1996年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析

更多考研资料分享+qq810958634 1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) 1 (1)【答案】 3 1 − 2 − x  3  1 − x  2 1 1 【解析】y′= x+e 2  ⋅1− e 2 , y′ = 1−  = . 3   2  x=0 3 2 3 (2)【答案】2 【解析】注意到对称区间上奇偶函数的积分性质,有 原式=∫ 1  x2 +2x 1−x2 + ( 1−x2 ) dx=∫ 1  2x 1−x2 +1  dx=0+2=2.     −1 −1 【相关知识点】对称区间上奇偶函数的积分性质： a 若 f(x)在[−a,a]上连续且为奇函数,则∫ f(x)dx=0； −a a a 若 f(x)在[−a,a]上连续且为偶函数,则∫ f(x)dx=2∫ f(x)dx. −a 0 (3)【答案】y =e−x( c cos2x+c sin2x ) 1 2 【解析】因为y′′+2y′+5y =0是常系数的线性齐次方程,其特征方程r2 +2r+5=0有 一对共轭复根r,r =−1±2i.故通解为y =e−x( c cos2x+c sin2x ). 1 2 1 2 (4)【答案】2  k   k  k 【解析】因为x→∞时,sinln1+   ln1+   (k为常数),所以,  x  x x  3  1  3  1 原式=limxsinln1+  −limxsinln1+  =limx⋅  −limx⋅  =3−1=2. x→∞  x x→∞  x x→∞ x x→∞ x 1 (5)【答案】ln2− 2 ′ 1  1 x2 −1 【解析】曲线y = x+ , y =2的交点是( 1,2 ), y′= x+  = ,当x>1时 x  x x2 1 y = x+ 1 (单调上升)在y =2上方,于是 y y = x+ x x 2 2 1  S =∫ x+ −2dx 1  x  2 1  1 =  x2 +lnx−2x =ln2− . 2  2 1 O 1 2 x 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(A) 【解析】方法1：用带皮亚诺余项泰勒公式.由 ( ) ex − ax2 +bx+1  x2 ( )  ( ) =1+x+ +ο x2 − ax2 +bx+1  2!  =( 1−b ) x+   1 −a  x2 +ο ( x2 ) 令 ο ( x2 ) , 2  1−b=0,  1 可得 1 ⇒a = ,b=1.应选(A).  −a =0, 2 2 方法2：用洛必达法则.由 ex −(ax2 +bx+1) ex −2ax−b lim 洛lim =0, x→0 x2 x→0 2x ( ) 有 lim ex −2ax−b =1−b=0⇒b=1. x→0 ex −2ax−b ex −2a 1−2a 1 又由 lim =lim = =0⇒a = . x→0 2x x→0 2 2 2 应选(A). (2)【答案】(C) 【解析】方法一：首先,当x=0时,| f(0)|≤0⇒ f(0)=0. 而按照可导定义我们考察 f(x)− f(0) f(x) x2 0≤ = ≤ = x →0(x→0), x x x f(x)− f(0) 由夹逼准则, f′(0)=lim =0,故应选(C). x→0 x f(x) 方法二：显然, f(0)=0,由| f(x)|≤ x2,x∈(−δ,δ),得 ≤1,x∈(−δ,0)(0,δ),即 x2 f(x) 有界,且 x2 f(x)− f(0)  f(x)  f′(0)=lim =lim ⋅x =0. x→0 x x→0 x2  故应选(C). 方法三：排除法. 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 令 f(x)= x3, f′(0)=0,故(A)、(B)、(D)均不对,应选(C). 【相关知识点】定理：有界函数与无穷小的乘积是无穷小. (3)【答案】(D) 【解析】方法一：排除法.例如 f(x)= x,则(A),(C)不对；又令 f(x)=e−x,则(B)不对. 故应选择(D). 方法二：由 lim f′(x)=+∞,对于M >0,存在 x ,使得当x> x 时, f′(x)>M . 0 0 x→+∞ 由此,当x> x 时,由拉格朗日中值定理, 0 f(x)= f(x )+ f′(ξ)(x−x )> f(x )+M(x−x )→+∞ (x→+∞), 0 0 0 0 从而有 lim f(x)=+∞,故应选择(D). x→+∞ 【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数 f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导, 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ0). π π π π 1 1 首先注意到 f(0)=−1<0, f( )=( ) 4 +( ) 2 >1>0,当0< x< 时,由零值定 2 2 2 2 理,函数 f(x)必有零点,且由 1 − 3 1 − 1 f′(x)= x 4 + x 2 +sinx>0, 4 2 π f(x)在(0, )单调递增,故 f(x)有唯一零点. 