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《数学》考前模拟卷
2024 年教师资格（高中）《数学》考前模拟卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.极限 （ ）的值为（ ）。
∞
2
A.2 → lim + +2 −3− +1
B.-2
C.0
D.∞
2.已知向量a=（ ,1）,b=（x，-2）,若a//b,则2a-b=（ ）。
A.（ ,2）
3
B.（ ,2）
4 3
C.（ ,4）
2 3
D.（ ,4）
2 3
4 3
3.已知函数f（x） ,则x=1是函数f（x）的（ ）。
2
x −1
A.可去间断点 = x−1
B.跳跃间断点
C.第二类间断点
D.连续点
4.设A= ,且向量α 是 的特征向量,则常数k=（ ）。
2 1 1 1
−1
1 2 1 = k
A.1
1 1 2 1
B.-2
C.-1
D.1或–2
5.已知多项式 （ ） ， （ ） 那么f（x），g（x）
=（ ）。 3 2 3 2
f x =x −2x −x+2 g x =x +4x +5x+2
A.（x+1）2
B.（x-1）
C.（x+2）
D.（x+1）
6.若 （ ， ， ） λ 是正定二次型,则λ的取值范围是
（ ）。 2 2 2
f x1 x2 x3 =2x1+3x2+x3+4x1x2−4 x2x3
A.（ ， ）
1 1
−3 3
B.（ ， ）
1 1
−2 2
1《数学》考前模拟卷
C. ，
1 1
−4 4
D. ，
1 1
−3 3
7.数学不仅是运算和推理的工具,还是表达和交流的（ ）。
A.语言
B.工具
C.手段
D.基本思想
8.对于函数的教学,以下说法不正确的是（ ）。
A.对函数的学习不能停留在抽象的讨论,要突出函数图形的地位
B.函数是最重要、最基本的数学模型,要加深对函数思想的理解与应用
C.在学生头脑中留下几个具体的最基本的函数模型就可以了
D.结合具体的数学内容采用多种模式,让学生经历函数知识的形成与应用过程
二、简答题（本大题共5小题,每小题7分,共35分）
9.（1）任意正数 ， ， ,且 =1,证明： ≤ 。（4分）
（2）任意正数 ，x1 ,x证2 明x3： x1+x2+x3 。（x31分+）x2+ x3 3
3
2 2 3 3
y1 y2 1+ 2 > 1+ 2
10.求过直线 ： 且平行于直线 ： 的平面方程。
+2 −1 −1 −2
1 3= −1 = 2 2 2 = 1 =−1
11.设 （ ， ， ， ） ， （ ， ， ， ） ， （
T T
α1 = 1 2 −1 −2 α2 = 1 1 −1 −1 α3 = −
， ， ， ） ，β （ ， ， ， ） ，β （ ， ， ， ） ， （
T T T
1 ，0 ，1 −）1， （1 =β ，2β5）（−1 ，−5分别表示2由= ，2 5，1和−5， W1 =L
生成的线性空间）。
α1 α2 α3 W2 = 1 2 W1 W2 α1 α2 α3 β1 β2
（1）求 的维数；（3分）
（2）求 的一个基。（4分）
1∩ 2
1∩ 2
2《数学》考前模拟卷
12.简述数学中常见的学习方式。
13.简述高中数学课程结构的设计依据。
三、解答题（本大题共1小题，10分）
14.证明：函数f（x）= 在[0， ∞）上一致连续。
+
四、论述题（本大题共1小题，15分）
15.论述教师的组织者、引导者与合作者作用主要体现在那些方面。
五、案例分析题（本大题共1小题，20分）
16.已知a,b,c R,a+b+c=0,a+bc-1=0,求a的取值范围。
（1）用“方程思想”方法、“函数思想”方法分别求解；（6分）
∈
（2）以这道题为例,说说“一题多解”的意义；（7分）
（3）你认为高中数学教师需要掌握的教学技能有哪些?（7分）
