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2024 年中考第二次模拟考试（陕西卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（2024·陕师大附中摸底考试）（﹣1）2024等于（ ）
A．﹣2020 B．2020 C．﹣1 D．1
【答案】D
【解析】（﹣1）2024=1，
故选：D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A．70° B．65° C．35° D．5°
【答案】B
【解析】作CF∥AB，∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE∥DE，
∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，
∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，
∴∠BCE＝65°，
故选：B．
4.下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A、 ，故此选项错误；
B、 ，故此选项错误；
C、 ，故此选项正确；
D、 ，故此选项错误．
故选：C．
5.已知一次函数 的图象经过点 ，且 随 的增大而减小，则点 的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】∵一次函数 的函数值 随 的增大而减小，
∴k﹤0，
A．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；
B．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；
C．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；
D．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k= ﹥0，此选项不符合题意，
故选：B．
6.（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在 中，点D、E为边 的三等分点，点F、G在边 上，
，点H为 与 的交点．若 ，则 的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】解： 、 为边 的三等分点， ，
， ， ，
， 是 的中位线，
，
，
，
，即 ，
解得： ，，
故选：C．
7.如图， 分别与 相切于 两点， ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：连接OA、OB，
∵直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵∠P=72°，
∴∠AOB=108°，
∵C是⊙O上一点，
∴∠ACB=54°．
故选：C．
8.（2023·四川自贡·统考中考真题）经过 两点的抛物线 （
为自变量）与 轴有交点，则线段 长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
【答案】B【解析】解：∵抛物线 的对称轴为直线
∵抛物线经过 两点
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵抛物线与 轴有交点，
∴ ，
即 ，
即 ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．与 最接近的自然数是 ________．
【答案】2
【解析】解： ，可得 ，
∴ ，
∵14接近16，
∴ 更靠近4，
故 最接近的自然数是2．故答案为：2．
10.（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，将正五边形纸片 折叠，使点 与点 重合，折痕为
，展开后，再将纸片折叠，使边 落在线段 上，点 的对应点为点 ，折痕为 ，则
的大小为__________度．
【答案】
【解析】解：∵正五边形的每一个内角为 ，
将正五边形纸片 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，
则 ，
∵将纸片折叠，使边 落在线段 上，点 的对应点为点 ，折痕为 ，
∴ ， ，
在 中， ，
故答案为： ．
11.（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，菱形 的对角线 与 相交于点O，E为边 的中点，
连结 ．若 ，则 _________
【答案】【解析】解：∵菱形 ，
∴ ， ， ，
∴由勾股定理，得 ，
∵E为边 的中点，
∴
12.（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为
与 关于直线 对称，反比例函数 的图象与 交
于点 ．若 ，则 的值为_______
【答案】
【解析】解：如图所示，过点B作 轴，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，∴ ， ，
∵ 与 关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，B，O三点共线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将其代入 得： ，
13.（2023·四川达州·统考中考真题）在 中， ， ，在边 上有一点 ，且
，连接 ，则 的最小值为___________．
【答案】
【解析】解：如图，作 的外接圆，圆心为 ，连接 、 、 ，过 作 于 ，过
作 ，交 的垂直平分线于 ，连接 、 、 ，以 为圆心， 为半径作圆；
， 为 的外接圆的圆心，
， ，
，
，
，
，
在 中，
，，
，
即 ，
由作图可知 ， 在 的垂直平分线上，
，
，
又 为 的外接圆的圆心，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
在 中，
，
在 中，
，
即 最小值为 ，
故答案为： ．三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14.（5分）（2024·铁一中滨河摸底）计算：
【解析】原式
．
15.（5分）（2023·辽宁大连·统考中考真题）计算： ．
【解析】解：
16.（5分）（2023·湖南永州·统考中考真题）解关于x的不等式组【解析】解： ，
解①得， ，
解②得， ，
原不等式组的解集为 ．
17.（5分）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC
＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
【解析】解：如图，点P即为所求．
作法：（1）以点C为圆心，以任意长为半径画弧交AC于D，交BC于E，
（2）以点B为圆心，以CD长为半径画弧，交BC于F，
（3）以点F为圆心，以DE长为半径画弧，交前弧于点M，
（3）连接BM，并延长BM与AC交于点P，则点P即为所求．
18.（5分）（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，AB、CD相交于点O，AO=BO，AC∥DB．求证：AC=BD．
【解析】（方法一）
∵AC//DB，
∴∠A=∠B，∠C=∠D．
在△AOC与△BOD中
∵∠A=∠B，∠C=∠D，AO=BO，
∴△AOC≌△BOD．
∴AC=BD．
（方法二）∵AC//DB，
∴∠A=∠B．
在△AOC与△BOD中，
∵ ，
∴△AOC≌△BOD．
∴AC=BD．
19.（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4，1)，B(－1，－1)，C(－
3，3)．(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)(1)将△ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到△ABC (点A，B，C的对应点分别为
1 1 1
点A，B，C )，画出平移后的△ABC ；
1 1 1 1 1 1
(2)将△ABC 绕着坐标原点O顺时针旋转90°得到△ABC (点A ，B ，C 的对应点分别为点A ，B ，C )，
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
画出旋转后的△ABC ；
2 2 2
(3)求△ABC 在旋转过程中，点C 旋转到点C 所经过的路径的长．(结果用含π的式子表示)
1 1 1 1 2
【解析】(1)根据题意得A1(0，3)，B1(3，1)，C1(1，5)，连接A1C1，B1C1，A1B1，如图所示．
(2)如图所示．
(3)∵C1(1，5)，∴OC1＝，点C1旋转到点C2所经过的路径的长为＝π.
