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2 0 2 4 年 教 师 资 格 证
高等代数6+ 7
讲师：吉吉
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2024FENBI三、特征值和特征向量
P100-101
选
一般地，给定矩阵M，若存在一个非零向量α和实数λ，满足Mα=λα，则
称λ为矩阵M的特征值，α为矩阵M属于特征值的特征向量，上述定义表明，
特征向量在矩阵变换后的像与原向量是共线的。
例：Mα=λα，α≠ 𝟎
1 2 2 1 1
2 1 2 1 =5 1 ，
2 2 1 1 1
1
则称5是M的一个特征值， 1 为M的属于特征值5的一个特征向量。
1
2024FENBI
结论：n阶矩阵的特征值个数为n个（包括重根）P102
考点类型一：给定矩阵求特征值个数
2024FENBI考点类型二：定义法求已知矩阵的特征值 𝑴𝜶 = 𝝀𝜶,𝜶 ≠ 𝟎 P102
2024FENBIP103
考点类型三：定义法求已知矩阵的特征向量 𝑴𝜶 = 𝝀𝜶,𝜶 ≠ 𝟎
2024FENBIP100
选
一般地，给定矩阵M，若存在一个非零向量α和实数λ，满足Mα=λα，则
称λ为矩阵M的特征值，α为矩阵M属于特征值的特征向量。上述定义表明，
特征向量在矩阵变换后的像与原向量是共线的。
2024FENBIp101
考点类型四：共线性
2024FENBI选+简答
考点总结：特征值与特征向量
α≠ 𝟎
考点：
1. 求特征值个数
2. 求矩阵特征值-定义法
2024FENBI
3. 求特征向量-定义法
4. 共线性P101
选
1 0 0
M= 2 1 0
0 0 2
2024FENBIP101
选
2024FENBIP101
选
2024FENBIP103
考点类型四：给定矩阵求特征值或特征向量
1 0 2
设𝐴 = 0 3 0 ，求矩阵𝐴的特征值
2 0 1
2024FENBIP101
选
1 2
𝑀 =
5 4
2024FENBIP101
选
1 2
𝑀 =
5 4
2024FENBI考点类型四：给定矩阵求特征值或特征向量
2024FENBI
P103解：
①
−1
𝜂 = 0 ;
1
1
即方程组 𝐴 + 𝐸 𝑥 = 0的基础解系有1个解向量，所以矩阵A的属于特征值-1的特征向量
2024FENBI
为𝑘 𝜂 , 𝑘 ≠ 0
1 1 1 P103②
0 1
令 𝑥 = 1, 𝑥 = 0, 𝜂 = 1 ， 令 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝜂 = 0 ；
2 3 3
2 3 2
0 1
0 1
即方程组 𝐴 − 3𝐸 𝑥 = 0的基础解系有两个线性无关的解向量 𝜂 = 1 ， 𝜂 = 0 ，
2 3
0 1
2024FENBI
所以矩阵A的属于特征值3的特征向量为 𝑘 𝜂 + 𝑘 𝜂 , （𝑘 , 𝑘 不同时为0） 。
1 2 2 3 1 2
P103Mα=λα, α≠ 𝟎
|M-λE|=0
【注】不同特征值的特征向量一定线性无关
2024FENBIP103
四、相似矩阵
选
2024FENBIP104 选
2024FENBI选
P104
2024FENBIp104
步骤：
1.求A的特征值
2.K重根𝜆 ，验证：
𝑖
求 𝐴 − 𝜆 𝐸 𝑥 = 0
𝑖
2024F基础E解系的N解向量B个数 I
𝑛 − 𝑅 𝐴 − 𝜆 𝐸 = 𝐾
𝑖p104
2024FENBI步骤：
1.求A的特征值
（1）若A的特征值互不相同，则A一定可以相似对角化；
（2）若A有K重特征值，则验证；
2.K重根𝜆 ，求齐次线性方程 𝐴 − 𝜆 𝐸 x = 0
𝑖 𝑖
（1）若基础解系的解向量个数有𝐾个，即对应𝑛 − 𝑅 𝐴 − 𝜆 𝐸 = 𝐾，则A可相似对角
𝑖
化；
（2）若基础解系的解向量个数< 𝐾，则A不能相似对角化；
2024FENBI2024FENBI
P1052024FENBI
P105总结
步骤：
1.求A的特征值
2.K重根𝜆 ，验证：求 𝐴 − 𝜆 𝐸 𝑥 = 0
2024𝑖 FEN𝑖 BI
基础解系的解向量个数第四节 第一节 内积、施密特正交化、正交矩阵
二 二次型
矩 阵 与 变 换
三 矩阵与线性变换的关系
2024FENBI真题链接
初中真题
高中真题
2017年上：2
2017年上：2
2017年下：5、14
2017年下：5、9
2018年下：6、10
2018年下：6、10