六、教学设计题（本大题共1小题，30分）
17.“基本不等式”是高中数学教材中的重要内容。教师在教学中,应基于课程标准和学生学
情,确定教学目标,实现教学重点,突破教学难点,设计教学方法、教学过程、师生活动和教学
评价等。
请完成下列任务：
（1）设计“基本不等式”的教学目标；（9分）
3《数学》考前模拟卷
（2）写出“基本不等式”的教学重点和难点；（6分）
（3）设计“基本不等式”的教学过程及设计意图。（15分）
4《数学》考前模拟卷
2024年教师资格（高中）《数学》考前模拟卷参考答案与解析
一、单项选择题
1.【答案】B
【解析】 （ ）= 。
∞ ∞ （ ） ∞
2 −4 −4
故本题选 B→ li 。 m + +2 −3− +1 → lim + 2 +2 −3+ +1 = → li + m 1+ 2 − 3 2+1+ 1 =−2
2.【答案】D
【解析】因为a//b,所以 ×（-2）-x=0,解得x=-2 ,则2a-b=（2 -（-2 ）,2-（-2））
=（4 ,4）。故本题选D。
3 3 3 3
3.【答案】A
3
【解析】因为函数f（x） 在x =1处无定义,且 （ ） ，
2 2
x −1 x −1
所以x=1是函数f（x）的可=去x−间1 断点。故本题选A。l i→m1f x =l i→m1 x−1 =l i→m12x= 2
4.【答案】D
【解析】因为向量α是 的特征向量,所以α也是A的特征向量,则存在一个常数λ,有Aα
−1
λ
= =λα= λ ，所以K= ，解得k=1或-2.故本题选D。
3+k 2+2
λ
2+2k k 3+
5.【3+答k案】D
【解析】因为 （ ） =（x+1）（x-1）（x-2），
3 2
（ ） f x =x −=（2x −x）+2（ ），所以（f（x），g（x））=（x+1），故
2
3 2
g本题x选D=。x +4x +5x+2 x+1 x+2
6.【答案】B
【解析】因为 （ ， ， ） λ 是正定二次型，所以该二
2 2 2
f x1 x2 x3 =2x1+3x2+x3+4x1x2−4 x2x3
次型的矩阵 A= λ 的顺序主子式都大于零，即 2 0， =2 0，
2 2 0
λ
2 2
2 3 −2 > >
2 3
0 −2 1
λ λ ，解得 λ 。故本题选B。
2 2 0
λ 2 1 1
2 3 −2 =2−8 >0 −2 < <2
7.【答案】A
0 −2 1
【解析】《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》在描述数学课程性质时指出,
数学不仅是运算和推理的工具,还是表达和交流的语言。
8.【答案】C
【解析】在必修课程中,要求学生学习函数的概念和性质,总结研究函数的整体方法,掌握一
些具体的基本函数,探索函数的应用。故C项说法不正确。
二、简答题
9.【参考答案】
（1）要证 ≤ ，只需要证 （ ） 3，
即证 1，因为 2 ， 2 ， 2 ，
x1+ x2+ x3 3 x1+x2+x3+2 x1x2+ x1x3+ x2x3 ≤
所以 =1，则 ≤ 成立。
x1x2+ x1x3+ x2x3 ≤ x1+x2 ≥ x1x2 x1+x3 ≥ x1x3 x2+x3 ≥ x2x3
x1x2+ x1x3+ x2x3 ≤x1+x2+x3 x1+ x2+ x3 3
5《数学》考前模拟卷
（2）要证 ，只需要证（ ） （ ），即证
3 3 2
2 2 3 3 2 2 3 3 6 4 2
1+ 2 > 1+ ，2 整理得 1+ 2 > 1+ 2 1+3 1 2+
2 4 6 6 3 3 6
3 1 （2+ 2 > 1+2 1 2）+ 2 （ ） 0，因为 、 均为正数，
2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1+3 2−2 1 2 = 1 2 2 1+2 2+ 1− 2 > 1 2