2 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 π 1 1 π π 1 1 当x≥ 时, f(x)= x4 +x2 −cosx≥( ) 4 +( ) 2 −1>0,没有零点； 2 2 2 因此, f(x)在(0,+∞)有一个零点.又由于 f(x)是偶函数, f(x)在(−∞,+∞)有两个零点. 故应选(C). 【相关知识点】零点定理：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,且 f(a)与 f(b)异号(即 f(a)⋅ f(b)<0),那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使 f(ξ)=0. (5)【答案】(B) y 【解析】 m y= f(x) y=g(x) O a x x+dx b x 见上图,作垂直分割,相应于[ x,x+dx ]的小竖条的体积微元 dV =π(m−g(x))2dx−π(m− f(x))2dx =π[ (m−g(x))+(m− f(x)) ]⋅[ (m−g(x))−(m− f(x)) ] dx =π[ 2m−g(x)− f(x) ]⋅[ f(x)−g(x) ] dx, 于是 V =∫ b π[ 2m−g(x)− f(x) ]⋅[ f(x)−g(x) ] dx, a 故选择(B). 三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1)【解析】方法一：换元法. 1 u 令 1−e−2x =u,则x=− ln(1−u2),dx= du, 2 1−u2 ln2 3 u2 3 1 1 3 1 1 所以 ∫ 1−e−2xdx=∫ 2 du =∫ 2 ( −1)du = ∫ 2 ( + −2)du 0 0 1−u2 0 1−u2 2 0 1−u 1+u 3 1 1+u 2 3 3 = ln − =ln(2+ 3)− . 2 1−u 2 2 0 方法二：换元法. cost π π 令e−x =sint,则x=−lnsint,dx=− dt ,x:0→ln2⇒t: → , sint 2 6 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 ln2 π  cost π 1  ∫ 1−e−2xdx=∫6cost⋅  − dt =∫2 −sintdt π π 0  sint  sint  2 6 π π 3 =ln(csct−cott) 2 −cost 2 =ln(2+ 3)− . π π 2 6 6 方法三：分部积分法和换元法结合. ln2 ln2 原式=∫ e−x e2x −1dx=∫ e2x −1d(−e−x) 0 0 ln2 ln2 e2x =−e−x e2x −1 +∫ e−x dx 0 0 e2x −1 令ex =t,则x:0→ln2⇒t:1→2, 3 2 dt 3 2 3 原式=− +∫ =− +ln(t+ t2 −1) =− +ln(2+ 3). 2 1 t2 −1 2 1 2 1 【相关知识点】1.∫cscxdx=∫ dx=ln cscx−cotx +C, sinx dx 2. a>0时,∫ =ln x+ x2 −a2 +C. x2 −a2 dx (1−sinx)dx 1−sinx (2)【解析】方法一：∫ =∫ =∫ dx 1+sinx (1+sinx)(1−sinx) cos2 x 1 sinxdx dcosx =∫ dx−∫ =∫sec2 xdx+∫ cos2 x cos2 x cos2 x 1 =tanx− +C. cosx dx dx 方法二： ∫ =∫ 1+sinx x x (cos +sin )2 2 2 x d(1+tan ) sec2 x 2 2 =∫ dx=2∫ =− +C. x x x (1+tan )2 (1+tan )2 1+tan 2 2 2 方法三：换元法. x 2 2tant 2t 令tan =t,则x=2arctant,dx= ,sinx= = , 2 1+t2 1+tan2t 1+t2 1 2 dt 2 2 原式=∫ ⋅ dt =2∫ =− +C =− +C. 2t 1+t2 (1+t)2 1+t x 1+ 1+tan 1+t2 2 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 (3)【解析】这是由参数方程所确定的函数,其导数为 dy dy = dt = 2f(t2)⋅ f′(t2)⋅2t =4tf′(t2), dx dx f(t2) dt d2y d dy dt d dt 1 所以 = ( )⋅ = (4tf′(t2))⋅ =4f′(t2)+4tf′′(t2)⋅2t⋅   dx2 dt dx dx dt dx f(t2) 4 = f′(t2)+2t2f′′(t2).   