2019年下：9
2019年下：6、9
2023年上：3、4
2024FENBI一、内积、施密特正交化、正交矩阵
P106
简+解
（一）内积
1 1
𝜀 = 1 ，𝜀 = 2
1 2
2024FENBI
3 4P106
简+解
（一）内积
3
𝜀 = 4
1
5
2024FENBIp106
（一）内积
1 1
𝜀 = 1 ，𝜀 = −2
1 2
1 1
2024FENBIp107
2024FENBIP107
（二）向量空间
2024FENBIP107-P108
（二）线性空间
2024FENBIP108
（三）施密特正交化
简+解
2024FENBIP108
简+解
（二）施密特正交化
第一步：求出V的一个基
第二步：施密特正交化方法
第三步：将正交基单位化
2024FENBI1 2 0
设向量组A为𝜀 = 2 ，𝜀 = 1 ，𝜀 = −3 ，求它的一组正交基。
1 2 3
1 4 2
2024FENBI1 2 0
例：设向量组A为𝜀 = 2 ，𝜀 = 1 ，𝜀 = −3 ，求它的一组正交基。
1 2 3
1 4 2
2024FENBI2024FENBI
P108P109
2024FENBI2024FENBI
P108P109
2024FENBI选 P109
（三）正交矩阵
0 −1
𝜀 =
1 0
2024FENBI选 P109-P110
（三）正交矩阵
2.正交矩阵性质：
3.正交矩阵判别方法：
（1）定义法
（2）正交矩阵每一行（列）n个元素的平方和等于1，
2024FENBI
两个不同行（列）的对应元素乘积之和等于0.P110
考点：给一个矩阵，判断是否可以正交
正交矩阵每一行（列）n个元素的平方和等于1，
2024FENBI
两个不同行（列）的对应元素乘积之和等于0.二、二次型
选
P111
2024FENBI2024FENBI
1
A
C
2
A
C
．
．
．
．
．
．
（
（
2
x
3
2
x
2
0
1
x
0
1
x
1
2
1
1
2
1
7
+
x
7
+
2
-
2
−
高
x
下
+
x
2
3
）
2
-
2
x
初
2
x
−
2
5
2
）
+
x
.
2
下
x
3
3
−
5
2
2
+
列
. 下
x
x
2
x
多
3
2
列
x
3
2
项
3
多
+
+
式
项
1
x
为
式
3
正
为
定
二
二
次
次
型
型
的
的
是
是
（
（
B
D
B
D
）
．
．
．
．
．
） ．
x
3
x
3
2
1
x
2
1
x
1
1
+
x
+
2
2
+
2
x
+
x
2
2
1
2
x
2
x
2
x
+
2
x
−
2
x
3
x
x
3
2
3
−
2
x
−
+
4
3
x
4
2
+
1
x
x
x
5
1
1
3
x
x
3
2
2 + x
3
2
考点：判定二次型
例：
补充P111 选
2024FENBI 考点：改写二次型、求二次型的秩
练一练：
2024FENBIP111-P112
选
1 2 3
（三）正定二次型
𝐴 = 2 1 4
3 4 1
2024FENBI选
P112
（四）负定二次型
奇负偶正
2024FENBI 考点：正定、负定二次型的判定
2024FENBI
P112 考点：正定、负定二次型的判定
2024FENBI
P113总结一下
二、二次型
考点1：二次型判定
考点2：改写二次型、求二次型的秩R（f）
考点3：正定二次型判定
步骤：
2024FENBI
（1）前提：矩阵为对称阵；
（2）计算各阶主子式，判定正负。三、矩阵与线性变换的关系
P114
简
𝑥 = 𝑥 + 2𝑦
1
（一）矩阵与线性变换 例：ቊ
𝑦 = 3𝑥 + 4𝑦
1
2024FENBIP114
（一）矩阵与线性变换
2024FENBIP114
2024FENBI2024FENBI选
P115
（二）常见的几何变换与矩阵的关系
2024FENBIP115
2024FENBIP116
选
（二）常见的几何变换与矩阵的关系
2024FENBIP116
2024FENBIP117
（二）常见的几何变换与矩阵的关系 选
2024FENBIP117
选
（二）常见的几何变换与矩阵的关系
2024FENBIP117
2024FENBIP117
2024FENBIP118
（二）常见的几何变换与矩阵的关系 选
2024FENBIP118
选
（二）常见的几何变换与矩阵的关系
2024FENBIP116
2024FENBI总结
2024FENBI总结 第二章 高等代数
基变换与坐标变换（简答）
2024FENBI