所以上式恒成立，则 成立。
3
2 2 3 3
10.【参考答案】 1+ 2 > 1+ 2
直线 过点（0，-2,1）,且一个方向向量为 =（3，-1,2）,直线 的一个方向向量为 =
1 1 ，2 ，2
（2,1,-1）。设所求平面的一个法向量为n=（x,y,z） ,则 即
， ，
1 =0 3 − +2 =0
令x=1,得y=-7,z=-5,所以n=（1,-7,-5）,又点（0，-2,1） 在2 所=求0平面上2, 所+以 所−求 平=面0 方
程为x-7（y+2）-5（z-1）=0,即x-7y-5z-9=0。
11.【参考答案】
（1）由交空间的维数公式知，dim（ ）=dim +dim -dim（ ），其中dim =r
1∩ 2 1 2 1+ 2 1
（ ， ， ）= =3，dim =r（β ，β ）= =2，dim（ ）=r
α1 α2 α3 2 1 2 1+ 2
（ ， ， ，β ，β ）= =4，所以dim（ ）=3+2-4=1。
（2）由（1）知dim（ ）=1，所以交空间的一个基只有一个非零向量，不妨设为
α1 α2 α3 1 2 1∩ 2
（ ≠0），则存在一组实数 ， ， ， ， ，有
1∩ 2 α0
（α0， ， ， ， 不全为a1 0），a（2 a，3 b，1 b，2 a，1α1+a2）α2即+为a3α线3性=方b1程β1组+（b2β，2 =α，0
T
a，1 a，2 a）3X=b01的b一2组非零解。计算a1得a线2性a方3程−组b的1 一−组b非2 零解为（6， 2，0，α1 α2
α3，3 1β）1 ，β则2 （ ， ， ， ） ，−即为 −
T T
的一个基。 α0 =6α1−2α2+0α3 =3β1−β2 = 4 10 −4 −10 1∩ 2
12.【参考答案】
（1）自主学习：自主学习关注的是学习者的主体性与能动性,是学生自主而不受他人支配的
学习方式。
（2）探究学习：探究学习也称为发现学习,学习过程除了被动接受知识外,还存在大量的发
现与探究等认识活动。
（3）合作学习：合作学习是指学生以小组为单位进行学习的方式,合作学习的展开往往是在
自学基础上进行小组合作学习和小组内讨论。
13.【参考答案】
（1）依据高中数学课程理念,实现“人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上得到
不同的发展”，促进学生数学学科核心素养的形成和发展。
（2）依据高中课程方案,借鉴国际经验,体现课程改革成果,调整课程结构,改进学业质量评
价。
（3）依据高中数学课程性质,体现课程的基础性、选择性和发展性,为全体学生提供共同基
础,为满足学生的不同志趣和发展提供丰富多样的课程。
6《数学》考前模拟卷
（4）依据数学学科特点,关注数学逻辑体系、内容主线、知识之间的关联,重视数学实践和
数学文化。
三、解答题
14.【参考答案】
先证明f（x）= 在[1， ∞）上一致连续,事实上,对任意ε 0,取 ,则当 ， [1，
∞）且 时,有
+ > 1 = 1 2 ∈
+ 1（− 2）< 1（ ） 。
1− 2 1− 2
其次,因为 f（ x 1 ）=− 在[ 0 2 ， ∞=）上 1 连−续 , 2 所=以在 1[+0, 22]≤上连2续,<由康 1 托−尔 2 定<理 可知,f（x）
= 在[0,2]上一致连续,因此对上述ε 0,存在 0,使得当 ， [0,2]且
+
时,有
> 2 > 1 2 ∈ 1− 2 < 2
（ ） （ ） 。
因此,取 ， ， ,对任 意 的1 −， 2 ，< ∞ ,当 时,必有 ，
1
同时落在 [=0, 2] 或 [ 11， 2∞）2上,因此,由上 1述 证2明∈,[0有 + ) 1− 2 < 1 2
（ ） （ ） 。
+
这就证明了f（x）= 在[0， ∞）上一致连续。
