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威猛公考
数量关系刷题讲义
——李威猛B站威猛公考
第一章 解题方法 2
第一节 代入排除法 2
第二节 数字特性法 4
第三节 方程法 6
第四节 赋值法 8
第二章 比例问题 10
第一节 工程问题 10
第二节 经济利润问题 12
第三节 行程问题 14
第三章 计数问题、几何问题 16
第一节 容斥原理 16
第二节 排列组合与概率 18
第三节 几何问题 22
第四章 其他问题 25
第一节 最不利构造 25
第二节 数列构造 26
第三节 时间相关问题 27
第四节 植树、方阵问题 29
第五节 牛吃草问题 31
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数量关系
第一章 解题方法
第一节 代入排除法
代入排除适合题型：
(1)选项信息充分的题目(选项数据比较多，两个及两个以上，优先代入排除)；
(2)多位数问题、余数问题、年龄问题等；
(3)从正面无法入手的题目，一般问题是“可能”或是“不可能”考虑代入排除。
【例 1】孙儿孙女的平均年龄是 10 岁，孙儿年龄的平方减去孙女年龄的平方所得的数
值，正好是爷爷出生年份的后两位，爷爷生于上个世纪40年代。问孙儿孙女的年龄差是多
少岁？（ ）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
【例2】三位运动员跨台阶，台阶总数在100-150级之间，第一位运动员每次跨3级台
阶，最后一步还剩2级台阶。第二位运动员每次跨4级台阶，最后一步还剩3级台阶。第三
位运动员每次跨5级台阶，最后一步还剩4级台阶。则这些台阶总共有（ ）级。
A.119 B.121
C.129 D.131
【例3】某工厂有甲、乙、丙3条生产线，每小时均生产整数件产品。其中甲生产线的
效率是乙生产线的3倍，且每小时比丙生产线多生产9件产品。已知3条生产线每小时生产
的产品之和不到100件且为质数，则乙生产线每小时最多可能生产多少件产品？
A.14 B.12
C.11 D.8
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【例4】有A、B两瓶混合液，A瓶中水、油、醋的比例为3:8:5，B瓶中水、油、醋
的比例为1:2:3，将A、B两瓶混合液倒在一起后，得到的混合液中水、油、醋的比例可能
为：
A.4:5:2 B.2:3:5
C.3:7:7 D.1:3:1
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第二节 数字特性法
奇偶特性：
【基础】奇数±奇数＝偶数；偶数±偶数＝偶数；奇数±偶数＝奇数；
奇数×奇数＝奇数；奇数×偶数＝偶数；偶数×偶数＝偶数。
【推论】
①任意两个自然数的和是奇数，那么差也是奇数；和是偶数，那么差也是偶数。
②任意两个自然数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相
同。
③任意自然数与偶数相乘，必得偶数。
整除特性：
2，4，8整除及其余数判定法则
一个数能被2(或者5)整除，当且仅当末一位数字能被2(或者5)整除；
一个数能被4(或者25)整除，当且仅当末两位数字能被4(或者25)整除；
一个数能被8(或者125)整除，当且仅当末三位数字能被8(或者125)整除。
3，9整除判定基本法则
一个数能被3整除，当且仅当其各位数字之和能被3整除；
一个数能被9整除，当且仅当其各位数字之和能被9整除。
倍数特性：
如果a∶b＝m∶n(m，n互质)，则a是m的倍数；b是n的倍数。
【例1】一个人到书店购买了一本书和一本杂志，在付钱时，他把书的定价中的个位上
的数字和十位上的看反了，准备付 21 元取货。售货员说:“您应该付 39 元才对。”请问书比
杂志贵多少钱？（ ）
A. 20 B. 21
C. 23 D. 24
【例2】在一堆桃子旁边住着5只猴子。深夜，第一只猴子起来偷吃了一个，剩下的正
好平均分成5份，它藏起自己的一份，然后去睡觉。过了一会儿，第二只猴子起来也偷吃了
一个，剩下的也正好平均分成5份，它也藏起自己的一份，然后去睡觉，第三只、第四、五
只猴子也都依次这样做。问那堆桃子最少有多少个？（ ）
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A. 4520 B. 3842
C. 3121 D. 2101
【例3】有一批汽车零件有A和B负责加工，A每天比B少做3个零件。如果A和B
两人合作需要18天才能完成，现在让A先做12天，然后B再做17天，还剩这批零件的
1/6没有完成，这批零件共有多少个？（ ）
A．240 B．250
C．270 D．300
【例4】某企业有甲和乙两个研发部门。其中甲部门有35%的员工有海外留学经历，乙
部门有32%的员工有海外留学经历。已知甲部门员工比乙部门多20人，则两个研发部门最
少可能有多少人没有海外留学经历？
A.132 B.146
C.160 D.174
【例 5】某高校本年度毕业学生 3060 名，比上年度增长 2%。其中本科生毕业数量比
上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校本年度本科生毕业数量
是（ ）
A．1900人 B．1930人
C．1960人 D．1990人
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第三节 方程法
