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2024 年中考第一次模拟考试（广州卷）
数学·全解全析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选
项中，只有一项符合题目要求的）
1．若﹣（﹣2）表示一个数的相反数，则这个数是（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
【答案】D
【分析】直接利用互为相反数的定义得出答案．
【详解】解：-（-2）=2，2的相反数是：-2．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题的关键．
2．由四个相同的小正方体搭建了一个几何体，从三个方向看到的它的形状图如图所示，
则这个几何体可能是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合三视图作出判断即可．
【详解】解：根据俯视图可以将B、C、D淘汰掉，
故选：A．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够弄懂三个视图分
别是从哪里看到的．
3．六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是
（ ）
A．平均数是14 B．中位数是14.5 C．方差3 D．众数是14
【答案】D
【分析】分别求出平均数、中位数、方差、众数后，进行判断即可．【详解】解：A．六位同学的年龄的平均数为 ，故选项错
误，不符合题意；
B．六位同学的年龄按照从小到大排列为：13、14、14、14、15、15，
∴中位数为 ，故选项错误，不符合题意；
C．六位同学的年龄的方差为 ，故选项错误，
不符合题意；
D．六位同学的年龄中出现次数最多的是14，共出现3次，故众数为14，故选项正确，
符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了平均数、中位数、方差、众数，熟练掌握平均数、中位数、方差、
众数的求法是解题的关键．
4．计算： 结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的除法的法则对式子进行运算即可．
【详解】解： ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方；解答的关键是对相应的运算法
则的掌握．
5．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】D
【解析】解不等式组可得-2≤x<3，故选D.
6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BOC＝120°，则∠A等于（ ）
A．50° B．60° C．55° D．65°
【答案】B
【分析】由圆周角定理即可解答.
【详解】∵△ABC是⊙O的内接三角形，
∴∠A＝ ∠BOC，
而∠BOC＝120°，
∴∠A＝60°.
故选B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练运用圆周角定理是解决问题的关键.
7．若 ， ，则 的值为（ ）．
A．2 B．2021 C．－2 D．8
【答案】B
【分析】先计算出 的值，再利用完全平方公式对 进行分解，整体代
入求值即可得出结论．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，利用完全平方公式计算是解决问题的关键．
8．一次函数 与 的图象如图所示，下列选项正确的有（ ）
① 随x的增大而减小； ②函数 的图象不经过第二象限；
③ ； ④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图象和 即可判断①②；
把 和 代入 与 即可判断③④．
【详解】解：由图象可得： 随x的增大而减小，故①正确；
由图象可得： ，
∴ 经过一、三、四象限，故②正确；
当 时， ， ，
由图象可得：当 时， ，即 ，故 ，故③正确；
当 时， ， ，
由图象可得：当 时， ， ，
∴
∴ ，故④正确；
正确的有①②③④，共4个，
故选：D．
9．在西线高铁工程中，某路段需铺轨．先由甲队独做 天后，再由乙队独做 天刚好
完成．已知乙队单独完成比甲队单独完成多用 天，求甲、乙队单独完成各需要多少
天？若设甲队单独完成需 天, 则所列方程正确的是（ ）
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，列出分式方程即可．
【详解】解：若设甲队单独完成需 天，则乙工程队单独完成任务需（x+2）天，
则依题意得： ；
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关
系是解决问题的关键．
10．一艘渔船从港口 沿北偏东60°方向航行60海里到达 处时突然发生故障，位于
港口 正东方向的 处的救援艇接到信号后，立即沿北偏东45°方向以40海里/小时的
速度前去救援，救援艇到达 处所用的时间为（ ）
A． 小时 B． 小时 C． 小时 D． 小时
【答案】D
【分析】过点C作 ，垂足为点D，先求出 的长度，再根据勾股定理求出
的长度即可．
【详解】解：过点C作 ，垂足为点D，
∵ ， 海里，
∴ 海里，
∵ ，
∴ ，根据勾股定理得： 海里，
∴救援艇到达 处所用的时间为： ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、含有 角的直角三角形，以及等腰直角三角形，
解题的关键是熟练掌握含有 角的直角三角形， 所对的边等于斜边的一半．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．向月球发射无线电波，无线电波到月球并返回地面需 ．已知无线电波每秒传
播 ，则地球和月球之间的距离约是 ．
【答案】
【分析】根据距离等于速度乘以时间进行计算即可.