1 − 2 <
四、论述题
+
15.【参考答案】
教师的组织者作用主要体现在：教师应当准确把握教学内容的数学实质和学生的实际情况,
确定合理的教学目标,设计一个好的教学方案；在教学活动中,教师要选择适当的教学方式,
因势利导,适时调控,努力营造师生互动、生生互动、生动活泼的课堂氛围,形成有效的学习
活动。
教师的引导者作用主要体现在：通过恰当的问题,或者准确、清晰、富有启发性的讲授,引导
学生积极思考,求知求真,激发学生的好奇心；通过恰当的归纳和示范,使学生理解知识、掌
握技能、积累经验、感悟思想；关注学生的差异,用不同层次的问题或教学手段,引导每一个
学生都能积极参与学习活动,提高教学活动的针对性和有效性。
教师的合作者作用主要体现在：教师以平等、尊重的态度鼓励学生积极参与教学活动,启发
学生共同探索,与学生一起感受成功和挫折,分享发现和成果。
五、案例分析题
16.【参考答案】
（1）①用“方程思想”方法求解
由a+b+c=0知,c=-（a+b）,代入a+bc-1=0化简得b2+ab+1-a=0,把它看作关于b的一元二次
方程,根据题意知该方程有实数根,即有△=a2-4（1-a）=a2+4a-4≥0,解不等式得a≥-2+2
或a≤-2-2 。
2
②用“函数思想”方法求解
2
由a+b+c=0知,c=-（a+b）,代入a+bc-1=0化简得b2+ab+1-a=0,即b2+1=a（1-b），当b=1
时等式显然不成立,所以b≠1,a= 。考虑函数f（x）= （x≠1），求出该函数的值域
2 2
+1 +1
1− 1−
（ ） （ ）
即可。（ ） ，当 时，（ ）
2
2
+1 −1 +2 −1 +2 2
f x = 1− = 1− =1− +1− −2 1− >0 f x =1−
；当 时， （ ） 。因此，a
2 2
≥+-21+−2 −或2≥a≤2 -22-−22 。 1− < 0 f x =1− +1− −2≤−2 2−2
2 2
7《数学》考前模拟卷
（2）“一题多解”是指从不同角度、不同方位审视分析题目,运用不同的解法求得相同的结
果的思维过程。“一题多解”的意义主要有以下几个方面。
①可以帮助学生打破解题方法单一的思维定式,充分调动学生思维的积极性,提高其综合运
用已学知识解题的技巧和思维的灵活性。
②可以使学生灵活掌握知识间的纵横联系,从而找到各种解法的联系与区别,加深学生对已
学知识的理解和宏观掌握。
③学生经历多角度思考不同解题方法的过程,可以帮助学生拓宽解题思路,从而培养学生的
发散思维,提高其应变能力和分析、解决问题的能力。
④一道数学题通过联想、类比、推广等变式方法,可以得到一系列新的题目,这是“一题多变”。
“一题多解”与“一题多变”联系密切,这两者在学生数学思维的培养上相辅相成。
本题中,在求未知参数的取值范围时用了两种方法：一种运用“方程思想”,通过代入消元（消
去c）将等式转化为含有未知参数a的关于未知数b的一元二次方程,再根据已知条件并结
合根的判别式得出关于未知参数a的不等式,从而求出a的取值范围；另一种是运用“函数
思想”,先通过消元法消去参数c,再将等式转化为自变量为b,因变量为a的函数形式,最后
运用分类讨论方法求出函数的值域,即为a的取值范围。两种方法分析问题的角度不同,结果
相同。综合分析两种方法,均先用代入消元法消去未知参数c,前者结合方程根的判别式求出
结果,后者通过对函数值域的分析求出结果。通过运用这两种方法解题,一方面,可以让学生
通过对
这两种方法的比较,感受函数与方程之间的联系与区别；另一方面,可以使学生感受“一题多
解”的思维过程，帮助其拓展思路,提升多角度分析、解决问题的能力。
（3）高中数学新课程标准,即《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的实施,
目的在于因材施教,充分发挥学生学习的自主性,促进学生生动活泼地发展,使学生形成独立