f(t2) (4)【解析】函数 f(x)在x=0处带拉格朗日余项的泰勒展开式为 f (n)(0) f (n+1)(θx) f(x)= f(0)+ f′(0)x++ xn + xn+1,(0<θ<1). n! (n+1)! 1−x 对于函数 f(x)= ,有 1+x 2 f(x)= −1=2(1+x)−1−1, 1+x f′(x)=2⋅(−1)(1+x)−2, f′′(x)=2⋅(−1)⋅(−2)(1+x)−3, ,, f (n)(x)=2(−1)n⋅n!(1+x)−(n+1) 所以 f (n)(0)=2(−1)n⋅n!, (n=1,2,3), 1−x 2xn+1 故 f(x)= =1−2x+2x2 ++(−1)n2xn +(−1)n+1 (0<θ<1). 1+x (1+θx)n+1 (5)【解析】方法一：微分方程y′′+ y = x2对应的齐次方程y′′+ y′=0的特征方程为 r2 +r =0,两个根为r =0,r =−1,故齐次方程的通解为y =c +c e−x. 1 2 1 2 1 设非齐次方程的特解Y = x⋅(ax2 +bx+c),代入方程可以得到a = ,b=−1,c=2, 3 1 因此方程通解为y =c +c e−x + x3 −x2 +2x. 1 2 3 x3 方法二：方程可以写成(y+ y′)′= x2,积分得y+ y′= +c ,这是一阶线性非齐次微分方 3 0 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 程,可直接利用通解公式求解.通解为 −∫dx x3 ∫dx y =e (∫( +c )e dx+C) 3 0 x3 1 =e−x(∫( +c )exdx+C)=e−x( ∫x3dex +c ex +C) 3 0 3 0 e−x = (x3ex −3∫exx2dx)+c +Ce−x 3 0 x3 x3 = −e−x∫exx2dx+c +Ce−x = −e−x(exx2 −2∫exxdx)+c +Ce−x 3 0 3 0 x3 = −x2 +2e−x(exx−ex)+c +Ce−x 3 0 x3 = −x2 +2x+c +Ce−x. 3 1 方法三：作为可降阶的二阶方程,令y′= P,则 y′′= P′,方程化为P′+P= x2,这是一阶线性 非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为 P=e−x(c +∫x2exdx)=e−x(c +x2ex −2xex +2ex) 0 0 =c e−x +x2 −2x+2. 0 x3 再积分得 y =c +c e−x + −x2 +2x. 1 2 3 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设y*(x)是二阶线性非齐次方程 y′′+P(x)y′+Q(x)y = f(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程 y′′+P(x)y′+Q(x)y =0的通解,则y =Y(x)+ y*(x)是非齐次方程的通解. 2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解 Y(x),可用特征方程法求解：即y′′+P(x)y′+Q(x)y =0中的P(x)、Q(x)均是常数,方程 变为y′′+ py′+qy =0.其特征方程写为r2 + pr+q=0,在复数域内解出两个特征根r,r ； 1 2 分三种情况： (1) 两个不相等的实数根r,r ,则通解为y =Cerx 1 +C er 2 x; 1 2 1 2 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 (2) 两个相等的实数根r =r ,则通解为y =( C +C x ) erx 1; 1 2 1 2 (3) 一对共轭复根r =α±iβ,则通解为y =eαx( C cosβx+C sinβx ) .其中C ,C 1,2 1 2 1 2 为常数. 3.对于求解二阶线性非齐次方程 y′′+P(x)y′+Q(x)y = f(x)的一个特解 y*(x),可用待定 系数法,有结论如下： 如果 f(x)= P (x)eλx,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y*(x)= xkQ (x)eλx m m 的特解,其中Q (x)是与P (x)相同次数的多项式,而k按λ不是特征方程的根、是特征方 m m 程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2. 