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一、数学重要公式
1.罗尔定理
如果函数𝑓(𝑥)满足：
（1）在闭区间[a，b]上连续；
（2）在开区间（a，b）内可导；
（3）在区间端点处的函数值相等，即 f(a)=f(b)，那么在（a，b）内至少有一点 ξ(a<ξ<b)，
使得F′(ξ) =0。
2.拉格朗日中值定理
如果函数𝑓(𝑥)满足：
（1）在闭区间[a，b]上连续；
（2）在开区间（a，b）内可导；
那么在（a，b）内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得f(a)-f(b)= 𝑓′(ξ)(a-b)
3.泰勒公式
①𝑒𝑥 =1+𝑥+
𝑥2
+⋯+
𝑥𝑛
+
𝑒𝜃𝑥
𝑥𝑛+1,0<𝜃 <1,𝑥 ∈(−∞,+∞)
2! 𝑛! (𝑛+1)!
②sin𝑥 =𝑥− 𝑥3 + 𝑥5 −⋯+(−1)𝑚−1 𝑥2𝑚−1 +(−1)𝑚 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 𝑥2𝑚+1,0<𝜃 <1
3! 5! (2𝑚−1)! (2𝑚+1)!
③cosx= 1− 𝑥2 + 𝑥4 −⋯+(−1)𝑚 𝑥2𝑚 +(−1)𝑚 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 𝑥2𝑚+2,0<𝜃 <1
2! 4! (2𝑚)! (2𝑚+2)!
4.定积分性质
性质2（积分的保序性）：如果在区间[a，b]上恒有f(x)≥g(x)，则
𝑏 𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥。
𝑎 𝑎
性质3（积分估值定理）：如果函数𝑓(𝑥)在区间[a，b]上有最大值M和最小值m，则
𝑏
𝑚(𝑏−𝑎)≤∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤𝑀(𝑏−𝑎)。
𝑎
性质4 (积分中值定理)：如果函数𝑓(𝑥)在积分区间[a，b]上连续,则在[a，b]上至少有一点ξ，
使得
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝑓(𝜉)(𝑏−𝑎)，ξ∈(𝑎，𝑏).
𝑎
性质5 (对称区间上奇偶函数的积分性质)：设𝑓(𝑥)在对称区间[-a，a]上连续，则有：
𝑎
如果𝑓(𝑥)为奇函数，则∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =0；
−𝑎
𝑎 𝑎
如果𝑓(𝑥)为偶函数，则∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =2∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
−𝑎 05.平面方程与直线方程
平面方程的基本形式
（1）点法式：A(x-x )+ B(y-y )+ C(z-z )=0其中已知点（x ，y ，z ），法向量𝑛⃗ =(𝐴，𝐵，𝐶)。
0 0 0 0 0 0
（2）一般式：Ax＋By＋Cz＋D＝0(A、B、C不全为零)。
直线方程的基本形式
𝐴 𝑥+𝐵 𝑦+𝐶 𝑧+𝐷 ＝0
（1）一般式（交面式）：{ 1 1 1 1 ，其中（𝐴 ，𝐵 ，𝐶 ）与（𝐴 ，𝐵 ，
1 1 1 2 2
𝐴 𝑥+𝐵 𝑦+𝐶 𝑧+𝐷 ＝0
2 2 2 2
𝑖 𝑗 𝑘
𝐶 ）不平行。直线方向向量：𝑆 =𝑛⃗⃗⃗⃗ ×𝑛⃗⃗⃗⃗ =|𝐴 𝐵 𝐶 | = (𝐵 𝐶 −𝐶 𝐵 )𝑖−(𝐴 𝐶 −𝐶 𝐴 )𝑗+
2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2
𝐴 𝐵 𝐶
2 2 2
(𝐴 𝐵 −𝐵 𝐴 )𝑘
1 2 1 2
𝑥＝𝑥 +𝑡𝑙
0
（2）参数式：{𝑦＝𝑦 +𝑡𝑚
0
𝑧＝𝑧 +𝑡𝑛
0
其中（𝑥 ，𝑦 ，𝑧 ）为直线L上的定点，（l，m，n）为直线L的方向向量。
0 0 0
（3）对称式（标准式）：
𝑥−𝑥0＝ 𝑦−𝑦0＝ 𝑧−𝑧0
𝑙 𝑚 𝑛
。
6.混合积
设已知三个向量a，b，c，先作两向量a和b的向量积a×b把所得到的向量与第三个向量c
