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2015 年天津市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算（﹣18）÷6的结果等于（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
2．（3分）cos45°的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作
是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）据2015年5月4日《天津日报》报道，“五一”三天假期，全市共接待海
内外游客约2270000人次．将2270000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.227×lO7 B．2.27×106 C．22.7×l05 D．227×104
5．（3分）如图是一个由 4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是
（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）估计 的值在（ ）
A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
第1页（共28页）7．（3分）在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得
到的对应点P′的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
8．（3分）分式方程 = 的解为（ ）
A．x=0 B．x=3 C．x=5 D．x=9
9．（3分）已知反比例函数y= ，当1＜x＜3时，y的取值范围是（ ）
A．0＜y＜l B．1＜y＜2 C．2＜y＜6 D．y＞6
10．（3分）已知一个表面积为12dm2的正方体，则这个正方体的棱长为（ ）
A．1dm B． dm C． dm D．3dm
11．（3分）如图，已知 ▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于
∠ABC，把△BAE 顺时针旋转，得到△BA′E′，连接 DA′．若∠ADC=60°，
∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（ ）
A．130° B．150° C．160° D．170°
12．（3分）已知抛物线y=﹣ x2+ x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D
为AB的中点，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算：x2•x5的结果等于 ．
14．（3分）若一次函数y=2x+b（b为常数）的图象经过点（1，5），则b的值为
．
15．（3分）不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这
些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是
第2页（共28页）．
16．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D、E．若AD=3，DB=2，
BC=6，则DE的长为 ．
17．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得
到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形
共有 个．
18．（3分）在每个小正方形的边长为1的网格中．点A，B，C，D均在格点上，点E、
F分别为线段BC、DB上的动点，且BE=DF．
（Ⅰ）如图①，当BE= 时，计算AE+AF的值等于
（Ⅱ）当AE+AF取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出
线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置如何找到的（不要求证明） ．
第3页（共28页）三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算算步骤或推理
过程）
19．（8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）不等式①，得 ；
（Ⅱ）不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．（8分）某商场服装部为了解服装的销售情况，统计了每位营业员在某月的销
售额（单位：万元），并根据统计的这组数据，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题．
（Ⅰ）该商场服装部营业员的人数为 ，图①中m的值为
（Ⅱ）求统计的这组销售额额数据的平均数、众数和中位数．
第4页（共28页）21．（10分）已知A、B、C是⊙O上的三个点．四边形OABC是平行四边形，过点C
作⊙O的切线，交AB的延长线于点D．
（Ⅰ）如图①，求∠ADC的大小．
（Ⅱ）如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与 交于点F，连接AF，
求∠FAB的大小．
22．（10分）如图，某建筑物BC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，
小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°，观测旗杆底部B的仰角为42°已知
点D到地面的距离DE为1.56m，EC=21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高
度（结果保留小数后一位）．参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90．
第5页（共28页）23．（10分）1号探测气球从海拔5m处出发，以lm/min的速度上升．与此同时，2
号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升，两个气球都匀速上
升了50min．
设气球球上升时间为xmin （0≤x≤50）
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
上升时间/min 10 30 … x
1号探测气球所在位置的海拔/m 15 …
2号探测气球所在位置的海拔/m 30 …
（Ⅱ）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间
位于什么高度？如果不能，请说明理由；