【详解】解： ；
故答案为： .
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，
其中 ，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．已知点 都在函数 的图象上，则 的大小
关系为 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的解析式，得出图象的对称轴是 轴，再根据二次函数的性质，
得出图象开口向下，当 时， 随 的增大而增大，再根据二次函数的对称性和增
减性即可得到答案．本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解本
题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴函数图象的对称轴是y轴，图象的开口向下，
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴当 时，y随x的增大而增大，
∵点 关于对称轴的对称点的坐标是 ，且 ，
∴ ，
故答案为： ．
13．董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查本社区部分住户五月份某周内
“垃圾分类”的实施情况，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（A．小于5天；
B．5天；C．6天；D．7天），则本次抽样调查的样本容量是 ，扇形统计图
部分所对应的扇形圆心角的度数是 ．
【答案】 60 108°/108度
【分析】由条形图与扇形图的中关于A组的信息，可求得样本容量；相应的求得B组
的人数，进而求得扇形中圆心角的度数．
【详解】 ，
样本容量是60，
又 ，
∴扇形统计图 部分所对应的扇形圆心角的度数是 ．
故答案为：60，
【点睛】本题考查条形图，扇形统计图；理解扇形图与条形图的信息联系是解题的关
键．
14．如图，在 中， ， ， ， 、 、 分别是边 、
、 上的动点，连接 、 、 ，则 的最小值是 ．【答案】
【分析】由勾股定理，求出 ；当点 、 与点 重合，且点 运动至 时，
值最小．
【详解】在 中，
∵ ，
∴
∵
∴当点 、 与点 重合，且点 运动至 时， 值最小．
∴
∵
∴
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理，垂线短最短，解题的关键是掌握动点问题，垂线短最短．
15．如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB，已知AB＝4，
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！AC＝2，△ABD的面积是2，则△ADC的面积为 ．
【答案】1
【分析】先根据三角形面积公式计算出DE= 1，再根据角平分线的性质得到点D到AB
和AC的距离相等，然后利用三角形的面积公式计算△ADC的面积．
【详解】 DE⊥AB，
S ABD= × DE × AB = 2，
△
DE= =1，
AD是△ABC的角平分线，
点D到AB和AC的距离相等，
点D到AC的距离为1，
S ADC= ×2×1= 1．
△
故答案为：1．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，属
于基础题，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD=12．若点
E 在线段BC上，BE=5，EF⊥AE交CD于点F， 沿EF折叠C落在 处，当
为等腰三角形时，BC= ．
【答案】18或15或21.9
【分析】分三种情况讨论：当 时，当 时，当 时，即可求解．
【详解】解：∵ 沿EF折叠C落在 处，∴ ， ， ，
∵∠B=90°，AB=CD=12，BE=5，
∴ ，
当 时，CE=AE=13，
∴BC=BE+CE=18；
当 时，过点A作 于点G，则 ，
∵AE⊥EF，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵AE=AE=∠AGE=∠B=90°，
∴ ，
∴EG=BE=5，
∴ ，
∴CE=10，
∴BC=BE+CE=15；
当 时，过点 作 于点M，连接 交EF于点N，连接AF，则
AE=2ME， ， ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴此时点 落在AD上， ，
∴ ，
设DF=x，则 ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
设CE=a，则AD=BC=5+a，
∵ ，
∴ ，
解得：a=16.9，
∴BC=21.9；
综上所述，BC=18或15或21.9．
故答案为：18或15或21.9
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，
等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤）
17．（本小题满分4分）
解方程：
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是化成一般式，再利用因式分
解法求解．
【详解】解：整理成一般式，得 ，
，
或 ，．
18．（本小题满分4分）
如图，在△ADF和△BCE中，点D、E、F、C在同一直线上，AF//BE，AF=BE ，
DE=CF．
求证：∠A=∠B.
