文档内容
2024 学年第一学期阶段性抽测
九年级数学（问卷）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题 25小题，共6页，满分120分，考试用时120
分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写镇（街）、学校、试室号、
姓名、学号及准考证号等自己的个人信息，再用2B铅笔把对应准考证号的标号涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用 2B铅笔画图．答案
必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置上；如需要改动，先划掉原来的答案，然后再写
上新的答案，改动的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以
上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡和试卷一并上交．
第一部分选择题（共30分）
一、选择题（本大题共 10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1. 一元二次方程 的常数项是（ ）
A. 2 B. 5 C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得到常数项即可．
【详解】解：一元二次方程 的常数项是
故选：C．
2. 下列各图中，四边形 是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（ ）
第1页/共28页
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据成中心对称的定义进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，
中阴影部分两个三角形成中心对称，
故选：A．
【点睛】本题考查了成中心对称．解题的关键在于熟练掌握：如果把一个图形绕某一点旋转 后能与另
一个图形重合，这两个图形成中心对称．
3. 将抛物线 向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，平移后所得新抛物线的表达式为（
）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数图像的平移规律即可解答；掌握函数图像平移规律“左加右减，上加下减”是解答
本题的关键．
【详解】解：∵抛物线 向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，
∴平移后所得抛物线解析式为 ．
故选：C．
第2页/共28页
学科网（北京）股份有限公司4. 用配方法解一元二次方程 时，配方后得到的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边你，再把方程两边同时加上一
次项系数一半的平方进行平方，据此可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
5. 如图，将 绕点A顺时针旋转 后，得到 ，下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，理解旋转角成为解题的关键．
第3页/共28页
学科网（北京）股份有限公司根据旋转的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵将 绕点A顺时针旋转 后得到 ，
∴ ， 故选项A、C、D正确，不符合题
意；
由 不是旋转角，不等于 ，则B选项错误，符合题意．
故选B．
6. 下列二次函数中，对称轴为直线 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，分别求出二次函数中的对称轴逐一判断即可求出．
【详解】解：A． 对称轴为直线 ，故错误；
B． 对称轴为直线 ，故错误；
C． 对称轴为直线 故正确；
D． 对称轴为直线 故错误；
故选：C．
7. 某中学教师党小组开展民主生活会，要求小组每位组员给同组的其他教师各提一条建议，已知该党小组
一共收到90条建议，设该党小组的党员人数为 人，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
第4页/共28页
学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系成为解题的关键．
设该党小组的党员人数为 人，则每人需提 条建议，根据该党小组一共收到90条建议，据此列出关
于 的一元二次方程即可．
【详解】解：设该党小组的党员人数为 人，则每人需提 条建议，
根据题意得： ．
故选：C．
8. 已知二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 图象的顶点坐标为 B. 当 时， 随 的增大而减小
C. 图象与 轴的交点坐标是 D. 函数的最小值是1
【答案】B
【解析】
【分析】编译主要考查二次函数的性质，分别求出顶点坐标， 随 的增大而变化情况，与 轴的交点坐
标，最大值，逐一判断即可．
【详解】解：A．图象的顶点坐标为 ，故错误；
B． 当 时， 随 的增大而减小，故正确；
C． 当 时， ，图象与 轴的交点坐标是 ，故错误；
D． 函数的最大值是1，故错误；
故选：B．
9. 已知函数 的图象如图，那么关于 的方程 的根的情况是（ ）
第5页/共28页
学科网（北京）股份有限公司A. 无实数根 B. 有两个同号不等实数根