（Ⅲ）当30≤x≤50时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？
第6页（共28页）24．（10分）将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（ ，
0），点B（0，1），点0（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作
MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′，设OM=m，折叠
后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S．
（Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点A′，落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子
表示S；
（Ⅲ）当S= 时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．
第7页（共28页）25．（10分）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）．
（Ⅰ）当b=2，c=﹣3时，求二次函数的最小值；
（Ⅱ）当c=5时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此
时二次函数的解析式；
（Ⅲ）当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值
y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．
第8页（共28页）2015 年天津市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算（﹣18）÷6的结果等于（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
【考点】1D：有理数的除法．
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【分析】根据有理数的除法，即可解答．
【解答】解：（﹣18）÷6=﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的除法，解决本题的关键是熟记有理数除法的法则．
2．（3分）cos45°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：cos45°= ．
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的
三角函数值．
3．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作
是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】P3：轴对称图形．
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【分析】根据轴对称图形的概念求解．
第9页（共28页）【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
部分沿对称轴折叠后可重合．
4．（3分）据2015年5月4日《天津日报》报道，“五一”三天假期，全市共接待海
内外游客约2270000人次．将2270000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.227×lO7 B．2.27×106 C．22.7×l05 D．227×104
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是
负数．
【解答】解：将2270000用科学记数法表示为2.27×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）如图是一个由 4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是
（ ）
A． B．
C． D．
第10页（共28页）【考点】U2：简单组合体的三视图．
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【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视
图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
6．（3分）估计 的值在（ ）
A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
【考点】2B：估算无理数的大小．
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【专题】11：计算题．
【分析】由于9＜11＜16，于是 ＜ ＜ ，从而有3＜ ＜4．
【解答】解：∵9＜11＜16，
∴ ＜ ＜ ，
∴3＜ ＜4．
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决
问题．
7．（3分）在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得
到的对应点P′的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．
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【分析】将点P绕原点O顺时针旋转180°，实际上是求点P关于原点的对称点的
坐标．
【解答】解：根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，
∵P点坐标为（﹣3，2），
∴点P′的坐标（3，﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形的变换﹣旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐
标特征是解决问题的关键．
第11页（共28页）8．（3分）分式方程 = 的解为（ ）
A．x=0 B．x=3 C．x=5 D．x=9
【考点】B3：解分式方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验
即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x=3x﹣9，
解得：x=9，
经检验x=9是分式方程的解，
故选：D．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
9．（3分）已知反比例函数y= ，当1＜x＜3时，y的取值范围是（ ）