再作数量积(a×b)·c，这样得到的数量叫做三向量a、b、c的混合积，记作[a，b，c]。
𝑎 𝑎 𝑐
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑥 𝑦 𝑧
[a，b，c]= (a×b)·c=𝑐 | 𝑦 𝑧 |-𝑐 | 𝑥 𝑧 |+𝑐 | 𝑥 𝑦 |=|𝑏 𝑏 𝑏 |
𝑥 𝑏 𝑏 𝑦 𝑏 𝑏 𝑧 𝑏 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧
𝑦 𝑧 𝑥 𝑧 𝑥 𝑦 𝑐 𝑐 𝑐
𝑥 𝑦 𝑧
几何意义：以向量a，b，c，为棱长的平行六面体的体积。
用途：判断两直线是否共面或异面。
7.曲面方程
球面：球心在点（x ,y ,z ），半径R的球面方程可写成(x－x )2＋(y－y )2＋(z－z )＝R2。
0 0 0 0 0 0
柱面：面平行于哪个轴，方程中就不含哪个轴的量。
圆锥面：绕哪个轴旋转，哪个轴字母不变，另一个字母变成±根号下其他两个字母平方和。
𝑥2 𝑦2 𝑧2
椭球面：标准方程： + + ＝1(a,b,c>0)
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑥2 𝑦2 𝑧2
单叶双曲面：标准方程： + − ＝1(a,b,c>0)
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑥2 𝑦2 𝑧2
双叶双曲面：标准方程： + − ＝−1(a,b,c>0)
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑥2 𝑦2
椭圆抛物面： + ＝2𝑧(p,q>0)
𝑝 𝑞𝑥2 𝑦2
双曲抛物线： − =z(p，q>0)
𝑝 𝑞
8.曲面方程的切平面方程
设曲面方程为F(x，y，z)=0，M (x ，y ，z )是曲面上的一点，并设函数F(x，y，z)的偏导数
0 0 0 0
在该点连续且不同时为零。法向量𝑛⃗ =(A，B，C) 就是该曲面在点M 处的一个法向量，其中A=F ′(x ，
0 x 0
y ，z )，B=F ′(x ，y ，z )，C=F′(x ，y ，z )，则切平面方程为A(x-x )+B(y-y )+C(z-z )=0。通过
0 0 y 0 0 0 z 0 0 0 0 0 0
点M (x ，y ，z )且垂直于切平面的直线为曲面在该点的法线，则法线方程为
𝑥−𝑥0
=
𝑦−𝑦0
=
𝑧−𝑧0。
0 0 0 0
𝐴 𝐵 𝐶
9.向量组的线性相关
方法一：定义法判断
给定向量组A： 𝜶 ，𝜶 ，…，𝜶 ，如果存在不全为零的数𝑘 ，𝑘 ，…，𝑘 ，使𝑘 𝜶 +
1 2 𝑚 1 2 𝑚 1 1
𝑘 𝜶 +⋯+𝑘 𝜶 =0，则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关；若当且仅当𝑘 =
2 2 𝑚 𝑚 1
𝑘 =⋯=𝑘 =0时上式成立，则称向量组A线性无关。
2 𝑚
方法二：定理法（求秩）
定理2：向量组A: 𝜶 ，𝜶 ，…，𝜶 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=( 𝜶 ，
1 2 𝑚 1
𝜶 ，…，𝜶 )的秩小于向量的个数m，向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m。
2 𝑚
10. 极大线性无关向量组
设有向量组A，如果在A中能选出r个向量𝜶 ，𝜶 ，…，𝜶 ，满足：
1 2 𝑟
（1）向量组A : 𝜶 ，𝜶 ，…，𝜶 线性无关；
0 1 2 𝑟
（2）向量组A中任意r+1个向量(如果有的话)都线性相关；
则称向量组A : 𝜶 ，𝜶 ，…，𝜶 是向量组A的一个最大线性无关向量组。
0 1 2 𝑟
方法：化成行阶梯型矩阵，找非零行的第一个非零元所在的列向量。
11.线性方程组
定理1：n元齐次线性方程组Ax＝0
（1）R(A)＝n↔ Ax＝0有唯一解，零解；
（2）R(A)<n↔ Ax＝0有非零解。
定理2：n元非齐次线性方程组Ax＝b
（1）无解的充分必要条件是R(A)< R(A, b)；
（2）有唯一解的充分必要条件是R(A)＝ R(A, b)＝n；
（3）有无穷多解的充分必要条件是R(A)＝ R(A, b)<n。
