文档内容
2024 年中考第三次模拟考试（浙江卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，根据中国乘用车协会的统计数据，2023年第
一季度，中国新能源汽车销量为159万辆，同比增长 ，其中159万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法： ，其中 ，n为整数，
是解题的关键．
根据科学记数法的表示方法进行表示即可．
【详解】
故选：A．
2．我国古代科举制度始于隋成于唐，兴盛于明．明代会试分南卷、北卷、中卷，按 的比例录取，
若某年会试录取人数为100，则中卷录取人数为（ ）
A．10 B．35 C．55 D．75
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，由南卷、北卷、中卷的比例关系即可求出中卷录取的人数．
【详解】解：中卷录取人数为：
（人），
故选：A．
3．下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式的特点（即两代数式之和乘以两代数式
之差，等于两代数式的平方差）是解决问题的关键．
根据平方差公式 解决此题．
【详解】解：A、 和 ， 和 不分别相同，不符合平方差公式；
B、 ，不符合平方差公式；
C、 ，符合平方差公式；
D、 ，不符合平方差公式．
故本题选：C．
4．如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取
走一个后，余下的几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】本题主要考查了由小正方体堆砌成的几何体的三视图，先画出圆几何体的主视图，再根据取走一
个小正方体后的主视图与原主视图相同进行求解即可．【详解】解：原几何体的主视图是：
∴只有取走的正方体是①才能保证余下的几何体与原几何体的主视图相同．
故选：A．
5．剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴
蝶剪纸，点 与点 对称，点 与点 对称，将其放置在直角坐标系中，点 ， ， 的坐标分别为
， ， ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题考查了轴对称的性质．由点 与点 对称，求得对称轴为直线 ，再根据点 与点 对称，即可求
解．
【详解】解：∵ 与 对称，
∴对称轴为直线 ，
∵ 与点 关于直线 对称，
∴点 的坐标为 ．
故选：B．
6．如图，已知 为 的直径，弦 与 交于点E，连结 ，设 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理、三角形外角性质，等边对等角，先得出 ，再运用三角形
内角和以及等边对等角，得出 ，再运用外角性质，即可作答．
【详解】解：如图：连接
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故选：B
7．记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈 尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■ ．”设绫布有 尺，
则可得方程为 根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是
（ ）
A．每尺绫布比每尺罗布贵120文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D．绫布的总价比罗布总价便宜120文
【答案】C
【分析】本题考查分式方程的应用，理解方程的意义是解题的关键．
设绫布有 尺，则罗布有 尺，再表示每尺绫布和每尺罗布需要的费用，最后根据所列的方程求解即
可．
【详解】设绫布有 尺，则罗布有 尺，
∵绫布和罗布分别出售均能收入896文，
∴每尺绫布的费用为 元，每尺罗布的费用为 元，
∵ ，
∴ ，
∴可以作为补充条件的是：每尺绫布和每尺罗布一共需要120文．
故选：C．
8．已知 ， 是抛物线 上的两点，则正数 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，根据函数图像上的点满足函数解析式列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵ ， 是抛物线 上的两点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，即： 或 ，
解得： 或 ，
∵ 取正数，
故： ，
故选：C．
9．某商场举办促销活动，负责人在一个不透明的袋子里装着8个大小、质量相同的小球，其中5个为红色、
2个为黄色、1个为绿色，若要获奖需要一次性摸出2个红球和1个黄球，那么获奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了列树状图求概率，先把所有情况列出来，用符合情况的数除以总数，即可作答．
【详解】解：把红色球记为“1”、黄色球记为“2”、 绿球记为“3”，列出树状图如下：共有 （种）结果，符合一次性摸出2个红球和1个黄球的结果数为120种
则
故选：D
10．如图，在正方形 中， 为 中点，连接 ，延长 至点 ，使得 ，以 为边作
