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2024−2025 学年九年级 11 月质量检查数学（问卷）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1. -2017的绝对值是（ ）
A. B. C. 2017 D. -2017
【答案】C
【解析】
【分析】由绝对值的意义，即可得到答案．
【详解】解： ；
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是掌握绝对值的意义进行解题．
2. 国际数学家大会每四年举行一次， 是全世界数学家交流、展示、研讨数学发展的国际性会议． 下列四
个图形分别是四届大会的会标，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，进行判断即可．
【详解】解：观察图形，只有D选项中的图形能够找到一条直线，使图形沿着直线折叠后，直线两旁的部
分能够完全重合，是轴对称图形；
故选D．
3. “微信”、“支付宝”，“银行卡”、“云闪付”等移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中非常
普遍的支付方式．小明妈妈上月的移动支付账单为 元，本月参加线上购物节活动，比上月支出的3倍还
多20元，那么本月的支出可表示为（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，根据小明妈妈上月的移动支付账单为a元，本月参加线上购物节活动，比
上月支出的3倍还多20元，列出代数式即可．
【详解】解：由题意得，本月的支出可表示为 元，
故选：A．
4. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数 为常数， ，顶点坐
标是 ，据此求解即可．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是 ，
故选：A．
5. 下面是昆明市 年春节 天的空气质量指数（ ）：
日期 年三十 初一 初二 初三 初四 初五 初六 初七
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学科网（北京）股份有限公司50
下列说法正确的是（ ）
A. 这8天的空气质量指数的众数是47
B. 这8天的空气质量指数的中位数是49.5
C. 这8天的空气质量指数的平均数是50
D. 这8天的空气质量指数的中位数是46.5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、掌握定义及其计算公式是解题的关键．根据平均数、中位数、
众数的意义分别求出数据的平均数，中位数，众数，再比较即可．
【详解】解：A.这8天的空气质量指数中47出现了3次，次数最多，所以众数为47，
故选项A正确；
B. 从小到大排列这 8 天的空气质量指数，第 4、第 5 个数据分别是 47，47，所以中位数是
，
故选项B错误；
C. 这8天的空气质量指数的平均数为： ，
故选项C错误；
D. 从小到大排列这 8 天的空气质量指数，第 4、第 5 个数据分别是 47，47，所以中位数是
，故选项D错误；
故选：A
6. 淇淇初一时的体重是 ，到初三时，体重增加到 ，则她的体重平均每年的增长率为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设她的体重平均每年的增长率为 ，则她初二时的体重是
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学科网（北京）股份有限公司，初三时的体重是 ，根据“到初三时，体重增加到 ”列出一元二次方
程，解方程即可得到答案，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
【详解】解：设她的体重平均每年的增长率为 ，则她初二时的体重是 ，初三时的体重是
，
由题意得： ，
解得： ， （舍去），
她的体重平均每年的增长率为 ，
故选：B．
7. 下列命题错误的是( )
A. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 B. 平行四边形的对角线互相平分
C. 矩形的对角线相等 D. 对角线相等的四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：根据菱形、矩形的判定，平行四边形、矩形的性质进行判断：
A．对角线垂直平分的四边形是菱形，所以A正确；
B．平行四边形的对角线相互平分，所以B正确；
C．矩形的对角线相等，所以C正确；
D．对角线相等的平行四边形是矩形，所以D错误；
考点：菱形、矩形的判定，平行四边形、矩形的性质．
8. 如图，点A在x轴的正半轴上，坐标为 ，点B在y轴的正半轴上，且 ，点P是
的平分线上的点，且横坐标为3，则点B的坐标为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查角平分线性质和全等三角形的判定和性质，连接 ，过点P作 于点C，
于点D，则有 和 ，根据题意得 ，进一步得到 ，
有 即可求得答案．
【详解】解：连接 ，过点P作 于点C， 于点D，如图，
由已知条件可得， ， ，
∵点P是 的平分线上的点，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴点 ．
故选：D．
9. 如图，一次函数 与抛物线 相交于A、B两点，则关于x的不等
式 的解集为（ ）
A. 或 B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，根据函数图象得出的取值范围．
【详解】解：观察函数图象可得： 或 时，抛物线在直线上方，
∴关于x的不等式 的解集为 或 ，
故选：A．
10. 直线 与坐标轴交于A、B两点，点C在x轴上，若 为等腰三角形且 ，则点
C的坐标为 （ ）
A. B. 或