12.特征值与特征向量
求特征值，特征向量的方法：
（1）先由特征方程|M-λE|＝0求出矩阵M的特征值λ（共几个）。
i（2）再由求（M-λE）x＝0基础解系，即矩阵M属于特征值λ 的线性无关的特征向量。
i i
13.施密特正交化
设α ，α ，…α 是向量空间V（V⊆Rn）的一个基，要求V的一个标准正交基。也就是要找
1 2 r
一组两两正交的单位向量e ，e ，…e，使e ，e ，…e 与α ，α ，…α 等价，这样的过程叫做
1 2 r 1 2 r 1 2 r
把基α ，α ，…α 标准正交化，也叫做施密特（Schmidt）正交化。
1 2 r
设V的一个基为a ，a ，…a，令
1 2 r
b = a ，
1 1
b = a −
[𝑏1 ，𝑎2]
𝑏 ，
2 2 [𝑏1 ，𝑏1] 1
…………
b= a−
[𝑏1 ，𝑎𝑟]
𝑏 −
[𝑏2 ，𝑎𝑟]
𝑏 −⋯−
[𝑏𝑟−1 ，𝑎𝑟]
𝑏
r r [𝑏1 ，𝑏1] 1 [𝑏2 ，𝑏2] 2 [𝑏𝑟−1 ，𝑏𝑟−1] 𝑟−1
再将b ，b ，…b，单位化，即取e =
𝒃𝟏
，e =
𝒃𝟐
，…e=
𝒃𝒓
就是V的一个标准正交基。
1 2 r 1 2 r
‖𝒃𝟏 ‖ ‖𝒃𝟐 ‖ ‖𝒃𝒓 ‖
二、教学技能模板
教学设计——关于教学目标及教学重难点设计
作答模板：
知道（了解 / 掌握）……（概念、定理、公理、性质等）是什么；证明……（性质）；理
解……是如何推导形成的；应用……解决实际问题。
（学生）通过……（观察、猜想、操作、探究、归纳、类比、讨论交流等）活动，提高……能
力（如空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理，发现、提出、分析和解决问
题）。
激发求知欲，培养良好的数学思维习惯、勤于动脑的学习习惯。
学生在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的探讨，享受运用知识解决问题的成功体验，
增强学好数学的信心。通过这节课的学习，感受到……（知识点）既来源于生活，又能解决生活中的实际问题。
教学重点：探究……（概念、性质、法则）；理解 / 掌握……（定理 / 性质推导过程）；应
用……解决实际问题。
教学难点：理解……（定理 / 性质推导过程、概念）；应用……解决实际问题。
教学设计——关于教学过程设计
一、______导入
教师活动：教师运用多媒体展示（播放）生活图片（视频、音频）。接着引导学生认真观察和
思考，提出问题：__________________（注意：要求必须阐述老师出示的具体问题是什么）。
学生活动：就教师的提问展开独立思考或讨论得出结论。
教师活动：根据学生得出的回答，再次提出启发式问题，从而引入本节课新课——________。
设计意图：精彩的开头，不仅能使学生很快由抵制状态进入兴奋状态，提高数学的学习兴趣，
还能使学生把知识的学习当成自我需要，使教学任务顺利完成。(注意审题要仔细，是否要求
写明设计意图)。
二、新课讲授
环节一：初步感知，以旧引新
教师活动：教师提出_______等目标问题。教师组织学生根据目标问题四人小组讨论或同桌之
间交流，教师进行巡视指导，交流讨论结束后，找学生代表回答讨论结果，教师评价，学生互
评或学生自评。
学生活动：根据问题探究出结论或预设：____________（一般都是直接默写相关知识点） 。
环节二：自主探究，得出结论
教师活动：教师再次抛出问题________，给予一定的时间，组织学生思考抢答或自主探究再回
答，教师针对学生的回答结果作相应评价或选择学生自评或互评。
学生活动：通过自主探究，学生回答出____________。
设计意图：通过设置问题，层层提问，利用提问法和引导法引导学生进行问题的思考并进一步
的讨论，体现了教师的主导性作用；学生采用小组讨论和自主探究等多种学习方法，进行问题
的探究，提高学生之间的合作交流意识、语言表达和信息共享意识，为提高解决问题的能力奠
定基础，这也是体现学生主体性作用的一种重要学习方法。
环节三：总结归纳，知识应用
教师活动：教师梳理和总结本就新课的重难点：_________（直接抄知识与技能目标即可）。
三、巩固练习。
教师通过多媒体展示有关_______（本节课知识点）不同类型不同层次的练习题目，引导学生
