文档内容
2024 年中考第三次模拟考试（陕西卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（2024·交大附中二模考试）下列各数中，为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据立方根、无理数与有理数的概念即可得．
【详解】解：A、 ，是有理数，则此项符合题意；
B、 是无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意；
C、 是无理数，则此项不符合题意；
D、 是无理数，则此项不符合题意；
故选：A．
2．下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是
（ ）
A．面① B．面② C．面⑤ D．面⑥
【答案】C
【分析】根据底面与多面体的上面是相对面，则形状相等，间隔1个长方形，且没有公共顶点，即可求解．
【详解】解：依题意，多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤，
故选：C．3．将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行内错角相等即可求解．
【详解】解：依题意， ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
4.若 ，则 ( )
A．5 B．1 C． D．0
【答案】A
【分析】把 变形后整体代入求值即可．
【详解】∵ ，
∴
∴ ，
故选：A．
5.在平面直角坐标系中，一次函数 的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依据一次函数 的图象经过点 和 ，即可得到一次函数 的图象经过一、三、四象限．
【详解】解：一次函数 中，令 ，则 ；令 ，则 ，
∴一次函数 的图象经过点 和 ，
∴一次函数 的图象经过一、三、四象限，
故选：D．
6.如图，平行四边形ABCD的对角线 ， 相交于点 ， 的平分线与边 相交于点 ， 是
中点，若 ， ，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得
，进而可得 ，再根据三角形的中位线解答即可.
【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 中点，
∴ ；
故选：A.
7.《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图， 是以点O为
圆心、 为半径的圆弧，N是 的中点， ．“会圆术”给出 的弧长 的近似值计算公式：．当 ， 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即
可．
【详解】连接 ，根据题意， 是以点O为圆心、 为半径的圆弧，N是 的中点， ，
得 ，
∴点M，N，O三点共线，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴
∴ ．
故选：B．8.已知抛物线 的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D． （ 为实数）
【答案】C
【分析】根据开口方向，与y轴交于负半轴和对称轴为直线 可得 ， ，由此即可
判断A；根据对称性可得当 时， ，当 时， ，由此即可判断B、C；根据抛物线开口
向上，对称轴为直线 ，可得抛物线的最小值为 ，由此即可判断D．
【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴ ，
∵抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故A中结论错误，不符合题意；
∵当 时， ，抛物线对称轴为直线 ，
∴当 时， ，
∴ ，故B中结论错误，不符合题意；
∵当 时， ，抛物线对称轴为直线 ，
∴当 时， ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，故C中结论正确，符合题意；
∵抛物线对称轴为直线 ，且抛物线开口向上，
∴抛物线的最小值为 ，
∴ ，
∴ ，故D中结论错误，不符合题意；故选C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．如图，数轴上的点 分别对应实数 ，则 __________0.(用“ ”“ ”或“ ”填空)
【答案】
【分析】根据数轴可得 ，进而即可求解．
【详解】解：由数轴可得
∴
故答案为： .
10.如图，CG平分正五边形ABCDE的外角∠DCF，并与∠EAB的平分线交于点O，则∠AOG的度数为___
【答案】126°
【分析】欲求∠AOG，可求∠AOC，则需求∠BCO、∠OAB、∠B．因为五边形ABCDE是正五边形，所
以∠EAB＝∠E＝∠BCD＝108°．又因为AO平分∠EAB，CG平分∠DCF，所以可求得∠OAB＝54°，
1
∠BCG＝108°+ ∠DCF=144°．
2
【解答】解：∵任意多边形的外角和等于360°，
∴∠DCF＝360°÷5＝72°．
∴这个正五边形的每个内角为180°﹣72°＝108°．
∴∠B＝∠EAB＝∠BCD＝108°．
又∵AO平分∠EAB，1 1
∴∠OAB= ∠EAB= ×108°=54°．
2 2
又∵CG平分∠DCF，
1 1
∴∠DCG= ∠DCF= ×72°=36°．
2 2
∴∠BCO＝∠BCD+∠DCG＝108°+36°＝144°．
∴∠AOC＝360°﹣（∠BAO+∠B+∠BCG）＝360°﹣（54°+108°+144°）＝54°．
∴∠AOG＝180°﹣∠AOC＝180°﹣54°＝126°．
11.如图，菱形 中， ， ， ，垂足分别为 ， ，若 ，则
________ ．
【答案】
【分析】根据菱形的性质，含 直角三角形的性质，及三角函数即可得出结果．
【详解】解：在菱形 中， ，
，
，
，
，
在 中， ，
同理， ，
，，
在 中，
．
故答案为： ．
12.如图，过 的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交 的图象于B，D两点，以 ，
为邻边的矩形 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为 ， ， ， ，若 ，
则 的值为________
【答案】2
【分析】设 ，则 ， ， ，根据坐标求得 ， ，推
得 ，即可求得．
【详解】设 ，则 ， ，
∵点A在 的图象上
则 ，同理∵B，D两点在 的图象上，
则
故 ，
又∵ ，
即 ，
故 ，∴ ，
13.如图，边长为2的等边 的两个顶点 分别在两条射线 上滑动，若 ，则
的最大值是_________．