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学科网（北京）股份有限公司C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，一次函数图象与坐标轴的交点，三角形的面积，掌握分类讨论思想
是解题的关键．
先分别令 ，与 ，求出点A，B的坐标，得到 的长，再分类讨论 为腰还是为底这两种情
况，并结合面积即可判断．
【详解】解：∵对于直线 ，令 ，则 ；令 ，则
∴直线 与坐标轴的交点为 ， ，
∴
∵ 为等腰三角形，
∴分两种情况讨论：
①若 为腰，如图所示，
此时 ，
，符合题意，
∵ ，
∴ 或 ，
②若 为底，则C在点O处，此时
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学科网（北京）股份有限公司，不合题意．
综上所述，点C的坐标为 或 ．
故选：B
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离
是________．
【答案】6
【解析】
【分析】确定一组对应点，从而确定平移距离．
【详解】解：如图，点 是一组对应点， ，所以平移距离为6；
故答案为：6
【点睛】本题考查图形平移；确定对应点从
而确定平移距离是解题的关键．
12. 已知关于x的方程 是一元二次方程，则a的取值范围是_____
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．由题意知，
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学科网（北京）股份有限公司，求解作答即可．
【详解】解：∵关于x的方程 是一元二次方程，二次项系数不能为0，
∴ ，
得， ，
故答案为： ．
13. 如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座换水站，
对坡面的绿地进行喷灌，现测得斜坡与水平面所成角的度数是 ，为使出水口的高度为 ，那么需要
准备的水管的长为______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解根据直角三角形中， 角所对的直角边等于斜
边的一半，可以求得AB的长．
【详解】解：由题意可得， ， ， ，
，
即需要准备的水管的长为 ，
故答案为：
14. “整体思想”是数学中的一种重要的思想方法，它广泛应用于数学运算中．例如：已知 ，
，则 ，利用上述思想方法计算：已知 ， ，则
______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握“整体代入法求代数式的值”是解题的关键．
先将 化简，然后将 ， ，代入计算即可．
【详解】解：
；
∵ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
15. 已知 ，则 ________．
【答案】1
【解析】
【分析】已知等式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法则计算，得到关于m与n的方程，
组成方程组，求出方程组的解得m与n的值，即可求出值．
【详解】解：∵ ，
，
∴2m+3n=5，m-2n=-1，
解得：m=1，n=1，
∴mn=1，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了整式的除法，同底数幂的乘除法，以及幂的乘方与积的乘方，负整指数幂，熟练掌握
运算法则是解本题的关键．
16. 已知抛物线 ， ．抛物线与线段AB（包括 、 两点），有两个交
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学科网（北京）股份有限公司点，则 的取值范围为______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、二次函数与一次函数的交点问题、根据一元二次方程
的根的情况求参数，利用待定系数法求得线段 的解析式为 ，联立方程组可得可
看作定抛物线 与过定点 的动直线 有两个交点，画图可得动直线
在直线 、 之间时，定抛物线 与过定点 的动直线 有两个
交点，当动直线 过点 时，求得 ，当动直线 为直线 时，定抛物线
与过定点 的动直线 有一个交点，利用判别式列方程求解即可．
【详解】解：设线段 的解析式为 ，
把 ， 代入得， ，
解得 ，
∴线段 的解析式为 ，
∵抛物线与线段 （包括 、 两点），有两个交点，
联立方程组得， ，即 ，
∵该方程在 时有两个根，
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学科网（北京）股份有限公司∴可看作定抛物线 与过定点 的动直线 有两个交点，
令 ，得 ；令 ，得 ；
∴定抛物线 过点 、 ，
如图，动直线 在直线 、 之间时，定抛物线 与过定点 的动直线
有两个交点，
当动直线 过点 时， ，
解得 ，
当动直线 为直线 时，定抛物线 与过定点 的动直线 有一个
交点，
则 ，即 ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴ ，
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解一元二次方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ， ．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程的方法是解题的关键．
18. 如图，在 中，点 在 上，且 ， ，求 的度数．
【答案】 ．
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据等边对等角结合三角形的内角和定理，以及外角定理即可求解．
【详解】解： ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
，
19. 如图，在平行四边形 中，点E在线段 上， ，完成下列作图和证明过程．
