文档内容
微专题 09 平面直角坐标系与函数
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 平面直角坐标系中点的坐标特征(6年3考)
各象
限内
点P(a，b)在坐标轴上，则有：
在x轴上⇔③ ；
坐标
在y轴上⇔④ ；
轴上
在原点上⇔a＝⑤ ，b＝⑥
注：坐标轴上的点不属于任一象限
各象限
第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标⑦ ；
角平分
第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为⑧
线上
平行于
平行于x轴的直线上的点的⑨ 相等；
坐标轴
平行于y轴的直线上的点的⑩ 相等
的直线上
点的对
P(x，y) P ⑪ ；
称变换 1
第 1 页 共 11 页P(x，y) P ⑫ ；
2
P(x，y) P ⑬
3
口诀：关于谁对称，谁不变，另一个变号，关于原点对称都变号
P(x，y) P ⑭ ；
点的 P(x，y) P(x＋m，y)；
平移
P(x，y) P ⑮ ；
(m＞0)
P(x，y) P(x，y－m)
口诀：左减右加，上加下减
2. 平面直角坐标系中的距离
点P(x，y)到x轴的距离是⑯ ；
点到坐标轴及
点P(x，y)到y轴的距离是 ⑰ ；
原点的距离
点P(x，y)到原点的距离是⑱
已知点P(x ，y )，Q(x ，y )为平面直角坐标系中任意两点，
1 1 2 2
平行于坐标轴
则：
的直线上两点
(1)若PQ∥x轴⇔y ＝y ，PQ＝｜x －x ｜；
1 2 1 2
间距离
(2)若PQ∥y轴⇔x ＝x ，PQ＝｜y －y ｜
1 2 1 2
3. 函数的概念及表示方法(2022.10)
(1)函数：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且
对于变量x的每一个值，变量y都有 ⑲ 的值与它对应，那
概念 么我们称y是x的函数，其中x是自变量；
(2)函数值：如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当自变量为a时的
函数值
表示方法 列表法、解析式法和图象法
画函数图象
列表—描点—连线
的步骤
4. 函数自变量的取值范围
第 2 页 共 11 页函数解析式的形式 自变量的取值范围
含有分式 使 ⑳ 的实数
含有二次根式 使㉑ 的实数
含有分式与二次根式 使分母不为0且被开方数大于等于0的实数
练考点
1. 在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(－3，－1)，填空：
(1)点P在第 象限；
(2)点P关于x轴的对称点P 的坐标为 ，关于y轴的对称点P 的坐标为
1 2
；
(3)将点P向上平移2个单位长度得到点P 的坐标为 .
3
2. 在平面直角坐标系中，已知点A(－3，4)，
(1)点A到x轴的距离是 ，点A到y轴的距离是 ，点A到原点
的距离是 ；
(2)线段AB与x轴平行，且AB＝3，点B的坐标为 .
3. 下列各曲线中表示y是x的函数的是 .
2
4. 函数y＝ 的自变量x的取值范围为 .
x+3
高频考点
考点1 平面直角坐标系中点的坐标特征(6年3考)
例1 在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(a＋1，2a－4).
(1)若点B位于第四象限，则a的取值范围为 ；
(2)若点B在x轴上，则点B的坐标为 ，若点B在y轴上，则点B的坐
标为 ；
第 3 页 共 11 页(3)若点B在第一、三象限的角平分线上，则点B的坐标为 ；
(4)若点B关于原点的对称点为点C(－4，－2)，则a的值为 ；
(5)若将点B向上平移3个单位长度得到点D(2，1)，则a的值为 ；
(6)已知点E(－1，3)，且直线BE∥y轴，则线段BE的长为 .
考点2 函数的相关概念及性质(2022.10)
例2 (2024佛山顺德区二模)要使式子√x－4有意义，则x的取值范围是
.
√3+x
变式1 (2024齐齐哈尔改编)在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是
x+2
.
例3 (人教八下复习题改编)如图，在等边△ABC中，AB＝2，点D在边AB上，
过点D作DE⊥BC于点E，连接CD，设△BDE的面积为y，CE＝x，求y与x之
间的函数解析式.
例3题图
变式2 在△ABC中，AC＝5 m，BC＝3 m，∠ABC＝90°，D是AC边上一动点，
动点P以1 m/s的速度从点A出发沿折线A→B→C运动，且PD⊥A C. 设点
P的运动时间为x s时，点P到AC的距离PD为y m，求y与x的函数关系式并
注明自变量x的取值范围.
变式2题图
考点3 函数图象的分析与判断
第 4 页 共 11 页例4 (2024武汉)如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱
体，向水槽匀速注水.下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函
数关系的是( )
例5 (2024珠海香洲区三模)如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点
P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE－ED－DC运动到点C时停止，点Q沿
BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1 cm/s，设P，Q同时出发t s时，
△BPQ的面积为y cm2，已知y与t的函数关系如图②所示(曲线OM为抛物线的
一部分)，则下列结论错误的是( )
例5题图
A. AE＝3 cm
B. 当5＜t＜7时，△BPQ的面积是10 cm2
3
C. 当0＜t≤5时，y＝ t2
5
15 PQ 7
D. 当t＝ 时， ＝
2 BQ 10
方法解读
分析判断函数图象的解题方法：
(1)弄清楚横轴与纵轴所表示的函数变量；
第 5 页 共 11 页(2)结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，在图象中找相对应的点；
(3)拐点：图象上的拐点既是前一段函数图象的终点，又是后一段函数图象的起
点，反映函数图象在这一时刻开始发生变化；
(4)水平线：函数值随自变量的变化而保持不变；
(5)交点：表示两个函数的自变量与函数值分别对应相等，这个交点是函数值大
小关系的“分界点”.