设未知数的实用技巧：
（1）出现“每......”，设“......”为x，方便列式；
（2）为了达到减少未知数的目的，可以设中间变量、份数(有分数、百分数、比例倍
数特征)，其中间变量应该能尽可能多地表示其他的量；
（3）尽量设较小的量为x，尽量设基期为x
【例1】小张买了一批文学读物和工具书准备打包捐赠给贫困学生。他发现如果每个包
里装5本文学读物和3本工具书，则最后剩下8本文学读物；如果每个包里装6本文学读物
和2本工具书，则最后剩下8本工具书。问小张买的文学读物和工具书共有多少本？
A．72 B．80
C．88 D．96
【例 2】某人银行账户今年底余额减去 1500 元后，正好比去年底余额减少了 25%，去
年底余额比前年底余额的120%少2000元。则此人银行账户今年底余额一定比前年底余额：
（ ）
A. 少10% B. 多10%
C. 少1000元 D. 多1000元
【例3】甲、乙、丙、丁四个队共同植树造林，甲队造林的亩数是另外三个队造林总亩
数的1/4，乙队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的1/3，丙队造林的亩数是另外三个队造
林总亩数的一半，己知丁队共造林3900亩，问甲队共造林多少亩?（ ）
A. 9000 B. 3600
C. 6000 D. 4500
【例4】春节期间，省图书馆邀请多位书法老师免费为读者书写春联。现场书写的春联
中有188幅不是A老师书写的，有219幅不是B老师书写的，A、B两位老师今年一共书写
了311幅春联。问B老师今年一共书写了多少幅春联?
A.208 B.171
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C.140 D.126
【例5】A、B、C、D、E是5个不同的整数，两两相加的和共有8个不同的数值，分
别是17、25、28、31、34、39、42、45，则这5个数中能被6整除的有几个?（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
不定方程(组)解题技巧：
①代入排除，将选项作为已知量，看是否满足题意；
②数字特性：奇偶特性、倍数特性等；
③赋“0”法：不定方程组最后问题是求n(x＋y＋z)时可以使用，任意赋值一个未知数为
0进行求解。
【例6】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢
琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所
带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉
丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?（ ）
A. 36 B. 37
C. 39 D. 41
【例7】某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则为：一等
奖得9分，二等奖得5分，三等奖得2分。甲队共有10位选手参赛并且均获奖。现知甲队
最后总分为61分，问该队最多有几位选手获得一等奖？
A.3 B.4
C.5 D.6
【例8】A国、B国都需从C国进口铁矿、铜矿、铝矿三种矿物，每种矿售卖A国和B
国价钱一样。如果铁矿3万吨，铜矿7万吨，铝矿1万吨，需花费315亿美元；如果铁矿4
万吨，铝矿1万吨，铜矿10万吨，需花费420亿美元。A国购买三种矿各10万吨，B国购
买三种矿各8万吨，A国比B国多花多少亿美元？( )
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A．105 B．140
C．175 D．210
第四节 赋值法
1.赋值法适合题型
(1)题目中给出的三个量满足“A＝B×C”的比例形式，如果只给定了其中一个量或者未
给定任何一个量的时候，采用赋值法；
(2)题目未给出明确数值（都是比例关系数值），考虑赋值法；
2.赋值法实用技巧
(1)满足赋值的条件，题目中若有不变的量A，优先赋值不变的量A（赋值为给定数据
的公倍数，最好是最小公倍数）；
(2)满足赋值的条件，题目中若没有不变的量，优先赋值有限定条件的量（赋值 B 或
C，赋值一个便于计算的整数即可）。
【例1】某服装店老板去采购一批商品，其所带的钱如果只买某种进口上衣可买120 件，
如果只买某种普通上衣则可买 180 件。现在知道，最后该老板买的进口上衣和普通上衣的
数量相同，问他最多可以各买多少件？（ ）
A．70 件 B．72 件
C．74 件 D．75 件
【例2】某日停电，房间里同时点燃了两支同样长的蜡烛，两支蜡烛的质量不同，一支
可以维持4小时，一支可以维持7小时。来电时，发现其中一只剩下的长度是另一支剩下长
度的4倍，请问这次停电时间是多久？
A.2.5小时 B.3小时
C.3.5小时 D.3.8小时
【例3】受疫情影响口罩原材料价格上涨，今年这种材料的成本比去年上升了20%。口
罩厂仍然以去年的价格出售，这种口罩每个的盈利下降了 40%，不过销售量比去年增加了
80%，那么今年生产该种口罩的总盈利比去年增加了多少？（ ）
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A．4% B．8%
C．20% D．54%
【例4】某服装专卖店提供的两种促销方式供消费者送样，消费者可以全价购买一件价
格较高的服装，获赠一件价格较低的服装，而所有不参加买赠活动的服装均可享受7折优惠.