如果 f(x)=eλx[P(x)cosωx+P (x)sinωx],则二阶常系数非齐次线性微分方程 l n y′′+ p(x)y′+q(x)y = f(x)的特解可设为 y* = xkeλx[R(1)(x)cosωx+R(2)(x)sinωx], m m 其中R(1)(x)与R(2)(x)是m次多项式,m=max { l,n },而k按λ+iω(或λ−iω)不是特征 m m 方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1. 4. 一阶线性非齐次方程y′+P(x)y =Q(x)的通解为 −∫P(x)dx ∫P(x)dx  y =e ∫Q(x)e dx+C, 其中C为任意常数.   x2 y2 (6)【解析】建立坐标系,底面椭圆方程为 + =1. a2 b2 方法一：以垂直于y轴的平面截此楔形体所得的截面为直角三角形, a 其中一条直角边长为x= b2 − y2 , b a 另一条直角边长为 b2 − y2 ⋅tanα, b 故截面面积为 1 a2 S(y)= (b2 − y2)⋅tanα. 2 b2 楔形体的体积为 b a2 b 2 V =2∫ S(y)dy = tanα∫ (b2 − y2)dy = a2btanα. 0 b2 0 3 方法二：以垂直于x轴的平面截此楔形体所得的截面为矩形, 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 b 其中一条边长为2y =2 a2 −x2 , a 另一条边长为x⋅tanα, 故截面面积为 b S(x)=2 x a2 −x2 ⋅tanα, a 楔形体的体积为 a 2b a 2 V =2∫ S(x)dx= tanα∫ x a2 −x2dx= a2btanα. 0 a 0 3 四、(本题满分8分) 【解析】方法一：分部积分法. arctanx arctanx arctanx ∫ dx=∫ dx−∫ dx x2(1+x2) x2 1+x2 1 =∫arctanxd(− )−∫arctanxd(arctanx) x 1 dx 1 分部− arctanx+∫ − arctan2 x x x(1+x2) 2 1 1 x 1 =− arctanx+∫( − )dx− arctan2 x x x 1+x2 2 1 1 1 =− arctanx+ln x − ln(1+x2)− arctan2 x+C. x 2 2 方法二：换元法与分部积分法结合. 令arctanx=t ,则x=tant,dx=sec2tdt, arctanx tsec2t t ∫ dx=∫ dt =∫ dt =∫tcot2tdt x2(1+x2) tan2t(1+tan2t) tan2t =∫t(csc2t−1)dt =∫td(−cott)−∫tdt 1 分部−tcott+∫cotdt− t2 2 cosx 1 =−tcott+∫ dt− t2 sinx 2 1 1 =−tcott+∫ dsint− t2 sint 2 1 =−tcott+ln sint − t2 +C . 2 五、(本题满分8分) 【分析】为了正确写出函数 f(x)的反函数g(x),并快捷地判断出函数g(x)的连续性、可导 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 性,须知道如下关于反函数的有关性质. 【相关知识点】反函数的性质：① 若函数 f(x)是单调且连续的,则反函数g(x)有相同的单 1 调性且也是连续的；② 函数 f(x)的值域即为反函数g(x)的定义域；③ g′(x)= , f′(x) 故函数 f(x)的不可导点和使 f′(x)=0的点x对应的值 f(x)均为g(x)的不可导点. 【解析】(1) 由题设,函数 f(x)的反函数为  1−x − , x<−1, 2   g(x)= 3 x, −1≤ x≤8,  x+16  , x>8.  12  (2) 方法一：考察 f(x)的连续性与导函数.注意 1−2x2, x<−1,  f(x)= x3, −1≤ x≤2,  12x−16, x>2  在(−∞,−1),(−1,2),(2,+∞)区间上 f(x)分别与初等函数相同,故连续.在x=−1,x=2处分 别左、右连续,故连续.易求得 −4x, x<−1,  f′(x)=3x2, −1< x<2, f′(−1)=4, f′(−1)=3, − +   12, x>2 f′(2)=12, f′(2)=12⇒ f′(2)=12. − + 由于函数 f(x)在(−∞,+∞)内单调上升且连续,故函数g(x)在(−∞,+∞)上单调且连续, 没有间断点. 由于仅有x=0时 f′(x)=0且 f(0)=0,故x=0是g(x)的不可导点；仅有x=−1是 f(x)的不可导点(左、右导数∃,但不相等),因此g(x)在 f(−1)=−1处不可导. 方法二：直接考察g(x)的连续性与可导性.注意 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634  1−x − , x<−1, 2   g(x)= 3 x, −1≤ x≤8,  x+16  , x>8,  12  在(−∞,−1),(−1,8),(8,+∞)区间上g(x)分别与初等函数相同,故连续.