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参考答案及详解详析
参考答案及详解详析
第十一章 三角形
第 1 天 三角形的边 形 将 的木条无论怎样分 两段木条之和都
; 15 cm ,
小于 不满足三角形三边关系 不能构成
巧构关联学知识 20 cm, ,∴
三角形 故可以把 的木条分为两段.
1. ABC ABD ADC ; 20 cm
(1)△ ,△ ,△ ; 5. 解: AB BC AC
AB BD AD ADB. ∵ =3, =7,∴ 7-3< <3+7,
(2) , , ;∠
AC .
2. 等腰 ∴ 4< <10
AC的长为偶数 AC 或AC .
3. C 【解析】由三角形三边关系可得 a ∵ ,∴ =6 =8
8-5< <5+8,
当AC 时 ABC的周长
即 a a的值可能是 . =6 ,△ =3+7+6=16;
3< <13,∴ 9 当AC 时 ABC的周长 .
4. A 【解析】 可以组成三 =8 ,△ =3+7+8=18
∵ 3+4>5,5-3<4,∴ 3,4,5 综上所述 ABC的周长为 或 . 参
角形.选项 符合题意 不能 ,△ 16 18 考
A ;∵ 4+6<12,∴ 4,6,12 6. 解:分以下 种情况
答
组成三角形.选项 不符合题意 3 :
B ;∵ 8-2>5,∴ 2,5, 案
不能组成三角形. 选项 不符合题意 当m m 时 解得m 5 及
8 C ;∵ 7+11< ① +2=-2 +7 , = ,
3 详
不能组成三角形. 选项 不符合
19,∴ 7,11,19 D 解
三角形三边分别为11 11 .
题意. ∴ , ,3 详
3 3 析
典例精讲学方法
11 11 11 11
1. C 【解析】分情况讨论 当 是等腰三角形的腰
∵
3
+3>
3
,
3
-3<
3
,
:① 3
时 不符合三角形的三边关系 当 是等 11 11 可以构成等腰三角形
,3+3<7, ;② 7 ∴ , ,3 ;
腰三角形的腰时 符合三角形的三 3 3
,7+3>7,7-3<7, 当m 时 解得m
边关系 该等腰三角形的三边为 . 周长 ② +2=3 , =1,
,∴ 7,7,3 ∴ 三角形三边分别 .
为 . ∴ 3,3,5
7+7+3=17
2. 证明:在 ABO和 CDO中 ∵ 3+3>5,5-3<3,
△ △ , 可以构成等腰三角形
由三角形的三边关系可得 AO BO AB ∴ 3,3,5 ;
: + > , 当 m 时 解得m
CO DO CD ③ -2 +7=3 , =2,
+ > , 三角形的三边分别为 .
AO BO CO DO AB CD. ∴ 3,3,4
∴ + + + > +
AO CO AC BO DO BD ∵ 3+3>4,4-3<3,
∵ + = , + = , 可以构成等腰三角形.
AC BD AB CD. ∴ 3,3,4
∴ + > +
分层巩固练 综上所述 m的值为5 或 或 .
, 1 2
3
1. C 2. D
3. 【解析】 以 AB 为边的三角形有 ABD
4;8 △ ,
ABF ABE ABC 图中的三角形有 ABD
△ ,△ ,△ , :△ ,
ABF ABE ABC AEF BDF ADC
△ , △ , △ , △ , △ , △ ,
BEC 共 个.
△ , 8
4. 【解析】(本题考查的知识点是三角形的三边
20
关系) 将 的木条分为两段 两段木条之和
∵ 20 cm ,
大于 满足三角形三边关系 能构成三角
15 cm, ,∴
易 错 点 拨
哪条边是底边,需要分情况讨论,此处还
需满足三边关系
7. 解: ABC是等腰三角形 理由如下
(1)△ , :
a b c 2 a b c 2
∵ -2+( - ) =0, -2≥0,( - ) ≥0,
a b c 2 a b c
∴ -2=0,( - ) =0,∴ =2, = ,
ABC为等腰三角形
∴ △ ;
113初二 预习视频课 数学
a b c是三角形的三边长
(2)∵ , , ,
a b c b c a a c b
∴ - < , + > , + > ,
a b c b c a a c b
∴ - - <0, + - >0, + - >0,
a b c b c a a c b
∴ 2| - - |+| + - |-| + - |
a b c b c a a c b
=-2( - - )+ + - - - +
a b c.
=-4 +4 +2
第 2 天 三角形的重要线段及稳定性
巧构关联学知识
1. 画出 ABD的边AB上的高DE如解图.
3; △
第 题解图
1
2. 【解析】 O是 ABC的重心 AD是BC 边上
参
3 ∵ △ ,∴
考
答 的中线. D是BC的中点. BD 1BC . ∴ ∴ = =3 案 2
及 3. 【解析】 CD 是 ABC 的边 AB 的中线
4 ∵ △ ,∴
详
解 S 1S .
详 △
ACD=
△
ABC=4
2
析 4. 【解析】 BE CF是 ABC的角平分线
23;64 ∵ , △ ,∴
ABE 1 ABC 1 ° ° BCA ACF
∠ = ∠ = ×46 =23 ,∠ =2∠
2 2
° °.
=2×32 =64
5. 三角形具有稳定性
典例精讲学方法
1-1 . 【解析】 AB BC S 1AB BC.
4 8 ∵ ⊥ ,∴ △ ABC= · ∵
2
BD是AC边上的高 S 1 AC BD 1 AB
,∴ △ ABC= · ,∴ 2 2
BC 1 AC BD 1 1 BD 解得 · = · ,∴ ×8×6= ×10× ,
2 2 2
BD . .
=4 8
BC上的中线 S S .
,∴ △ ABC=2 △ ACD=20
2-2 【解析】如解图 连接 AD E F 分别是边
12 , ,∵ ,
AB AC的中点 S 1S S 1 S
, ,∴ △ AED= △ ABD, △ ADF= △ ADC,
2 2
S 1S 1 . ∴ 四边形AEDF= △ ABC= ×24=12
2 2
第 题解图
2-2
分层巩固练
1. A 2. D
3. D 【解析】思路分析:三角形的中线平分这个三
角形的面积. DE为 BCD中边BC上的中线
∵ △ ,∴
S S . CD 为 ABC 中边 AB 上的中
△ BCD=2 △ CDE=6 ∵ △
线 S S . ,∴ △ ACD= △ BCD=6
4. 【解析】 D是AB的中点 CD是 ABC 的中
5 ∵ ,∴ △
线 S S 1 S 1 . DE ,∴ △ ACD= △ BCD= △ ABC= ×60=30 ∵ ⊥
2 2
AC S 1 AC DE 即 1 DE ,∴ △ ACD= · =30, ×12· =30,
2 2
DE .
∴ =5
5. 解: BD是 ABC的中线 AD CD
∵ △ ,∴ = ,
C AB BD AD ∴ △ ABD= + + ,
C BD CD BC BD AD BC.
△ BCD= + + = + +
ABD的周长比 BCD的周长大
∵ △ △ 6,
AB BD AD BD AD BC
∴ + + -( + + )= 6,
AB BC AB BC .
∴ - =6,∴ = +6
AB AC
∵ = ,
C AB AC BC BC BC BC ∴ △ ABC= + + =2( +6)+ =3 +12=
解得BC .
24, =4
ABC 三边长为 满足三角形三边
解 题 关 键 ∴ △ 10,10,4,
关系
AB BC, AB 和 BC 本身就是 ABC 的 ,
⊥ ∴ △ BC的长为 .
高 ∴ 4
6. 证明:如解图 连接AD
(1) ①, ,
D为BC的中点 AD为 ABC的中线
1-2 48 【解析】由题意知 S 1 BC AE 1 AC ∵ ,∴ △ ,
, △ ABC= · = S S .
7 2 2 ∴ △ ABD= △ ACD
DE AB DF AC
BD BC AE AC BD BC 48. ∵ ⊥ , ⊥ ,
· ,∴ · = · =8×6=48,∴ =
7
1 AB DE 1AC DF.
2-1 【解析】 E 是 AD 的中点 CE 是 ACD ∴ · = ·
20 ∵ ,∴ △ 2 2
的中线 S S . AD 是 ABC 中边 AB AC DE DF
,∴ △ ACD=2 △ ACE=10 ∵ △ ∵ = ,∴ = ;
114参考答案及详解详析
解:如解图 连接AD ACE是直角三角形.
(2) ②, , ∴ △
S S S 分层巩固练
∵ △ ABC= △ ABD+ △ ADC,
1. C 【解析】 B ° C ° A °
1 AC BG 1AB DE 1AC DF. ∵ ∠ =36 ,∠ =81 ,∴ ∠ =180 -
∴ · = · + ·
2 2 2 B C ° ° ° °.
∠ -∠ =180 -36 -81 =63
AB AC BG DE DF
∵ = ,∴ = + , 2. C 【解析】 A B C A B C
∵ ∠ +∠ =∠ ,∴ ∠ +∠ +∠ =
DF BG DE .