正方形 ，在《几何原本》中按此方法找到线段 的黄金分割点 ．现连接 并延长，分别交 ，于点 ， ，若： 的面积与 的面积之差为 ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质，黄金分割，三角形的面积．连接 ，设 ，根据线段的中点定
义可得 ，再根据正方形的性质可得 ， ，从而在
中，利用勾股定理求出 的长，进而求出 的长，然后利用线段的和差关系求出 的长，再利用正方
形的性质可得 ， ，从而可得 ，进而可得 是等腰
直角三角形，最后利用等腰直角三角形的性质可得 ，再根据已知 的面积
的面积 ，可得 的面积 的面积 ，从而利用三角形的面积公式进行计算，
即可解答．
【详解】解：连接 ，
设 ，
为 中点，，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
的面积 的面积 ，
的面积 的面积） 的面积 的面积） ，
的面积 的面积 ，
，
，
解得： 或 （舍去），
，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．计算： ．【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【详解】解：
故答案为： ．
12．如图，已知 ，直线 分别与 ， 相交于 ， 两点，把一块含 角的三角尺按如图所示的位
置摆放，若 ， ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质以及三角板的特性，先由对顶角相等，得出 ，根据两直
线平行，同旁内角互补，得 ，即可作答．
【详解】解：如图：
∵
∴
∵ ，且
∴
∴解得
故答案为：
13．一个质地均匀的正方体骰子，六个面分别标着数字1、2、3、4、5、6，将它投掷一次，正面朝上的数
字大于4的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了概率公式，一共有6个面，其中数字大于4的有2面，代入公式，即可作答．
【详解】解：∵六个面分别标着数字1、2、3、4、5、6，
∴一共有6个面，其中数字大于4的有2面
∴正面朝上的数字大于4的概率是
故答案为：
14．如图所示，已知 的半径等于4，P为 外一点， 为 的切线， ，直线 与 相
交于C，D两点，则 的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理等知识．熟练掌握切线的性质，勾股定理是解题的关键．
如图，连接 ，由题意知， ，由 为 的切线，可得 ，设 ，则
，由勾股定理得， ，即 ，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
由题意知， ，
∵ 为 的切线，∴ ，
设 ，则 ，
由勾股定理得， ，即 ，
解得， 或 （舍），
故答案为：2．
15．平面直角坐标系 中，直线 分别与函数 的图象交于 、 ，若 轴负半轴
上存在点 使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 为 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及全等三角形的判定和性质进行计算即可．
【详解】解：由题意得，
，
∴ ，
设 且 ，
∴ ，
∴ ，
如图，过点 作 轴，过点 作 轴，垂足分别为 、 ，
∵ 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ ， ，又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ （ ），
∴ ，
∵ ，而 ，
∴ ，即 ，而 ，
∴ ，而 ，
解得 ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数、全等三角形的判定及性质，直角三角形的两锐角互余，
反比例函数与几何的综合等知识点，正确画出图形是解答本题的关键．
16．如图，在 ， ， 为 边上的一点，将 沿 翻折，得到 ．连接 ，
，若 ， ，则 ，点 到 边上的距离为 ．【答案】 10 /
【分析】根据折叠轴对称的性质可得 ， ， ，利用相似三角形和 ，
，可求出 ， 的长，进而求出 ，最后利用三角形的面积即可求出答案．
【详解】解：过点 ，垂足为 ，连接 ，
由折叠得， ， ， ，
，
，
又 ，
，
，
，
，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得，
，
，解得 ，
，
在 中，
，
设点 到 的距离为 ，由 的面积得，
，
即 ，
，
故答案为：10， ．
【点睛】本题考查折叠轴对称，相似三角形，解直角三角形，勾股定理，掌握折叠的性质和直角三角形的
边角关系是解决问题的前提，求出 、 的长是得出正确答案的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题6分）
（1）计算： ；
（2）解不等式组： ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】本题考查了整式的混合运算以及解不等式组，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先根据完全平方公式以及单项式乘多项式法则进行展开，再合并同类项，即可作答；
（2）先分别解出每个不等式，再取它们的公共部分解集，即可作答．
【详解】解：（1）原式 ．
（2）
解①式得 ，
解②式得 ，．
18．（本小题6分）