独自思考并作答，或者找同学代表到黑板上进行板演，完成后教师针对结果给予评价并总结。设计意图：通过设置不同层次的练习题，不仅能使学生的新知得到及时巩固，也使学生思维能
力得到有效提高，能更好的将知识学以致用。
四、归纳小结。
教师引导学生可以从知识方面，能力方面或情感等方面畅谈本节课的收获，针对学生的回答，
相机评价并总结。
设计意图：在小结环节采用先让学生自评，接着让学生互评，最后教师表扬全班学生，不仅是
为了检验学生对本节课重点内容的清楚认识，更能进一步增强学生的自信心和荣誉感，使他们
更加热爱数学。
五、作业布置。
学生完成书后剩余练习题或者自主设计一道能用本节课知识解决的生活实际问题。
设计意图：对本节课知识的再巩固，再认识。
案例分析——考点1：教学目标的评析
答题模板：【根据题目从以下7点中选择3~4点进行回答即可。】
①反映数学的学科特点，反映当前学习内容的本质。题中的教学目标包含了_______（概括材料），
符合/违背了这一要求。
②格式要规范，用词要考究。题中的教学目标包含了_______（概括材料），符合/违背了这一要
求。
③注意教学目标的层次性。一般包含四基、四能和情感态度，题中的教学目标包含了__________
（概括材料），符合/违背了这一要求。
④实在具体，不浮华。要防止教学目标“高大全”，有的甚至是“假大空”，目标“远大”、
空洞，形同虚设。题中的教学目标包含了________（概括材料），符合/违背了这一要求。
案例分析——考点2：教学过程的评析（宏观评析）
从以下5方面着手作答：
①导入：教学过程中导入方式的选择是否合理？优点和缺点各是什么，形成的课堂氛围如何。
②教学方式与作用体现：教师：教学方法、引导者、合作者、组织者
③学习方式与作用体现：学生：学习方式、学生为主体
④点评：学生的回答是否得到及时评价，评价的主体和评价的内容上是否多样化，评价结果和
评价过程是否得到体现；
⑤提问技巧：在数学教学活动中，教师的课堂提问是否层层递进，是否具有启发性。
（微观评析：从要求的角度进行评析）
类型一：仅从“导入”角度进行评析
（优点）案例中 X 老师采用了情境导入/故事导入/图片导入， 该种导入方式打破数学传统枯
燥的学习模式，激发学生学习兴趣，进一步让学生体会数学源于生活和生活有着密切的联系。
也同时增强学生的学习动机，活跃课堂气氛，达到课未始，兴已浓的效果，符合《初中 / 高中
数学课程标准》中“导入环节要启发学生思考，激发学生学习兴趣，培养良好数学情感”的课
程基本理念。案例中，X 老师首先提出 ________，接着引导学生观察和思考，最后引出新课课
题，符合学生生理和心理发展的特点。
（优点）案例中 X 老师采用了复习导入，通过复习学生之前学习过的知识，检验学生知识点掌
握情况的同时，建立新旧知识的联系，提高学生的知识迁移能力和解决问题的能力；也为接下
来学习新知知识起到铺垫作用。该种导入方式不仅能增强学生的学习动机，活跃课堂气氛，达
到课未始，兴已浓的效果，符合《初中 / 高中数学课程标准》中“导入环节要启发学生思考，
激发学生学习兴趣，培养良好数学情感”的课程基本理念。案例中，X 老师首先带领学生复习
________（具体知识点），通过学生的回答，检验之前知识的学习效果，通过提问启发式问题，
引发学生的思考，最后引出新课课题，符合学生生理和心理发展的特点。
（缺点）案例中 X 老师采用了直接导入， 该种导入方式具有简单直接，节省时间的特点，但
同时由于不能体现层层递进式提出问题，激发学生学习兴趣，启发学生思考，进而引入新课的
特点。故违背了《初中 / 高中数学课程标准》中“导入环节要启发学生思考，激发学生学习兴
趣，培养良好数学情感”的课程基本理念。案例中，X 老师直接提出 ________（概括材料），
对学生的引导性思考不足，很明显不能引起学生共鸣，不符合学生生理和心理发展的特点。
类型二：从“教学方式”角度评析。
优点：（1）创设情境问题。案例中 X 老师创设了合适的教学情境，层层递进式的提出问题，引
发学生的思考，有利于激发学生的学习兴趣和动机。资
源
公
众
号
：
b
ig
u
o
25
（2）多种教学方法融合。案例中X老师在教授__________知识点的过程中，选择讲授法、提问
法和小组讨论法等多种方法进行教学，有利于学生更深入的理解和掌握知识，增加课堂的良好
