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2012年第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（六年级第2
试）
一、填空题（每小题5分，共60分．）
1．（5分） ＝ ．
2．（5分） ＝ ．
3．（5分）王涛将连续的自然数1，2，3，…逐个相加，一直加到某个自然数为止，由于计算时
漏加了一个自然数而得到错误的结果2012．那么，他漏加的自然数是 ．
4．（5分）在数0.20120415中的小数后面的数字上方加上循环点，得到循环小数，这些循环小
数中，最大的是 ，最小的是 ．
5．（5分）对任意两个数x，y规定运算“*”的含义是：x*y＝ （其中m是一个确定
的数），如果1*2＝1，那么m＝ ，3*12＝ ．
6．（5分）对于一个多边形，定义一种“生长”操作：如图1，将其一边AB变成向外凸的折线
ACDEB，其中C和E是AB的三等分点，C，D，E三点可构成等边三角形，那么，一个边长
是9的等边三角形，经过两次“生长”操作（如图2），得到的图形的周长是 ；经过
四次“生长”操作，得到的图形的周长是 ．
7．（5分）如图所示的“鱼”形图案中共有 个三角形．
8．（5分）已知自然数N的个位数字是0，且有8个约数，则N最小是 ．
9．（5分）李华在买某一商品的时候，将单价中的某一数字“7”错看成了“1”，准备付款
第1页（共12页）189元，实际应付147元，已知商品的单价及购买的数量都是整数，则这种商品的实际单
价是 元，李华共买了 件．
10．（5分）如图，已知AB＝40cm，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成，那
么阴影部分的面积是 cm2．（ 取3.14）
π
11．（5分）快车和慢车同时从甲、乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇行了全程的 ，
已知慢车行完全程需要8小时，则甲、乙两地相距 千米．
12．（5分）甲、乙、丙三人去郊游，甲买了9根火腿，乙买了6个面包，丙买了3瓶矿泉水，乙
花的钱是甲的 ，丙花的钱是乙的 ，丙根据每人所花钱的多少拿出9元钱分给甲和乙，
其中，分给甲 元，分给乙 元．
二、解答题（每小题15分，共60分．）每题都要写出推算过程．
13．（15分）将1到9这9个自然数中的5个数填入图1所示的圆圈内，使任意有线段相连的
两个圆圈内的两数之差恰好等于连接这两个圆圈的线段的条数，图2给出了一种填法，请
你再给出两种不同的填法．
14．（15分）甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，于C地相遇后，甲继续向B地
行走，乙则休息14分钟后再继续向A地行走，甲和乙各自到达B地和A地后立即折返，又
在C地相遇，已知甲每分钟走60米，乙每分钟走80米，则A、B两地相距多少米？
15．（15分）将100个棱长为1的立方体堆放成一个多面体，将可能堆成的多面体的表面积按
从小到大排列，求开始的6个．
16．（15分）在m行n列的网格中，规定：由上而下的横行依次为第1行，第2行，…，由左向
右的竖列依次为第1列，第2列，…．点（a，b）表示位于第a行、第b列的格点，图1是4行
5列的网格．从点A（2，3）出发，按象棋中的马走“日”字格的走法，可达到网格中的格点
第2页（共12页）B（1，1），C（3，1），D（4，2），E（4，4），F（3，5），G（1，5），如果在9行9列的网格中（图2），
从点（1，1）出发，按象棋中的马走“日”字格的走法，
（1）能否到达网格中的每一个格点？
答： ．（填“能”或“不能”）
（2）如果能，那么沿最短路线到达某个格点，最多的需要几步？这样的格点有几个？写出
它们的位置．如果不能．请说明理由．
第3页（共12页）2012 年第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（六
年级第 2 试）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题5分，共60分．）
1．（5分） ＝ ．
【解答】解： ，
＝ ，
＝ ，
＝ ，
＝ ，
＝ ，
＝ ，
＝ ．
第4页（共12页）故答案为： ．
2．（5分） ＝ 2 4 ．
【解答】解：2+3+5+13+ + + + ，
＝2+3+5+13+ + + + + ，