已知关于 的一元二次方程 有实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)方程的两个实数根 ， 满足 ，求实数 的值．
【答案】(1) 且
(2)
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根的判别式，熟记相关结论即可．
（1）一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 ；有两个相等的实数根，
则 ；没有实数根，则 ．据此即可求解．
（2）若一元二次方程 的两个根为 ，则 ．
【详解】（1）解：由题意得： 且
解得： 且
（2）解：由题意得：
∵ ，
∴ ，
解得： （舍）
经检验， 是原方程的解
∴
19．（本小题8分）
某校推出四种校本课程：A．象棋，B．数学游戏，C．击剑，D．趣味编程，学生可在中小学课后服务系统选择自己心仪的选修课程，为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调
查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
(1)①这次被调查的学生共有_______人，②在扇形统计图中“C”对应的圆心角的度数为_______；
(2)在平时的“趣味编程”的课堂学习中，甲、乙、丙三人表现优秀，现决定从这三名同学中任选两名参加
趣味编程大赛，用树状图或列表法求出恰好同时选中甲、乙两位同学的概率．
【答案】(1)①200；②
(2)
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率：
（1）①用B项目的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数；②先求出C项目的人数，再用360
度乘以C项目的人数占比即可得到答案．
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到同时选中甲、乙两位同学的结果数，最后利用概率计算
公式求解即可．
【详解】（1）解：① 人，
∴这次被调查的学生共有200人，
故答案为：200；
②C项目的人数为 人，
∴在扇形统计图中“C”对应的圆心角的度数为 ，
故答案为； ；
（2）解：设分别用A、B、C表示甲、乙、丙三人，列表如下：由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中选中甲、乙两位同学的结果数有2种，
∴选中甲、乙两位同学的概率为 ．
20．（本小题8分）
如图，点 在反比例函数 的图象上，点 在反比例函数 的图象上， 轴，
．
（1）若点 的坐标为 ，则 的值是 ．
（2）若点 在反比例函数 的图象上，点 在反比例函数 的图象上 ，
， 与 之间的距离为1，则 的值是 ．
【答案】 6或
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是解题的关键．
（1）先根据题意求出A，B两点的坐标，进而求出a，b的值，计算结果即可．
（2）分情况讨论，利用反比例函数k的几何意义得出 的表达式，即可求出答案．
【详解】解：（1）∵点 的坐标为 ， 轴， ，
∴点 的坐标为 ，
，
故答案为：
（2）解：当 在x轴上方时，如图所示，设 ，
∴ ，
， ，
∵ 与 之间的距离为1，
∴
∴
．
当 在x轴下方时，如图所示，
设 ，
∴ ，
， ，
∵ 与 之间的距离为1，∴
∴
．
综上所述， 或 ，
故答案为6或
21．（本小题10分）
如图，在 中， ， 的面积为36，动点P从A点出发，以1个单位长度的速度
沿线段 向终点D运动，同时动点Q从点B出发以3个单位长度的速度在 间往返运动，当点P到达
点D时，动点P、Q同时停止运动，连结 ．设运动时间为t秒．
（1）则 和 之间的距离为 ；
（2）当 平分 的面积时，求t的值；
【答案】 4 或 或
【分析】本题考查平行四边形的性质，中心对称：
（1）由平行四边形的面积公式即可求解；
（2）由平行四边形的性质，中心对称的性质得到 ，分三种情况讨论即可解决问题．
【详解】解：（1）设 和 之间的距离为h，
∵ 的面积为36，
∴ ，
∴ ，
∴ 和 之间的距离为4．
故答案为：4．
（2）如图，连接 交 于点O，∵ 平分 的面积， 是中心对称图形，
∴ 经过 的中心，即 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴当 平分 的面积时， 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
22．（本小题10分）
根据以下素材，探索完成任务．
如何设计采购方案？素
为了迎接9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣
材
已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．
1
素
材 小明在该店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣共花费130元．
2
素 已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进
材 行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在该店同时购买吉祥物钥匙扣和明
3 信片两种商品若干件，本次交易商家-共获得600元的销售额．其中售出吉祥物钥匙扣不少于15个．
