文档内容
微专题 18 等腰三角形与直角三角形
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 等腰三角形与直角三角形的性质(6年7考)
等腰直角
图形名称 等腰三角形 等边三角形 直角三角形
三角形
图形
勾股定理：若直角
三角形的两直角边
边 两腰① 三边相等 两直角边相等
分别为a，b，斜边
为c，则有⑪
三角相等，且
两锐角相等且
角 两底角② 每一个角都等 两锐角之和等于⑫
都等于45°
于⑧
性
等腰三角形顶
质
角的 ③ 、 (1)斜边上的中线等 1.满足“三线
特殊 ④ 、 ⑤ 满足“三线合 于⑬ 合一”
性质 相互重合(简记 一” (2)30°角所对的直 2.斜边上的中
为“三线合 角边等于⑭ 线等于⑮
一”)
等腰三角形是 等边三角形是 等腰直角三角
对称 —
轴对称图形， 轴对称图形， 形是轴对称图
第 1 页 共 12 页有 ⑥ 条对 有 ⑨ 条对
形，有 ⑯
称轴，对称轴 称轴，对称轴
性 条对称轴，对
是 ⑦ 是 ⑩
称轴是⑰
面积计 S＝⑱
1 1 1
S＝ ah＝⑲ S＝ ch＝⑳ S＝ ch＝㉑
2 2 2
算公式
2. 等腰三角形与直角三角形的判定(6年6考)
练考点
1. 在△ABC中，AB＝AC.
(1)若△ABC的周长为12，一边长为5，则BC＝ ；
(2)若△ABC的一个内角为80°，则∠B＝ °；
(3)如图，延长BC至点D，使得CD＝AC，CE平分∠ACD交AD于点E，若AB
＝5，AD＝8，则CE＝ .
第1题图
2. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线.
第2题图
第 2 页 共 12 页(1)若∠B＝2∠C，则∠B＝ ；
(2)在(1)的条件下，若AB＝4，则AD＝ ，∠ADB＝ °；
(3)若△ABC中两边长分别为3，4，则△ABC的周长为 .
3. 如果△ABC的三边长a，b，c满足a∶b∶c＝1∶1∶√2，那么△ABC是( )
A. 等边三角形
B. 钝角三角形
C. 锐角三角形
D. 等腰直角三角形
高频考点
考点1 等腰三角形的相关证明及计算 (2020.20)
例1 如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，F为CA的延
长线上一点，过点F作FG⊥BC于点G，交AB于点E.
(1)求证：AD∥FG；
(2)试判断△AEF的形状，并说明理由；
(3)如图②，连接CE，若CE⊥AB，AB＝13，BC＝10，求CE的长；
(4)若∠B＝60°，BC＝8，E为AB的中点，求BG的长.
图①
图②
例1题图
考点2 直角三角形的相关证明及计算 (6年3考)
例2 如图①，已知在△ABC中，CD是边AB上的高，∠A＝∠BC D.
第 3 页 共 12 页(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)若∠A＝30°，BD＝√3，求AC的长；
(3)若AC＝√5，BD＝4，求AD的长；
(4)如图②，AE平分∠CAB交CD于点F，交CB于点E，求证：CE＝CF.
图①
图②
例2题图
真题及变式
命题点1 特殊三角形的判定 (6年7考，常在计算题中涉及考查)
1. (2020广东20题6分·人教七上习题改编)如图，在△ABC中，点D，E分别是
AB，AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F.求证：
△ABC是等腰三角形.
第1题图
2. (2020广东21(2)题5分)若a＝－4√3，b＝12，一个三角形的一条边的长为2
√6，另外两条边的长是关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解.试判断该三角形的形状，
并说明理由.
第 4 页 共 12 页2.1变条件——将已知条件变为与非负性结合
已知△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋√2a－b－3＋｜c－3√2｜＝0，则
△ABC是( )
A. 等边三角形 B. 钝角三角形
C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形
命题点2 与特殊三角形有关的计算 (6年7考，常在几何题中涉及考查)
3. (2021广东20题6分·北师八下习题改编)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°.
作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝A B.
(1)若AE＝1，求△ABD的周长；
1
(2)若AD＝ BD，求tan ∠ABC的值.
3
第3题图
新考法
4. [综合与实践]
数学活动课上，同学们以“黄金三角形”为主题展开探究活动.
√5－1
【查阅资料】在等腰三角形中，若底与腰的比是 ，则这个三角形是黄金三
2
角形.
【动手操作】如图①是老师展示的一张邮票，同学们发现邮票中五角星的五个
角都是36°，并制作了相同五角星如图②所示，∠A的度数为36°，且AD＝
AB＝1，于是猜测△ABD是黄金三角形.
【解决问题】
(1)∠CBD＝ °；
(2)求证：△ABD是黄金三角形；
(3)如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝18°，BC＝1，求AB的长.