＝23+ ﹣ + ﹣ + + + ，
＝23﹣ +1+ ，
＝24﹣ ，
＝24+ ，
＝24 ．
3．（5分）王涛将连续的自然数1，2，3，…逐个相加，一直加到某个自然数为止，由于计算时
漏加了一个自然数而得到错误的结果2012．那么，他漏加的自然数是 4 ．
【解答】解：设这个等差数列和共有n项，则末项也应为n，这个等差数列的和为：
（1+n）n÷2＝ ；
经代入数值试算可知：
当n＝62时，数列和＝1953，
当n＝63时，数列和＝2016，
可得：1953＜2012＜2016，
所以这个数列共有63项，少加的数为：2016﹣2012＝4．
故答案为：4．
4．（5分）在数0.20120415中的小数后面的数字上方加上循环点，得到循环小数，这些循环小
数中，最大的是 0.201204 1 ，最小的是 0. 2 12041 ．
【解答】解：在数0.20120415中的小数后面的数字上方加上循环点，得到循环小数，这些循
第5页（共12页）环小数中，最大的是 0.2012041 ，最小的是 为0.2 12041 ；
故答案为：0.2012041 ，0.2 12041 ．
5．（5分）对任意两个数x，y规定运算“*”的含义是：x*y＝ （其中m是一个确定
的数），如果1*2＝1，那么m＝ 2 ，3*12＝ ．
【解答】解： 因为：
①
x*y＝ （其中m是一个确定的数）
且1*2＝1
所以：
＝1
8＝m+6
m+6＝8
m+6﹣6＝8
m＝2
3*12
②
＝
＝
＝
故答案为：2， ．
6．（5分）对于一个多边形，定义一种“生长”操作：如图1，将其一边AB变成向外凸的折线
ACDEB，其中C和E是AB的三等分点，C，D，E三点可构成等边三角形，那么，一个边长
是9的等边三角形，经过两次“生长”操作（如图2），得到的图形的周长是 4 8 ；经过
四次“生长”操作，得到的图形的周长是 8 5 ．
第6页（共12页）【解答】解：边长是9的等边三角形的周长是9×3＝27
第一次“生长”，得到的图形的周长是：27× ＝36
第二次“生长”，得到的图形的周长是：36× ＝48
第三次“生长”，得到的图形的周长是：48× ＝64
第四次“生长”，得到的图形的周长是：64× ＝ ＝85
答：经过两次“生长”操作，得到的图形的周长是48，经过四次“生长”操作得到的图形
的周长是85 ．
故答案为：48，85 ．
7．（5分）如图所示的“鱼”形图案中共有 3 5 个三角形．
【解答】解：由一个三角形组成：14个；
由两个三角形组成：8个；
由三个三角形组成：8个；
由四个三角形组成：4个；
由六个三角形组成：1个；
总共：14+8+8+4+1＝35个．
故共有35个三角形．
故答案为：35．
8．（5分）已知自然数N的个位数字是0，且有8个约数，则N最小是 3 0 ．
【解答】解：自然数N的个位数字是0，它一定有质因数5和2，要使N最小，5的个数应最
第7页（共12页）少为1个，而求其它因数最好都是2和3，并且2的个数不能超过2个，其它最好都是3；
设这个自然数N＝21×51×3a，根据约数和定理，可得：
（a+1）×（1+1）×（1+1）＝8，
（a+1）×2×2＝8，
a＝1；
所以，N最小是：2×3×5＝30；
答：N最小是30．
故答案为：30．
9．（5分）李华在买某一商品的时候，将单价中的某一数字“7”错看成了“1”，准备付款
189元，实际应付147元，已知商品的单价及购买的数量都是整数，则这种商品的实际单
价是 2 1 元，李华共买了 7 件．
【解答】解：189＝3×3×3×7＝27×7
147＝3×7×7＝21×7
正好是27×7＝189中把27看成21×7＝147
所以这种商品的实际单价是21元，卖了7件．
故答案为：21，7．
10．（5分）如图，已知AB＝40cm，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成，那
么阴影部分的面积是 62 8 cm2．（ 取3.14）
π
【解答】解：40÷2＝20（厘米）
20÷2＝10（厘米）
3.14×202﹣3.14×102÷2×4
＝1256﹣628
＝628（平方厘米）
答：阴影部分的面积是628平方厘米．
故答案为：628．
11．（5分）快车和慢车同时从甲、乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇行了全程的 ，
已知慢车行完全程需要8小时，则甲、乙两地相距 19 8 千米．
第8页（共12页）【解答】解：1﹣ ＝