师生关系，达到良好的教学效果。
（3）教学评价是数学教学活动的重要组成部分。评价的主要目的是全面了解学生数学学习的过
程和结果，激励学生学习和改进教师教学。
①评价内容多样化。评价应以课程目标和内容标准为依据，体现数学课程的基本理念，全面评
价学生在知识技能、数学思考、问题解决和情感态度等方面的表现。评价不仅要关注学生的学
习结果，更要关注学生在学习过程中的发展和变化。案例中X老师________（概括材料），符合
要求。②评价形式多样化。应采用多样化的评价方式，恰当呈现并合理利用评价结果，发挥评
价的激励作用，保护学生的自尊心和自信心。③评价促进教学。通过评价得到的信息，可以了
解学生数学学习达到的水平和存在的问题，帮助教师进行总结与反思，调整和改进教学内容与
教学过程。
缺点：（1）案例中X老师在教授________知识点时，只采用了_______（教学方法）这一种教学
方法，虽然该种教学方法有__________（写该方法的优点），但是_________（写该方法的缺点），
而且只采用一种教学方法，违背《高中数学课程标准》中多种教学方法相融合的课程基本理念，
不利于达到良好的学习效果。因此，应当予以修正。
（2）案例中 X 老师在学生作答后，并没有针对学生的表现给予及时评价，违背了《义务教育/
高中数学课程标准中》提出的教学评价是数学教学活动的重要组成部分。这样不利于全面了解
学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。
类型三：从“师生角色”角度评析
优点：从教师角度分析：（1）首先，教师在教学过程中，准确把握教学内容的数学实质和学生
的实际情况，确定合理的教学目标，设计一个好的教学方案，起到良好的组织者作用，案例中，
X教师________（概括材料），符合了该原则；其次，教师在教学活动中，选择适当的教学方式，
因势利导、适时调控、努力营造师生互动、生生互动、生动活泼的课堂氛围，形成有效的学习
活动，案例中，X教师________（概括材料），符合了该原则；再次，在教学过程中，教师以平
等、尊重的态度鼓励学生积极参与教学活动，启发学生共同探索，与学生一起感受成功和挫折、
分享发现和成果，案例中，X教师________（概括材料），符合了该原则。
从学生角度分析：学生是数学学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不断得到发展。学生
获得知识，必须建立在自己思考的基础上，可以通过接受学习的方式，也可以通过自主探索等
方式；学生应用知识并逐步形成技能，离不开自己的实践。案例中，学生________（概括材料），
符合了该原则。
缺点：【以上优点没有体现的，就可以反过来作为缺点】资
源
公
众
号
：
b
ig
u
o
25
案例分析——考点3：错误归因评析
错误之处：具体哪一步错误，要具体指出来。
错误原因：
学生在解题的过程中（的解法）出现以上错误的，有以下几个原因：
① 学生在__________的过程中出现了________错误（概括材料）属于知识方面的原因，是对
_________的（概念不清，算理不明 / 口算不熟，笔算不准）
② 在_______的过程中出现了_________错误（概括材料）属于心理方面的原因，属于________
（感知比较粗略（粗心）/ 缺乏耐心 / 思维定式干扰）。
案例分析——考点4：改进建议
如果我是该名教师，遇到这样的情况我会进行如下的操作：
（1）知识呈现的改进建议
要认真分析学生出错的原因，找准错误的根源，对症施教。加强……(计算法则、运算顺序、运
算律、运算性质、公式、定理和性质）的教学，理解……(算理、推导过程）。因此我会向学生
提出：①___________；②____________。组织学生前后讨论或独立思考，利用课堂中的问题解
决学生的困惑。
（2）教学方式的改进建议
教师要认真研究学生，树立正确的学生观。由于_______（本题知识点）在学生以往的学习中已
经接触，从而可以利用旧知引出新知，顺应了学生思维发展的规律，并且重视创设情境和知识
总结，帮助学生构建数学体系。
（3）必要的巩固练习
最后在学生掌握该知识的基础上要进行分层练习，形式多样，讲究实效，做到能围绕重点难点
强化练习，易混易错的的对比练习。
