3、6；
故答案为：2、3、6．
【点评】关键是根据题意，先确定m的取值范围，再根据m个连续的自然数的和是33，进
行排除验证，即可得出答案．
8．（5分）有两个数：515，53，将第一个数减去11，第二个数加了11，这算一次操作，那么操作
21 次后，第一个数和第二个数相等．
【分析】515和53两数相差462；515减11，53加11，这样两数就相差22；要让两数相等，
也就是把相差的462按515减11，53加11操作，操作多少次就相等，即看462里有几个
22，也就操作多少次．
【解答】解：515﹣53＝462，
11+11＝22，
462÷22＝21；
答：操作21次以后两个数相等．
故答案为：21．
【点评】解答此题主要是明白：515减11，53加11，这样两数就相差22，把相差的数按每次
减22，看能减多少次后两数相等．
9．（5分）将11个球分别放在三个盒子里，使盒子里球的个数彼此不同，那么，放球最多的盒
子里最多可放 8 个球，至少要放 5 个球．
【分析】要使每个盒子都有球，且彼此不同，则最少有一个盒子放1个球，第二个盒子放2
个，这时第三个盒子放球最多，用11﹣1﹣2，即可得解．
【解答】解：11﹣1﹣2＝8（个），
第7页（共12页）答：将11个球分别放在三个盒子里，使盒子里球的个数彼此不同，那么，放球最多的盒子
里最多可放 8个球，要是最多的尽量少，应该相互接近，放2，3，4，只能放下11个球，最
多的至少放5个．故答案为：8，5．
【点评】认真分析，理解题意，是解决此题的关键．
10．（5分）如图所求，AB＝24（厘米），长方形BDEF中EF＝15（厘米），阴影△BCE的面积是
60平方厘米，则△DCE的面积是 3 0 平方厘米．
【分析】AB和EF的长度已知，于是可以求出三角形ABE的面积，又因三角形BCE的面积
为60平方厘米，进而求出三角形ABC的面积，于是就能求出BC的长度，也就能求出DE
的长度，进而求出三角形DCE的面积．
【解答】解：三角形ABC的面积：24×15÷2﹣60，
＝180﹣60，
＝120（平方厘米）；
BC的长度：120×2÷24，
＝240÷24，
＝10（厘米）；
所以DC的长度为：15﹣10＝5（厘米）；
DE的长度：60×2÷10＝12（厘米）；
所以三角形DCE的面积为：5×12÷2＝30（平方厘米）；
答：△DCE的面积是30平方厘米．
故答案为：30．
【点评】利用三角形的面积公式求得DE、DC的长度，是解答本题的关键．
11．（5分）一条公交线路的两端分别是A站，B站，公交公司规定：
（1）每辆公交车都在50分钟内驶完一个单程（包括在中间站依靠的时间），当达到一端时
停驶10分钟．
（2）A站和B站每6分钟各发一辆车．那么，这条公交线路上需要的公交车至少有 2 0
辆．
第8页（共12页）【分析】假设第一辆车从A站出发，经过50分钟驶完一个单程到达B站，停驶10分钟，可
以再出发驶回A站，此时B站已经出发了60÷6＝10辆车，这时B站不用再派车，同理从A
站也需要派1辆车，据此计算即可解答．
【解答】解：60÷6×2，
＝10×2，
＝20（辆）；
答：这条公交线路上需要的公交车至少有20辆．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查发车间隔问题，求出派几辆车以后再不用派车是解答本题的关键．
12．（5分）元旦前，小芳给她的五位同学做贺卡，将贺卡装入信封时她装错了，五位同学都没
收到小芳给自己做的贺卡，收到的是小芳给别人的贺卡，则一共有 4 4 种可能出现的情
形．
【分析】（1）当五张贺卡全部发错，且不存在两两互错时，那么1号同学有四种错法，如：1
号同学得到是2号贺卡，则2号同学即不得到1号贺卡，也不能得2号贺卡，则只有3种错
法，3号同学除不得到3号外，也不能得到1、2号同学已得到的贺卡，只有2种情形，所以
有：4×3×2×1＝24种；（2）当五张贺卡全部发错，且存在两两互错时，那么另外三张也互错；
当一组两两互错的同学确定时，余下的3名同学互错只有2种情况；从5名同学中选出2
名同学，是5选2，共有10种选法；2×10＝20种；所以一共有：24+20＝44种．
【解答】解：根据分析，两种情况共有：
4×3×2×1+5×4÷2×2，
＝24+20，
＝44（种）；
答：一共有44种可能出现的情形．
故答案为：44．
【点评】本题关键是理解把排列的情况分两种去研究，即两两互错和两两不互错，然后在
讨论就比较容易了．
二．解答题（每题15分，共60分，每题都要写出推算过程）
13．（15分）某天，M市大雾天气，只能看清楚100米之内的物体．甲、乙两人在一条平直的马
路边的A点反向同时出发，甲、乙两人的速度分别是4米/秒，6米/秒，1分钟后，甲走到B