A．0＜y＜l B．1＜y＜2 C．2＜y＜6 D．y＞6
【考点】G4：反比例函数的性质．
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【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即
可．
【解答】解：∵k=6＞0，
∴在每个象限内y随x的增大而减小，
又∵当x=1时，y=6，
当x=3时，y=2，
∴当1＜x＜3时，2＜y＜6．
故选：C．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的
增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．
10．（3分）已知一个表面积为12dm2的正方体，则这个正方体的棱长为（ ）
A．1dm B． dm C． dm D．3dm
【考点】22：算术平方根．
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【分析】根据正方体的表面积公式：s=6a2，解答即可．
第12页（共28页）【解答】解：因为正方体的表面积公式：s=6a2，
可得：6a2=12，
解得：a= ．
故选：B．
【点评】此题主要考查正方体的表面积公式的灵活运用，关键是根据公式进行计
算．
11．（3分）如图，已知 ▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于
∠ABC，把△BAE 顺时针旋转，得到△BA′E′，连接 DA′．若∠ADC=60°，
∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（ ）
A．130° B．150° C．160° D．170°
【考点】L5：平行四边形的性质；R2：旋转的性质．
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【分析】根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ABC=60°，∠DCB=120°，再由
∠A′DC=10°，可运用三角形外角求出∠DA′B=130°，再根据旋转的性质得到
∠BA′E′=∠BAE=30°，从而得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=60°，∠DCB=120°，
∵∠ADA′=50°，
∴∠A′DC=10°，
∴∠DA′B=130°，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠BAE=30°，
∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，
∴∠BA′E′=∠BAE=30°，
∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理及推论，旋转的性
第13页（共28页）质，此题难度不大，关键是能综合运用以上知识点求出∠DA′B和∠BA′E′．
12．（3分）已知抛物线y=﹣ x2+ x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D
为AB的中点，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点．
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【专题】16：压轴题．
【分析】令y=0，则﹣ x2+ x+6=0，由此得到A、B两点坐标，由D为AB的中点，知
OD的长，x=0时，y=6，所以OC=6，根据勾股定理求出CD即可．
【解答】解：令y=0，则﹣ x2+ x+6=0，
解得：x =12，x =﹣3
1 2
∴A、B两点坐标分别为（12，0）（﹣3，0）
∵D为AB的中点，
∴D（4.5，0），
∴OD=4.5，
当x=0时，y=6，
∴OC=6，
∴CD= = ．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系和抛物线的对称性，求
出AB中点D的坐标是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算：x2•x5的结果等于 x 7 ．
【考点】46：同底数幂的乘法．
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【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案．
【解答】解：x2•x5=x2+5=x7，
故答案为：x7．
第14页（共28页）【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加．
14．（3分）若一次函数y=2x+b（b为常数）的图象经过点（1，5），则b的值为 3
．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】把点（1，5）代入函数解析式，利用方程来求b的值．
【解答】解：把点（1，5）代入y=2x+b，得
5=2×1+b，
解得b=3．
故答案是：3．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函
数的图象上．
15．（3分）不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这
些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是
．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；
二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵共4+3+2=9个球，有2个红球，
∴从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性
相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
16．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D、E．若AD=3，DB=2，
BC=6，则DE的长为 3. 6 ．
第15页（共28页）【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】根据平行线得出△ADE∽△ABC，根据相似得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵AD=3，DB=2，
∴AB=AD+DB=5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵AD=3，AB=5，BC=6，
∴ ，
∴DE=3.6．
