文档内容
微专题 10 一次函数的图象与性质
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 一次函数的图象与性质(6年4考，常在函数综合题中涉及考查)
y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)(特别地，当b＝0时，y＝kx为正比例
表达式
函数)
k＞0 k＜0
b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0
图象
(草图)
①画出草
②画出草图
图
经过的 一、二、
一、三 ③ ④ 二、四 二、三、四
象限 三
增减性 y随x的增大而⑤ y随x的增大而⑥
与坐标轴 与x轴的交点坐标为⑦ (即令y＝0)，与y轴的交点坐标为⑧
的交点 (即令x＝0)
2. 一次函数表达式的确定(6年5考，常在解答题中涉及考查)
(1)方法：待定系数法
(2)步骤：①先设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)；
第 1 页 共 11 页②将图象上的两点A(x ，y )，B(x ，y )代入y＝kx＋b中，得到方程组
1 1 2 2
{y ＝kx ＋b
1 1 ；
y ＝kx ＋b
2 2
③解方程组可得k，b的值；
④将k，b代入所设解析式
3. 一次函数图象的平移
平移前的
平移方式(m＞0) 平移后的解析式 规律
解析式
向左平移m个单位 y＝k(x＋m)＋b
x左加右减
y＝kx＋b 向右平移m个单位 y＝k(x－m)＋b
(k≠0) 向上平移m个单位 y＝kx＋b＋m 等号右边整
向下平移m个单位 y＝kx＋b－m 体上加下减
4. 一次函数与方程(组)、不等式的关系(2024.10)
(1)与一元一次方程的关系
如图①，方程kx＋b＝0的解是一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点(点A)的横
坐标
图①
(2)与二元一次方程组的关系
{y ＝k x＋b
如图②，方程组 1 1 1的解是一次函数y ＝k x＋b 与y ＝k x＋b 图象交点
y ＝k x＋b 1 1 1 2 2 2
2 2 2
(点A)的横纵坐标的值
图②
第 2 页 共 11 页(3)与一元一次不等式的关系
①从“数”上看
(ⅰ)kx＋b＞0的解集是在函数y＝kx＋b中，当y＞0时x的取值范围；
(ⅱ)kx＋b＜0的解集是在函数y＝kx＋b中，当y＜0时x的取值范围；
②从“形”上看
(ⅰ)kx＋b＞0的解集是函数y＝kx＋b的图象位于x轴上方部分对应的点的横坐标
的集合；
(ⅱ)kx＋b＜0的解集是函数y＝kx＋b的图象位于x轴下方部分对应的点的横坐标
的集合
教材改编题练考点
1. 已知一次函数y＝2x－1.
(1)该函数的图象经过 象限；
(2)该函数的图象与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ；
(3)已知点A(－1，y )，B(3，y )在该函数的图象上，则y y .(填“＞”“＝”
1 2 1 2
或“＜”)
2. 已知直线y＝kx(k≠0)经过点(3，6)，则该直线的解析式为 .
3. 已知一次函数y＝2x－5，将该函数的图象向左平移3个单位长度，得到的函
数表达式为 .
1
4. 如图，已知一次函数y＝ x＋1的图象分别与x，y轴交于A，B两点.
2
1
(1)方程 x＋1＝0的解为 ；
2
1
(2)关于x的不等式0＜ x＋1的解为 .
2
第 3 页 共 11 页第4题图
高频考点
考点1 一次函数的图象与性质(6年4考)
例1 已知一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)，请解答下列问题：
(1)若b＝3，一次函数的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标
可以为( )
A. (－1，2) B. (1，－2) C. (2，3) D. (3，4)
(2)若b＝k2，则一次函数y＝kx＋k2与y＝k2x＋k的图象可能是( )
(3)若点(－2，－1)，(1，－7)是该一次函数图象上的点，则下列各点在一次函数
图象上的是 .
①(－2，－5)，②(－1，－3)，③(0，－1)，④(1，－5)
(4)若k＞0，点A(x ，y )，B(x ，y －2)是一次函数图象上两点，则x
1 1 2 1 1
x (填“＞”“＜”或“＝”).
