文档内容
2024 年中考第三次模拟考试（山东济南卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A D D B D D A A D B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．
12．
13． /
14．
15．
16．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．【详解】解：
．
18．
【详解】解：解不等式①，得
解不等式②，得
在数轴上表示不等式①②的解集如下：
原不等式组的解集是
它的所有整数解有：0，1，2．
19．【详解】证明：∵四边形 为菱形，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
即 ．
20．【详解】（1）
解：如图，过点 作 于点 ，
， ，
， ，
在 中， ， ，
，
答：酒精灯与铁架台的水平距离 的长度约为 ；（2）解：如图，过点 分别作 ， ，垂足分别为 、 ，
在 中， ， ，
， ，
，
，
，
，
， ， ，
，
，
答：线段 的长度约为 ．
21．【详解】（1）“ 组”所对应的扇形的圆心角是: ，
故答案为： ；
（2） ，并补全频数分布直方图如图，
故答案为： ；
（3）由（ ）得： ，即抽取 名学生，即中位数排在第 ， 位的平均数，为 ，
故答案为： ；
（4）甲： ，
乙： ，
∵ ，
∴乙将获得“环保之星”称号．
22．【详解】（1）证明：连接 ，
直线 是 的切线，切点为C，
，
又 ，
，
，
，
，
，
平分 ；
（2）解：连接 ，
是 的直径，
，又 ，
由（1）得 ，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
，即 的半径为5．
23．【详解】（1）
解：设 型设备的单价是 元，则 型设备的单价是 元，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
（元 ．
答： 型设备的单价是120元， 型设备的单价是100元；
（2）
根据题意得： ，
即 ，
购进 型设备数量不少于 型设备数量的一半，
，
解得： ，
与 的函数关系式为 ．
，
随 的增大而增大，
当 时， 取得最小值，最小值 （元 ．
答： 与 的函数关系式为 ，最少购买费用是6400元．24．【详解】（1）解∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
（2）由(1)得， ，
∴ ，
∴ 或 ，
画出图像如下：
性质：当 时， 随 的增大而减小；
（3）由 ， ，
则 ，
解得 ，
∴ 的取值范围为： ．
25．【详解】（1）
解：将点 ，点 代入 得：，
解得： ．
抛物线的表达式为 ．
，
顶点 ， ．
（2）
点 ， ，点 ， ，
直线 解析式为 ，
过点 作 轴交 于点 ，
设点 ，点 ，
∴
的面积为 ，
（3）解： 在 中，
，
设 交 轴于点 ，延长 交 轴于 ，连接 ，过点 作 轴于点 ，， ，
，
， ， ．
， ．
中， ，
，
，
是等腰三角形
， ，
，
， 为 的中点．
是等腰三角形， ．
，
．
．
．
设直线 的解析式为 ，∴ ，解得： ．
∴直线 的解析式为 ．
∴ ，
解得： ，
∴ ．
26．【详解】探究发现：结论依然成立，理由如下：
作 于点E，作 交 的延长线于点F，则 ，
∵四边形 为平行四边形，若 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴；
拓展提升：延长 到点C，使 ，
∵ 为 的一条中线，∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ．
∴由【探究发现】可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
尝试应用：∵四边形 是矩形， ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∴
，
∵ ，∴抛物线开口向上，∴当 时， 的最小值是 ，
故答案为： .