×8＝ （小时）
×33＝ （千米）
÷ ＝198（千米）
答：甲、乙两地相距198千米．
故答案为：198．
12．（5分）甲、乙、丙三人去郊游，甲买了9根火腿，乙买了6个面包，丙买了3瓶矿泉水，乙
花的钱是甲的 ，丙花的钱是乙的 ，丙根据每人所花钱的多少拿出9元钱分给甲和乙，
其中，分给甲 6 元，分给乙 3 元．
【解答】解：丙花钱是甲的 × ＝
甲：乙：丙＝1： ： ＝13：12：8
（13+12+8）÷3＝11
每份：9÷（11﹣8）＝3（元）
甲：（13﹣11）×3＝6（ 元）
乙：（12﹣11）×3＝3（ 元 ）
答：分给甲6元，分给乙3元．
故答案为：6，3．
二、解答题（每小题15分，共60分．）每题都要写出推算过程．
13．（15分）将1到9这9个自然数中的5个数填入图1所示的圆圈内，使任意有线段相连的
两个圆圈内的两数之差恰好等于连接这两个圆圈的线段的条数，图2给出了一种填法，请
你再给出两种不同的填法．
【解答】解：设五个圆圈上的数分别为a、b、c、d、e，
第9页（共12页）设：b＞d＞a，d＞a＞c，所以b＞d＞a＞c，
由题意得：b﹣d＝2，d﹣a＝3，a﹣c＝1，推出b﹣c＝6．
这样有两种情况： b＝9，c＝3，d＝7，a＝4，e＝5，
b＝8，c＝2，d＝①7，a＝3，d＝6，e＝4．
②如图所示：
14．（15分）甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，于C地相遇后，甲继续向B地
行走，乙则休息14分钟后再继续向A地行走，甲和乙各自到达B地和A地后立即折返，又
在C地相遇，已知甲每分钟走60米，乙每分钟走80米，则A、B两地相距多少米？
【解答】解：设甲乙第一次相遇用x分钟，那么甲行了60x米、乙行了80x米；第二次甲行了
80x×2米、乙行了60x×2米；
根据甲比乙多行14分钟，可得方程：
（80x×2）÷60﹣（60x×2）÷80＝14
x＝14
x＝12
AB长是：12×（60+80）＝1680（米）．
答：A、B两地相距1680米．
15．（15分）将100个棱长为1的立方体堆放成一个多面体，将可能堆成的多面体的表面积按
从小到大排列，求开始的6个．
【解答】解：由分析可知：当长为5、宽为5、高为4时，此时表面积最小，
表面积为：（5×5+5×4+5×4）×2
＝65×2
＝130
将表面积最小的长方体表面拿下一个小立方体放到长方体表面的别的任意一处，这样增
加4个小正方形，表面积变成134；再拿下一个小立方体跟第一次拿下的小立方体并排放，
这样再增加2个小正方形，表面积变成136；依次重复操作，注意拿下的小立方体与前面
第10页（共12页）拿下的都是并排放，这样每次增加2个小正方形，所以从小到大排列前6个为：130＜134
＜136＜138＜140＜142．
16．（15分）在m行n列的网格中，规定：由上而下的横行依次为第1行，第2行，…，由左向
右的竖列依次为第1列，第2列，…．点（a，b）表示位于第a行、第b列的格点，图1是4行
5列的网格．从点A（2，3）出发，按象棋中的马走“日”字格的走法，可达到网格中的格点
B（1，1），C（3，1），D（4，2），E（4，4），F（3，5），G（1，5），如果在9行9列的网格中（图2），
从点（1，1）出发，按象棋中的马走“日”字格的走法，
（1）能否到达网格中的每一个格点？
答： 能 ．（填“能”或“不能”）
（2）如果能，那么沿最短路线到达某个格点，最多的需要几步？这样的格点有几个？写出
它们的位置．如果不能．请说明理由．
【解答】解：走“日”字就是每次走相邻两个小方格组成的长方形的对角线：如图所示：
所以能到达网格中的每一个格点．
答：能到达网格中的每一个格点．
从起点（1，1）出发一次能走到的点标为1，起点标0；然后在标为1的点上考虑下一步能走
到的点，找出来后都标为2，依次标记下去，每次走相邻两个小方格组成的长方形的对角
线．如下图所示：
第11页（共12页）所以最多走6步，这样的格点位置分别为（7，9）、（8，8）、（9，7）、（9，9）．
答：最多走6步，这样的格点位置分别为（7，9）、（8，8）、（9，7）、（9，9）．
故答案为：能．
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日期：2019/4/22 15:47:52；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第12页（共12页）