在x=−1,x=8处分 别左、右连续,故连续,即g(x)在(−∞,+∞)连续,没有间断点. g(x)在(−∞,−1),(−1,8),(8,+∞)内分别与初等函数相同,这些初等函数只有3 x 在 x=0不可导,其余均可导.在x=−1处, ′  1−x  1 ( )′ 1 g′(−1)=−  = ,g′(−1)= 3 x = , −   +  2  4 + 3 − x=−1 x=−1 ⇒ g′(−1)不∃.在x=8处, ′ ( )′ 1  x+16 1 g′(8)= 3 x = ,g′(8)=   = , − + − 12  12  12 x=8 + x=8 ⇒ g′(8) ∃. 因此,g(x)在(−∞,+∞)内仅有x=0与x=−1两个不可导点. 六、(本题满分8分) 【解析】方程两边对x求导,得 3y2y′−2yy′+xy′+ y−x=0,(3y2 −2y+x)y′+ y−x=0. ① 令y′=0,得 y = x,代入原方程得2x3−x2 −1=0,解之得唯一驻点x=1；对①两边再求导 又得 (3y2 −2y+x)y′′+(3y2 −2y+x)′ y′+ y′−1=0. ② x 以x= y =1,y′=0代入②得 1 2y′′−1=0, y′′ = >0, x=1 2 x=1是极小点. 【相关知识点】1.驻点：通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点,临界点). 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 2.函数在驻点处取得极大值或极小值的判定定理. 当函数 f(x)在驻点处的二阶导数存在且不为零时,可以利用下述定理来判定 f(x)在 驻点处取得极大值还是极小值. 定理：设函数 f(x)在x 处具有二阶导数且 f′(x )=0, f′′(x )≠0,那么 0 0 0 (1) 当 f′′(x )<0时,函数 f(x)在x 处取得极大值； 0 0 (2) 当 f′′(x )>0时,函数 f(x)在x 处取得极小值. 0 0 七、(本题满分8分) 【解析】首先证明∃ξ∈(a,b),使 f(ξ)=0： 方法一：用零点定理.主要是要证明 f(x)在(a,b)有正值点与负值点.不妨设 f′(a)>0, f′(b)>0. f(x)− f(a) 由 lim = f′(a)= f′(a)>0与极限局部保号性,知在x=a的某右邻域, x→a+ x−a + f(x)− f(a) >0,从而 f(x)>0,因而∃x ,b> x >a, f(x )>0；类似地,由 f′(b)>0可证 x−a 1 1 1 ∃x ,x < x 0,或 f(x)<0, 不妨设 f(x)>0.由导数定义与极限局部保号性, f(x)− f(a) f(x) f′(a)= f′(a)= lim = lim ≥0, + x→a+ x−a x→a+ x−a f(x)− f(b) f(x) f′(b)= f′(b)= lim = lim ≤0, − x→b− x−b x→b− x−b 从而 f′(a)f′(b)≤0,与 f′(a)f′(b)>0矛盾. 其次,证明∃η∈(a,b), f′′(η)=0： 由于 f(a)= f(ξ)= f(b)=0,根据罗尔定理, ∃η∈(a,ξ),η ∈(ξ,b),使 f′(η)= f′(η)=0；又由罗尔定理, 1 2 1 2 ∃η∈(η,η)⊂(a,b), f′′(η)=0. 1 2 注：由 f′(x )>0可得：在(x −δ,x ), f(x)< f(x )；在(x ,x +δ), f(x)> f(x ).注意 0 0 0 0 0 0 0 更多考研资料分享+qq810958634更多考研资料分享+qq810958634 由 f′(x )>0得不到 f(x)在(x −δ,x +δ)单调增的结果！ 0 0 0 【相关知识点】1.零点定理：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,且 f(a)与 f(b)异号(即 f(a)⋅ f(b)<0),那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使 f(ξ)=0. 2．函数极限的局部保号性定理：如果lim f(x)= A,且A>0(或A<0),那么存在常数δ>0, x→x 0 使得当0< x−x <δ时,有 f(x)>0(或 f(x)<0). 0 3. 函数极限局部保号性定理的推论：如果在x 的某去心邻域内 f(x)≥0(或 f(x)≤0),而 0 且lim f(x)= A,那么A≥0(或A≤0). x→x 0 4.罗尔定理：如果函数 f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导； (3) 在区间端点处的函数值相等,即 f(a)= f(b), 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