（1）尺规作图：作 的角平分线交线段 于点F，连接 ， （保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证： ．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，
证明四边形 是菱形．
（1）根据角平分线 的作法作出图形即可；
（2）证明四边形 是菱形，可得结论．
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
解：图形如图所示：
【小问2详解】
证明：∵平行四边形 ，
∴ ，
∴ ．
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 且 ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 为菱形，
∴ （菱形的对角线互相垂直）．
20. 我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小
区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表．
50个家庭去年月均用水量频数分布表
组 家庭月均用水量（单位： 频
别 吨） 数
A 7
B m
C n
D 6
E 2
50
合
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学科网（北京）股份有限公司计
根据上述信息，解答下列问题：
（1） ______， ______；
（2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在______组；
（3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少个？
【答案】（1）20，15
（2）B （3）648个
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图，中位数的定义，以及用样本估计总体等知识．
（1）根据C组的扇形统计图的度数即可求出n的值， 再用50减去其他组别的频数，即可求出m的值．
（2）根据中位数的定义即可得出答案．
（3）用样本估计总体即可．
【小问1详解】
解：根据题意可知： ，
解得： ，
∴ ，
故答案为：20，15；
【小问2详解】
解：∵一共有50组用水量数据，
∴50组数据从小到大排列，中位数为第25位和26位的平均数，即中位数在B组．
∴这50个家庭去年月均用水量的中位数落在B组，
故答案为：B；
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司解： （个），
故去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有648个．
21. “新定义”问题就是给出一个从未接触过 的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应
变能力和创新能力．
定义：方程 是一元二次方程 的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此
定义解决下列问题：
（1）方程 的倒方程是 ．
（2）若 是 的倒方程的解，求出c的值；
的
（3）若m，n是一元二次方程 倒方程的两个不相等的实数根，求代数式
的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题
的关键．
（1）根据新定义的含义可得答案；
（2）根据题意得到方程 的倒方程为 ，把 代入即可得到 的值；
（3）根据题意得到方程 的倒方程为 ，再结合方程根与系数的关系进一
步解答即可；
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：方程 的倒方程是 ；
【小问2详解】
解：由题意得：方程 的倒方程为 ，
把 代入方程 得 ： ，
∴
【小问3详解】
由题意得：方程 的倒方程为 ，
∵m，n是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴
∴
；
22. （1）请同学们观察：用 个长为 宽为 的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，
我们可以写出一个代数恒等式为： ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：
①若 ， ，求 − 的值；
②已知 ， ，请利用上述等式求 值．
【答案】（1） ；（2）① ；② ．
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，
（1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于 个长方形的面积和解答即可；
（2）①，直接代入关系式计算即可，②仿照①解答即可．
【
详解】解：（1）根据题意可知 ；
故答案为： ；
（2）①由（ ）可知 ．
当 ， ，时，
，
解得 ；
②由（ ）可知 ．
当 ， 时，
，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ．
23. 某品牌新能源汽车充满电后，电池中剩余电量 （ ）与汽车行驶路程 （ ）之间的关系如图
所示（不计电池耗损及天气影响）．根据图象回答下列问题：
（1）充满电最多可以行驶 ．
（2）汽车每行驶 消耗 ．
（3）电池中的剩余电量不大于15（ ）时，汽车将自动报警．那么行驶多少千米后，汽车将自动报
警？
（4）现有一台充满电的新能源汽车，小明驾驶此车行驶了 ，正好到达充电站，此时充电桩充电费
用为 元 （ ），请你帮小明算一算此时将电车充满电需花费多少元？
【答案】（1）
（2）12 （3）375千米
（4）37.44元
【解析】
【分析】本题主要考查了从函数图像上获取信息、求函数解析式、一次函数的应用等知识点，正确求得函
数解析式成为解题的关键．
（1）根据函数图像即可解答；
（2）根据函数图像即可解答；
（3）先求出 与x的函数关系式，再令 ，求得x的值即可；