∴ = - =9-5=4 C ° C ° A B C可以判
2∠ =180 ,∴ ∠ =90 ,∴ ∠ +∠ =∠
定 ABC是直角三角形 A B C
△ ;∵ ∠ ∶∠ ∶∠ =1∶2∶3,
A B C A A A ° 解得
∴ ∠ +∠ +∠ =∠ +2∠ +3∠ =180 ,
A ° C A ° A B C
∠ =30 ,∴ ∠ =3∠ =90 ,∴ ∠ ∶∠ ∶∠ =1∶
可以判定 ABC 是直角三角形 A B
2∶3 △ ;∵ ∠ =∠ =
C A B C A ° 解得 A
第 题解图 ∠ ,∴ ∠ +∠ +∠ =3∠ =180 , ∠ =
6 ° A B C ° A B C 不
第 3 天 三角形的内角和 60 ,∴ ∠ =∠ =∠ =60 ,∴ ∠ =∠ =∠
可以判定 ABC是直角三角形 A B °
△ ;∵ ∠ +∠ =90 ,
巧构关联学知识
A B C ° C ° A B
∠ +∠ +∠ =180 ,∴ ∠ =90 ,∴ ∠ +∠ =
1. ° 【解析】 三角形内角和为 ° C °可以判定 ABC是直角三角形. 参
70 ∵ 180 ,∴ ∠ = 90 △ 考
180 ° -∠ A -∠ B =180 ° -50 ° -60 ° =70 °. 3. 52 【解析】(本题考查的知识点是三角形内角和 答
2. 【解析】 三角形的内角和为 ° x 定理) ° A ° ° ° 案
83 ∵ 180 ,∴ ( + ∵ ∠1+∠2=113 ,∴ ∠ =180 -113 =67 , 及
28) ° + x° +42 ° =180 °. 解得 x =55 . ∴ ∠ A =(55+ ∴ ∠ B =180 ° -∠ A -∠ C =180 ° -67 ° -61 ° =52 °. 详
° °. 4. ° 【解析】 A ° AED ° ADE 解
28) =83 106 ∵ ∠ =90 ,∠ =14 ,∴ ∠ 详
3. ° ° AED ° ° ° PDC ° 析
40 =90 -∠ =90 -14 =76 ,∴ ∠ =180 -
4. 【解析】 ABC是直角三角形 且 B ° ADE EDF ° ° ° ° 在 DPC
63 ∵ △ , ∠ =90 , ∠ -∠ =180 -76 -90 =14 ,∴ △
A ° ACB ° ° °. CD 为 中 DPC ° PDC C ° ° °
∠ = 36 ,∴ ∠ = 90 -36 = 54 ∵ ,∠ = 180 -∠ -∠ = 180 -14 -60
°.
ACB 的平分线 BCD 1 ACB ° =106
∠ ,∴ ∠ = ∠ = 27 ,∴
2 5. 【解析】 A ° ABC ACB °
120 ∵ ∠ =60 ,∴ ∠ +∠ =180
BDC ° BCD °.
∠ =90 -∠ =63 A °. BE CF 是 ABC 的角平分线
-∠ =120 ∵ , △ ,∴
典例精讲学方法
DBC DCB 1 ABC ACB 1 °
1. 解: C ° ABC ° ∠ +∠ = (∠ +∠ )= ×120 =
∵ ∠ =26 ,∠ =118 , 2 2
BAC ° ° ° °. ° BDC ° DBC DCB °
∴ ∠ =180 -26 -118 =36 60 ,∴ ∠ =180 -(∠ +∠ )= 180 -
AE平分 BAC ° °.
∵ ∠ , 60 =120
6. 解: 由题意可知 AOB COD
CAE 1 BAC 1 ° °. (1) ,∠ =∠ ,
∴ ∠ = ∠ = ×36 =18
2 2 A B AOB ° C D COD °
∵ ∠ +∠ +∠ =180 ,∠ +∠ +∠ =180 ,
C ° AD是BC边上的高
∵ ∠ =26 , , A B C D
∴ ∠ +∠ =∠ +∠ ,
CAD ° ° ° °
∴ ∠ =180 -90 -26 =64 , D A B C ° ° ° °
∴ ∠ =∠ +∠ -∠ =55 +35 -55 =35 ;
DAE CAD CAE ° ° °.
∴ ∠ =∠ -∠ =64 -18 =46 由 可知 A ABE D DCE
(2) (1) ∠ +∠ =∠ +∠ ,
2. 解: ACE是直角三角形 理由如下
△ , : A D ° ABE DCE.
∵ ∠ =∠ =100 ,∴ ∠ =∠
AB CD
∵ ∥ , BF CF分别平分 ABE DCE
∵ , ∠ ,∠ ,
BAC DCA °.
∴ ∠ +∠ =180 ABF ACF. 由 字图形的结论易得 A
∴ ∠ =∠ “8” ∠ +
AE CE分别为 BAC和 DCA的平分线
∵ , ∠ ∠ , ABF F ACF A F.
∠ =∠ +∠ ,∴ ∠ =∠
EAC ECA 1 BAC DCA A ° F °.
∴ ∠ +∠ = (∠ +∠ ) ∵ ∠ =100 ,∴ ∠ =100
2 第 4 天 三角形的外角
1 ° °
= ×180 =90 , 巧构关联学知识
2
115初二 预习视频课 数学
1. ABD BDF
; G ° GBC GCB ° 1 CBD
2. B 【解析】根据外角的性质可得 ACD A B
∴ ∠ =180 -∠ -∠ =180 - ∠ -
2
∠ =∠ +∠
° ° °.
=75 +35 =110 1 BCE ° 1 CBD BCE .
∠ =180 - (∠ +∠ )
3. 【解析】 是 ABD 的外角 2 2
∠1<∠2<∠3 ∵ ∠2 △ ,∴
CBD BCE都是 ABC的外角
. 是 ACD 的外角 ∵ ∠ ,∠ △ ,
∠2>∠1 ∵ ∠3 △ ,∴ ∠3>∠2,∴
CBD A ACB BCE A ABC
. ∴ ∠ =∠ +∠ ,∠ =∠ +∠ ,
∠1<∠2<∠3
CBD BCE A ACB A ABC A
4. ° 【解析】设 x° 则 x° x°. ∴ ∠ +∠ =∠ +∠ +∠ +∠ =∠
140 ∠1= , ∠2=3 ,∠3=5 ∵
°
三角形的外角和为 ° x° x° +180 ,
360 ,∴ ∠1+∠2+∠3= +3
x° x° °. x . °. BAC G ° 1 A ° ° 1 A.
+5 =9 =360 ∴ =40 ∴ ∠1=40 ∴ ∠ = ∴ ∠ =180 - (∠ +180 )= 90 - ∠
2 2
° ° °.
180 -40 =140 第 5 天 多边形及其内角和
典例精讲学方法
巧构关联学知识
1. C 【解析】在 DEF 中 D ° E °
△ ,∠ =61 ,∠ =24 ,∴
1. 【解析】从n边形的一个顶点出发 可以引 n
F ° ° ° °. DF BC EHB 3;4 , (
∠ =180 -61 -24 =95 ∵ ∥ ,∴ ∠ =
条对角线 将多边形分成 n 个三角形
F °. EHB 是 CGH 的一个外角 -3) , ( -2) ,∴ 6
参 ∠ = 95 ∵ ∠ △ ,∴
条 个 .
考 EHB C CGF CGF EHB C ° -3=3( ),6-2=4( )
∠ =∠ +∠ ,∴ ∠ =∠ -∠ =95
答 ° °. 2. 1080 【解析】八边形的内角和为 (8-2)×180 °
案 -43 =52
°.
及 分层巩固练 =1080
详 3. 【解析】由题意得 n ° ° 解得 n
1. B 【解析】 三角形的外角度数比为 最 120 ( -2)×180 =720 ,
解 ∵ 3∶4∶5,∴
这个多边形的边数为 这个正多边形的
详 =6,∴ 6,∴
小的外角度数为 ° 3 ° 对应的内角
析 360 × =90 ,∴ 一个内角为 ° °.
720 ÷6=120
3+4+5
4. ° 【解析】正五边形的一个外角的度数是
度数为 ° 这个三角形是直角三角形.
72 ;9
90 ,∴
2. C 【解析】 AB CD AFC C ° 360
°
° 若正多边形的一个外角等于 ° 则这
∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ = 50 ,∵ =72 ; 40 ,
AFC是 AEF的外角 E AFC A ° 5
∠ △ ,∴ ∠ =∠ -∠ =50
°
° °. 个多边形的边数是360 .
-30 =20 ° =9
3. ° 【解析】如解图 是 EDF 的外
40
270 ,∵ ∠1,∠2 △ 典例精讲学方法
角 D ° D D
,∠ =90 ,∴ ∠1=∠ +∠4,∠2=∠ +∠3, 1. C 【解析】 多边形的外角和为 ° 这个多
° D ° D ∵ 360 ,∴
∠3+∠4=180 -∠ =90 ,∴ ∠1+∠2=∠ +∠4+ 边形的内角和为 ° °.设这个多边形的
D ° ° °. 360 ×3=1 080
∠ +∠3=90 +180 =270 边数为n 则 n ° ° 解得n .
, ( -2)×180 =1 080 , =8
2-1 C 【解析】多边形的外角和等于 ° 故 选
360 , B,D
项错误 n边形的内角和等于 n °
;∵ ( -2)·180 ,∴
当多边形的边数从x减少到 x 时 内角和减少
( -2) ,
第 题解图 ° ° 故 选项错误 选项正确.
2×180 =360 , A ,C
3
2-2 D 【解析】 多边形的外角和为 ° 所得多
4. 增加 【解析】 ABD ° BCD ∵ 360 ,∴
;20 ∵ ∠ = 75 ,∴ ∠ =
边形的内角和为 ° °. 根据题意 得 n
ABD D ° ° ° ECF ° 360 ×2=720 , ( -
∠ -∠ = 75 -35 = 40 ,∴ ∠ = 180 -
° ° 解得 n . 一个多边形切去一个
ECB BCD ° ° ° °. 题图 中 2)×180 =720 , =6
∠ -∠ =180 -90 -40 =50 ∵ ②
角后 多边形的边数可能增加一条 可能不变 也
ECF ° ° ° °. 图中 ECF 应增 , , ,
∠ =30 ,∴ 50 -30 =20 ∴ ∠
可能减少一条 则原多边形的边数可能是 或
加 °. , 5 6
20
或 边数不可能是 .
5. 证明: BG平分 CBD CG平分 BCE 7, 8
∵ ∠ , ∠ ,
分层巩固练
GBC 1 CBD GCB 1 BCE
∴ ∠ = ∠ ,∠ = ∠ , 1. D 【解析】 从 n 边形的一个顶点出发 可以引
2 2 ∵ ,
116参考答案及详解详析
n 条对角线 n 解得 n 这个多
( -3) ,∴ -3=6, =9,∴
边形的边数为 .