2
变式1 (2024长沙)对于一次函数y＝2x－1，下列结论正确的是( )
A. 它的图象与y轴交于点(0， －1) B. y随x的增大而减小
1
C. 当x＞ 时，y＜0 D. 它的图象经过第一、二、三象限
2
变式2 在同一平面直角坐标系中，函数y＝－3x＋b和y＝bx－3(b为常数，且
b≠0)的图象可能是( )
第 4 页 共 11 页考点2 一次函数解析式的确定(6年5考)
例2 (待定系数法求解析式)已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过(1，－1)，
(2，1)两点，该一次函数的解析式为 .
例3 (平移求解析式)已知一次函数y＝－2x＋5.
(1)将该函数的图象向上平移4个单位长度，得到的函数图象的解析式为
；
(2)将该函数的图象向左平移m(m＞0)个单位后，经过点(－1，1)，则m的值为
.
例4 (利用k、b的几何意义求解析式)如图，已知A点坐标为(5，0)，直线y＝x
＋b与x轴交于点C，与y轴交于点B，连接AB，α＝75°，则b的值为 .
例4题图
方法解读
一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，
b的几何意义：直线与y轴交点的纵坐标；
k的几何意义：k＞0时，y随x的增大而增大；k＜0时，y随x的增大而减小.｜k
｜＝tan α(α为直线与x轴所夹锐角).
注：直线y＝k x＋b(k≠0)与直线y＝k x平行，则k ＝k .
1 2 1 2
考点3 一次函数与方程(组)、不等式的关系(2024.10)
例5 (2024珠海模拟)如图，已知直线l ：y＝3x＋1和直线l ：y＝mx＋n交于点
1 2
{y＝mx＋n
P(1，b)，则关于x，y的二元一次方程组 的解是 .
y=3x+1
第 5 页 共 11 页例5题图
变式3 为了了解关于x的不等式－x＋2＞mx＋n的解集，某同学绘制了y＝－x
＋2与y＝mx＋n(m，n为常数，m≠0)的函数图象如图所示，通过观察图象发现，
该不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
变式3题图
真题及变式
命题点1 一次函数的图象与性质(6年4考，常在函数综合题中涉及考查)
拓展训练
1. 在正比例函数y＝(k＋2)x中，y随x的增大而减小，则一次函数y＝(k－1)x
－k的图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. (2024长春)已知直线y＝kx＋b(k、b是常数)经过点(1，1)，且y随x的增大而
减小，则b的值可以是 .(写出一个即可)
命题点2 一次函数解析式的确定(6年5考，常在解答题中涉及考查)
3. (2023广东16(2)题5分)已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(0，1)与点
(2，5)，求该一次函数的表达式.
拓展训练
第 6 页 共 11 页4. (2024陕西)一个正比例函数的图象经过点A(2，m)和点B(n，－6)，若点A与
点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为( )
1 1
A. y＝3x B. y＝－3x C. y＝ x D. y＝－ x
3 3
命题点3 一次函数的图象与不等式的关系(2024.10)
5. (2024广东10题3分)已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx
＋b的图象大致是( )
拓展训练
6. (2024通辽)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k x＋b 与y＝k x＋
1 1 2
b (其中k k ≠0，k ，k ，b ，b 为常数)的图象分别为直线l ，l .下列结论正确的
2 1 2 1 2 1 2 1 2
是( )
A. b ＋b ＞0 B. b b ＞0 C. k ＋k ＜0 D. k k ＜0
1 2 1 2 1 2 1 2
第6题图
新考法
7. [真实问题情境](2024中山三模)如图是某台阶的一部分，每一级台阶的宽度和
高度之比为2∶1，在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标是(－10，1)，若
直线y＝kx＋b同时经过点A，B，C，D，E，则k与b的乘积为( )
第 7 页 共 11 页第7题图
A. －3 B. 3 C. －5 D. 5
第 8 页 共 11 页考点精讲
① ② ③一、三、四
b
④一、二、四 ⑤增大 ⑥减小 ⑦(－ ，0)
k
⑧(0，b)
练考点
1
1. (1)第一、三、四 (2)( ，0)，(0，－1) (3)＜
2
2. y＝2x
3. y＝2x＋1
4. (1)x＝－2 (2)x＞－2
高频考点
例1 (1)B
(2)D
(3)②
(4)＞
变式1 A 【解析】A.令x＝0，则y＝－1，∴一次函数y＝2x－1的图象与y轴
的交点为(0，－1)，故A选项符合题意；B.∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，
1
故B选项不符合题意；C.令y＝0，则2x－1＝0，解得x＝ ，∵k＝2＞0，∴当x
2
1
＞ 时，y＞0，故C选项不符合题意；D.∵k＝2＞0，b＝－1＜0，∴一次函数y
2
＝2x－1的图象经过第一、三、四象限，故D选项不符合题意.