C. 有两个异号实数根 D. 有两个相等实数根
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数与一元二次方程等知识点，掌握二次函数图象
的性质成为解题的关键．
根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为 ，判断方程 的根的情况即是判断 时x的值
的情况．
【详解】解：∵ 的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是 ，
∴ ，即 ，
∴ 根的情况为 求x的值情况，
由图象可知：直线 与抛物线只有两个交点，即方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
10. 如图，菱形 的对角线交于原点 ， ， ，将菱形 绕原点 逆时
针旋转，每次旋转 ，则第2025次旋转结束时点A的坐标为（ ）
第6页/共28页
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用菱形的
性质是解题的关键．
先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2025次旋转结束时，点A在第三象限，如图：过点A作
轴于点E，延长 到 点，使 ，过点 作 轴于点F，再根据菱形的性质及全等三角
形的判定，即可求得 点的坐标．
【详解】解：∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转 ， ，
∴旋转4次后回到原来的位置，
，
∴第2025次旋转结束时，点 在第三象限，
如图：过点A作 轴于点E，延长 到 点，使 ，过点 作 轴于点F，
，
，
∵四边形 是菱形，
， ，
， ，
，
第7页/共28页
学科网（北京）股份有限公司，
∵ ，
∴ ， ，
，
∴
∴第2025次旋转结束时，点A的坐标为 ．
故选：D．
第二部分非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即
点 关于原点对称点是 ，进而得出答案．
【详解】解：点 关于原点对称 的点的坐标是 ，
故答案为： ．
12. 如图，将一个含 角的直角三角板 绕点 逆时针旋转，点 的对应点为点 ，若点 落在
延长线上，则三角板 旋转的度数是_____．
第8页/共28页
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可直接求解．
【详解】解∶∵将一个含 角的直角三角板 绕点A逆时针旋转，
旋转角为 ，
，点 落在 延长线上
．
故答案为： ．
13. 新能源汽车已逐渐成为人们喜爱的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商 8月份至10月份统计，该品
牌新能源汽车8月份销售1000辆，10月份销售1690辆．设月平均增长率为 ，根据题意可列方程为
__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设月平均增长率为 ，根据题意列出方程即可．
【详解】解：设月平均增长率为 ，根据题意可列方程为
故答案为： ．
14. 已知二次函数 的图象上有两点 ， ，则 与 的大小关系
为_____．
【答案】 ##
【解析】
第9页/共28页
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了二次函数的性质，由于二次函数 的图象的开口向下，对称轴
为直线 ，然后根据二次函数的性质可判断 与 的大小关系．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
∴当 时， 随 的增大而减小，
∵ ，二次函数 的图象上有两点 ， ，
∴ ．
故答案为： ．
15. 若x=a是方程x +x−1=0的一个实数根，则代数式3a +3a−5的值是______.
【答案】−2.
【解析】
【分析】把x=a代入已知方程可以求得a +a=1，然后将其整体代入所求的代数式进行求值．
【详解】依题意得a +a−1=0，
所以a +a=1，
故3a +3a−5=3(a +a)−5=3×1−5=−2，
故答案 是：−2.
【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于把x=a代入已知方程.
16. 如图，二次函数 图象的顶点为 ，其图象与 轴的交点A、B的横坐标分别为
，3，与 轴负半轴交于点 ，在下面四个结论中：① ；② ；③ ；④若
第10页/共28页
学科网（北京）股份有限公司，且 ，则 ．其中正确结论有_____．（填写序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据图象开口方向，对称轴，图象与 轴负半轴交于点 判断①；根据二次函数
的图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为 ，3，得出对称轴为 ，判断②，
结合图象过点 ，判断③，根据二次函数图象的对称性即可判断④．
本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
【详解】解：∵图象开口向上，
∴ ，
∵对称轴 ，
∴ ，
∵图象与 轴负半轴交于点 ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵图象与 轴的交点A、B的横坐标分别为 ，3，
∴该二次函数图象对称轴为直线 ，
∴ ，即 ，故②正确；
第11页/共28页