9
2. C 【解析】 正八边形的内角和是 °
∵ (8-2)×180 =
°
° 这个正八边形的每个内角度数为1080
1080 ,∴
8
°.
=135
3. 十 【解析】 n ° ° n
∵ ( -2)×180 =1 440 ,∴ =10,∴
内角和为 °的多边形是十边形.
1 440
4. 【解析】五边形内角和为 ° °
135 (5-2)×180 =540 ,
x° x ° ° ° ° ° 解得 x
∴ +( -30) +60 +150 +90 = 540 ,
.
=135
5. 解:如解图 连接GD E F FGD EDG
, ,∠ +∠ =∠ +∠ ,
多边形ABCDG是五边形
∵ ,
五边形的内角和为 ° °
∴ (5-2)×180 =540 ,
即 A B C CDG AGD ° 参
∠ +∠ +∠ +∠ +∠ =540 , 考
A B C CDE E F AGF 答
∴ ∠ +∠ +∠ +∠ +∠ +∠ +∠
°. 案
=540 及
详
解
详
析
第 题解图
5
第 6 天 章整合小练
1. A 【解析】 A B C ° B ° C
∵ ∠ +∠ +∠ =180 ,∠ =46 ,∠
° A ° B C ° ° °
=72 ,∴ ∠ = 180 -∠ -∠ = 180 -46 -72
°.
=62
2. C 【解析】 当a木棍切成 的长度时
A. 2,8 ,2+6=
三根木棍不能围成三角形 故 选项不符合题
8, , A
意 当b木棍切成 时 三根木棍不
;B. 2,4 ,2+4<10,
能围成三角形 故 选项不符合题意 a 木棍正
, B ;C.
中间切一刀时 最小的两边之和 a
, =5+5=10>6,∴
木棍正中间切一刀可以围成三角形. 故 选项符
C
合题意 当b木棍正中间切一刀 切成 的长
;D. , 3,3
度时 三根木棍不能围成三角形 故 选
,3+3<10, , D
项不符合题意.
3. C 【解析】 °
∵ ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360 ,∴
° ° ° °
∠5=360 -(∠1+∠2+∠3+∠4)= 360 -(75 +75
° ° °.
+65 +65 )= 80
4. A 【解析】 AD 为边 BC 上的中线 S
∵ ,∴ △ ABD =
S . DE AB 于点 E DF AC 于点 F AB
△ ADC ∵ ⊥ , ⊥ ,∴ ·
DE AC DF. DE .
= · ∴ =6
解 题 关 键
三角形的中线平分这个三角形的面积
5. D 【解析】 BAC ° AD 平分 BAC
∵ ∠ = 100 , ∠ ,∴
CAD °. DE AC ADE ° CAD
∠ =50 ∵ ∥ ,∴ ∠ =180 -∠ =
° ° °. BD AD ADB °
180 -50 =130 ∵ ⊥ ,∴ ∠ =90 ,∴
BDE ° ° ° °.
∠ =360 -130 -90 =140
6. B 【解析】(本题考查的知识点是三角形中线的
性质和能构成三角形的条件)如解图所示 设 CD
,
x 则AD x AB x. 当AB AD BC CD
= , = , =2 ① + =15, + =9
时 x x 解得x AB AC BC
,2 + =15, =5,∴ = =10, =9-5=
这个等腰三角形的腰长为 底边长为 .
4,∴ 10, 4 ∵
可以构成三角形
10+4>10,10-4<10,∴ 10,10,4 ;
当AB AD BC CD 时 x x 解得 x
② + =9, + =15 ,2 + =9, =
AB AC BC . 3,∴ = =6, =15-3=12 ∵ 6+6=12,∴ 6,
不能构成三角形.综上所述 这个等腰三角形
6,12 ,
的腰长为 . 10
解 题 关 键
将等腰三角形的周长分成两部分有两种
情况,需要分类讨论,同时,根据不同的情况所
求出的三边长需要判断能否构成三角形
第 题解图
6
7.
3
8. ° 【解析】设 A α 则 B α C α 由
45 ∠ =2 , ∠ =3 ,∠ =7 ,
内角和定理可知 A B C ° α α
∠ +∠ +∠ =180 ,∴ 2 +3 +
α ° 解得α ° B °.
7 =180 , =15 ,∴ ∠ =45
9. ° 【解析】如解图 由题意得 A °
95 , ∠ =60 ,∵ ∠1=
A A ° ° °.
∠ +∠4,∴ ∠4=∠1-∠ =110 -60 =50 ∵ ∠3
与 是对顶角 °
∠4 ,∴ ∠3=∠4=50 ,∴ ∠2=∠3+
D ° ° °.
∠ =50 +45 =95
第 题解图
9
10. 【解析】思路分析:作出第 条中线将 ABC
4 3 △
分成 个小三角形,根据中线的性质以及面积的
6
117初二 预习视频课 数学
和差可推出相对的两个小三角形面积相等,进一 12. 解:(本题考查的知识点是三角形的三边关系)
步推出 个小三角形面积相等.如解图 连接 BO 分
6 , (1)<;>; ………………………………… (3 )
并延长交AC 于点 F 则 BF 也是 ABC 的中线. 【解法提示】 a b c 为 ABC 的三边长 a b
, △ ∵ , , △ ,∴ + >
AE CD 为 ABC 的中线 S S c a c b. c a b a c b .
∵ , △ ,∴ △ ADC = △ AEC,∴ , + > ∴ -( + )<0,( + )- >0
S S S S 即 S S . 同理 a b c为 ABC的三边长
△ ADC- △ AOC= △ AEC- △ AOC, △ AOD= △ COE (2)∵ , , △ ,
可得 S S S S . E 为 BC 中 a b c a c b 分
, △ BOD = △ FOC, △ BOE = △ AOF ∵ ∴ + > , + > ,………………………… (6 )
点 OE为 BOC 的中线 S S . 同理 c a b b a c a b c
,∴ △ ,∴ △ BOE= △ COE ∴ | - - |+| - - |+| + - |
可得 S S S S S S a b c a c b a b c
△ BOD= △ AOD, △ AOF= △ FOC,∴ △ AOD = △ AOF = + - + + - + + -
a b c. 分
S S S S 1 S S =3 + - ……………………………… (10 )
= △ BOD= △ BOE= △ COE= △ FOC= △ ABC,∴ 阴影部分
6
1S .
= △ ABC=4
3
参
考
答 第 题解图
10
案
11. 解:(本题考查的知识点是多边形的内角和,外角
及
详 和以及多边形的对角线条数)
解
设这个正多边形的一个外角为 x° 则相邻的
详 (1) ,
析 内角为 x° °
6 +12 ,
x° ° x° ° x
∴ 6 +12 + =180 ,∴ =24,
该正多边形的外角均为 °. 分
∴ 24 ………… (3 )
多边形的外角和为 °
∵ 360 ,
°
该正多边形的边数为360
∴ ° =15,
24
该多边形为正十五边形
∴ ,
这个正多边形的内角和为 ° °
∴ (15-2)×180 =2340 ;
分
……………………………………… (5 )
n n
一个n边形共有 ( -3)条对角线
(2)∵ ,
2
n n
当n 时 ( -3) 15×(15-3)
∴ =15 , = =90,
2 2
这个正多边形的对角线的总条数为 条.
∴ 90 …
分
……………………………………… (8 )
解 题 关 键
根据三角形三边的关系可得到三个不等
式,从而可判断出多项式之间的大小关系
13. 解:(本题考查的知识点是三角形的角平分线)
分
(1)117,13;……………………………… (4 )
【解法提示】 BAC ° ABC °
∵ ∠ = 76 ,∠ = 54 ,∴
ACB °. CE 平分 ACB AP 平分 BAC
∠ =50 ∵ ∠ , ∠ ,
ACD DAC ° ADC °. BD 平
∴ ∠ +∠ =63 ,∴ ∠ =117 ∵
分 ABC DFH DBC ACB °. DH
∠ ,∴ ∠ =∠ +∠ =77 ∵
AC HDF °.
⊥ ,∴ ∠ =13
HDF 1 BAC ACB 证明
(2)∠ = (∠ -∠ ), :
2
DH AC HDF ° DFH. 分
∵ ⊥ ,∴ ∠ =90 -∠ …… (5 )
DFH CBD ACB
∵ ∠ =∠ +∠ ,
HDF ° CBD ACB. 分
∴ ∠ =90 -∠ -∠ ……… (8 )
BD平分 ABC
∵ ∠ ,
CBD 1 ABC 1 ° ACB BAC
∴ ∠ = ∠ = (180 -∠ -∠ ),
2 2
HDF ° CBD ACB
∴ ∠ =90 -∠ -∠
° ° 1 ACB 1 BAC ACB
=90 -90 + ∠ + ∠ -∠
2 2
1 BAC 1 ACB
= ∠ - ∠
2 2
1 BAC ACB . 分
= (∠ -∠ ) ……… (12 )
2
第十二章 全等三角形
第 7 天 全等三角形 CB CE . BD CB CD CE AC .
= =2 ∴ = + = + =2+5=7
【解析】 ABC DEC A D
巧构关联学知识
(2)75 ∵ △ ≌△ ,∴ ∠ =∠ =
1. B 25
°.
∴ ∠
ECD
=180
°
-∠
E
-∠
D
=180
°
-80
°
-25
°
2. ADC
°.
=75
(1)△ ;
点D AD ACD 典例精讲学方法
(2) ; ;∠
3. 【解析】 ABC DEC CD AC 1. 解: ABC与 DEF全等 分两种情况
(1)7 ∵ △ ≌△ ,∴ = =5, △ △ , :
118参考答案及详解详析
x 解得x .
