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2024 年中考第一次模拟考试
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6
A B B D D D
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7． ．
8． ．
9．24．
10． ．
11．360．
12．6或7或8
三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13．（6分）【详解】解：（1）
= (2分)
=3；(3分)
（2）
由①得：x≥1(4分)
由②得：x＜3(5分)
所以该不等式组的解集为：1≤x＜3．(6分)
14．（6分）【详解】（1）证明： ， ，
，(1分)在 和 中，
，
；(2分)
（2）解： ，(3分)
，
在 中， ，(4分)
，(5分)
．(6分)
15．（6分）【详解】（1）如图1，直径CD为所求；(3分)
（2）如图2，弦AD为所求．(6分)
16．（6分）【详解】（1）通过卡片上的字，可以看到是轴对称图形的为“文”，
∴卡片上的字是轴对称图形的概率为 ，(2分)
（2）画树状图如解图，
(4分)
由树状图知，共有 种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有 种，则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为 ．(6分)
17．（6分）【详解】（1）把 代入 得 ，
，(1分)
把 解得代入 得 ，
，
点 的坐标为 ．(2分)
反比例函数 的图象经过点 ，
，
反比例函数的表达式为 ；(3分)
（2） ，
．
如图，过点 作 轴于点 ，
，
，(4分)
设点 的坐标为 ，则 ，解 或 （负值舍去），
点 的坐标为 ．(5分)
设直线 的函数表达式为 ，
把 ， 代入 得 ，解得 ，直线 的函数表达式为 ．(6分)
四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．（8分）【详解】（1）解：∵“参与奖”的获奖人数为 人，且占比为 ，
∴参赛的总人数为 （人）.(1分)
∴一等奖的人数为 （人）(2分)
补全条形统计图如下： (3分)
（2）解：∵获奖人数为 ， ， ， ， ，
∴获奖人数的中位数为 ，(4分)
∵获奖人数的平均数为 ，(5分)
∴获奖人数的方差为 ；(6分)
（3）解：∵ 校有 名学生中，有 人获一等奖，
∴可估计该区 名中小学生中，获得“小小书法家”证书的总人数为
人．(8分)
19．（8分）【详解】（1）解：车门不会碰到墙，(1分)
理由如下：
如图：过点A作 ，垂足为点C．在 中， ，(2分)
∴ ，
∵ ，
∴车门不会碰到墙．(4分)
（2）解：过点A作 ，垂足为D，(5分)
在 中，
∵ ，
∴ ．(6分)
∴ ，
又∵正弦值随着角度的增大而增大，
∴靠墙一侧车门能打开的最大角度为 ．(8分)
20．（8分）【详解】（1）设该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得： ，(1分)
解得： （不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为 ；(3分)
（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为 元，月销售量为
件，
根据题意得： ，(5分)
整理得： ，
解得： (7分)因为商场为了减少库存，故 不符合题意，舍去．
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．(8分)
五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．（9分）【详解】（1）证明：过 作 于 ，
，(1分)
平分 ，
，(2分)
，
（ ），(3分)
，
与 相切；(4分)
（2）解： ，
设
则
， ，
，(5分)
，
，(6分)
，(7分)
在 中， ，
即： ，(8分)解得 或 （舍去），
的半径为 ．(9分)
22．（9分）【详解】（1）解：把 代入 中，得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ；(2分)
（2）解：过点 作 轴平行线交 轴于 ，交 于点 ，作 于点 ，
把 代入 中，得： ，
∴ 点坐标是 ，
设直线 ，
把 ， ， 代入 ，得
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 (3分)
设 ，则 ，
∴由 得： ，
∴
整理得：
解得： (4分)
∵ ，
∴ 的值为 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
∴点 的坐标为 或 ；(5分)
（3）解：存在．(6分)
由 ， ， ， 得 ，
∴ ，
①当点 在 左侧时．
在 轴上取点 ， ，延长 交抛物线于点 ．
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入，得
，
解得 ，∴设直线 的解析式为 ，(7分)
由 得： 或 ，
∴ ；(8分)
②当点 在 右侧时，
作 关于 的对称 ， 交二次函数 于点 ，则 ，
，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
令 中， ，则 ，
解得 或 ，
∴ ， ，
∵ ， ,
∴ ，
∴ ，
∴
∴在点 抛物线上，即点 满足条件 ．
故存在满足条件的点 有两个，分别是 ， ， ， ．(9分)六、解答题（本大题共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23．（12分）【详解】（1）解： 和 是等边三角形，
，
，
即 ，
，
，
，
，
故答案为： ；(2分)
（2）解： ，(3分)
理由如下：
和 是等边三角形，
，
，
即 ，(4分)
，
，(5分)
，
；(6分)
（3）解：由（1）（2）可知，无论点 在线段 上还是在线段 的延长线上，都有， ，
，
，(7分)
，
的边 上的高 的边 上的高 ，
，
，
，
，
，(8分)
设 ，
当点 在线段 上时，如图，
则 ，
，
，
，
，(9分)
整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去），
；(10分)当点 在线段 的延长线上时，如图，
则 ，
，
，
，(11分)
，
整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去），
；
综上所述，线段 的长为 或 ．(12分)