张女士准备买3件价格不同的服装，已知其中两件的价格之和是另一种价格的2倍，且任一
件服装的价格不超过另一件的2倍，张女士如果想以最低价格支付应该选择以下哪种方式？
（ ）
A．全价购买最贵的一件 B．全价购买价格居中的一件
C．全价购买最便宜的一件 D．全部享受7折
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第二章 比例问题
第一节 工程问题
1.工程问题核心公式
工作总量＝工作效率×工作时间。
2.解题常用方法
(1)赋值法
①只出现工作时间未出现效率之间关系的，赋值工作总量为工作时间的最小公倍数；
②出现工作效率之间的关系，直接赋值工作效率为简单值。
(2)方程法
不适用赋值法的情况下，通常根据题目中某个特定的比例关系设未知数，然后根据题目
给出的等量关系列方程求解。
【例1】一项工程如果交给甲乙两队共同施工，8天能完成；如果交给甲丙两队共同施
工，10天能完成；如果交给甲丁两队共同施工，15天能完成；如果交给乙丙丁三队共同施
工，6天就可以完成。如果甲队独立施工，需要多少天完成？（ ）
A. 16 B. 20
C. 24 D. 28
【例2】录入员小张和小李需要合作完成一项录入任务，这项任务小李一人需要8小时，
小张一人需要10小时。两人在共同工作了3个小时后，小李因故回了趟家，期间小张一直
在工作，小李返回后两个人又用了1个小时就完成了任务。在完成这项任务的过程中，小张
比小李多工作了几个小时？
A.1 B.1.5
C.2 D.2.5
【例3】甲、乙、丙3个施工队，乙的工效与甲、丙两队合作的工效相等，丙的工效是
甲、乙两队合作工效的四分之一。现有一项工程，据测算，三队合作30个工作日可完成。
如果由甲队单独来做，需要多少个工作日？（ ）
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A. 60 B. 96
C. 100 D. 150
【例 4】某市有甲、乙、丙三个工程队，工作效率比为 3:4:5。甲队单独完成 A 工程需
要25天，丙队单独完成B工程需要9天。现由甲队负责B工程，乙队负责A工程，而丙队
先帮甲队工作若干天后转去帮助乙队工作。如希望两个工程同时开工同时竣工，则丙队要帮
乙队工作多少天？（ ）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
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第二节 经济利润问题
1.经济问题常用公式
(1)利润＝单价－成本；期望利润＝定价－成本；实际利润＝售价－成本；
利润 售价－成本 售价
(2)利润率＝ ＝ ＝ －1；
成本 成本 成本
(3)售价＝定价×折扣(“二折”即售价为定价的20%)；
(4)总＝单×量。
2.解题常用方法
(1)赋值法：当题目中关系式满足A＝B×C，并且只给了其中一个量或者一个量都没有给
出的情况下，可以采用赋值法，若有不变的量优先赋值不变的量，若没有不变的量优先赋值
有限定条件的量。
(2)方程法：若题目中不满足赋值的条件，引入未知数列方程求解。
【例1】某工厂生产冶金模具，去年按定价的80%出售，获得了20%的利润率；今年由
工厂迁址，使得成本下降。按原定价的75%出售，可获得25%的利润率。去年成本与今年成
本之比为（ ）。
A. 4:3 B. 10:9
C. 16:9 D. 75:64
【例2】某商店花10000进了一批商品，按期望获得相当于进价25%的利润来定价。结
果只销售了商品总量的30%。为尽快完成资金周转，商店决定打折销售，这样卖完全部商品
后，亏本1000元。问商店是按定价打几折销售的？（ ）
A. 九折 B. 七五折
C. 六折 D. 四八折
【例3】某商场在进行“满百省”活动，满100省10，满200省30，满300省50。大于
400的消费只能折算为等同于几个100、200、300的加和。已知一位顾客买某款衬衫1件支
付了175元，那么买3件这样的衬衫最少需要（ ）。
A. 445元 B. 475元
C. 505元 D. 515元
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【例4】某市出租汽车的车费计算方式如下:路程在3公里以内（含3公里）为8.00元；
达到3公里后，每增加1公里收1.40元；达到8公里以后，每增加1公里收2.10元，增加
不足 1 公里按四舍五入计算。某乘客乘坐该种出租车交了 44.4 元车费，则此乘客乘该出租
车行驶的路程为（ ）。
A. 22公里 B. 24公里
C. 26公里 D. 29公里
【例5】某市电价为一个自然月内用电量在100度以内的每度电0.5元，在101度到200
度之间的每度电1元，在201度以上的每度电2元。张先生家第三季度缴纳电费370元，该
季度用电最多的月份用电量不超过用电量少月份的 2 倍，问他第三季度最少用了多少度电?