学科网（北京）股份有限公司由题意可知 图象过点 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ，故③错误；
若 ，则 ，
∴ 关于 对称，
∴ ，即 ，故④正确；
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解方程： ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，
公式法，因式分解法等．
利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：
， ．
18. 如图，将 绕点 顺时针旋转一定的角度得到 ，此时点 在边 上，已知 ，
，求 的长．
第12页/共28页
学科网（北京）股份有限公司【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，理解旋转的性质成为解题的关键．
由旋转的性质可得 、 ，然后根据线段的和差即可解答．
【详解】解： 将 绕点 顺时针旋转得到
， ，
．
19. 如图，已知 的顶点的坐标分别为 ， ，将 绕坐标原点 逆时针旋转
得到 ．
（1）请画出对应的 ；
（2）在 轴上存在一点 ，使得 的值最小，请直接写出点 的坐标_____．
第13页/共28页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了作旋转图形，坐标与图形，以及两点之间，线段最短；熟练掌握网格结构，准确找出
对应点的位置是解题的关键．
（1）根据旋转的性质分别找出A，B的对应点 ， 的位置，然后顺次连接即可；
（2）连接 交 轴于点 ，根据两点之间，线段最短，可知此时 最短，进而得到点
的坐标．
【小问1详解】
解：所作 如图所示：
【小问2详解】
解：连接 交 轴于点 ，
第14页/共28页
学科网（北京）股份有限公司根据两点之间，线段最短，可知此时 最短，
由图知点 的坐标为 ，
故答案为： ．
20. 如图，在一块长 米，宽 米的矩形空地上，修建同样宽的两条道路（两条道路各与矩形
的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为45平方米，求道路的宽．
【答案】道路的宽是3米
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设道路的宽应为 米，由题意列式 ，计
算求解即可．
【详解】解：设道路的宽应为 米
由题意得，
解得 或 （舍去）
答：道路的宽是3米．
第15页/共28页
学科网（北京）股份有限公司21. 关于 的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根 ，且 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式；
（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到 ，列式计算即可；
（2）由根与系数的关系得， ， ，再整理 ，代入
计算即可．
【小问1详解】
解： 方程有两个不相等的实数根，
即
【小问2详解】
由根与系数的关系得，
第16页/共28页
学科网（北京）股份有限公司解得
22. 某商店销售一种商品，平均每天可以销售20件，每件盈利12元．为了扩大销售量，增加盈利，该商店
决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件商品降价1元，平均每天可以多卖5件．
（1）若每件商品降价5元，每件商品盈利_____元，则平均每天可卖_____件商品，所得利润是_____元；
的
（2）该商店想要一天 盈利最大，应降价多少元？所得的最大利润是多少？
【答案】（1）7；45；315
（2）当降价4元时，盈利最大，所得的最大利润是320元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意，列出函数关系式．
（1）根据每件盈利12元，可得每件商品降价5元，列式可得每件商品的盈利，根据每件商品降价1元，
平均每天可以多卖5件，可得平均每天可卖商品件数，根据售量 每件盈利 利润，可得所得利润；
（2）设每件商品降价x元时，利润为w元，根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，每件商品盈利 元
平均每天可卖 件商品
所得利润是 元．
故答案为：7；45；315；
【小问2详解】
解：设每件商品降价x元时，利润为w元，
则 ，
∴当 时，w最大 ．
答：该商店想要一天的盈利最大，应降价4元，所得的最大利润是320元．
23. 如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点 的正上方5米处的A
第17页/共28页
学科网（北京）股份有限公司点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员某次滑下时，在距 所在直线
水平距离为 米的地点，运动员距离地面高度为 米．获得如下数据：
水平距离
0 2 4 6 8
/米
地面高度
5 10 13 14 13
/米
请解决以下问题：
（1）在图中描出表中数据对应的点 ，并用平滑的曲线连接；
（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米；
（3）求 关于 的函数表达式；
（4）当运动员距 所在直线水平距离为3米时，请根据（3）中求出的函数解析式，求出此时运动员距
离地面的高度 ．
【答案】（1）图见解析
（2）14 （3）