思考、自主学习的能力,使其具有科学精神,形成科学态度,进一步发展其创新精神和实践能
力。教师已经不再是传统意义上的只扮演教授学生相应知识的角色了。因此,面对素质教育
的深入人心和新课程标准的全面启动,教师要更新教育思想,具备全新的教学观念。此外,教
师还要在新课程标准的要求下,具备以下几点必须要掌握的技能。
①教师要具备扎实的专业能力,精通高中数学知识,具备高中数学知识的教学,以及相应教学
策略选取的能力,这是最重要的一点；
②教师要具备相应的数学思维,并在教学的过程中渗透和贯彻；
③教师要具备数学应用意识,具备将现实生活中的实际问题抽象成数学问题进行建模的能力,
从而在教学过程中使学生感受数学在生活中的应用,渗透给学生数学的应用意识；
④教师要具备带动课堂气氛,引导学生自主学习,激发学生学习数学的兴趣,帮助学生形成一
定的价值观,培养学生相应数学素质的能力。
六、教学设计题
17.【参考答案】
（1）教学目标
①掌握基本不等式的形式以及推导过程,能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问
题。
②经历基本不等式的推导过程,加深对基本不等式的理解和认识,提高逻辑推理能力和思维
能力。
③在猜想论证的过程中,激发学生的求知欲及探索欲,强化数形结合思想,养成独立思考、合
作交流的学习习惯,体会数学的价值。
（2）教学重点：理解并探索基本不等式,运用基本不等式解决实际问题。
教学难点：基本不等式的运用。
8《数学》考前模拟卷
（3）教学过程
一、创设情境,引入新知
教师使用多媒体展示某届国际数学家大会,其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,
颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客。教师提出问题,要求学生在这个
图中找出一些相等和不等关系。
【设计意图】通过实例抛出疑问让学生思考,引起学生注意力。
二、设置问题,探索新知
教师引导学生动手操作,把“风车”造型抽象成数学模型,在正方形ABCD中有4个全等的直
角三角形。顺势提出问题,设直角三角形的两条直角边的长为a ,b（a≠b）,那么正方形的
边长为多少?面积为多少?4个直角三角形的面积和为多少呢?
学生举手回答,教师汇总答案： ； ；2ab。
学生观察4个直角三角形的面积和2正方2形的面2 积,2容易得到一个不等式： 2ab。教
+ +
师提问,什么时候这两部分面积相等呢? 2 2
+ >
小组讨论,得到答案：当直角三角形变成等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH变成一个点,
这时有 2ab。
教师带领2学生2一起总结： a,b R,有 ≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立。特别地,如果
+ =
2 2
a>0,b >0,用 , 分别代∀表上∈式中的 a+, b,可得 ①,当且仅当a=b时,等号成立。
+
≤ 2
通常称不等式①为基本不等式。其中， 叫作正数a,b的算术平均数, 叫作正数a,b的
+
几何平均数。 2
【设计意图】通过提问使学生加深对基本不等式的理解,并引导学生深层次地参与到教学过
程中,培养学生的数学思维能力。
9《数学》考前模拟卷
三、巩固新知,提升练习
教师设置练习题帮助学生巩固新学知识,学生独立完成,教师订正答案。
【设计意图】课堂练习可以进一步地加深学生对所学知识的理解和掌握。
四、归纳小结,布置作业
教师带领学生回顾基本不等式的形式以及推导过程。布置作业。
【设计意图】对新知内容进一步整合,可以帮助学生进一步理解和记忆新知。通过课后习题,
让学生进一步地思考和运用新知。
10