20.（5分）36．（2023·江苏苏州·统考中考真题）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号
，这些小球除编号外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________．
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小
球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
【解析】（1）解：搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为 ；
（2）如图，画树状图如下：
所有可能的结果数为16个，第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果数为3个，
∴第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率为： ．21.（6分）（2024·陕西学业水平测试模拟三）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱 垂直地面 ，
支架 与 交于点 ，支架 交 于点 ，支架 平行地面 ，篮筺 与支架 在同一
直线上， 米， 米， ．
(1)求 的度数．
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面 米处，那么他能挂上
篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据： ）
【解析】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）该运动员能挂上篮网，理由如下．
如图，延长 交于点 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴该运动员能挂上篮网．22.（7分）（2023·全国·统考中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长
度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘
的长度之和 与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．
(1)甲组比乙组多挖掘了__________天．
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数．
【解析】（1）解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，
∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天， （天）
∴甲组比乙组多挖掘了30天，故答案为：30；
（2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为 ，
将 和 两个点代入，可得 ，
解得 ，
∴
（3）解：甲组每天挖 （千米）
甲乙合作每天挖 （千米）
∴乙组每天挖 （千米），乙组挖掘的总长度为 （千米）
设乙组己停工的天数为a，则 ，
解得 ，
答：乙组己停工的天数为10天．
23.（7分）（2023·山东·统考中考真题）某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分
考核．学校随机抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和
扇形统计图．
等
劳动积分 人数
级
A 4
B m
C 20
D 8
E 3
请根据以上图表信息，解答下列问题：
(1)统计表中 _________，C等级对应扇形的圆心角的度数为_________；
(2)学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2000人，请估计该学校“劳
动之星”大约有多少人；
【解析】（1）解：由统计图可知：D等级的人数有8人，所占比为 ，
∴抽取学生的总人数为 （人），
∴ ，C等级对应扇形的圆心角的度数为 ；
故答案为15， ；
（2）解：由题意得： （人），答：该学校“劳动之星”大约有760人
24.（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点
D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AB＝12，求线段EC的长．
【解析】证明：（1）连接OC，
∵CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCE＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵∠AOC+∠OCE＝180°，
∴∴AD∥EC；
（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠D＝∠ACB＝60°，
∴sin∠ADB＝ ，
∴AD＝ ＝8 ，
∴OA＝OC＝4 ，
∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，
∴四边形OAFC是矩形，
又∵OA＝OC，
∴四边形OAFC是正方形，
∴CF＝AF＝4 ，
∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，
∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵tan∠EAF＝ ，
∴EF＝ AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+4 ．
25.（8分）（2023·四川达州·统考中考真题）如图，抛物线 过点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 是抛物线对称轴上一动点，点 为坐标平面内一点，是否存在以 为边，点 为
顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）解：将点 代入解析式得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）存在， 或 或 或 ， ，证明如下：
∵ ，
∵抛物线的解析式为 ，
∴对称轴为： ，
设点 ，
若 为菱形的边长，菱形 ，则 ，即 ，
解得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ；
若 为菱形的边长，菱形 ，
则 ，即 ，
解得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ；
综上可得：
或 或 ， ．
26.（10）（2023·甘肃武威·统考中考真题）【模型建立】
（1）如图1， 和 都是等边三角形，点 关于 的对称点 在 边上．
①求证： ；
②用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2， 是直角三角形， ， ，垂足为 ，点 关于 的对称点 在 边
上．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若 ， ，求 的值．【解析】（1）①证明：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
② ．理由如下：
∵ 和 关于 对称，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
（2） ．理由如下：
如图，过点 作 于点 ，得 ．∵ 和 关于 对称，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ 是直角三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，即 ．
（3）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
如图，过点 作 于点 ．
∵ ，
∴ ，
．
∴ ．
∴ ．