【答案】见解析
【分析】欲证∠A=∠B，则证明两个角所在的两三角形全等即可．
【详解】解：证明：∵AF∥BE，
∴∠AFD=∠BEC，
∵DE=CF，
∴DE+EF=CF+EF，
∴DF=CE，
在△DAF和△CBE中，
，
∴△DAF≌△CBE，
∴∠A=∠B．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等；要牢固掌握并
灵活运用这些知识．
19．（本小题满分6分）
如图， 在平面坐标系内，三个顶点的坐标分别为 ， ， ．正
方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)先将 向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到 ，请画出
；
(2)将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到 ，请画出 ；
(3)并直接写出点 的长度．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）先将 向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到
，即画出 ；
（2）分别画出点A、B、C三点绕原点O顺时针旋转90°的对应点 、 、 ，再连
接 、 、 即可．
（3）利用网格，由勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图 即为所作；（2）解：如图 即为所作，
（3）解： ．
【点睛】本题考查作图 平移变换、旋转变换，勾股定理，熟练掌握平移和旋转的性
质、勾股定理是解答本题的关键．
20．（本小题满分6分）
阅读材料：把代数式 因式分解，可以如下分解：
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式 因式分解；
(2)拓展：把代数式 因式分解得______；当 ______时，代数式
．
【答案】(1) (2) ；1或
【分析】（1）根据题目中给出的方法分解因式即可；
（2）先将 分解因式得出 ，根据
得出 或 ，求出 的值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；∵ ，
∴当 或 时， ，
∴ 或 时， ，
∴ 或 时， ．
故答案为： ；1或 ．
【点睛】本题主要考查了因式分解，因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握完全平
方公式 和平方差公式 ．
21．（本小题满分8分）
如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积相等，分别标
有数字1，2，3．小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中
的数字；接着小丽再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中
的数字．
（1）求这两个数字之和是偶数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．
（2）小明和小丽做游戏，游戏规则：两个数字之和是偶数，则小明获胜，否则小丽获
胜．这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平请你修改游戏规则，使游
戏公平．
【答案】（1） ；（2）不公平，修改规则见解析
【分析】（1）根据题意列表得出所有等可能的情况数，得出这两个数字之和是偶数的
情况数，再根据概率公式即可得出答案；
（2）根据两人获胜的概率判断是否公平，再依照两人获胜概率相等修改规则．
【详解】解：（1）列表如下：
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是偶数的有5种，
∴两个数字之和是偶数的概率为 ；
（2）不公平，小明获胜的概率为 ，小丽获胜的概率为 ，
修改规则如下：
两个数字之和小于4，则小明获胜，两个数字之和大于4，小丽获胜．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率和游戏公平性的判断，判断游戏公平性
就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
22．（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点A的坐标为 ，对角线
轴于点C，点D在y轴上．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线 的解析式．
【答案】（1）点B的坐标为 ；（2）直线 的解析式为 .
【分析】（1）由正方形的性质可以得到对角线之间的关系 ， 进而
得到坐标；
（2）已知两点坐标，用待定系数法求直线解析式.【详解】解：（1）如图，连接 ，过点B作 轴，点E为垂足，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
故点B的坐标为 ；
（2）设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ．
故直线 的解析式为 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、坐标的表示、待定系数法求一次函数解析式，难
度不大.