（4）先求出 的函数值，再求出需要冲的电量，然后再求费用即可．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：由函数图像可知：充满电最多可以行驶 ．
故答案为：500；
【小问2详解】
解：汽车每行驶 消耗 ．
故答案为：12；
【小问3详解】
解：设 与x的函数关系式为： ，
把 代入 ，可得 ，解得： ．
∴此函数解析式 ；
当 时，可得： ，解得： ．
答：行驶375米后，汽车将自动报警．
【小问4详解】
解：当 时， ，
则将电车充满电需花费 ．
答：将电车充满电需花费 元．
24. 如图，在正方形 中， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ，
（2）如图 ，点 、 分别是线段DE、 上的动点， ，连接 ，探究三条线段 、
、 之间满足的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下， ，在 、 运动过程中，若 ，当 取最小值
时， ．（直接写出答案）
【答案】（1）见解析；
（2） ，见解析；
（3） ， ．
【解析】
【分析】（1）根据 得到平行四边形 ，继而得到 ，根据等角
的余角相等证明即可．
（2）将 绕点Ｃ逆时针旋转 得到 ，根据正方形的性质，证明 证明即可．
（3）设 ，则 ，
，根据二次函数确定 最小值，再利用勾股定理计算即可．
【小问1详解】
∵正方形 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：三条线段 、 、 之间满足的数量关系为 ．理由如下：
如图，将 绕点Ｃ逆时针旋转 得到 ，则 ，
∴ ， ， ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问3详解】
解：如图，将 绕点Ｃ逆时针旋转 得到 ，则 ，
∴ ， ， ， ，
∵正方形 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵正方形 ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，四边形 是平行四边形，
∴ ，
设 ，
∵ ，
则
∴
故当 时， 取得最小值32，故 也取得最小值 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
整理，得 ，
解得 （舍去）．
故 ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，构造二次函数求
最值，熟练掌握勾股定理，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，构造二次函数求最值是解题的关键．
25. 如图，抛物线 与x轴交于A、B（A在B的左边）， 与y轴负半轴交
于C，且 ．
（1）求a，c的值；
（2）如图1，点D是抛物线 在第四象限内图像上一点，点P是y轴上一点，P点坐标是
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学科网（北京）股份有限公司，点D是直线 与该抛物线唯一的公共点，直线 与该抛物线交于M，N两点，
若 ，
①求出D点的坐标；
②求出t的值．
（3）在（2）的条件下，如图2，连接 和 ，在抛物线上是否存在点Q使 ，
若存在，求出Q点坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1） ，
（2）① ；② ，
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出A、C两点的坐标，再将A、C两点的坐标代入 中，利用待定系数
法即可求出a、c的值；
（2）①由 ， 得抛物线的表达式为 ．设 ，联立 和
得一元二次方程，由 可求出 的值，进而求出D点的坐标．
②过点 作 轴的平行线交 于点 ，求出E点坐标是 ，则可得 ．设 ， 两点的横坐
标是 ， ，联立 和 ，可得
，则可得 ， ，进而可得 的值，
，即可求出t的值．
（3）由 、 、 可得 、 ，又由
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学科网（北京）股份有限公司， ，得 ，则可得 ，则
，则可得 ．求出直线 的表达式为 ，再与抛物线 联
立，求出交点坐标，即可得Q点的坐标．
【小问1详解】
解： ，
，
，
，
，
把 ， 分别代入 中得，
，
解得： ， ．
【小问2详解】
解：①∵ ， ，
∴抛物线的表达式为： ．
设： ，
联立 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司两个函数只有唯一公共点，
，
，
解得： 或 ，
点 在第四象限，
，
，
∴ ，
解得 ， ，
∴ ．
②过点 作 轴的平行线交 于点 ，
，
点横坐标是2，
点坐标是 ，
，
设： ， 两点的横坐标是 ， ，
第29页/共32页
学科网（北京）股份有限公司联立 ，
得： ，
则 ， ，
，
，
，
，
两边平方得 ，
， ．
【小问3详解】
解：延长 交 轴于点 ，过D点作 轴于H点，设 与y轴的交点为G点．
将 代入 直线的解析式 中得： ，
第30页/共32页
学科网（北京）股份有限公司得 ，
由 得: ，
， ，
又 ，
，
， ，
∵ ，且 ，
，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
第31页/共32页
学科网（北京）股份有限公司设直线 的表达式为： ，
则 ，
解得 ，
∴直线 的表达式为： ，
联立 ，
得 ， ，
，
．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数，二次数与几何的综合运用．用待定系数法求二次函数的表达式，
求三角形面积，全等三角形的判定和性质，求一次函数表达式．正确的作出辅助线，掌握“三角形的面积
水平宽 铅垂高”是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司