【答案】
【分析】如图所示，取 的中点D，连接 ，先根据等边三角形的性质和勾股定理求出 ，
再根据直角三角形的性质得到 ，再由 可得当 三点共线时， 有最
大值，最大值为 ．
【详解】解：如图所示，取 的中点D，连接 ，
∵ 是边长为2的等边三角形，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，∴ ，
∵ ，
∴当 三点共线时， 有最大值，最大值为 ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14.（5分）计算： ．
【答案】
【分析】根据零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义，计算即可．
【详解】解：原式 ，
，
．
15.（5分）解不等式组
【答案】
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，解不等式②得： ，
则不等式组的解集为 ．
16.（5分）解方程： ．
【答案】
【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．
【详解】解：原方程可化为 ．
方程两边同乘 ，得 ．
解得 ．
检验：当 时， ．
∴原方程的解是 ．
17.（5分）如图，点O在 的边 上，以 为半径作 ， 的平分线 交 于点
D，过点D作 于点E．
尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
【答案】见解析；
【分析】根据已知圆心和半径作圆、作已知角的平分线、过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图的步
骤作图即可；
【详解】解：（1）如下图，补全图形：18.（5分）如图，点C在线段 上，在 和 中， ．
求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】直接利用 证明 ，再根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】解：在 和 中，
∴
∴ ．
19.（5分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1， 的顶点均在小正方形的格点上．
(1)将 向下平移3个单位长度得到 ，画出 ；
(2)将 绕点 顺时针旋转90度得到 ，画出 ；
(3)在（2）的运动过程中请计算出 扫过的面积．【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先作出点A、B、C平移后的对应点 ， 、 ，然后顺次连接即可；
（2）先作出点A、B绕点 顺时针旋转90度的对应点 ， ，然后顺次连接即可；
（3）证明 为等腰直角三角形，求出 ， ，根据旋转
过程中 扫过的面积等于 的面积加扇形 的面积即可得出答案．
【详解】（1）解：作出点A、B、C平移后的对应点 ， 、 ，顺次连接，则 即为所求，如图
所示：
（2）解：作出点A、B绕点 顺时针旋转90度的对应点 ， ，顺次连接，则 即为所求，如图
所示：
（3）解：∵ ， ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
根据旋转可知， ，
∴ ，
∴在旋转过程中 扫过的面积为 ．
20.（5分）为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每
班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
(1)“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”）
(2)请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
【答案】(1)随机
(2)
【分析】（1）由确定事件与随机事件的概念可得答案；
（2）先画树状图得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件；
（2）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，丁的结果数为2，
所以选中的两名同学恰好是甲，丁的概率 ．
21.（6分）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图
所示，城门楼B在角楼A的正东方向 处，南关桥C在城门楼B的正南方向 处．在明珠大剧院P
测得角楼A在北偏东 方向，南关桥C在南偏东 方向（点A，B，C，P四点在同一平面内）．求
明珠大剧院到龙堤 的距离（结果精确到 ）．
（参考数据： ， ， ， ， ，
）
【答案】明珠大剧院到龙堤 的距离为 ．
【分析】如图，首先证明四边形 是矩形，可得 ， ，然后解直角三角形求出
， ，进而得出关于 的方程，求出 即可解决问题．
【详解】解：如图，由题意得 ， ， ， ， ，
， ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
答：明珠大剧院到龙堤 的距离为 ．
22.（7分）为了增强学生身体素质，学校要求男女同学练习跑步．开始时男生跑了 ，女生跑了 ，
然后男生女生都开始匀速跑步．已知男生的跑步速度为 ，当到达终点时男、女均停止跑步，男生从
开始匀速跑步到停止跑步共用时 ．已知 轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间， 轴代表跑过的
路程，则：
(1)男女跑步的总路程为_______________．
(2)当男、女相遇时，求此时男、女同学距离终点的距离．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据男女同学跑步的路程相等，求得男生跑步的路程，乘以 ，即可求解
（2）根据题意男生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为： ，求得女生的速度，进而得出解析式为 ， 联立求得 ，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵开始时男生跑了 ，男生的跑步速度为 ，从开始匀速跑步到停止跑步共用
时 ．
∴男生跑步的路程为 ，
∴男女跑步的总路程为 ，
故答案为： ．
（2）解：男生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为： ，
设女生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为： ，
依题意，女生匀速跑了 ，用了 ，则速度为 ，
∴ ，
联立 ，解得： .