① +3=9, =6
此时 x 符合题意
2 -1=11, ;
x 解得x
② +3=11, =8,
此时 x 不符合题意 舍去 x .
2 -1=15≠9, , ,∴ =6
2-1 ° 【解析】 ABN ACM B °
20 ∵ △ ≌△ ,∠ =40 ,∴
C B °. ANB 为 ACN 的一个外角
∠ =∠ =40 ∵ ∠ △ ,
ANB ° CAN ° ° °.
∠ =60 ,∴ ∠ =60 -40 =20
2-2 解:AC CD 理由如下
⊥ , :
AB BC B °. ACB A °.
∵ ⊥ ,∴ ∠ =90 ∴ ∠ +∠ =90
ABC CED A DCE
∵ △ ≌△ ,∴ ∠ =∠ ,
ACB DCE ° ACD °
∴ ∠ +∠ =90 ,∴ ∠ =90 ,
AC CD.
∴ ⊥
分层巩固练
1. B
2. C 【解析】 ABC CDA B D °. 参
∵ △ ≌△ ,∴ ∠ =∠ =65 考
ACD ° D DAC ° ° ° 答
∴ ∠ = 180 -∠ -∠ = 180 -65 -35
案
°.
=80 及
3. 【解析】由第一个三角形可知 a c两边的夹角 详
20 , ,
解
为 ° ° ° ° 两个三角形全等 且第
180 -136 -24 =20 ,∵ , 详
二个三角形中γ是a和c的夹角 γ °. 析
,∴ =20
x y x y .
∴ =5, =2,∴ 2 -3 =2×5-3×2=4
解题 关键
注意找准全等三角形的对应角
4. 【解析】 AOC BOD OA OB. AC
8 ∵ △ ≌△ ,∴ = ∴ +
BC AC OC OB AC OC OA. AOC 的周长为
= + + = + + ∵ △
. AC BC ABC 的周长为 AB
12 ∴ + =12,∵ △ 20,∴ =
AC BC .
20-( + )= 8
5. 【解析】由平移的性质可知 BE DE AB
12 , =3, = =
ABC DEF EG DE DG
6,∵ △ ≌△ ,∴ = - =6-4=2,∴
S S S S 1 AB EG BE
△ ABC= △ DEF,∴ 阴影= 四边形ABEG= ( + )·
2
1 .
= ×(6+2)×3=12
2
6. 解: 这两个三角形全等
∵ ,
三条边长度对应相等.
∴
可分为两种情况
:
x x x y
① +2=2 ,10= + ,
解得x y 则x
=2, =8, +2=4,
此时三边长为 不能构成三角形 舍去
6,4,10, ( );
x x y x
② +2= + ,2 =10,
解得x y 则x
=5, =2, +2=7,
此时三边长为 能构成三角形.
6,7,10,
易 错 点 拨
没有具体说明哪两条边是对应边,需要分
类讨论
7. 证明:由折叠的性质可知 ABP A′BP
(1) ,△ ≌△ ,
ABP A′BP APB A′PB
∴ ∠ =∠ ,∠ =∠ ,
PA′E A′BP A′PB ABP APB
∴ ∠ =∠ +∠ =∠ +∠ ;
解: ABP A′BP
(2) ∵ △ ≌△ ,
AB A′B S S
∴ = =6, △ ABP= △ A′BP,
四边形ABA′P的面积为 S .
∵ 24,∴ △ ABP=12
A °
∵ ∠ =90 ,
S 1AB AP
∴ △ ABP= · =12,
2
解得AP .
=4
第 8 天 用“ ”和“ ”判定
SSS SAS
三角形全等
巧构关联学知识
ìAB AD
ï ï = ,
1. 证明:在 ABC和 ADC中 íBC DC
△ △ ,ï = ,
ï îAC AC
= ,
ABC ADC .
∴ △ ≌△ (SSS)
2. 解:如解图所示 AOC即为所求.
,∠
第 题解图
2
3. 证明: AB AD E C分别是AB AD的中点
∵ = , , , ,
AE AC.
∴ =
ìAB AD
ï ï = ,
在 ABC和 ADE中 í A A
△ △ ,ï∠ =∠ ,
ï
îAC AE
= ,
ABC ADE .
∴ △ ≌△ (SAS)
典例精讲学方法
ìAD BC
ï
ï = ,
1. 解:在 ADC和 BCD中 íAC BD
△ △ ,ï = ,
ï
îDC CD
= ,
ADC BCD
∴ △ ≌△ (SSS),
ACD BDC °
∴ ∠ =∠ =26 ,
COD ° ACD BDC ° ° °
∴ ∠ = 180 -∠ -∠ = 180 -26 -26
°.
=128
119初二 预习视频课 数学
2-1 ° 【解析】如解图 在 ADB 和 AEC 中 BAC DAC DAE DAC
180 , △ △ , ∴ ∠ -∠ =∠ -∠ ,
ìAD AE 即 BAD CAE.
ï
ï = , ∠ =∠
í D E ADB AEC ìAB AC
ï∠ =∠ ,∴ △ ≌△ (SAS),∴ ∠1 = ï ï = ,
ï
îDB EC 在 ADB和 AEC中 í BAD CAE
= , △ △ ,ï∠ =∠ ,
ï
ACE. ACE ° °. îAD AE
∠ ∵ ∠2+∠ =180 ,∴ ∠1+∠2=180 = ,
ADB AEC
∴ △ ≌△ (SAS);
解: ABC是等腰直角三角形 BAC °
(2) ∵ △ ,∠ =90 ,
S 1AB AC 25.
∴ △ ABC= · =
2 2
第 题解图
S ADB AEC
2-1 ∵ 四边形ABCE=15,△ ≌△ ,
2-2 证明: BAD CAE
(1) ∵ ∠ =∠ , S S S S 25 5.
BAD CAD CAE CAD ∴ △ ADB= △ AEC= 四边形ABCE- △ ABC=15- =
∴ ∠ +∠ =∠ +∠ , 2 2
即 BAC DAE.
∠ =∠ D为BE的中点 S S 5.
ì ï AB AD ∵ ,∴ △ ADE= △ ADB= 2
ï = ,
参 在 ABC和 ADE中 í BAC DAE 第 9 天 用“ ”、“ ”、
△ △ ,ï∠ =∠ , ASA AAS
考 ï
îAC AE “ ”判定三角形全等
答 = ,
HL
案 ABC ADE
∴ △ ≌△ (SAS); 巧构关联学知识
及
解: ABC ADE D B °.
详 (2) ∵ △ ≌△ ,∴ ∠ =∠ =27 1. 证明: BD同时平分 ABC和 ADC
解 AFE为 AFD的一个外角 ∵ ∠ ∠ ,
详 ∵ ∠ △ , ABD CBD ADB CDB.
AFE D DAC ° ° °. ∴ ∠ =∠ ,∠ =∠
析 ∴ ∠ =∠ +∠ =27 +43 =70
ì ABD CBD
ï
分层巩固练 ï∠ =∠ ,
在 ABD和 CBD中 íBD BD
1. D △ △ ,ï = ,
ï
î ADB CDB
ì BD CF ∠ =∠ ,
ï
ï = , ABD CBD .
2. ° 【解析】在 BDF和 CFE中 í B C ∴ △ ≌△ (ASA)
40 △ △ ,ï∠ =∠ ,∴ 2. A D
ï
î BF CE ∠ =∠ ;ASA
= , 3. 证明:在 ABE和 ACD中
BDF CFE . DFB FEC C △ △ ,
△ ≌△ (SAS) ∴ ∠ =∠ ,∵ ∠ ì B C
ï
° DFE ° DFB EFC ° ï∠ =∠ ,
=40 ,∴ ∠ = 180 -∠ -∠ = 180 - í BAE CAD
FEC EFC C °. ï∠ =∠ ,
∠ -∠ =∠ =40 î ï AE AD
3. 解:如解图 直线PC即为所求. = ,
, ABE ACD AB AC.
∴ △ ≌△ (AAS),∴ =
4. AB DE
=
典例精讲学方法
1-1 【解析】 AD 平分 BAE BAC DAE.
20 ∵ ∠ ,∴ ∠ =∠
第 题解图
3 BC AD BCA ° E. 在 ABC 和
∵ ⊥ ,∴ ∠ = 90 = ∠ △
4. 解:AF DE DF AD平分 BAC.
; = ; ∠ ì ï BAC DAE
证明 已知AE AF DE DF AD是公共边
ï∠ =∠ ,
: = , = , , ADE 中 í BCA E ABC ADE
△ , ï∠ =∠ , ∴ △ ≌ △
ìAE AF ï
ï ï = , îCB = ED ,
在 AED和 AFD中 íDE DF
△ △ ,ï = ,
ï . AD AB BC DE S 1
îAD = AD , (AAS) ∴ = =10, = =4,∴ △ ABD = 2
AED AFD
∴ △ ≌△ (SSS), AD BC 1 .
BAD CAD AD平分 BAC. · = ×10×4=20
∴ ∠ =∠ ,∴ ∠ 2
5. 证明: BAC DAE ° 1-2 解: E是边AB的中点 AE BE.
(1) ∵ ∠ =∠ =90 , ∵ ,∴ =
120参考答案及详解详析
BF AC EAD EBF. FE CF CE EF .
∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ = =3,∴ = - =5-3=2
ì EAD EBF 5. 解: AD CE BE CE
ï
ï∠ =∠ , ∵ ⊥ , ⊥ ,
在 ADE和 BFE中 íAE BE ADC E ° CBE BCE °.
△ △ ,ï = , ∴ ∠ =∠ =90 ,∠ +∠ =90
ï
î AED BEF ACB BCE ACD ° ACD CBE.