（ ）
A. 300 B. 420
C. 480 D. 512
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第三节 行程问题
1．行程问题核心公式
路程＝速度×时间(s＝v×t)。
2．解题常用技巧
(1)比例法
路程s不变，速度v和时间t成反比例关系，即v ∶v ＝t ∶t ；
1 2 2 1
时间t不变，路程s和速度v成正比例关系，即s ∶s ＝v ∶v 。
1 2 1 2
(2)流水行船问题：
顺流速度＝静水船速＋水速；
逆流速度＝静水船速－水速；
2v v
(3)等距离平均速度＝ 1 2 (其中用v 、v 走的路程必须相同)。
v ＋v 1 2
1 2
(4)相遇追及问题：
相遇距离s＝(v ＋v )×相遇时间t；
1 2
追及距离s＝(v －v )×追及时间t；
1 2
直线型两端出发n次相遇，共同行走距离＝(2n－1)×S=(v ＋v )×相遇时间t；
1 2
直线型单端出发n次相遇，共同行走距离＝(2n)×S=(v ＋v )×相遇时间t。
1 2
(5)环形运动问题：
环形周长s＝(v ＋v )×反向运动时间；
1 2
环形周长s＝(v －v )×同向运动时间；
1 2
环形n次相遇，n×S=(v ＋v )×相遇时间t；
1 2
环形n次追及，n×S=(v －v )×追及时间t；
1 2
【例1】一个长146公里的山区公路分为上坡、平地和下坡三段，其中上下坡的距离相
等。某越野车以上坡20公里每小时、平地30公里每小时、下坡50公里每小时的速度行驶，
跑完该条公路正好用时5小时，问该山路中的平地路程为多少公里？（ ）
A. 40 B. 55
C. 66 D. 75
14B站威猛公考
【例2】有A、B两家工厂分别建在河流的上游和下游，甲、乙两船分别从A、B港口
出发前往两地中间的C港口，C港与A厂的距离比其与B厂的距离远10公里。乙船出发后
经过 4 小时到达 C 港，甲船在乙船出发后 1 小时出发，正好与乙船同时到达。已知两船在
静水中的速度都是32公里/小时，问河水流速是多少公里/小时？
A.4 B.5
C.6 D.7
【例3】一只猎豹锁定了距离自己200米远的一只羚羊，以108千米/小时的速度发起进
攻，2秒钟后，羚羊意识到危险，以72千米/小时的速度快速逃命。问猎豹捕捉到羚羊时，
羚羊跑了多少路程？（ ）
A. 520米 B. 360米
C. 280米 D. 240米
【例 4】在一次航海模型展示活动中,甲乙两款模型在长 100 米的水池两边同时开始相
向匀速航行,甲款模型航行100米要72秒,乙款模型航行100米要60秒,若调头转身时间略去
不计,在12分钟内甲乙两款模型相遇次数是( )次。
A.9 B.10
C.11 D.12
【例 5】环形跑道长 400 米，老张、小王、小刘从同一地点出发，围绕跑道分别慢走、
跑步和骑自行车。已知三人速度分别为1米/秒，3米/秒和6米/秒。问小王第3次超越老张
时，小刘已超越小王多少次？（ ）
A. 3次 B. 4次
C. 5次 D. 6次
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第三章 计数问题、几何问题
第一节 容斥原理
1.容斥原理基本公式
(1)两集合A和B之间的关系：|A∪B|＝|A|＋|B|－|A∩B|
(2)三集合A、B和C之间的关系：
①三集合标准型：
|A∪B∪C|＝|A|＋|B|＋|C|－|A∩B|－|B∩C|－|C∩A|＋|A∩B∩C|；
②三集合非标准型：
|A∪B∪C|＝|A|＋|B|＋|C|－只满足2个条件的情况数－2×满足3个条件的情况数
2.多集合反向构造
题中给出多个集合(≥3)，问题中出现“至少……都……”的情况下，一般采用逆向思考，
利用极端情况来解题，解题步骤为反向、求和、做差。
【例1】某班在筹备联欢会时发现很多同学都会唱歌和乐器演奏，但有部分同学这2种
才艺都不会。具体有4种情况：只会唱歌，只会乐器演奏，唱歌和乐器演奏都会，唱歌和乐
器演奏都不会。现知会唱歌的有22人，会乐器演奏的有15人，两种都会的人数是两种都不
会的5倍。这个班至多有（ ）人。
A.27 B.30
C.33 D.36
【例2】某工作组有12名外国人，其中6人会说英语，5人会说法语，5人会说西班牙
语；有3人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西班牙语，有2人既会说西班
牙语又会说英语；有1人这三种语言都会说。则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的
人多（ ）。
A. 1人 B. 2人
C. 3人 D. 5人