将 代入 ，解得： ，
∴此时男、女同学距离终点的距离为 ．
23.（7分）某校举办“我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解该校九年级学生周末在家的劳动情况，随
机调查了九年级1班的所有学生在家劳动时间（单位：小时），并进行了统计和整理绘制如图所示的不完
整统计图．根据图表信息回答以下问题：
类 劳动时间
别
A
B
C
D
E(1)九年级1班的学生共有___________人，补全条形统计图；
(2)若九年级学生共有800人，请估计周末在家劳动时间在3小时及以上的学生人数；
【答案】(1)50，条形统计图见解析
(2) 人
【分析】（1）利用C类人数除以对应的百分比即可得到九年级1班的总人数，再分别求出B和D的人数，
补全统计图即可；
（2）用九年级学生总人数乘以九年级1班周末在家劳动时间在3小时及以上的学生占的比值即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意得到， （人），
故答案为：50
类别B的人数为 （人），类别D的人数为 （人），
补全条形统计图如下：
（2）由题意得， （人），
即估计周末在家劳动时间在3小时及以上的学生人数为 人；
24.（8分）如图， 都是 的半径， ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由圆周角定理得出， ，再根据 ，即可得
出结论；
（2）过点 作半径 于点 ，根据垂径定理得出 ，证明 ，
得出 ，在 中根据勾股定理得出 ，在 中，根据勾股定理得
出 ，求出 即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
．
（2）解：过点 作半径 于点 ，则 ，
，
∴ ，，
，
，
在 中，
，
在 中， ，
，
，即 的半径是 ．
25.（8分）如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点，其中 ，
．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出 点坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】(1) ；(2) 或 或 ；
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据 ，可得 到 的距离等于 到 的距离，进而作出两条 的平行线，求得解
析式，联立抛物线即可求解；
【详解】（1）解：将点 ， 代入 ，得
解得：
∴抛物线解析式为 ；
（2）∵ ，
顶点坐标为 ，
当 时，
解得：
∴ ，则
∵ ，则
∴ 是等腰直角三角形，
∵
∴ 到 的距离等于 到 的距离，
∵ ， ，设直线 的解析式为
∴解得：
∴直线 的解析式为 ，
如图所示，过点 作 的平行线，交抛物线于点 ，
设 的解析式为 ，将点 代入得，
解得：
∴直线 的解析式为 ，
解得： 或
∴ ，
∵
∴
∴ 是等腰直角三角形，且 ，
如图所示，延长 至 ，使得 ，过点 作 的平行线 ，交 轴于点 ，则 ，则符
合题意的点 在直线 上，
∵ 是等腰直角三角形，
∴
∴ 是等腰直角三角形，∴
∴
设直线 的解析式为
∴
解得：
∴直线 的解析式为
联立
解得： 或
∴ 或
综上所述， 或 或 ；
26.（10分）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知 ，点 为 上一动点，将 以 为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下
探究：
独立思考：小明：“当点 落在 上时， ．”
小红：“若点 为 中点，给出 与 的长，就可求出 的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：
问题1：在等腰 中， 由 翻折得到．（1）如图1，当点 落在 上时，求证： ；
（2）如图2，若点 为 中点， ，求 的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成 的等腰三角形，可以将问题进一
步拓展．
问题2：如图3，在等腰 中， ．若 ，则求 的长．
【答案】（1）见解析；（2） ；问题2：
【分析】（1）根据等边对等角可得 ，根据折叠以及三角形内角和定理，可得
，根据邻补角互补可得 ，即可得证；
（2）连接 ，交 于点 ，则 是 的中位线，勾股定理求得 ，根据 即
可求解；
问题2：连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，根据已知条件可得 ，
则四边形 是矩形，勾股定理求得 ，根据三线合一得出 ，根据勾股定理求得 的长，即
可求解．
【详解】（1）∵等腰 中， 由 翻折得到
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
（2）如图所示，连接 ，交 于点 ，
∵折叠，
∴ ， ， ， ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，在 中， ，
在 中， ，
∴ ；
问题2：如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴四边形 是矩形，
则 ，
在 中， ， , ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，在 中， ．
