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山东省青岛市 2013 年中考数学试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．（3分）（2013•青岛）﹣6的相反数是（ ）
A．﹣6 B．6 C． D．
﹣
2．（3分）（2013•青岛）下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2013•青岛）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2013•青岛）“十二五”以来，我国积极推进国家创新体系建设．国家统计局
《2012年国民经济和社会发展统计公报》指出：截止2012年底，国内有效专利达8750000
件，将8750000件用科学记数法表示为（ ）件．
A．8.75×104 B．8.75×105 C．8.75×106 D．8.75×107
5．（3分）（2013•青岛）一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，
在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：现将口袋中
的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，
小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球．因此小亮估计口袋中的红球大约有（ ）个．
A．45 B．48 C．50 D．55
6．（3分）（2013•青岛）已知矩形的面积为36cm2，相邻的两条边长分别为xcm和ycm，则
y与x之间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（
）
A．r＜6 B．r=6 C．r＞6 D．r≥6
8．（3分）（2013•青岛）如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中
A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上．
若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标
为（ ）
A． B．（m，n） C． D．
（ ，n） （m， ） （ ）
二、填空题（本题满分18分共有6道题，每小题3分）9．（3分）（2013•青岛）计算：2﹣1+ = ．
10．（3分）（2013•青岛）某校对甲、乙两名跳高运动员的近期调高成绩进行统计分析，结
果如下： =1.69m， =1.69m，S2 甲=0.0006，S2 乙=0.00315，则这两名运动员中
的成绩更稳定．
11．（3分）（2013•青岛）某企业2010年底缴税40万元，2012年底缴税48.4万
元．设这两年该企业交税的年平均增长率为x，根据题意，可得方程
．
12．（3分）（2013•青岛）如图，一个正比例函数图象与一次函数y=﹣x+1的图
象相交于点P，则这个正比例函数的表达式是 ．
13．（3分）（2013•青岛）如图，AB是⊙O的直径，弦AC=2，∠ABC=30°，则图中阴影部
分的面积是 ．
14．（3分）（2013•青岛）要把一个正方体分割成8个小正方体，至少需要切3刀，
因为这8个小正方体都只有三个面是现成的．其他三个面必须用三刀切3次才能切
出来．那么，要把一个正方体分割成27个小正方体，至少需用刀切 次；分割
成64个小正方体，至少需要用刀切 次．
三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写做法，但要保留作图痕迹。
15．（4分）（2013•青岛）已知：如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是
直线BC上一点．
求作：点E，使直线DE∥AB，且点E到B，D两点的距离相等．（在题目的原图中完成作
图）
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（8分）（2013•青岛）（1）解方程组： ； （2）化简：（1+ ）•
．
17．（6分）（2013•青岛）请根据所给信息，帮助小颖同学完成她的调查报告
2013年4月光明中学八年级学生每天干家务活平均时间的调查报告
调查目 了解八年级学生每天干家务活的平均时间
的
调查内 光明中学八年级学生干家务活的平均时间
容
调查方 抽样调查
式
2调查步 1．数据的收集
骤 （1）在光明中学八年级每班随机调查5名学生
（2）统计这些学生2013年4月每天干家务活的平均时间（单位：min）结果如下
（其中A表示10min，B表示20min，C表示30min）
B A A B B B B A C BB A B B C
A B A A C A B B C B A B B A C
2．数据的处理：
以频数分布直方图的形式呈现上述统计结果 请补全频数分布直方图
3．数据的分析：
列式计算所随机调查学生每天干家务活平均时间的平均数（结果保留整数）
调查结 光明中学八年级共有240名学生，其中大约有 名学生每天干家务活的平均时间
论 是20min
18．（6分）（2013•青岛）小明和小刚做摸纸牌游戏．如图，两组相同的纸牌，每组两张，
牌面数字分别是2和3，将两组牌背面朝上洗匀后从每组牌中各摸出一张，称为一次游戏．
当两张牌的牌面数字之积为奇数，小明的2分，否则小刚得1分．这个游戏对双方公平吗？
请说明理由．
19．（6分）（2013•青岛）某校学生捐款支援地震灾区，第一次捐款总额为6600元，第二次
捐款总额为7260元，第二次捐款人数比第一次多30人，而且两次人均捐款额恰好相等．求
第一次的捐款人数．
20．（8分）（2013•青岛）如图，马路的两边CF，DE互相平行，线段CD为人行横道，马
路两侧的A，B两点分别表示车站和超市．CD与AB所在直线互相平行，且都与马路的两边
垂直，马路宽20米，A，B相距62米，∠A=67°，∠B=37°．
（1）求CD与AB之间的距离；
（2）某人从车站A出发，沿折线A→D→C→B去超市B．求他沿
折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走多少米．
（参考数据：sin67°≈ ，cos67°≈ ，tan67°≈ ，sin37°≈ ，
cos37°≈ ，tan37°≈ ）
321．（8分）（2013•青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，