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【例 3】某市对 52 种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有 8 种产品的低温柔度不
合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的
有7种，有1种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？（ ）
A. 37 B. 36
C. 35 D. 34
【例 4】有 135 人参加某单位的招聘，31 人有英语证书和普通话证书，37 人有英语证
书和计算机证书，16 人有普通话证书和计算机证书，其中一部分人有三种证书，而一部分
人则只有一种证书。该单位要求必须至少有两种上述证书的应聘者才有资格参加面试。问至
少有多少人不能参加面试？（ ）
A. 51 B. 50
C. 53 D. 52
【例5】某中学在高考前夕进行了四次语文模拟考试，第一次得90分以上的学生为70%，
第二次是75%，第三次是85%，第四次是90%，请问在四次考试中都是90分以上的学生至
少是多少？（ ）
A. 40% B. 30%
C. 20% D. 10%
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第二节 排列组合与概率
1．排列与组合区分
排列与顺序有关，组合与顺序无关。
2．排列组合基本公式
排列公式：
18
P mn = A mn = n ( n − 1 )
连 乘 m
个
( n − m + 1 )
组合公式： C mn = C nn − m =
n ( n
m
−
1 )
( m
− 1
)
(
n −
m
1
+ 1 )
3．加法原理和乘法原理
加法原理：若完成一件事，可以根据某个条件分为几种情况，各种情况都能独立完成任
务，则将多种情况计算出的结果相加，所得的和为完成这件事的种类数。
乘法原理：若完成一件事，需要划分成多个步骤依次完成，每个步骤内的任务之间没有
交叉，则将每个步骤计算出的结果相乘，所得的积为完成这件事的种类数。
【例1】要求厨师从12种主料中挑选出2种、从13种配料中挑选出3种来烹饪某道菜
肴，烹饪的方式共有7种，那么该厨师最多可以做出多少道不一样的菜肴?（ ）
A. 131204 B. 132132
C. 130468 D. 133456
【例2】某单位要从8名职员中选派4人去总公司参加培训，其中甲和乙两人不能同时
参加。问有多少种选派方法？（ ）
A. 40 B. 45
C. 55 D. 60
【例3】“我是歌手”某场比赛由六名首发歌手和一名踢馆歌手抽签决定出场顺序，且规
定第一位出场和第七位出场歌手由踢馆歌手和上一场比赛第一名歌手抽取，剩余出场顺序由
其他歌手抽取，则本场比赛出场顺序的排列共有多少种情况？（ ）
A. 10080 B. 120
5
2
o
u
C. 240 D. 6000 g
bi
：
号
众
公
源
资B站威猛公考
【例4】甲、乙两个科室各有4名职员，且都是男女各半。现从两个科室中选出4人参
加培训，要求女职员比重不得低于一半，且每个科室至少选一人。问有多少种不同的选法？
（ ）
A. 67 B. 63
C. 53 D. 51
4.排列组合常用技巧和方法
（1）捆绑法：如果题目要求一部分元素必须在一起，需要先将要求在一起的部分视为
一个整体，再与其他元素一起进行排列。
（2）插空法：如果题目要求一部分元素不能在一起，则需要先排列其他主体，然后把
不能在一起的元素插空到已经排列好的元素中间。
（3）隔板法：如果题目表述为一组相同的元素分成数量不等的若干组，要求每组至少
一个元素，则将隔板插入元素之间，计算出分类总数。
（4）错位排列：有n个元素和n个位置，如果要求每个元素的位置与元素本身的序号
都不同，则 n 个元素对应的排列情况分别为：D ＝0 种，D ＝1 种，D ＝2 种，D ＝9 种，
1 2 3 4
D ＝44种，……，D ＝(n－1)(D ＋D )种。
5 n n－2 n－1
（5）环形排列：n个元素围成一圈排列，其排列方式为An－1种。
n－1
【例5】一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进
去2个新节目，有多少种安排方法？（ ）
A. 20 B. 12
C. 6 D. 4
【例6】某市至旱季水源不足，自来水公司计划在下周七天内选择两天停止供水，若要
求停水的两天不相连，则自来水公司共有（ ）种停水方案。
A. 21 B. 19
C. 15 D. 6
5
2
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号
众
19 公
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【例7】某单位共有10个进修的名额分到下属科室，每个科室至少一个名额，若有36