∠ =∠ , ∵ ∠ =∠ +∠ =90 ,∴ ∠ =∠
ADE BFE ì ADC E
ï
∴ △ ≌△ (ASA), ï∠ =∠ ,
AD BF CD AC AD . 在 ACD和 CBE中 í ACD CBE
∴ = =5,∴ = - =7-5=2 △ △ ,ï∠ =∠ ,
ï
2. 解:如解图 连接BE îAC CB
, , = ,
ED BC BDE A °. ACD CBE
∵ ⊥ ,∴ ∠ =∠ =90 ∴ △ ≌△ (AAS),
{BE BE AD CE CD BE
在 ABE和 DBE中 = , ∴ = =4, = =1,
Rt△ Rt△ , BA BD DE CE CD .
= , ∴ = - =4-1=3
ABE DBE AE DE. 6. 证明: BE平分 ABC ABE CBE.
∴ Rt△ ≌Rt△ (HL),∴ = (1) ∵ ∠ ,∴ ∠ =∠
S AB EF AC BFE A.
∵ △ ABC=24, =6, ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠
A BCD BFE BCE.
1 AB AC 1 AC AC . ∵ ∠ =∠ ,∴ ∠ =∠
∴ · = ×6× =24,∴ =8 ì FBE CBE
2 2 ï ï∠ =∠ ,
EC DE AE AC EC . 在 BEF和 BEC中 í BFE BCE 参
∵ =5,∴ = = - =3 △ △ ,ï∠ =∠ , 考
ï
îBE BE 答
= ,
案
BEF BEC EF EC
∴ △ ≌△ (AAS),∴ = ; 及
解: BEF BEC EF EC BF BC 详
(2) ∵ △ ≌△ ,∴ = , = ,
解
第 2 题解图 ∴ C △ DEF= DE + EF + DF = DE + EC + DF = DC + DF = DC 详
BF BD DC BC BD . 析
分层巩固练 +( - )= +( - )
DB BC CD
1. C ∵ =6, =9, =7,
C DC BC BD .
2. C 【解析】如解图 可知 ABC 和 DEF 的等量 ∴ △ DEF= +( - )= 7+(9-6)= 10
, △ △
第 10 天 角的平分线的性质
关系为两角及其一角的对边对应相等 符合
, AAS
判定依据. 巧构关联学知识
1. D 【解析】由作图步骤得 BP 为 ABC 的平分线
∠ ,
CBF ABF 1 ABC ° AFB CBF
∴ ∠ =∠ = ∠ =53 ,∴ ∠ =∠ +
2
C ° ° °.
第 题解图 ∠ =53 +27 =80
2 2. 【解析】如解图 过点 D 作 DE AC 于点 E
3 , ⊥ ,∵
3. A 【解析】 AB CD BAC ECD.在 ABC
∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ △ AD平分 BAC B DEA ° DE BD
∠ ,∠ =∠ =90 ,∴ = =3,
ì BAC ECD
ï ï∠ =∠ , 点D到AC的距离为 .
∴ 3
和 CED 中 íAC CD ABC CED
△ ,ï = , ∴ △ ≌△
ï
î ACB CDE
∠ =∠ ,
AB CE AE CE AC .
(ASA),∴ = =5,∴ = - =5-3=2
4. 【解析】思路点拨:证明 BEC FEA. CE
2 △ ≌△ ∵
第 题解图
AB CEA CEB ° BAD AFE
⊥ ,∴ ∠ =∠ =90 ,∴ ∠ +∠ = 2
°. AD BC ADB ° B BAD 3. B 【解析】根据角的平分线的判定定理可知 角的
90 ∵ ⊥ ,∴ ∠ =90 ,∴ ∠ +∠ = ,
° AFE B.在 BEC和 FEA中 内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线
90 ,∴ ∠ =∠ △ △ ,
ì B AFE 上 当MP MQ时 BM为 ABC的平分线.
ï ï∠ =∠ , ,∴ = , ∠
í CEB AEF BEC FEA BE 典例精讲学方法
ï∠ =∠ ,∴ △ ≌△ (AAS),∴
ï
îCE AE 1. 证明: BD平分 ABC AB AC DF BC
= , ∵ ∠ , ⊥ , ⊥ ,
121初二 预习视频课 数学
AD DF. ACD GCD AC CG.
∴ = ∴ Rt△ ≌Rt△ (HL),∴ =
{DE DC DEC与 DFC互补
在 ADE和 FDC中 = , ∵ ∠ ∠ ,
Rt△ Rt△ , DA DF DEC DFG °.
= , ∴ ∠ +∠ =180
ADE FDC C AED. DEC DEA °
∴ Rt△ ≌Rt△ (HL),∴ ∠ =∠ ∵ ∠ +∠ =180 ,
DE BC EDB DBC. DEA DFG.
∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ ∴ ∠ =∠
BD平分 ABC DAE DGF °
∵ ∠ , ∵ ∠ =∠ =90 ,
ABD DBC EDB EBD ADE GDF AE GF
∴ ∠ =∠ ,∴ ∠ =∠ , ∴ △ ≌△ (AAS),∴ = ,
AED EDB EBD EDB CF CG GF AC AE.
∴ ∠ =∠ +∠ =2∠ , ∴ = + = +
C EDB.
∴ ∠ =2∠
2. 证明:如解图 过点C作CM AB于点 M 作 CN
, ⊥ , ⊥
DE于点N.
由旋转的性质可知 ABC DEC 第 题解图
,△ ≌△ , 5
AB DE S S 6. 解: 如解图 所示
∴ = , △ ABC= △ DEC, (1) ① ;
如解图 作MN AB 于点 N 延长 NM 交 CD
1 AB CM 1DE CN (2) ②, ⊥ ,
参 ∴ · = · , 于点F 则 ANM °.
考 2 2 , ∠ =90
答 CM CN 点C在 BFD的平分线上 AB CD ANM DFM ° MF CD.
∴ = ,∴ ∠ , ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ =90 ,∴ ⊥
案
FC平分 BFD. AP平分 CAB ME AC MN AB
及 ∴ ∠ ∵ ∠ , ⊥ , ⊥ ,
详 MN ME .
∴ = =3
解
CM平分 ACD ME AC MF CD
详 ∵ ∠ , ⊥ , ⊥ ,
析 ME MF NF MN MF
∴ = =3,∴ = + =6,
点M到AB与CD的距离之和为 .
∴ 6
第 题解图
2
分层巩固练
1. A
2. A 【解析】当 EQ OA 时 EQ 取最小值 此时 EQ
⊥ , ,
第 题解图
CQ EQ的值不可能为 . 6
= =4,∴ 3
第 11 天 章整合小练
3. 【解析】 AD是 BAC的平分线 DE AB DF
10 ∵ ∠ , ⊥ ,
1. D
AC DE DF . S 1 AB DE 1
⊥ ,∴ = =2 ∵ △ ABD= × · = × 2. B 【解析】 ABC DEF A D °
2 2 ∵ △ ≌△ ,∴ ∠ =∠ =80 ,
AB AB . F ° D E ° ° ° °.
×2=10,∴ =10 ∴ ∠ =180 -∠ -∠ =180 -80 -60 =40
4. 【解析】 AD BD CD 均为 ABC 的角平分 3. C 【解析】 AB m n m ABO DCO
24 ∵ , , △ ∵ ⊥ , ⊥ ,∴ ∠ =∠ =
线 DG DF DE S S S ì ABO DCO
,∴ = = = 2,∴ △ ABC = △ ADB+ △ BDC+ ï ï∠ =∠ ,
°. 在 AOB 与 DOC 中 íOB OC
S 1 AB DF 1BC DE 1 AC DG 1 90 △ △ ,ï = , ∴
△ ADC= · + · + · = × î ï AOB DOC
2 2 2 2 ∠ =∠ ,
AB BC AC ABC 的周长 AB BC AOB DOC AB CD.
2( + + )= 24,∴ △ = + + △ ≌△ (ASA),∴ =
AC . 4. D 【解析】(本题考查的知识点是角的平分线的
=24
5. 解:如解图 过点D作DG BC于点G 性质)由题可知 DC AC AD 平分 BAC DE
, ⊥ , , ⊥ ,∵ ∠ , ⊥
CD平分 ACB A ° AB DE DC BDE 的周长为 BE DE BD
∵ ∠ ,∠ =90 , ,∴ = ,∴ △ + + =
DA DG DGC A °. BE DC BD BE BC .
∴ = ,∠ =∠ =90 + + = + =2+5=7
{DA DG 5. A 【解析】由作图痕迹可知BE BC AD BC
在 ACD和 GCD中 = , = =13,∵ ∥ ,
Rt△ Rt△ , CD CD ABC ° A ABC ° AEB FBC.
= , ∠ =90 ,∴ ∠ =∠ =90 ,∠ =∠ ∵
122参考答案及详解详析
CF BE A BFC. 在 AEB 和 FBC 中
⊥ ,∴ ∠ = ∠ △ △ ,
ì A BFC
ï
ï∠ =∠ ,
í AEB FBC AEB FBC BF ï∠ =∠ ,∴ △ ≌△ (AAS),∴
ï
îBE CB
= ,
AE EF BE BF .
= =12,∴ = - =13-12=1
参
考
答
案
及
详
解
详
析
解 题 关 键
作图痕迹可得BE BC
=
6. C 【解析】(本题考查的知识点是利用 证明
ASA
三角形全等)如解图 延长 BD 交 AC 于点 E AD
, ,∵
平分 BAE AD BD BAD EAD ADB
∠ , ⊥ ,∴ ∠ =∠ ,∠ =
ì BAD EAD
ï ï∠ =∠ ,
ADE.在 ABD 和 AED 中 íAD AD
∠ △ △ ,ï = , ∴
ï
î ADB ADE
∠ =∠ ,
ABD AED BD DE S
△ ≌△ (ASA),∴ = ,∴ △ ABD =
S S S S S S S
△ AED, △ BDC = △ CDE, △ ABD+ △ BDC = △ ADE+ △ CDE =
S S 1S 1 .