E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB= 时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）
22．（10分）（2013•青岛）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段
发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量
就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数
关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
23．（10分）（2013•青岛）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根
据图1和图2发现并验证了平方差公式和完全平方公式．
这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．
【研究速算】
提出问题：47×43，56×54，79×71，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两
位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（1）画长为47，宽为43的矩形，如图3，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一
条，拼接到原矩形上面．
4（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式：47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的
矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43=（40+10）×40+3×7=5×4×100+3×7=2021．
用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字
3与7的积，构成运算结果．
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）
．
【研究方程】
提出问题：怎样图解一元二次方程x2+2x﹣35=0（x＞0）？
几何建模：
（1）变形：x（x+2）=35．
（2）画四个长为x+2，宽为x的矩形，构造图4
（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2）2或四个长x+2，宽
x的矩形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积．
即（x+x+2）2=4x（x+2）+22
∵x（x+2）=35
∴（x+x+2）2=4×35+22
∴（2x+2）2=144
∵x＞0
∴x=5
归纳提炼：求关于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．
要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明
相关线段的长）
【研究不等关系】
提出问题：怎样运用矩形面积表示（y+3）（y+2）与2y+5的大小关系（其中y＞0）？
几何建模：
5（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图5方式分割
（2）变形：2y+5=（y+3）+（y+2）
（3）分析：图5中大矩形的面积可以表示为（y+3）（y+2）；阴影部分面积可以表示为
（y+3）×1，画点部分部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知（y+3）
（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5
归纳提炼：
当a＞2，b＞2时，表示ab与a+b的大小关系．
根据题意，设a=2+m，b=2+n（m＞0，n＞0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写
出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长）
24．（12分）（2013•青岛）已知：如图， ▱ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P
从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，
速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动
时间为t（s）（0＜t＜1）
解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形？
（2）设四边形ANPM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式：
（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半？若存
在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．
（4）连接AC，是否存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成 的两部分？
若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．
6山东省青岛市 2013 年中考数学试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．B．2．D．3．A．4．C．5．A．6．A．7．C．8．D．
二、填空题（本题满分18分共有6道题，每小题3分）
9．5 10．甲．11．40（1+x）2=48.4．12．k=﹣2
13． ﹣ ．
14．6；9．
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
17．解：从图表中可以看出C的学生数是5人，
如图：
每天干家务活平均时间是：（10×10+15×20+5×30）÷30≈18（min）；
根据题意得：240× =120（人），
光明中学八年级共有240名学生，其中大约有120名学生每天干家务活的平均时间是