种不同分配方案，问该单位最多有多少个科室？（ ）
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
1．概率问题核心公式
某种情况发生的概率＝满足条件的情况数÷总的情况数；
某种情况发生的概率＝1－某种情况不能发生的概率。
2．分类概率与分步概率
分类概率：某项任务可以在多种情况下完成，则分别求解满足条件的每种情形的概率，
然后将所有概率值相加。
分步概率：某项任务必须按照多个步骤完成，则分别求解特定条件下每个步骤的概率，
然后将所有概率值相乘。
【例8】一家早餐店只出售粥、馒头和包子。粥有三种：大米粥、小米粥和绿豆粥，
每份1元；馒头有两种：红糖馒头和牛奶馒头，每个2元；包子只有一种三鲜大肉包，每
个3元。陈某在这家店吃早餐，花了4元钱，假设陈某点的早餐不重样，问他吃到包子的
概率是多少？
A.30% B.35%
C.40% D.45%
【例9】某单位有3项业务要招标，共有5家公司前来投标，且每家公司都对3项业务
发出了投标申请，最终发现每项业务都有且只有1家公司中标。如5家公司在各项业务中中
标的概率均相等，问这3项业务由同一家公司中标的概率为多少？（ ）
A. 1/25 B. 1/81
C. 1/125 D. 1/243
【例10】两支篮球队打一个系列赛，三场两胜制，第一场和第三场在甲队的主场，第二
场在乙队的主场。已知甲队主场赢球概率为0.7，客场赢球概率为0.5。问甲队赢得这个系列
赛的概率为多少？（ ）
A. 0.3 B. 0.595
5
2
o
C. 0.7 D. 0.795 u
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号
众
20 公
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【例 11】学校要举行夏令营活动，由于名额有限，需要在符合条件的 5 个同学中通过
抓阄的方式选择出两个同学去参加此次活动。于是班长就做了 5 个阄，其中两个阄上写有
“去”字，其余三个阄空白，混合后5个同学依次随机抓取。计算第二个同学抓到“去”字阄的
概率为（ ）
A. 0.4 B. 0.25
C. 0.2 D. 0.1
【例12】有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，但是婚
礼操办者并不知道他们彼此之间的关系，只是随机安排座位。问5对夫妇恰好都被安排在一
起相邻而坐的概率是多少?（ ）
A. 在1‰到5‰之间 B. 在5‰到1%之间
C. 超过1% D. 不超过1‰
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号
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21 公
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第三节 几何问题
常用公式
1.n边形的内角和与外角和
内角和=(n-2)×180o，外角和恒等于360o
2.常用周长公式
正方形周长
22
C
正 方 形
= 4 a ；长方形周长 C
长 方 形
= 2 ( a + b ) ；圆形周长C =2R
圆
3.常用面积公式
正方形面积 S = a 2 ；长方形面积 S = a b ；圆形面积 S
O
R 2 =
三角形面积 S
=
1
2
a h ； 平行四边形面积
S = a h
；
1
梯形面积S = (a+b)h； 扇形面积
梯形 2
S
3
n
6 0
R 2
扇 形
=
4.常用表面积公式
正方体的表面积 = 6 a 2 长方体的表面积=2ab+2bc+2ac；
圆柱的表面积=2Rh+2R2，侧面积 2 R h = ；球的表面积= 4 R 2
5.常用体积公式
正方体的体积 = a 3 ；长方体的体积 = a b c ；球的体积=
4
3
R 3
圆柱的体积 R 2 h = ；圆锥（棱锥）的体积=
1
3
底 面 积 高
常见几何性质
1.三角形不等式性质
两边之和大于第三边
2.等比例放缩性质
若一个几何图形尺度变为原来的m倍，则长度变为原来的m倍，面积变为原来的m2
倍，体积变为原来的m3倍。
注：当m>1时，尺度在按比例放大；当m<1时，尺度在按比例缩小。
3.等量最值原理
周长相同的多个平面图形，越接近于圆，其面积越大；面积相同的多个平面图形，越
接近于圆，其周长越小。
表面积相同的多个立体图形，越接近于球，其体积越大；体积相同的多个立体图形，
越接近于球，表面积越小。
【例1】小贾骑行从起点出发向东骑行3公里后，折向南骑行7公里，又向东骑行5公
里后，再向北骑行1公里。现在，小贾距离起点的直线距离是多少公里?
