文档内容
《数学》三色速记手册
四、对称矩阵与反对称矩阵（二次型）
五、伴随矩阵—A必须是方阵
【考点七】逆矩阵定义及其求法
可逆矩阵定义：
设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使
AB=BA=E
成立，则称方阵A可逆，并称B是A的逆矩阵,简称逆阵，记作A-1=B。于是有
AA-1=A-1A=E
可逆矩阵说明：
1、可逆矩阵一定是方阵，且适合其逆阵B也一定是方阵；
2、若矩阵A与B满足AB=BA=E，则A与B都可逆，并且互为逆矩阵，即A-1=B，B-1=A；
3、零矩阵是不可逆矩阵；单位矩阵E是可逆矩阵，且其逆矩i阵是其本身。
可逆矩阵具有下列性质：
【考点八】矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵A的初等行（列）变换：
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矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换，统称为矩阵的初等变换。
显然，矩阵的三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换。
新概念-等价矩阵：
（2）性质
矩阵之间的等价关系具有下列基本性质：
新概念---行阶梯形矩阵
从第一行画出一条阶梯线，下方全是零，（1）每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数；
（2）阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元。
具备这样特点的矩阵叫做行阶梯型矩阵。
新概念---行阶梯型矩阵—判定
（1）每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数；
（2）阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元。
新概念---行阶梯型矩阵—化简具体步骤
1、判定第一行第一列元素是否为1，不是先用初等变换为1或者把首行是1的那一行换过
来；
2、以第一行为基础，把每行的首元素化0；
3、画阶梯线，每个阶梯只有一个非0行，如不满足，再以每个台阶为基准，将下面阶梯元
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素化为0；
4、出现0多的某行在上方，也可以先换到下面再进行2-3步。
又一个新概念---行最简形矩阵
行阶梯形矩阵中非零行的第一个元素均为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0。具
有这样特点的矩阵叫做行最简形矩阵。
【考点九】矩阵的秩
定义：若矩阵A中有一个非零r阶子式，且所有r+1阶子式全为零，则矩阵A的秩为r，记
做R（A）=r。
求法：通过初等行变换将给定矩阵化为行阶梯形矩阵，则其中非零行的行数即为给定矩阵的
秩。
性质：乘积的秩不超过其因子的秩。矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。其本质是线性方程
组中有效方程的数目。
求法：
1、行阶梯形变换：通过初等行变换将给定矩阵化为行阶梯形矩阵，则其中非零行的行数即
为给定矩阵的秩。
2、方阵，求行列式的值。
【考点十】n维向量
一、n维向量的概念
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4、列向量组与行向量组的概念
n维向量的运算
满足的运算法则：
【考点十一】线性相关
【考点十二】极大线性无关组及其求法
极大线性无关组的求法-列摆行变换
1、构成
2、对A初等行变换，化成阶梯型矩阵B
3、在B的每一个台阶上去一个非零元所在列对应的向量，构成向量组即极大线性无关组。
（一般规则：同一个台阶取左边第一列）
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极大线性无关组不唯一
【考点十三】线性表示及其求法
定义：设有两个向量组
若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。若向
量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。
定理：设有两个向量组
向量组B能用向量组A表示的充分必要条件
则
定理：设有两个向量组
向量组B能用向量组A表示的充分必要条件
则
已知：
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第三步：用消元法解线性方程组
【考点十四】齐次线性方程组
线性方程组的一般形式为
当b≠0时，称（1）为非齐次线性方程组。
当b=0时，称（1）为齐次线性方程组。
若线性方程组有解就称其为相容。
若线性方程组无解就称其为不相容。
考点：
1、是否有解；
2、基础解系；
3、通解；
4、解的性质。
（1）齐次线性方程组定义
设n元齐次线性方程组
2、基础解系
2、齐次线性方程组的具体求法
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①系数矩阵A化简成行最简形，判断是否有非零解；
②若有非零解，确定基础解系含有的向量个数n-R(A)；
③写出同解方程组，给自由未知数赋值，求出其他解；
④写出其解：通解形式
3、解的性质
（1）方程组（a）的两个解的和还是方程组（a）的解；
（2）方程组（a）的一个解的倍数还是方程组（a）的解。
【考点十五】非齐次线性方程组
考点：
解的情况
基础解系
2、线性方程组有解的判别定理
线性方程组（b）有解的充分必要条件为它的系数矩阵
2、方程组Ax=b（A为m×n矩阵）解的情况：
3、非齐次线性方程组的具体求法
①系数矩阵A化简成行最简形，判断是否有解；
②若有解，先求其齐次线性方程组的通解
4、解的性质
（1）非齐次线性方程组（b）的两个解的差是它的齐次线性方程组（a）的解；
（2）非齐次线性方程组（b）的一个解与它的齐次线性方程组（a）的一个解之和还是非齐
次线性方程组（b）的解。
【考点十六】特征值与特征向量
特征值与特征向量
一般给定矩阵M（方阵），若存在一个非零向量α（列向量）和实数λ，满足Mα=λα，则
称λ为矩阵M的特征值，α为方阵M的属于特征值的特征向量。
条件：Mα=λα
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结论：n阶矩阵的特征值的个数为n个（包括重根）
特征多项式定义：
特征值与特征向量的解法（针对简答题）：
【考点十七】相似矩阵
相似矩阵定义：
若A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称矩阵A与B相似，可逆矩阵P被
称为把A和变成B的相似变换矩阵。
性质：判定是否相似
若n阶矩阵A与对角矩阵 相似，则λ就是A的n个特征值。
定理1：
若n阶方阵A与对角矩阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A的n个线性无关的特
征向量。
推论：如果n阶矩阵A的n个特征值互相不相等，则A与对角矩阵相似。
定理2：若n阶方阵A与对角矩阵（即A能对角化）相似的充分必要条件是A的每个特征值
中，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数。
判定相似对角化步骤：
①求A的特征值；
【考点十八】内积、施密特正交化、正交矩阵
说明：
（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基。
（2）若把向量空间V看作向量组，那么V的基就是向量组的最大无关组，V的维数就是向
量组的秩。
向量的内积定义：
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内积的运算性质：
向量的长度
向量的夹角：
正交的概念
【考点十九】斯密特正交化
向量组正交化方法
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【考点二十】正交矩阵
定义：设A为n阶矩阵，若AAT=E或者E=AAT（I为单位矩阵），则称A为正交矩阵。
正交矩阵判定方法
①定义法；
②同时满足以下两个条件：
□正交矩阵的每一行（列）的N个元素的平方和为1；
□两个不同行（列）的对应元素乘积之和为0。
【考点二十一】二次型
二次型定义
正定二次型判定
正定二次型的充分必要条件：
（1）A的特征值全为正；
（2）A的各阶主子式都是正；
即
负定二次型判定：奇负偶正
负定二次型的充分必要条件：
（1）A的奇数阶主子式全为负；
（2）A的偶数阶主子式全为正；
即
【考点二十二】矩阵与线性变换的关系
（一）矩阵与线性变换
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在平面直角坐标系x0y内，很多几何变换都具有下列形式：
其中系数a，b，c，d均为常数。我们把形如（3）的集合变换叫做线性变换，（3）式叫做这
个线性变换的坐标公式。P1（x1，y1）是P（x，y）在这个线性变换作用下的像。
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