故答案为：3.6．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，题
目比较典型，难度适中．
17．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得
到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形
共有 8 个．
【考点】KL：等边三角形的判定；MM：正多边形和圆．
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【分析】在正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点，即可求得图中每个角的
度数，即可判断等边三角形的个数．
【解答】解：等边三角形有△AML、△BHM、△CHI、△DIJ、△EKJ、△FLK、△ACE、
第16页（共28页）△BDF共有8个．
故答案是：8．
【点评】本题考查了正六边形的性质，正确理解正六边形ABCDEF的六个顶点是圆
的六等分点是关键．
18．（3分）在每个小正方形的边长为1的网格中．点A，B，C，D均在格点上，点E、
F分别为线段BC、DB上的动点，且BE=DF．
（Ⅰ）如图①，当BE= 时，计算AE+AF的值等于
（Ⅱ）当AE+AF取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出
线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置如何找到的（不要求证明） 取格点
H ， K ，连接 BH ， CK ，相交于点 P ，连接 AP ，与 BC 相交，得点 E ，取格点 M ， N 连接
DM ， CN ，相交于点 G ，连接 AG ，与 BD 相交，得点 F ，线段 AE ， AF 即为所求． ．
【考点】KQ：勾股定理；PA：轴对称﹣最短路线问题．
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【专题】13：作图题；16：压轴题．
【分析】（1）根据勾股定理得出DB=5，进而得出AF=2.5，由勾股定理得出AE=
，再解答即可；
（2）首先确定E点，要使AE+AF最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要
将AF 移到AE 的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点 H使
∠HBC=∠ADB，其次需要构造长度 BP 使BP=AD=4，根据勾股定理可知 BH=
=5，结合相似三角形选出格点K，根据 ，得BP= BH=
第17页（共28页）=4=DA，易证△ADF≌△PBE，因此可得到PE=AF，线段AP即为所求的AE+AF的
最小值；同理可确定F点，因为AB⊥BC，因此首先确定格点M使DM⊥DB，其
次确定格点G使DG=AB=3，此时需要先确定格点N，同样根据相似三角形性质
得到 ，得 DG= DM= ×5=3，易证△DFG≌△BEA，因此可得到
AE=GF，故线段AG即为所求的AE+AF的最小值．
【解答】解：（1）根据勾股定理可得：DB= ，
因为BE=DF= ，
所以可得AF= =2.5，
根据勾股定理可得：AE= ，所以AE+AF= ，
故答案为： ；
（2）如图，
首先确定E点，要使AE+AF最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将
AF 移到 AE 的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点 H 使
∠HBC=∠ADB，其次需要构造长度 BP 使BP=AD=4，根据勾股定理可知 BH=
=5，结合相似三角形选出格点K，根据 ，得BP= BH=
=4=DA，易证△ADF≌△PBE，因此可得到PE=AF，线段AP即为所求的AE+AF的
最小值；同理可确定F点，因为AB⊥BC，因此首先确定格点M使DM⊥DB，其
第18页（共28页）次确定格点G使DG=AB=3，此时需要先确定格点N，同样根据相似三角形性质
得到 ，得 DG= DM= ×5=3，易证△DFG≌△BEA，因此可得到
AE=GF，故线段AG即为所求的AE+AF的最小值．
故答案为：取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P，连接AP，与BC相交，得点E，取
格点M，N连接DM，CN，相交于点G，连接AG，与BD相交，得点F，线段AE，AF
即为所求．
【点评】此题考查最短路径问题，关键是根据轴对称的性质进行分析解答．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算算步骤或推理
过程）
19．（8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）不等式①，得 x ≥ 3 ；
（Ⅱ）不等式②，得 x ≤ 5 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来
（Ⅳ）原不等式组的解集为 3 ≤ x ≤ 5 ．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
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【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：（Ⅰ）不等式①，得x≥3；
（Ⅱ）不等式②，得x≤5；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来
（Ⅳ）原不等式组的解集为3≤x≤5．
故答案分别为：x≥3，x≤5，3≤x≤5．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小
第19页（共28页）大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（8分）某商场服装部为了解服装的销售情况，统计了每位营业员在某月的销
售额（单位：万元），并根据统计的这组数据，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题．
（Ⅰ）该商场服装部营业员的人数为 2 5 ，图①中m的值为 2 8
（Ⅱ）求统计的这组销售额额数据的平均数、众数和中位数．
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众
数．
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【分析】（1）根据条形统计图即可得出样本容量根据扇形统计图得出m的值即可；
（2）利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可；
【解答】解：（1）根据条形图2+5+7+8+3=25（人），
m=100﹣20﹣32﹣12﹣8=28；