A.6 B.8
5
2
C.10 D.16 u o
g
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【例2】某学校准备重新粉刷国旗的旗台，该旗台由两个正方体上下叠加而成，边长分
别为1米和2米。问需要粉刷的面积为（ ）。
A. 30平方米 B. 29平方米
C. 26平方米 D. 24平方米
【例3】阳光下，电线杆的影子投射在墙面及地面上，其中墙面部分的高度为1米，地
面部分的长度为7米。甲某身高1.8米，同一时刻在地面形成的影子长0.9米。则该电线杆
的高度为（ ）。
A. 12米 B. 14米
C. 15米 D. 16米
【例4】一个正三角形和一个正六边形周长相等，则正六边形面积为正三角形的：（ ）
A. 倍 B. 1.5倍
C. 倍 D. 2倍
【例5】科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行
走，那么该机器人所走的总路程为多少米？（ ）
开开始始
机机器器人人站站在在原原点点
向向前前走走11米米后后向向右右转转1188°°
否
机器人回到原点
结结束束
A. 20米 B. 15米
C. 12米 D. 10米
【例6】一个长方体木块恰能切割成五个正方体木块，五个正方体木块表面积之和比原
来的长方体木块的表面积增加了200cm²。则长方体木块的体积为多少？
23
2
3
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2
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号
众
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A.625cm³ B.125cm³
C.500cm³ D.750cm³
【例7】某公司要在长、宽、高分别为50米、40米、30米的长方体建筑的表面架设专
用电路管道联接建筑物内最远两点，预设的最短管道长度介于：（ ）
A. 70—80米之间 B. 60—70米之间
C. 90—100米之间 D. 80—90米之间
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24 公
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第四章 其他问题
第一节 最不利构造
1．题型特征
当题目问题中出现“至少……保证……”时即为最不利构造的题目。
2．解题方法
找到最不利的情形或是所有不利的情况，最后答案＝最不利情形数＋1；
最不利情形构造方法：问题中是“至少……保证……”，“保证”后面的值为保证值，保证
值－1＝不利值，所有不利值加起来就是最不利情形数。
【例1】从一副完整的扑克牌中，至少抽出（ ）张牌，才能保证至少6张牌的花色
相同。
A. 21 B. 22
C. 23 D. 24
【例2】在一只暗箱里有黑色的小球 30 只，白色的小球 22 只，蓝色的小球 18 只，大
小都一样，每摸出两个同色小球奖励1分，从暗箱中至少摸出（ ）只小球才能保证至少
得10分。
A. 30 B. 18
C. 20 D. 22
【例3】箱子里有大小相同的3种颜色玻璃珠各若干颗，每次从中摸出3颗为一组，问
至少要摸出多少组，才能保证至少有2组玻璃珠的颜色组合是一样的？（ ）
A. 11 B. 15
C. 18 D. 21
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25 公
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第二节 数列构造
1．题型特征
当题目的问题中出现“最多(少)……最少(多)……”、“排名第……最多(少)……”时即为数
列构造类题目。
2．解题方法
第一步：排序，将需要比较大小或多少的元素进行排序；
第二步：定位，问题问的是哪一个元素的值，设为未知数x；
第三步：构造，根据问题问的x是最多(少)，构造其他元素的值；
第四步：求和，将构造出的所有元素求和，应该等于总数，求解x。
【例 1】现有 100 块糖，要把这些糖分给 10 名小朋友，每名小朋友分得的糖数都不相
同，则分得最多的小朋友至少分得（ ）块糖。
A. 13 B. 14
C. 15 D. 16
【例2】有一座13.2万人口的城市，需要划分为11个投票区，任何一个区的人口不得
超过其他区人口的10%，那么人口最少的地区可能有_____人？
A.9800 B.10500
C.10700 D.11000
【例3】10个箱子总重100公斤，且重量排在前三位的箱子总重不超过重量排在后三位
的箱子总重的1.5倍。问最重的箱子重量最多是多少公斤?（ ）
A. 200/11 B. 500/23
C. 20 D. 25
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26 公
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第三节 时间相关问题
1．星期日期问题
(1)平年与闰年：平年有365天，闰年有366天(多了2月29日)。
口诀：四年一闰，百年不闰，四百年再闰。
(2)大月与小月：
大月31天(1、3、5、7、8、10、12月)；小月30天(4、6、9、11月)；2月平年28(闰年
29)天。
(3)常用技巧：
每连续7(28)天必有1(4)个星期一到星期日；
365÷7＝52……1；每过一个平年，星期增加一天；
366÷7＝52……2；每过一个闰年，星期增加两天
【例1】小王负责甲、乙、丙、丁四个采购基地的采购任务，甲、乙、丙、丁四基地分
别需要每隔2天、4天、6天、7天去采购一次。7月1日，小王分别去了四个基地采购，问