△ ADC,∴ △ ADC= △ ABC= ×20=10
2 2
AC 于点 H. DE 1 AD S S
∵ = , △ BDE = 1,∴ △ ABD =
2
S . AD 是 BAC 的平分线 DG AB
2 △ BDE=2 ∵ ∠ , ⊥ ,
DH AC DG DH. AC AB S 1 AB
⊥ ,∴ = ∵ =2 , △ ABD= ·
2
DG S 1 AC DH S S
, △ ADC = · ,∴ △ ADC =2 △ ABD =4,∴
2
S S S .
△
ABC=
△
ABD+
△
ADC=2+4=6
第 题解图
10
11. 解:(本题考查的知识点是尺规作角的平分线和
角的平分线的性质)
如解图 AE即为所求 分 (1) , ; ……………… (3 )
四边形ABCD是长方形 (2)∵ ,
BAD D B °.
∴ ∠ =∠ =∠ =90
DCA ° DAC ° ° °
解 题 关 键 ∵ ∠ =50 ,∴ ∠ =90 -50 =40 ,
BAC ° ° °.
∴ ∠ =90 -40 =50
ABD 与 AED 等底同高, BDC 与
△ △ △ AE平分 BAC
∵ ∠ ,
CDE等底同高
△
BAE 1 BAC °
∴ ∠ = ∠ =25 ,
2
在 ABE中 AEB ° ° ° °.
∴ △ ,∠ =180 -90 -25 =65
分
…………………………………………… (8 )
第 题解图
6
7. BC EF 答案不唯一 A D B E BF
= ( ,∠ =∠ ,∠ =∠ , =
CE均可
)
第 题解图
8. 【解析】 ABC DEC AC DC CE 11
12 ∵ △ ≌△ ,∴ = =8,
12. 解:(本题考查的知识点是利用 或 判定三
SSS HL
CB AE AC CE S 1 AE CD
= =5,∴ = - =3,∴ △ ADE= · = 角形全等)
2
选择甲同学的方案
1 . :
×3×8=12 ìBD CE
2 ï ï = ,
ì ï BC EA 在 BDM和 CEN中 íBM CN
ï = , △ △ ,ï = ,
9. ° 【解析】在 ACB 和 DAE 中 í ACB DAE î ï DM EN
95 △ △ ,ï∠ =∠ , = ,
ï
îAC DA BDM CEN
= , ∴ △ ≌△ (SSS),
ACB DAE BAC EDA. B C. 分
∴ △ ≌ △ (SAS), ∴ ∠ = ∠ ∴ ∠ =∠ …………………………… (10 )
BAE ° CAD ° BAC EAD 或选择乙同学的方案
∵ ∠ =160 ,∠ =75 ,∴ ∠ +∠ = :
° ° ° EDA EAD ° E DM BC EN BC
160 -75 =85 ,∴ ∠ +∠ =85 ,∴ ∠ = ∵ ⊥ , ⊥ ,
° EDA EAD ° ° °. BDM和 CEN为直角三角形.
180 -(∠ +∠ )= 180 -85 =95 ∴ △ △
10. 【解析】(本题考查的知识点是角的平分线的 {BD CE
6 在 BDM和 CEN中 = ,
性质)如解图 过点 D 作 DG AB 于点 G DH Rt△ Rt△ , DM EN
, ⊥ , ⊥ = ,
123初二 预习视频课 数学
BDM CEN ACB ° ACB ACE
∴ Rt△ ≌Rt△ (HL), ∵ ∠ =45 ,∴ ∠ =∠ ,
B C. 分 CA平分 BCE 分
∴ ∠ =∠ …………………………… (10 ) ∴ ∠ ; ……………………… (6 )
13. 证明:(本题考查的知识点是角的平分线的判定 由 知 ACB ACE °.
(2) (1) ∠ =∠ =45
和利用 判定三角形全等) CDE °
AAS ∵ ∠ =60 ,
BAC DAE ° CEF ° ° ° ° °
(1)∵ ∠ =∠ =90 , ∴ ∠ =180 -60 -45 -45 =30 ,
BAC CAD DAE CAD CGF CEF. 分
∴ ∠ -∠ =∠ -∠ , ∴ ∠ =∠ ……………………… (9 )
BAD CAE. ì CEF CGF
ï
∴ ∠ =∠ ï∠ =∠ ,
ìAB AC 在 CEF和 CGF中 í FCE FCG
ï
ï = , △ △ ,ï∠ =∠ ,
ï
在 BAD和 CAE中 í BAD CAE îCF CF
△ △ ,ï∠ =∠ , = ,
ï
îAD AE CEF CGF
= , ∴ △ ≌△ (AAS),
BAD CAE CE CG. 分
∴ △ ≌△ (SAS), ∴ = ……………………………… (12 )
ACE ABD °. 分
∴ ∠ =∠ =45 ………………… (4 )
参
考
答
案
及
详
解
详
析
第十三章 轴对称
第 12 天 轴对称与轴对称图形 1. D 【解析】选项 是轴对称图形 其中选项
A,B,D ,
有 条对称轴 选项 有 条对称轴.
巧构关联学知识 A,B 1 , D 4
2. l 图 图 图
1. B 2. B 1; ②; ③; ④
3. 【解析】 五边形ABCDE关于直线AO对称
3. D 【解析】 ABC 与 DEF 关于直线 MN 对 165 ∵ ,
∵ △ △
称 ABC DEF ABC DEF 由轴对 BAO EAO 1 BAE °. AOC
,∴ △ ≌△ ,∴ ∠ =∠ ; ∴ ∠ = ∠ = ∠ = 65 ∵ ∠ =
2
称的性质可知 直线 MN 是 AD 和 BE 的垂直平分
,
AOD 1 COD AOC °. 四边形 ABCO
线 AD MN O 是 BE 的中点 BO EO 根据 ∠ = ∠ ,∴ ∠ =90 ∵
,∴ ⊥ , ,∴ = ;
2
已知条件不能判定 AC 与 EF 的位置关系 选项
的内角和为 ° C ° BAO B
,D
360 ,∴ ∠ = 360 -∠ -∠ -
不一定正确.
AOC ° ° ° ° °.
∠ =360 -65 -40 -90 =165
典例精讲学方法 4. 【解析】 AC为正方形ABCD的一条对角线
24 ∵ ,∴
1-1 ° 【解析】 O 是 AA′与直线 l 的交点 AC是正方形ABCD的对称轴 点B和点D 点M和
42 ∵ ,∴ ,∴ ,
AOB A′OB′ ° BOB′ ° ° °. 点N均关于AC 对称 S S S S
∠ +∠ =180 -∠ =180 -96 =84 ,∴ △ ADE= △ ABE, △ DEN= △ BEM,
AOB与 A′OB′关于直线 l 对称 AOB
∵ △ △ ,∴ △ ≌ S S S S S 1S
△
EFN=
△
EFM,
△
CFN=
△
CFM,∴ 阴影= 正方形ABCD=12,
A′OB′ AOB A′OB′ AOB 1 ° 2
△ ,∴ ∠ =∠ ,∴ ∠ = ×84 = 正方形ABCD的面积为 .
2 ∴ 24
°. 5. ° 【解析】 AB DC′ BDC′ B °.
42 115 ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ =50
1-2 【解析】 A ° B C ° ° 由题意可知 ADC′与 ADC 关于 AD 所在直线对
90 ∵ ∠ =45 ,∴ ∠ +∠ =180 -45 = △ △
°. ADE 与 FDE 关于 DE 对称 DFE 称 ADC′ ADC. ADB ADC °
135 ∵ △ △ ,∴ ∠ = ,∴ ∠ =∠ ∵ ∠ +∠ =180 ,
A ° BFD CFE ° ° ° ADB ADC′ BDC′ ADC ° ADC
∠ =45 ,∴ ∠ +∠ =180 -45 =135 ,∴ ∠ =∠ -∠ =∠ -50 ,∴ ∠ -
BDF CEF ° B C BFD CFE ° ADC ° ADC °.
∠ +∠ =360 -∠ -∠ -∠ -∠ = 50 +∠ =180 ,∴ ∠ =115
° ° ° °. 6. 解: AD是边BC上的高
360 -135 -135 =90 (1)∵ ,
2. 【解析】 正方形ABCD是以直线BD为对称轴 ADB ° BAD ° B °.
8 ∵ ∴ ∠ =90 ,∴ ∠ =90 -∠ =18
的轴对称图形 S S S S S 由折叠的性质可知 BAD B′AD
, △ AEF= △ CEF, △ AGB= △ CGB,∴ 阴影 :∠ =∠ ,
S S S S S S S BAB′ BAD °.
= △ ADE+ △ CEF+ △ AFG+ △ CGB= △ ADE+ △ AEF+ △ AFG+ ∴ ∠ =2∠ =36
AB′是 BAC的平分线
S S 1S 1 . ∵ ∠ ,
△ AGB= △ ABD= 正方形ABCD= ×4×4=8 BAC BAB′ °
2 2 ∴ ∠ =2∠ =72 ,
分层巩固练 C ° B BAC °
∴ ∠ =180 -∠ -∠ =36 ;
124参考答案及详解详析
由折叠的性质可知 BD B′D 直平分线l l 相交于点O AO OB OC .
(2) : = =2, 1, 2 ,∴ = = =3
AB′是 ADC的中线
∵ △ ,
B′C B′D BD
∴ = = =2,
BC B′C B′D BD
∴ = + + =6,
S 1BC AD 1 .
∴ △ ABC= × = ×6×3=9 第 1-2 题解图
2 2
第 13 天 线段垂直平分线 2. B 【解析】 灌溉设备到该麦田的顶点 B 和顶点
∵
C距离都相等 智能灌溉设备的安装位置应在
的性质与判定 ,∴
BC的垂直平分线与 AC 的交点上. 如解图 作 BC
,
巧构关联学知识 的垂直平分线与AC交于点D 点D 即为智能灌
,∴
1. B 【解析】由与线段两个端点距离相等的点 在这 溉设备的安装位置.
,
条线段的垂直平分线上可知 要判断点 P 为线段
,
AB的垂直平分线 则需已知PA PB.