20min；
故答案为：120．
18．解：根据题意，画出树状图如下：
一共有4种情况，积是偶数的有3种情况，积是奇数的有1种情况，
所以，P（小明胜）= ×2= ，
P（小刚胜）= ×1= ，
∵ ≠ ，
∴这个游戏对双方不公平．
19．解：设第一次的捐款人数是x人，根据题意得：
= ，
解得：x=300，
7经检验x=300是原方程的解，
20．解：（1）CD与AB之间的距离为x，
则在Rt△BCF和Rt△ADE中，
∵ =tan37°， =tan67°，
∴BF= = x，AE= = x，
又∵AB=62，CD=20，
∴ x+ x+20=62，
解得：x=24，
答：CD与AB之间的距离为24米；
（2）在Rt△BCF和Rt△ADE中，
∵BC= = =40，
AD= = =26，
∴AD+DC+CB﹣AB=40+20+26﹣62=24（米），
答：他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走24米．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵M为AD中点，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM，
∴△ABM≌△DCM（SAS）；
（2）答：四边形MENF是菱形．
证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE= CM，MF= CM，
∴NE=FM，NE∥FM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵△ABM≌△DCM，
∴BM=CM，
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME=MF，
∴平行四边形MENF是菱形；
（3）解：当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形．
8理由是：∵M为AD中点，
∴AD=2AM，
∵AD：AB=2：1，
∴AM=AB，
∵∠A=90∴∠ABM=∠AMB=45°，
同理∠DMC=45°，
∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°，
∵四边形MENF是菱形，
∴菱形MENF是正方形，
故答案为：2：1．
22．解：（1）由题意得，销售量=250﹣10（x﹣25）=﹣10x+500，
则w=（x﹣20）（﹣10x+500）
=﹣10x2+700x﹣10000；
（2）w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250．
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x=35时，w =2250，
max
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
（3）甲方案利润高．理由如下：
甲方案中：20＜x≤30，
故当x=30时，w有最大值，
此时w甲=2000；
乙方案中： ，
故x的取值范围为：45≤x≤49，
∵函数w=﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为x=35，
∴当x=45时，w有最大值，
此时w乙=1250，
∵w甲 ＞w乙 ，
∴甲方案利润更高．
23． 归纳提炼：
十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结
果．
【研究方程】
归纳提炼：
画四个长为x+b，宽为x的矩形，构造答图1，则图中的大正方形面积可以有两种不同
的表达方式：（x+x+b）2或四个长为x+b，宽为x的矩形面积之和，加上中间边长为b
9的小正方形面积．
即：（x+x+b）2=4x（x+b）+b2
∵x（x+b）=c，
∴（x+x+b）2=4c+b2
∴（2x+b）2=4c+b2
∵x＞0，
∴x= ．
【研究不等关系】
归纳提炼：
（1）画长为2+m，宽为2+n的矩形，并按答图2方式分割．
（2）变形：a+b=（2+m）+（2+n）
（3）分析：图中大矩形面积可表示为（2+m）（2+n），阴影部分面积可表示为2+m
与2+n的和．由图形的部分与整体的关系可知，（2+m）（2+n）＞（2+m）
+（2+n），即ab＞a+b．
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解 解：（1）∵当AP=PD时，四边形AQDM是平行四边形，
答： 即3t=3﹣3t，
t= ，
∴当t= s时，四边形AQDM是平行四边形．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AMP∽△DQP，
∴ = ，
10∴ = ，
∴AM=t，
∵MN⊥BC，
∴∠MNB=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BMN=45°=∠B，
∴BN=MN，
∵BM=1+t，
在Rt△BMN中，由勾股定理得：BN=MN= （1+t），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵MN⊥BC，
∴MN⊥AD，
∴y= ×AP×MN
= •3t• （1+t）
即y与t之间的函数关系式为y= t2+ t（0＜t＜1）．
（3）假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半．
此时 t2+ t= ×3× ，
整理得：t2+t﹣1=0，
解得t = ，t = （舍去）
1 2
∴当t= s时，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半．
（4）存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成 的两部分，
理由是：假设存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成 的两部分，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△APW∽△CNW，
∴ = ，
即 = 或 = ，
∴t= 或 ，
∵两数都在0＜t＜1范围内，即都符合题意，
∴当t= s或 s时，NP与AC的交点把线段AC分成 的两部分．
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