他整个7月有几天不用去采购基地采购？
A.10天 B.11天
C.12天 D.13天
【例2】张先生在某个闰年中的生日是某个月的第四个也是最后一个星期五，他生日的
前一个和后一个月正好也只有4个星期五。问当年的六一儿童节是星期几？（ ）
A. 星期一 B. 星期三
C. 星期五 D. 星期日
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27 公
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钟表问题
(1)表盘一周为360°，分针的旋转速度为6°/分钟，时针的旋转速度为0.5°/分钟；并且时
针与分针成某个角度往往需要考虑到对称的两种情况。
(2)时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°角也是22次。
(3)常用技巧
把表盘想象成360°的环形跑道，分针以速度6°/分钟、时针以速度0.5°/分钟沿着跑道进
行比赛，相当于行程问题中的环形追及问题，即追及的距离S＝(6－0.5)×t。
【例3】一个时钟每小时慢4分钟，照这样计算，早上6:00对准标准时间后，当日晚上
该时钟指向8:00时，标准时间是多少？
A.20:56 B.21:00
C.21:30 D.21:56
【例 4】小张参加一个会议，会议下午 2 点多开始时小张看表发现时针与分针呈直角。
会议开到下午5点多结束时，小张发现时针与分针完全重合。则会议开了（ ）。
A. 3小时整 B. 3小时整或3.5小时
C. 3小时1分到3小时5分之间 D. 3小时25分到3小时29分之间
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28 公
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第四节 植树、方阵问题
植树问题
单边线性植树：棵数＝总长÷间隔＋1，总长＝(棵数－1)×间隔；
单边环形植树：棵数＝总长÷间隔，总长＝棵数×间隔。
【例 1】在一条新修的道路两侧各安装了 33 座路灯，每侧相邻路灯之间的距离相同。
为提高照明亮度，有关部门决定在该道路两侧共加装16座路灯，要使加路灯后相邻路灯之
间的距离也相同，最多有（ ）座原来的路灯不需要挪动。
A. 9 B. 10
C. 18 D. 20
【例 2】施工队给一个周长为 40 米的圆形花坛安装护栏。刚开始，每隔 1 米挖一个洞
用于埋栏杆。后来发现洞的间隔太远，决定改为每隔0.8米挖一个洞。那么，至少需要再挖
几个洞？
A.39 B.40
C.41 D.42
5
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29 公
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方阵问题
(1)N排N列的实心方阵人数为N2人；
(2)方阵最外层人数为4(N－1)人；
(3)无论是方阵还是长方形矩阵，相邻两圈的人数都满足外圈比内圈多8人。
【例3】某次运动会需组织长宽相等的方阵。组织方安排了一个鲜花方阵和一个彩旗方
阵，两个方阵分别入场完毕后又合成一个方阵，鲜花方阵的人恰好组成新方阵的最外圈。已
知彩旗方阵比鲜花方阵多28人，则新方阵的总人数为（ ）。
A.100 B.144
C.196 D.256
【例4】机关运动会上，来自3个单位的参赛者正好站成1×1、2×2到9×9共9个方阵，
且每个方阵的人都来自同一个单位。已知来自甲单位的人组成了1个方阵，来自乙单位的人
组成了6个方阵，且乙单位的参赛者正好是丙单位的2倍。则乙单位有多少名参赛者？
A.108 B.136
C.166 D.184
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第五节 牛吃草问题
牛吃草基本公式：
原有草量＝(牛数－每天长草量)×天数，字母表示为y＝(N－X)×T。
【例1】有一个水池，池底不断有泉水涌出，且每小时涌出的水量相同。现要把水池里
的水抽干，若用5台抽水机40小时可以抽完，若用10台抽水机15小时可以抽完。现在用
14台抽水机，多少小时可以把水抽完？（ ）
A. 10小时 B. 9小时
C. 8小时 D. 7小时
【例2】假设一片牧场的青草一直都是“匀速”自然生长的，该牧场3月初放养有1000
只羊，30天后青草的总量变为3月初的90%，此时牧场又一次性增加了300只羊。12天
后青草的总量变为3月初的80%，如果要让青草在接下来4个月内(每月按30天计算)回到
3月初的总量，则这4个月间该牧场最多放牧( )只羊。
A.800 B.750
C.700 D.600
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参考答案
第一章 解题方法
第一节 代入排除法：AAAC
第二节 数字特性法：CCCBC
第三节 方程法：AABCC、DCD
第四节 赋值法：BCBA
第二章 比例问题
第一节 工程问题：CACB
第二节 经济利润问题：BCBAC
第三节 行程问题：CCCCB
第三章 计数问题、几何问题
第一节 容斥原理：CCDCC
第二节 排列组合与概率：BCCD、ACB、AACAA
第三节 几何问题：CDCBAAD
第四章 其他问题
第一节 最不利构造：CDA
第二节 数列构造：CDB
第三节 时间相关问题：BA、BA
第四节 植树、方阵问题：CB、AB
第五节 牛吃草问题：AC
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32 公
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