, =
2. 【解析】 线段垂直平分线上的点与这条线段
2 ∵
两个端点的距离相等 BE CE AE AB 参
,∴ = =3,∴ = -
考
BE .
=5-3=2 第 题解图 答
3. 解:如解图 线段AD即为所求作. 2 案
, 分层巩固练
及
1. D 【解析】 选项可以得到 AD AC 选项作的 详
A = ;B 解
是AB的垂直平分线 可以得到 AD BD 选项作 详
, = ;C
析
的是BC的垂直平分线 可以得到BD CD 选项
, = ;D
作的是AC的垂直平分线 可以得到AD CD.
第 题解图 , =
3
2. C 【解析】 DE垂直平分AB AD BD AB
4. 如解图 作线段AB的垂直平分线 此时BD AD. ∵ ,∴ = =5, =
, , =
BE ABD 的周长 AB BD AD
2 =8,∴ △ = + + =8+5+5=
故选 .
18, C
3. ° 【解析】 ED 是 AC 的垂直平分线 AD
60 ∵ ,∴ =
CD AE CE ADE CDE °. 在 ADE 和
, = ,∠ =∠ =90 Rt△
第 题解图 {AD CD
4 CDE中 = , ADE CDE
5. 解:如解图所示. Rt△ , AE CE ∴ Rt△ ≌Rt△ (HL),
= ,
DAE DCE. CE 是 ACB 的平分线
∴ ∠ =∠ ∵ ∠ ,∴
ECB DCE ° DAE ° AED
∠ =∠ =30 ,∴ ∠ =30 ,∴ ∠ =
° DAE ° ° °.
90 -∠ =90 -30 =60
4. 解:所作对称轴如解图.
第 题解图
5
典例精讲学方法
1-1 【解析】 DE 垂直平分 BC CD BD CE
4 ∵ ,∴ = , =
BE. ABD的周长为 AB AC AB AD CD
∵ △ 14,∴ + = + +
第 题解图
AB AD BD . ABC 的周长为 AB AC BC
4
= + + =14 ∵ △ + +
5. 证明:如解图 设AC BD相交于点G
BC BE 1 . , , ,
=22,∴ =22-14=8,∴ = ×8=4 AB BC的垂直平分线交于点D
2 ∵ , ,
1-2 【解析】如解图 连接OB 线段AB BC 的垂 AD BD CD.
3 , ,∵ , ∴ = =
125初二 预习视频课 数学
DB平分 ADC ADB CDB. 的坐标为 .
∵ ∠ ,∴ ∠ =∠ (5,9)
ìDG DG 2. D 【解析】 ABC 关于 y 轴对称 由题图可知
ï
ï = , ∵ △ , ,
在 ADG与 CDG中 í ADG CDG 点B与点C关于y轴对称 点C的坐标为 .
△ △ ,ï∠ =∠ , ,∴ (3,-2)
ï
îAD CD 3. a b 【解析】 点 P Q 关于 y 轴对称
= , =-4, =1 ∵ , ,∴
ADG CDG {a b {a
∴ △ ≌△ (SAS), +2 =-2,解得 =-4, a的值为 b的值为 .
AG CG AGD CGD ° b b ∴ -4, 1
∴ = ,∠ =∠ =90 , 1= , =1,
BD是AC的垂直平分线. 4. 解:画出下列图形关于直线l对称的图形如解图.
∴
第 题解图 (1) (2)
5 第 题解图
6. 解: 小船在某一时刻与 A B C 三处观赏亭的距 4
∵ , , 5. 【解析】观察点 P 的坐标规律得当 n
离都相等 小船所在的位置为 AB BC AC 三条 (2 024,2)
参 边垂直平分 ,∴ 线的交点上. 所作图如解 , 图 , 此时小船 为奇数时 , P n 的坐标为 ( n ,-2), 当 n 为偶数时 , P n
考 , 的坐标为 n 点P 的坐标为 .
答 的位置为点P. ( ,2),∴ 2 024 (2 024,2)
案 6. 解: 如解图 A B C 即为所求
(1) ,△ 1 1 1 ;
及
如解图 A B C 即为所求
详 (2) ,△ 2 2 2 ;
解
如解图 S 1 1 1
详 (3) , △ A 1 B 2 C 2 =7×5- ×7×4- ×3×1- ×5
2 2 2
析
第 题解图
19.
×4=
6
2
第 14 天 画轴对称图形
巧构关联学知识
1. 解:直线l垂直平分线段BE.
2. 解:画出四边形 ABCD 关于直线 l 对称的图形如
解图.
第 题解图
6
第 15 天 等腰三角形
第 题解图 巧构关联学知识
2
3. 1. ° 【解析】 AB AC C B °.
(1,1);(-1,-1) 57 ∵ = ,∴ ∠ =∠ =57
典例精讲学方法 2. D 【解析】 ADB ADC ADB ADC
∵ ∠ =∠ ,∠ +∠ =
1. 解: 点 A a b 点 B a b 关于 y 轴 ° ADB ADC ° 即 AD 是 ABC 的
∵ ( +2 ,4), (-5,2 + ) 180 ,∴ ∠ =∠ =90 , △
对称 高 正确但不符合题意 AB AC BD CD
, ,A ;∵ = , = ,∴
{a b {a AD是 ABC的中线 AD 是 ABC 的高 正确
+2 =5,解得 =1, △ ,∴ △ ,B
∴ a b b 但不符合题意 AB AC DAB DAC AD
2 + =4, =2, ;∵ = ,∠ =∠ ,∴
ab . 平分 BAC AD是 ABC的高 正确但不符合
∴ =1×2=2 ∠ ,∴ △ ,C
分层巩固练 题意 若BC AD 不能说明AD是 ABC 的高 故
; =2 , △ ,
1. C 【解析】 点 M 与点 N 关于 x 轴对称 点 M 选 .
∵ ,∴ D
与点N的横坐标相同 纵坐标互为相反数 即点 N 3. B 【解析】 当 A ° B °时 C °
, , A. ∠ =50 ,∠ =40 ,∠ =90 ,
126参考答案及详解详析
ABC不是等腰三角形 不符合题意 当 A ° ° °.综上所述 该等腰三角形的底角度
△ , ;B. ∠ =40 , 130 )÷2=25 ,
B °时 C ° B C AB AC ABC 数为 °或 °.
∠ =70 ,∠ =70 ,∴ ∠ =∠ ,∴ = ,△ 65 25
是等腰三角形 符合题意 当AB BC AC 时
, ;C. ∶ ∶ =2∶3∶4 ,
三边互不相等 ABC不是等腰三角形 不符合题意
,△ , ;
BC AB BC AC ABC不是等腰三
D. =12-4-5=3, ≠ ≠ ,△
角形 不符合题意.
,
典例精讲学方法 第 题解图
6
1. C 【解析】 CD CE CED D ° 7. 证明: AB AC ABC ACB.
∵ = ,∴ ∠ =∠ =35 ,∴ ∵ = ,∴ ∠ =∠
ACB CED D D °. AB AC BE DE CBE D.
∠ =∠ +∠ =2∠ =70 ∵ = ,∴ ∵ = ,∴ ∠ =∠
ABC ACB ° CBE ABC ABE ABC ABE CBE ACB D CED
∠ =∠ =70 ,∴ ∠ =∠ -∠ = ∵ ∠ =∠ +∠ ,∠ =∠ +∠ ,
° ° °. ABE CED.
70 -40 =30 ∴ ∠ =∠
2. 解: 点C在AD的垂直平分线上 AE BE A ABE.
∵ , ∵ = ,∴ ∠ =∠
AC DC D CAD. AEF CED A AEF
∴ = ,∴ ∠ =∠ ∵ ∠ =∠ ,∴ ∠ =∠ ,
ACB D CAD D 且 B D AF EF AEF是等腰三角形.
∵ ∠ =∠ +∠ =2∠ , ∠ =2∠ , ∴ = ,∴ △
参
B ACB AB AC CD . 第 16 天 等边三角形
∴ ∠ =∠ ,∴ = = =4 考
分层巩固练 答
巧构关联学知识
案
1. D 【解析】 ABC A BC AC. AC
∵ ∠ =∠ ,∴ = ∵ =10 1. C 【解析】 ABC 为等边三角形 B °. 及
∵ △ ,∴ ∠ =60
BC AC . 详
cm,∴ = =10 cm ∵ ∠1=40 ° ,∴ ∠ BDC =180 ° -(∠1+∠ B )= 180- 解
2. A 【解析】 AB AC AD 是 ABC 的高 AD 平
∵ = , △ ,∴ ° ° ° ° °. 与 BDC 为 详
分 BAC. DE AB DF AC DF DE . (40 +60 )= 180 -100 =80 ∵ ∠2 ∠ 析
∠ ∵ ⊥ , ⊥ ,∴ = =3 对顶角 BDC °.
,∴ ∠2=∠ =80
3. ° 【解析】 AB BC BD 是 AC 边上的中线
75 ∵ = , ,∴ 2. 【解析】 AB AC C B °
5 ∵ = =5,∴ ∠ =∠ =60 ,∴
BD平分 ABC CBD 1 ABC °. DE ABC为等边三角形 BC AB .
∠ ,∴ ∠ = ∠ =15 ∵ ⊥ △ ,∴ = =5
2 3. 【解析】如解图 根据题意得 ACB °
BC BED ° BDE ° ° °. 12 m , ∠ =90 ,
,∴ ∠ =90 ,∴ ∠ =90 -15 =75 BC BAC ° AB BC AB BC
4. 【解析】 AD BC EAF AFB AEB =4 m,∠ =30 ,∴ =2 =8 m,∴ +
4 ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ ,∠ = 即这棵树在折断前的高度是
EBF DEC FCE EDF DFC. AF 平 =8+4 = 12(m),
∠ ,∠ =∠ ,∠ =∠ ∵ .