故答案为：25，28．
（2）观察条形统计图，
∵ =18.6，
∴这组数据的平均数是18.6，
∵在这组数据中，21出现了8次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是21，
∵将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是18，
∴这组数据的中位数是18．
【点评】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体
等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两
个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可
第20页（共28页）以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
21．（10分）已知A、B、C是⊙O上的三个点．四边形OABC是平行四边形，过点C
作⊙O的切线，交AB的延长线于点D．
（Ⅰ）如图①，求∠ADC的大小．
（Ⅱ）如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与 交于点F，连接AF，
求∠FAB的大小．
【考点】L5：平行四边形的性质；MC：切线的性质．
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【分析】（Ⅰ）由CD是⊙O的切线，C为切点，得到OC⊥CD，即∠OCD=90°由于四
边形OABC是平行四边形，得到AB∥OC，即AD∥OC，根据平行四边形的性质
即可得到结果．
（Ⅱ）如图，连接OB，则OB=OA=OC，由四边形OABC是平行四边形，得到OC=AB，
△AOB 是等边三角形，证得∠AOB=60°，由 OF∥CD，又∠ADC=90°，得
∠AEO=∠ADC=90°，根据垂径定理即可得到结果．
【解答】解：（Ⅰ）∵CD是⊙O的切线，C为切点，
∴OC⊥CD，即∠OCD=90°
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，即AD∥OC，
有∠ADC+∠OCD=180°，
∴∠ADC=180°﹣∠OCD=90°；
（Ⅱ）如图②，连接OB，则OB=OA=OC，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC=AB，
∴OA=OB=AB，
第21页（共28页）即△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
由OF∥CD，又∠ADC=90°，
得∠AEO=∠ADC=90°，
∴OF⊥AB，
∴ ，
∴∠FOB=∠FOA= ∠AOB=30°，
∴ ．
【点评】本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判
定，熟练掌握定理是解题的关键．
22．（10分）如图，某建筑物BC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，
小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°，观测旗杆底部B的仰角为42°已知
点D到地面的距离DE为1.56m，EC=21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高
度（结果保留小数后一位）．参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】根据题意分别在两个直角三角形中求得AF和BF的长后求差即可得到旗
杆的高度，进而求得BC的高度．
第22页（共28页）【解答】解：根据题意得DE=1.56，EC=21，∠ACE=90°，∠DEC=90°．
过点D作DF⊥AC于点F．
则∠DFC=90°∠ADF=47°，∠BDF=42°．
∵四边形DECF是矩形．
∴DF=EC=21，FC=DE=1.56，
在直角△DFA中，tan∠ADF= ，
∴AF=DF•tan47°≈21×1.07=22.47（m）．
在直角△DFB中，tan∠BDF= ，
∴BF=DF•tan42°≈21×0.90=18.90（m），
则AB=AF﹣BF=22.47﹣18.90=3.57≈3.6（m）．
BC=BF+FC=18.90+1.56=20.46≈20.5（m）．
答：旗杆AB的高度约是3.6m，建筑物BC的高度约是20.5米．
【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转
化为解直角三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解．
23．（10分）1号探测气球从海拔5m处出发，以lm/min的速度上升．与此同时，2
号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升，两个气球都匀速上
升了50min．
设气球球上升时间为xmin （0≤x≤50）
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
上升时间/min 10 30 … x
1号探测气球所在位置的海 15 3 5 … x + 5
拔/m
2号探测气球所在位置的海 2 0 30 … 0.5 x + 1 5
第23页（共28页）拔/m
（Ⅱ）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间
位于什么高度？如果不能，请说明理由；
（Ⅲ）当30≤x≤50时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（Ⅰ）根据“1号探测气球从海拔5m处出发，以lm/min的速度上升．与此
同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升”，得出1号
探测气球、2号探测气球的函数关系式；
（Ⅱ）两个气球能位于同一高度，根据题意列出方程，即可解答；
（Ⅲ）由题意，可知1号气球所在的位置的海拔始终高于2号气球，设两个气球在
同一时刻所在位置的海拔相差ym，则y=（x+5）﹣（0.5x+15）=0.5x﹣10，根据x
的取值范围，利用一次函数的性质，即可解答．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意得：1号探测气球所在位置的海拔：m =x+5，2号探测气
1
球所在位置的海拔：m =0.5x+15；
2
当x=30时，m =30+5=35；当x=10时，m =5+15=20，
1 2
故答案为：35，x+5，20，0.5x+15．
（Ⅱ）两个气球能位于同一高度，
根据题意得：x+5=0.5x+15，
解得：x=20，有x+5=25，
答：此时，气球上升了20分钟，都位于海拔25米的高度．
（Ⅲ）当30≤x≤50时，
由题意，可知1号气球所在的位置的海拔始终高于2号气球，