变式2 A 【解析】若b＞0，则函数y＝－3x＋b的图象过第一、二、四象限，
函数y＝bx－3的图象过第一、三、四象限；若b＜0，则函数y＝－3x＋b的图象
过第二、三、四象限，函数y＝bx－3的图象过第二、三、四象限.故选项A符合
题意.
第 9 页 共 11 页例2 y＝2x－3 【解析】∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过(1，－1)，(2，
{k＋b＝－1， { k=2，
1)，∴ 解得 ∴一次函数的解析式为y＝2x－3.
2k＋b=1， b＝－3，
例3 (1)y＝－2x＋9；(2)3.
5√3
例4 【解析】令y＝x＋b中x＝0，则y＝b，∴B(0，b)，令y＝x＋b中y
3
＝0，则x＝－b，∴C(－b，0)，∴∠BCO＝45°，∵α＝∠BCO＋∠BAO＝75°，
5√3
∴∠BAO＝30°，∵点A(5，0)，∴OA＝5，∴OB＝b＝OA·tan ∠BAO＝ .
3
{x=1
例5 【解析】∵直线y＝3x＋1经过点P(1，b)，∴b＝3＋1，解得b＝
y=4
{y＝mx＋n {x=1
4，∴P(1，4)，∴关于x，y的二元一次方程组 的解是 .
y=3x+1 y=4
变式3 C 【解析】以两函数图象的交点为分界，直线y＝mx＋n(m≠0)在直线y
＝－x＋2的下方时不等式－x＋2＞mx＋n，此时x＜－1.故该不等式的解集在数
轴上表示如选项C所示.
真题及变式
1. C 【解析】∵正比例函数y＝(k＋2)x中，y随x的增大而减小，∴k＋2＜0，
即k＜－2，∴－k＞0，k－1＜－3，∴一次函数y＝(k－1)x－k的图象经过第一、
二、四象限，∴该一次函数图象不经过第三象限.
2. 2(答案不唯一)【解析】∵直线y＝kx＋b(k≠0)经过点(1，1)，∴1＝k＋b.∵y随x
的增大而减小，∴k＜0，当k＝－1时，1＝－1＋b，解得b＝2，∴b的值可以是
2.
3. 解：将点(0，1)，(2，5)代入y＝kx＋b中，
{ b=1 {k=2
得 ，解得 ， (4分)
2k＋b=5 b=1
∴该一次函数的表达式为y＝2x＋1. (5分)
4. A 【解析】∵点A和点B关于原点对称，∴2＝－n，m＝－(－6)，∴n＝－
2，m＝6，∴A(2，6)，B(－2，－6).设正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，将
第 10 页 共 11 页A(2，6)代入y＝kx中，得6＝2k，解得k＝3，∴这个正比例函数的表达式为y＝
3x.
5. B 【解析】由题意得，x＜2时，一次函数的图象应在x轴下方，故B选项符
合题意.
6. A 【解析】由图象可得，b ＝2，b ＝－1，k ＞0，k ＞0，∴b ＋b ＞0，故
1 2 1 2 1 2
选项A正确，符合题意；b b ＜0，故选项B错误，不符合题意；k ＋k ＞0，故
1 2 1 2
选项C错误，不符合题意；k k ＞0，故选项D错误，不符合题意.
1 2
7. B 【解析】如解图，设y＝kx＋b(k≠0)与x，y轴的交点分别为G，F，
BH⊥AH于点H，∵每一级台阶的宽度和高度之比为2：1，点A的坐标是(－
10，1)，∴G(－12，0)，将点A(－10，1)，G(－12，0)代入y＝kx＋b，得
{ 1
{－10k＋b=1 k＝ 1
，解得 2，∴kb＝ ×6＝3.
－12k＋b=0 2
b=6
第7题解图
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