第 5 页 共 12 页第4题图
第 6 页 共 12 页考点精讲
①相等 ②相等 ③平分线 ④底边上的高 ⑤底边上的中线 ⑥1 ⑦底边上
的高(或底边上的中线或顶角的平分线)所在的直线 ⑧60° ⑨3 ⑩每条边上
的高(或中线或内角平分线)所在的直线 ⑪a2＋b2＝c2
⑫90° ⑬斜边的一半 ⑭斜边的一半 ⑮斜边的一半⑯一 ⑰斜边上的高(或
1 √3 1 1
中线或顶角的平分线)所在的直线 ⑱ ah ⑲ a2 ⑳ ab ㉑ a2 ㉒90°(直
2 4 2 2
角)
㉓60° ㉔相等
练考点
1. (1)2或5；(2)50或80；(3)3
2. (1)60°；(2)4，60；(3)12或7＋√7
3. D
高频考点
例1 (1)证明：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∵FG⊥BC，
∴AD∥FG；
(2)解：△AEF等腰三角形，理由如下：
∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，
由(1)知AD∥FG，
∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD，
∴∠F＝∠AEF，
∴AF＝AE，
即△AEF是等腰三角形；
(3)解：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD＝5，AD⊥BC，
第 7 页 共 12 页∴在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD＝√AB2－BD2＝√132－52＝12，
∵CE⊥AB，
1 1
∴S ＝ BC·AD＝ AB·CE，
△ABC 2 2
1 1 120
即 ×10×12＝ ×13×CE，解得CE＝ ；
2 2 13
(4)解：∵∠B＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝8，
∵FG⊥BC，
∴∠BEG＝90°－∠B＝30°，
∵E是AB的中点，
1
∴BE＝ AB＝4，
2
∵在Rt△BEG中，∠BEG＝30°，
1
∴BG＝ BE＝2.
2
例2 (1)解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，即∠A＋∠ACD＝90°.
∵∠A＝∠BCD，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°＝∠ACB，
∴△ABC是直角三角形；
(2)解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，∠B＝60°，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠BDC＝90°，
∴∠DCB＝90°－∠B＝30°，
∴BC＝2BD，
第 8 页 共 12 页∴AB＝4BD；
∴AB＝4√3，BC＝2√3，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝√AB2－BC2＝6；
(3)解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，且∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
AC AD
∴ ＝ ，
AB AC
∵AB＝BD＋AD，
AC AD
∴ ＝ ，
BD＋AD AC
∵AC＝√5，BD＝4，
√5 AD
∴ ＝ ，
4+AD √5
解得AD＝－5(舍去)或AD＝1，
∴AD＝1；
(4)证明：在Rt△AEC中，∠CEA＝90°－∠1，
在Rt△AFD中，∠AFD＝90°－∠2，
∵AE平分∠CAB，
∴∠1＝∠2，
∴∠AFD＝∠CEF，
又∵∠CFE＝∠AFD，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF.
真题及变式
1. 证明：在△BDF和△CEF中，
{∠BFD＝∠CFE
∠DBF＝∠ECF，
BD＝CE
∴△BDF≌△CEF(AAS)，
第 9 页 共 12 页∴BF＝CF，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴∠DBF＋∠FBC＝∠ECF＋∠FCB，
即∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形.
2. 解：该三角形是等腰直角三角形，理由如下：
∵a＝－4√3，b＝12，∴关于x的方程x2＋ax＋b＝0即为x2－4√3x＋12＝0，
解得x ＝x ＝2√3，
1 2
∴该三角形是等腰三角形，
∵(2√3)2＋(2√3)2＝(2√6)2，
∴该三角形是等腰直角三角形.
{
a－b=0
{
a=3
变式2.1 D 【解析】由题意得 2a－b－3=0，解得 b=3 ，∵a2＋b2＝c2，且
c－3√2=0 c=3√2
a＝b，∴△ABC是等腰直角三角形.
3. 解：(1)如解图，设DF交BC于点F，由题意得AB＝CE，DF垂直平分BC，
连接BD，
∴BD＝DC，
∴△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝CE＋AC＝AE＝1；
1
(2)设AD＝x，由AD＝ BD，得BD＝3x，在Rt△ABD中，∠A＝90°，
3
∴AB＝√BD2－AD2＝2√2x，
由(1)得CD＝BD＝3x，
∴AC＝AD＋CD＝4x，
AC 4x
∴tan∠ABC＝ ＝ ＝√2.
AB 2√2x
第 10 页 共 12 页第3题解图
4. (1)解：36；
1
【解法提示】∵∠A＝36°，AB＝AD，∴∠ADB＝ (180°－∠A)＝72°，又
2
∵∠ADB＝∠C＋∠CBD，∠C＝36°，∴∠CBD＝∠ADB－∠C＝36°.
(2)证明：∵∠A＝∠C＝∠CBD＝36°，
BD BC
∴AB＝BC＝1，∴△BDC∽△ABC，∴ ＝ .
AB AC
x 1
设BD＝x，则AC＝1＋x，∴ ＝ ，
1 1+x
√5－1 －√5－1
整理得x2＋x－1＝0，解得x ＝ ，x ＝ (不符合题意舍去)，
1 2 2 2
√5－1
BD x √5－1
∴ ＝ ＝ 2 ＝ ，
AB 1 2
1
∴△ABD是黄金三角形；
(3)解：如解图①，延长BC至点D，使得BC＝CD，连接AD，则BD＝2BC＝2.
∵∠ACB＝90°，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
∴AB＝AD，
∴∠BAD＝2∠BAC＝36°，
由(2)可知，等腰△ABD是黄金三角形，
BD √5－1 2 √5－1
∴ ＝ ，即 ＝ ，
AB 2 AB 2
解得AB＝√5＋1.
第4题解图①
一题多解法
如解图②，记AB的中点为E，连接CE，
第 11 页 共 12 页1
即AE＝CE＝BE＝ AB，
2
∴∠BEC＝∠BAC＋∠ACE＝2∠BAC＝36°，
又∵BE＝CE，
∴由(2)可知，等腰△BCE是黄金三角形，
BC √5－1 1 √5－1 √5+1
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得BE＝ ，
BE 2 BE 2 2
√5+1
∴AB＝2BE＝2× ＝√5＋1.
2
第4题解图②
第 12 页 共 12 页