真题及变式
命题点1 平面直角坐标系中点的坐标特征(6年3考)
1. (2020广东3题3分)在平面直角坐标系中，点(3，2)关于x轴对称的点的坐标
为( )
A. (－3，2) B. (－2，3) C. (2，－3) D. (3，－2)
2. (2022广东6题3分)在平面直角坐标系中，将点(1，1)向右平移2个单位后，
得到的点的坐标是( )
A. (3，1) B. (－1，1) C. (1，3) D. (1，－1)
命题点2 函数的概念(2022.10)
3. (2022广东10题3分·源于人教八下习题)水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它
的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr.下列判断正确的是( )
A. 2是变量 B. π是变量 C. r是变量 D. C是常量
新考法
4. [真实问题情境](2024贵州)为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了
“科技创新”社团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，
若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为(－2，0)，(0，0)，则
“技”所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
第4题图
第 6 页 共 11 页5. [新定义概念](2024河北)在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横
坐标的比值称为该点的“特征值”.如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边
分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是( )
第5题图
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
6. [代数推理](2024绥化)如图，已知A (1，－√3)，A (3，－√3)，A (4，0)，
1 2 3
A (6，0)，A (7，√3)，A (9，√3)，A (10，0)，A (11，－√3)，…，依此规律，则
4 5 6 7 8
点A 的坐标为 .
2 024
第6题图
第 7 页 共 11 页考点精讲
①(－，＋)②(＋，－)③b＝0 ④a＝0 ⑤0 ⑥0
⑦相等 ⑧相反数 ⑨纵坐标 ⑩横坐标 ⑪(x，－y)
⑫(－x，y) ⑬(－x，－y) ⑭ (x－m，y) ⑮(x，y＋m)
⑯｜y｜ ⑰｜x｜ ⑱√x2＋y2 ⑲唯一确定 ⑳分母不为0
㉑被开方数大于等于0
练考点
1. (1)三；(2)(－3，1)，(3，－1)；
(3)(－3，1)
2. (1)4，3，5；(2)(－6，4)或(0，4)
3. ③
4. x≠－3
高频考点
{ a+1>0
例1 (1)－1＜a＜2 【解析】∵点B位于第四象限，∴ ，解得－1＜a
2a－4<0
＜2；
(2)(3，0)，(0，－6) 【解析】∵点B在x轴上，∴2a－4＝0，解得a＝2，∴a
＋1＝3，∴点B的坐标为(3，0)；∵点B在y轴上，∴a＋1＝0，解得a＝－1，
∴2a－4＝－6，∴点B的坐标为(0，－6).
(3)(6，6) 【解析】∵点B在第一、三象限的角平分线上，∴a＋1＝2a－4，解
得a＝5，∴点B的坐标为(6，6).
(4)3 【解析】∵点B关于原点的对称点为点C(－4，－2)，∴点B的坐标为
(4，2)，即a＋1＝4，解得a＝3(或2a－4＝2，解得a＝3).
(5)1 【解析】∵将点B向上平移3个单位长度得到点D(2，1)，∴点B，D的
横坐标相同，∴a＋1＝2，解得a＝1(或2a－4＋3＝1，解得a＝1).
(6)11 【解析】∵E(－1，3)，直线BE∥y轴，∴a＋1＝－1，解得a＝－2.∴2a－
4＝－8，∴点B的坐标为(－1，－8)，∴BE＝3－(－8)＝11.
例2 x≥4 【解析】∵式子√x－4有意义，∴x－4≥0，∴x≥4.
第 8 页 共 11 页{3+x≥0
变式1 x≥－3且x≠－2 【解析】由题意可得， ，解得x≥－3且x≠－2.
x+2≠0
例3 解：∵△ABC是等边三角形，DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，BC＝AB＝2，∠B＝60°，
∵CE＝x，∴BE＝2－x，
在Rt△BDE中，∵DE＝BE·tan B，
∴DE＝√3(2－x)，
1 √3
∴y＝S ＝ BE·DE＝ (2－x)2.
△BDE 2 2
变式2 解：当点P在AB边上运动时，
∵AC＝5，BC＝3，∠ABC＝90°，
∴AB＝4，
∵PD⊥AC，
BC PD 3 y 3
∴sin A＝ ＝ ＝ ，即 ＝ ，
AC AP 5 x 5
3
∴y＝ x，0≤x≤4；
5
当点P在BC边上运动时，
则AB＋BP＝x，PC＝AB＋BC－x＝7－x，
AB PD 4
∵sin C＝ ＝ ＝ ，
AC PC 5
y 4
即 ＝ ，
7－x 5
4 28
∴y＝－ x＋ ，4＜x≤7，
5 5
3
{ x，0≤x≤4
5
∴y与x的函数关系式为y＝ .
4 28
－ x＋ ，4