23．（本小题满分10分）
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥AC于点D．
(1)尺规作图，作边BC的垂直平分线，交边AC于点E．
(2)若AD：BD＝3：4，求sinC的值．
(3)已知BC＝10，BD＝6．若点P为平面内任意一动点，且保持∠BPC＝90°，求线段
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！AP的最大值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据尺规作图方法按步骤完成即可；
（2）由同角的余角相等可得∠ABD=∠C，在Rt ABD中，求出sin∠ABD的值，从而
得出答案； △
（3）由条件可得，点P的轨迹是以BC为直径的圆上，所以当AP过圆心时距离最大，
用勾股定理求出线段即可．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）∵∠ABC=∠BDC=90°，
∴∠ABD＋∠CBD=90°，∠CBD＋∠C=90°，
∴∠ABD=∠C，
在Rt ABD中，AD：BD＝3：4，
∴AB△∶AD=3∶5，
∴sin∠C=sin∠ABD= ．
（3）如图，点P在BC为直径的圆上，O为圆心，当A、P、O三点共线时，AP最大，
∵BC＝10，BD＝6，
∴CD=8，
∵△ABD∽△BCD，
∴ ， ，解得 ,在Rt ABD中，AB= ,
△
∵BC=10，
∴BO=OP=5,
在Rt ABO中， ,
△
∴AP=AO＋OP= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查尺规作图，三角函数，动点最值问题，找准动点的轨迹是解题的关
键．
24．（本小题满分12分）
如图①，已知点M，O，N在同一直线上， ， 分别是 与 的平分
线， ， ，垂足分别为B，C，连接 交 于点E．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）猜想 与 的位置关系，并证明你的结论：
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（3）如图②，以 为x轴，点O为坐标原点建立直角坐标系，点 在反比例
函数 的图象上，矩形 中有两个点恰好落在该反比例函数图象上，分别求出
点B，点C的坐标．
【答案】（1）见解析；（2） ，理由见解析；（3） ， ．
【分析】（1）通过证明四边形 中有三个直角，即可证明四边形 是矩形；
（2）如图，根据四边形 是矩形，得到 ，进而得 ，再根据
，得到 ，即可得到 ；
（3）如图，先利用待定系数法求得反比例函数 ．再利用坐标的特点以及矩形
性质，即可B，点C的坐标．
【详解】（1）证明：如图，
∵ ， 分别平分 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
，
即 ．
又∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
（2） 与 的位置关系： ．
证明：如图，∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）如图，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴反比例函数 ．
分别作 ， ，
又∵E为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ．
∴点B，C，E的纵坐标相同，
设 ， ．
∵点C位于第一象限，
22
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴点C与A在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查函数与四边形的综合性题目，能利用数形结合的方式是解答此题的
关键．
25．（本小题满分12分）
如图，在正方形 中，线段 绕点C逆时针旋转到 处，旋转角为 ，点F在
直线 上，且 ，连接 ．
(1)如图1，当 时，
①求 的大小（用含 的式子表示）．
②求证： ．
(2)如图2，取线段 的中点G，连接 ，已知 ，请直接写出在线段 旋转
过程中（ ） 面积的最大值．
【答案】(1)① ；②见解析；
(2) 面积的最大值为 ．
【分析】（1）①利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理计算得到，据此求解即可；②连接 ，计算得到 ，利
用 证明 ，推出 是等腰直角三角形，据此即可证明
；
（2）过点G作 的垂直，交直线 于点H，连接 相交于点O，连接 ，
利用直角三角形的性质推出点G在以点O为圆心， 为半径的一段弧上，得到当点
在同一直线上时， 有最大值，则 面积的最大值，据此求解即可．
【详解】（1）解：①∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
由题意得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
（2）解：过点G作 的垂线，交直线 于点H，连接 相交于点O，连接
，
由（1）得 是等腰直角三角形，又点G为斜边 的中点，
∴ ，即 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴点G在以点O为圆心， 为半径的一段弧上，
当点 在同一直线上时， 有最大值，则 面积的最大值，
∴ ，
∴ 面积的最大值为 ．
【点睛】本题考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三
角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握相关的判定定理和性质定理
是解题的关键．