第18页/共28页
学科网（北京）股份有限公司（4）此时运动员距离地面的高度 为 米
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，掌握函数图象的画法、二次函数的
性质是本题解题的关键．
（1）用描点法画出抛物线图象即可；
（2）根据图象找出抛物线的对称轴即可得到最大值；
（3）用待定系数法求解二次函数解析式即可；
（4）令 ，求得运动员距离地面的高度 即可．
【小问1详解】
解：①建立如图所示的平面直角坐标系；
②根据表中数据描点；
③用平滑的曲线连接，所画图象如图所示：
【小问2详解】
解：观察图象可得：抛物线的对称轴为 ，此时纵坐标为14，即运动员滑行过程中距离地面的最大高
度为14米．
故答案为：14．
【小问3详解】
解：由图象可得，顶点 ，
第19页/共28页
学科网（北京）股份有限公司设二次函数的关系式为 ，
把 代入得： ，解得： ，
∴ ．
【小问4详解】
解：令 可得： 米，
∴此时运动员距离地面的高度 为 米．
24. 旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件集中，从而解决问题．
（1）阅读填空：如图 ， 中， ， ，点 ， 为 边上的点，且
，把 绕点 逆时针旋转 至 ， _____度， ，
连接 易证 _____，则 ， ， 之间的数量关系为_____．
（2）拓展研究：请利用第 题中的思想方法，解决下面的问题：
如图 ，等边 内有一点 ， ，请判断 ， ， 之间的数量关系并证明；
如图 ，在 中， ， ， ，在 内部有一点 ，连接 ， ，
，请直接写出 的最小值．
第20页/共28页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ； ， ；
（2） ，证明见解析
．
【解析】
【分析】 根据旋转的性质可知 ，所以可得 、 、
，利用 可证 ，从而可得 、 ，利用勾股定
理可得 ；
由旋转的性质可知 ，所以可得 是等边三角形，可知 ，所以可得
，利用勾股定理可得 ，
将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 、 ，根据旋转的性质可知
， ，所以可得 是等边三角形，所以可得 ，
， ，所以可证 ， ，利用勾股
定理求出 的长度即可得 的最小值．
【小问1详解】
解：如下图所示，
中， ， ，
第21页/共28页
学科网（北京）股份有限公司，
由旋转可知 ，
，
；
，
，
由旋转可知 ， ，
，
，
，
在 和 中 ，
；
，
，
由旋转可知 ，
又 ，
，
在 中， ，
第22页/共28页
学科网（北京）股份有限公司；
故答案为： ， ， ；
【小问2详解】
解： ，
证明：如下图所示，把 绕点 逆时针旋转 ，连接
则 ，
， ， ， ，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
， ，
，
在 中， ，
；
如下图所示，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 、 ，
第23页/共28页
学科网（北京）股份有限公司由旋转可知 ， ，
是等边三角形， ， ，
，
，
，
在 中， ，
，
的最小值为
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，解决本题的关键是通
过旋转构造直角三角形，再利用勾股定理解决问题．
25. 在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点A、B（A在 的左侧），与
轴交于点 ．
的
（1）求点 坐标及抛物线的对称轴；
（2）若记抛物线的顶点为 ，
①顶点 的坐标为_____；（用含 的代数式表示）
②当 时， 的最小值为3，求 的值；
（3）当 时，点 在第一象限的抛物线上，连接 ， ．试问，在对称轴左侧的抛物线
上是否存在一点 ，满足 ？如果存在，请求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
第24页/共28页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；
（2）① ；② 或
（3）存在，
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，待定系数法求二
次函数的解析式，全等三角形的判定和性质；
（1）根据坐标轴上点的坐标特征即可求得C的坐标，根据对称轴公式即可求得抛物线的对称轴；
（2）①根据顶点坐标公式即可求得；②分两种情况讨论，根据二次函数的性质即可求得；
（3）根据题意求得D的坐标，得到 轴， ，推出 ，证明 ，
得到 ，设直线 的解析式为 ，把 ， 代入，求出直线 的解
析式，根据点 是直线 与抛物线的交点，联立方程组即可求出．
【小问1详解】
解：令 ，则 ，
对称轴为直线
【小问2详解】
① ，
故答案为
②当 时，抛物线开口向上
第25页/共28页
学科网（北京）股份有限公司当 时， 取得最小值3
解得
当 时，抛物线开口向下
当 时， 取得最小值．
即 解得
综上所述， 或 ．
【小问3详解】
存在
当 时，函数解析式为 ，令 ，则
解得 ，
在 的左侧，
，把 代入得， ，
由（1）得，
轴， ，
记直线 与 轴交于点 ，如图所示，
第26页/共28页
学科网（北京）股份有限公司又 ，
，
，
设直线 的解析式为
把 ， 代入得，
解得
直线 的解析式为
点 是直线 与抛物线的交点，
联立方程组
解得 或
第27页/共28页
学科网（北京）股份有限公司第28页/共28页
学科网（北京）股份有限公司