问题解决
任
假设明信片的售价为x元/套，钥匙扣的售价为y元/个，请协助解决右 问： _______（用含 的
务
边问题． 代数式表示）
1
任
基于任务1的假设和索材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信
务
片的售价．
2
【拟定设计方案】
任
务
请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买
3
方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高．
【答案】任务1： ；任务2：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元；任务3：购买吉
祥物钥匙扣15个，明信片24套商家获利最高．
【分析】本题考查一元一次方程，二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题．
任务1：根据一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，得 ；
任务2：根据小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元，得 ，可
解得答案；
任务3：设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n张，得： ，由 是非负整数，可求出
的值，再计算每种方案商家的利润，比较可得答案．
【详解】解：任务1：
一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，
．
故答案为： ．
任务2：由素材2，得 ，
解得 ，
（元），
答：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元．
任务3：
设购买吉祥物钥匙扣 个，明信片 套，
根据题意，得 ，
．
是非负整数， ，
吉祥物钥匙扣每件利润为 （元），明信片每套利润为 （元），
购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套，商家获利 元；
购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12套，商家获利 元；
购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0套，商家获利 元；
购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套商家获利最高．
23．（本小题12分）
已知二次函数 的图象过点 ．
(1)求二次函数的表达式．
(2)若 和 都是二次函数图象上的点，且 ，求 的最小值．
(3)若点 和 都在二次函数的图象上，且 ． 对于某一个实数 ，若 的最小值为
1，则 的最大值为多少？
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据图象上点的坐标特征得出 ，由 可知 ，即可求得
，利用二次函数的性质即可求得最小值；
（3）由题意可知当点 和 在对称轴的同侧时 的值最小，当点 和 在异
侧是 的值最大，据此求解即可．
【详解】（1）解： 二次函数 的图象过点 ，
，
，
二次函数的表达式为 ；
（2）解： ， 和 ， 都是二次函数图象上的点，
， ，
，
，
，
，
，的最小值是 ；
（3）解： 抛物线 ，
图象开口向上，对称轴为直线 ，
点 和 都在二次函数的图象上，且 ．对于某一个实数 ，若 的最小值为1，
点 和 在对称轴的右侧，此时 ，则 ，
①， ②，
② ①得 ，
，
此时点 ， 和 ， ，
当点 是点 ， 的对称点时，则 的值最大，
对称轴为直线 ，
点 ， 的对称点为 ， ，
此时 ，
的最大值为： ．
24．（本小题12分）
如图 ， 为 外接圆，点 、 分别为 、 中点，连结 、 、 ， 分别与 、
交于点 、 ．已知 ．(1)求证： ．
(2)如图2，连结 交 于点 ，连结 交 于点 ，连结 、 ．若 ，求证：
是等边三角形．
(3)在（2）的基础上，若 ，
①求DN的长；
②求 ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)① ，② ．
【分析】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关
知识是解题的关键．
（1）由 分别为 、 中点， ，由圆周角定理可得 ，进而得
到 即可求证；
（2）过 点作 于点 ，先证明 ，得到 ，即可求证；
（3）①过 点作 于点 ，由三角函数得到 ，再证明 ，根据勾股
定理可得 ，再由 即可求解；
②由 可得 设 则 ，即可求解．
【详解】（1）证明：如图：∵ 分别为 、 中点，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）证明：∵ 分别为 、 中点，
，
∴ ， ，
∴
∴ ，
∵
∴
∴ 是等边三角形
（3）解：∵ ，
∴ 为等边三角形，
过 点作 于点 ，如图：∵ ，
∴
∴
∴ ，
由（1）知， ， ，
∴ ，
∴ 即
∴ ，
，
；
， ，
∴ 为等边三角形，
又∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，设 则 ，
，
，
，
∴ ．