点，乙走到C点，然后甲、乙同时掉头往回走，此后，多长时间后甲、乙就能彼此看见？此
时，甲、乙分别离A多少米？
第9页（共12页）【分析】1分钟＝60秒，则1分钟后，两人相距（6+4）×60＝600米，由于大雾天气，只能看
清楚100米之内的物体，则两人返回对而行600﹣100＝500米时，能彼此看见，此时两行
了500÷（6+4）＝50秒，由于甲去时行了60秒，回来是此时已行了50秒，速度不变，则此
时甲距A4×（60﹣50）＝40米，同理乙距A6×（60﹣50）＝60米．
【解答】解：1分钟＝60秒，
[（6+4）×60﹣100]÷（6+4）
＝[10×60﹣100]÷10，
＝[600﹣100]÷10，
＝50（秒）；
4×（60﹣50）
＝4×10，
＝40（米）；
6×（60﹣50）
＝6×10，
＝60（米）．
答：50秒时间后甲、乙就能彼此看见，此时，甲离A40米，乙距A60米．
【点评】完成本题要注意由于只能看清楚100米之内的物体，因此要从他们开始返回时相
距的总路程中减去100米求得他们开始彼此看到的时间．
14．（15分）某商场大厅的主楼梯如图所示，1楼到2楼共15级台阶，每级台阶高16厘米，每
级台阶进深26厘米，已知楼梯宽3米，要在1楼到2楼的楼梯上铺设每平方米80元的地
毯，则买地毯至少需要多少钱？
【分析】地毯的总长度为AC+BC，AC的长度＝每级台阶高度×15，BC的长度＝×15，已知
了楼道的宽度，即地毯的宽度，可由长方形的面积公式S＝ab，求出地毯的总面积，再根据：
总价＝单价×面积计算即可．
【解答】解：16厘米＝0.16米，26厘米＝0.26米，
（0.16+0.26）×15×3×80，
第10页（共12页）＝0.42×15×3×80，
＝1.26×15×80，
＝18.9×80，
＝1512（元）．
答：买地毯至少需要1512元．
【点评】解决此题的关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上
进行计算．
15．（15分）甲、乙两个商场推出迎新年优惠活动，甲商场规定：“每满200元减101元．”乙
商场规定：“每满101减50元．”小明的爸看中了一双标价699元的运动鞋和一件标价
910的羊毛衫，这两类商品在两个商场都有销售，问：怎么买更便宜呢？共需多少钱？请
说明理由．
【分析】由题意可知，这两件商品共需699+910＝1609（元）．
由于甲商场规定：“每满200元减101元．”1609÷200＝8…9元，即需花1609﹣8×101＝
801元；
乙商场规定：“每满101减50元．”1609÷101＝15…94元，即需花1609﹣50×15＝859元；
801元＜859元，所以在甲商场购买便宜，共需801元．
【解答】解：699+910＝1609（元）．
甲商场：1609÷200＝8…9元，即需花1609﹣8×101＝801元；
乙商场：1609÷101＝15…94元，即需花1609﹣50×15＝859元；
801元＜859元，所以在甲商场购买便宜，共需801元．
【点评】根据要购买商品的总钱数及不同的优惠方案进行分析是完成此类问题的关键．
16．（15分）某次射箭比赛中，所用的箭靶上画有4个同圆心的圆环．如图，每个圆环内的数
字是射中此圆环时可得到的分数，运动员黄亮射中10支箭，每个圆环都有箭射中，共得
110分，问：每个圆环各被射中几支？
【分析】根据“每个圆环都有箭射中，”说明至少有四箭分别射中8、12、14、18分，那么剩
第11页（共12页）下的 6 箭所得分数为：110﹣8﹣12﹣14﹣18＝58，然后把 58 裂项拆分为：58＝
8+12+14+18+6，再把6加到其他4个数里，使得到的这个数加6的和，能使另外的三个分
值的3倍，只有18+6＝8+8+8合适，所以58＝8+12+14+18+6＝8+12+14+（18+6）＝
8+12+14+8+8+8，据此可以得出每个圆环各被射中的次数．
【解答】解：因为每个圆环都有箭射中，所以6次射中的得分是：110﹣8﹣12﹣14﹣18＝58
（分），
58＝8+12+14+18+6＝8+12+14+（18+6）＝8+12+14+8+8+8＝8×4+12+14，
所以：110＝8×5+12×2+14×2+18×1；
因此，8分被射中了5次，12分被射中了2次，14分被射中了2次，18分被射中了1次．
【点评】本题关键是求出6次射中的得分，难点是利用裂项拆分方法吧58分解成6个得分
的和．
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日期：2019/4/22 16:49:02；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第12页（共12页）