设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差ym，
则y=（x+5）﹣（0.5x+15）=0.5x﹣10，
∵0.5＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=50时，y取得最大值15，
答：两个气球所在位置海拔最多相差15m．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数解析
式．
第24页（共28页）24．（10分）将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（ ，
0），点B（0，1），点0（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作
MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′，设OM=m，折叠
后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S．
（Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点A′，落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子
表示S；
（Ⅲ）当S= 时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．
【考点】FI：一次函数综合题．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）根据折叠的性质得出BM=AM，再由勾股定理进行解答即可；
（Ⅱ）根据勾股定理和三角形的面积得出△AMN，△COM和△ABO的面积，进而
表示出S的代数式即可；
（Ⅲ）把S= 代入解答即可．
【解答】解：（Ⅰ）在Rt△ABO中，点A（ ，0），点B（0，1），点O（0，0），
∴OA= ，OB=1，
由OM=m，可得：AM=OA﹣OM= ﹣m，
根据题意，由折叠可知△BMN≌△AMN，
∴BM=AM= ﹣m，
在Rt△MOB中，由勾股定理，BM2=OB2+OM2，
可得： ，解得m= ，
第25页（共28页）∴点M的坐标为（ ，0）；
（Ⅱ）在Rt△ABO中，tan∠OAB= ，
∴∠OAB=30°，
由MN⊥AB，可得：∠MNA=90°，
∴在Rt△AMN中，MN=AM•sin∠OAB= ，
AN=AN•cos∠OAB= ，
∴ ，
由折叠可知△A'MN≌△AMN，则∠A'=∠OAB=30°，
∴∠A'MO=∠A'+∠OAB=60°，
∴在Rt△COM中，可得CO=OM•tan∠A'MO= m，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ；
（Ⅲ）①当点A′落在第二象限时，把S的值代入（2）中的函数关系式中，解方程求
得m，根据m的取值范围判断取舍，两个根都舍去了；
②当点A′落在第一象限时，则S=SRt△AMN，根据（2）中Rt△AMN的面积列方程
求解，根据此时m的取值范围，把S= 代入，可得点M的坐标为（ ，0）．
【点评】此题考查了一次函数的综合问题，关键是利用勾股定理、三角形的面积，
三角函数的运用进行分析．
25．（10分）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）．
（Ⅰ）当b=2，c=﹣3时，求二次函数的最小值；
（Ⅱ）当c=5时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此
第26页（共28页）时二次函数的解析式；
（Ⅲ）当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值
y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．
【考点】H3：二次函数的性质；H7：二次函数的最值．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）把b=2，c=﹣3代入函数解析式，求二次函数的最小值；
（Ⅱ）根据当c=5时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，
得到x2+bx+5=1有两个相等是实数根，求此时二次函数的解析式；
（Ⅲ）当c=b2时，写出解析式，分三种情况进行讨论即可．
【解答】解：（Ⅰ）当b=2，c=﹣3时，二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴当x=﹣1时，二次函数取得最小值﹣4；
（Ⅱ）当c=5时，二次函数的解析式为y=x2+bx+5，
由题意得，x2+bx+5=1有两个相等是实数根，
∴△=b2﹣16=0，
解得，b =4，b =﹣4，
1 2
∴二次函数的解析式y=x2+4x+5，y=x2﹣4x+5；
（Ⅲ）当c=b2时，二次函数解析式为y═x2+bx+b2，
图象开口向上，对称轴为直线x=﹣ ，
①当﹣ ＜b，即b＞0时，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x=b时，y=b2+b•b+b2=3b2为最小值，
∴3b2=21，解得，b =﹣ （舍去），b = ；
1 2
②当b≤﹣ ≤b+3时，即﹣2≤b≤0，
∴x=﹣ ，y= b2为最小值，
∴ b2=21，解得，b =﹣2 （舍去），b =2 （舍去）；
1 2
③当﹣ ＞b+3，即b＜﹣2，
第27页（共28页）在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，
故当x=b+3时，y=（b+3）2+b（b+3）+b2=3b2+9b+9为最小值，
∴3b2+9b+9=21．解得，b =1（舍去），b =﹣4；
1 2
∴b= 时，解析式为：y=x2+ x+7
b=﹣4时，解析式为：y=x2﹣4x+16．
综上可得，此时二次函数的解析式为y=x2+ x+7或y=x2﹣4x+16．
【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的
增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函
数有最小值，当x=﹣ 时，y= ；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随
x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以
函数有最大值，当x=﹣ 时，y= ；确定一个二次函数的最值，首先看自
变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标
当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函
数值，从而获得最值．
第28页（共28页）