分 BAD BAF EAF AFB ABF 是 12 m
∠ ,∴ ∠ =∠ =∠ ,∴ △
等腰三角形. 同理可得 ABE EBF AEB
,∠ =∠ =∠ ,
EDF CDF CFD FCE DEC DCE
∠ =∠ =∠ ,∠ =∠ =∠ ,
ABE DCF DEC均为等腰三角形 题图中
∴ △ ,△ ,△ ,∴
共有 个等腰三角形. 第 题解图
4 3
5. ° 【解析】 OC CD DE O ODC 典例精讲学方法
100 ∵ = = ,∴ ∠ =∠ ,
DCE DEC DEC DCE O ODC 1. 解: CEG是等边三角形 理由如下
∠ =∠ ,∴ ∠ =∠ =∠ +∠ △ , :
ODC. O OED ODC BDE ABC和 DEF是等边三角形
=2∠ ∵ ∠ +∠ = 3∠ =∠ = ∵ △ △ ,
° ODC °. CDE ODC ° ECG ° CEG °
60 ,∴ ∠ = 20 ∵ ∠ +∠ = 180 - ∴ ∠ =60 ,∠ =60 ,
BDE ° CDE ° ODC ° ° CGE ° ° ° °
∠ =120 ,∴ ∠ =120 -∠ =120 -20 ∴ ∠ =180 -60 -60 =60 ,
°. ECG CEG CGE
=100 ∴ ∠ =∠ =∠ ,
6. °或 ° 【解析】如解图 该等腰三角形的顶 CEG是等边三角形.
65 25 ①, ∴ △
角度数为 ° ° ° 则其底角度数为 ° 2. 解:如解图 过点 C 作 CD AB 交 AB 的延长线于
90 -40 =50 , (180 - , ⊥
° ° 如解图 该等腰三角形的顶角度 点D
50 )÷2=65 ; ②, ,
数为 ° ° ° 则其底角度数为 ° ABC ° CBD ° ABC °.
90 +40 = 130 , (180 - ∵ ∠ =150 ,∴ ∠ =180 -∠ =30
127初二 预习视频课 数学
DF DE
在 BCD中 BC CD 1BC ∵ ⊥ ,
Rt△ , =40 m,∴ = =20 m,
EF DE DEF °.
2
∴ =2 ,∠ =60
ABC ° BDE是等边三角形
∴ S △ ABC= 1AB · CD = 1 ×40×20=400(m 2 ), ∵ ∠ =60 ,∴ △ ,
2 2 BD DE BE CF EF BC BE BE.
该三角形空地的面积为 2. ∴ = = ,∴ = + - =3
∴ 400 m 第 17 天 最短路径问题
巧构关联学知识
1. A 【解析】作点 B 关于直线的对称点 B′ 连接
,
第 题解图
2 AB′ 交直线于点M 则点M即为水泵站位置 此时
, , ,
分层巩固练
AM BM即为水管最短长度.
+
1. A 【解析】由题可知 AO BO AOB °
典例精讲学方法
, = ,∠ =60 ,∴
AOB是等边三角形 AB AO BO .
△ ,∴ = = =5 cm 1. 【解析】如解图 作点F关于BD的对称点 F′
24 , ,
2. D 【解析】 ABC 为等边三角形 BAC
∵ △ ,∴ ∠ = 连接EF′交BD 于点 P 此时 PE PF 的值最小 为
, + ,
°. AD BC CAD 1 BAC °. AE 线段EF′的长度 延长EP 此时点 G 与点 F′重合
60 ∵ ⊥ ,∴ ∠ = ∠ =30 ∵ = , , ,
2 四边形 AEF′D 的面积即为四边形 AEGD 的面
参 ∴
考 AD ,∴ ∠ ADE =∠ AED = 1 (180 ° -∠ CAD )= 75 ° ,∴ 积. ∵ F为AD的中点 ,∴ DF =4 . 由轴对称的性质
答 2
AE DG AD
案 CDE ° ° °. 可知 DF′ DF S ( + )·
∠ =90 -75 =15 = =4,∴ 四边形AEGD = =
及 3. 【解析】 ABC 是等边三角形 B °. 2
详 2 ∵ △ ,∴ ∠ =60
解 ∵ DE ⊥ AB ,∴ ∠ BED = 90 ° ,∴ ∠ BDE = 180 ° - (2+4)×8 =24 .
详 2
BED B ° ° ° °. BD BE
析 ∠ -∠ =180 -90 -60 =30 ∵ =4,∴
1BD .
= =2
2
4. 【解析】 DB BA 于点 B DBA °.
8 ∵ ⊥ ,∴ ∠ =90 ∵
BAD ° BD 1AD . 旗杆与地面垂直 第 题解图
∠ =30 ,∴ = =8 m ∵ ,∴ 1
2
2. 【解析】如解图 分别作点 P 关于 OA OB 的对
ì ï CAB DAB 5 , ,
ï∠ =∠ ,
称点P′ P″ 连接P′M P″N P′P″ OP′ OP″.由轴对
CBA °. 在 ABC 和 ABD 中 íAB AB , , , , , ,
∠ =90 △ △ ,ï
ï
= ,
称的性质可知PM P′M PN P″N 则 PMN 的周
î CBA DBA = , = , △
∠ =∠ ,
长 P′M MN P″N 要求 PMN 周长的最小值
ABC ABD BC BD . = + + ,∴ △ ,
∴ △ ≌△ (ASA),∴ = =8 m
只需求出 P′M MN P″N 的最小值即可. 由图易
5. ° 【解析】 BD 平分 ABC ABD CBD. + +
150 ∵ ∠ ,∴ ∠ =∠
知 当P′ M N P″四点共线时 P′M MN P″N 最
DE AB A ° ABD BDE ADE ° , , , , , + +
∵ ∥ ,∠ =90 ,∴ ∠ =∠ ,∠ =180
小 最小值为线段 P′P″的长度.由轴对称的性质可
A ° CBD BDE BE DE. E 为 ,
-∠ =90 ,∴ ∠ =∠ ,∴ = ∵
知 P′OP″ AOB ° OP′ OP″ P′OP″
边 BC 的中点 BE EC DE. C ° ,∠ =2∠ =60 , = ,∴ △
,∴ = = ∵ ∠ = 60 ,∴
是等边三角形 P′P″ OP′ OP PMN 周
DEC是等边三角形 EDC ° ADC ,∴ = = =5,∴ △
△ ,∴ ∠ =60 ,∴ ∠ =
长的最小值为 .
ADE EDC ° ° °. 5
∠ +∠ =90 +60 =150
6. 证明: ABC是等边三角形
∵ △ ,
ABC ACB °.
∴ ∠ =∠ =60
CD AB
∵ ⊥ ,
BDC ° BCD °
∴ ∠ =90 ,∠ =30 ,
BC BD. 第 题解图
∴ =2 2
DF DC 分层巩固练
∵ = ,
F BCD °. 1. C
∴ ∠ =∠ =30
128参考答案及详解详析
2. 解:如解图 点P即为所求. 4. B 【解析】 BE 平分 ABC ABE CBE
, ∵ ∠ ,∴ ∠ =∠ ,∵
BAC ° ABE AEB ° AD BC
∠ =90 ,∴ ∠ +∠ =90 ,∵ ⊥ ,∴
CBE BFD ° AEB BFD BFD
∠ +∠ =90 ,∴ ∠ =∠ ,∵ ∠ =
AFE AEB AFE AF AE .
∠ ,∴ ∠ =∠ ,∴ = =6
5. C 【解析】 等边三角形的垂线也是角平分线
∵ ,∴
第 题解图
2 BAD 1 BAC °. DE AB AED
∠ = ∠ = 30 ∵ ⊥ ,∴ ∠ =
3. 【解析】如解图 作点 C 关于 AB 的对称点 C′ 2
3 , , ° ADE ° BAD ° ° °.
连接AC′ C′M C′D ABC ° BAC ° 90 ,∴ ∠ =90 -∠ =90 -30 =60
, , ,∵ ∠ =90 ,∠ =30 , 6. D 【解析】由题意得 A ° BC
ACC′ °. 由对称性质得 AC AC′ CM :∠ = 60 , = 3-1 = 2
∴ ∠ = 60 = , = 如解图所示 过直角三角板直角顶点作直尺
C′M ACC′为等边三角形 CM DM C′M (cm), ,
,∴ △ ,∴ + = + 两边的平行线 l ABC °
MD 当C′ D M三点共线时 C′M MD 的值最小 ,∴ ∠ =∠1=∠2,∠3=180 -
, , , , + , α ° ° °. ° °
∠ =180 -150 =30 ∵ ∠2=90 -∠3=60 ,∴
最小为C′D 的长. D 为 AC 的中点 易得 C′D
∵ , = ABC ° ABC 是等边三角形
∠ =∠1=∠2=60 ,∴ △ ,
AB CM DM的最小值为 .
=3,∴ + 3 AC AB BC ABC 的周长
∴ = = =2 cm,∴ △ =2+2+2=
.
6 cm 参
考
答
案
及
详
解
第 题解图 第 题解图
3 6 详
4. 【解析】如解图 分别作点D 关于 AB BC 的对 7. 【解析】 点 A 关于 x 轴的对称点为 析
14 , , (-5,4) ∵
称点M N 连接MN分别交AB与BC于点P Q 连 A a 点A的坐标为 a . 点 A 关于 y
, , , , 1( ,-4),∴ ( ,4) ∵
轴的对称点为A b 点 A 的坐标为 b
接BM
,
BN
,
BD
,
由对称性可知
,
PM
=
PD
,
DQ
=
NQ
,
2(5, ),∴ (-5, ),
故点A .
BM BD BN PQD 的周长为 PQ DQ PD (-5,4)
= = ,∴ △ + + =
8. 【解析】 ABC 是等边三角形 DCE
PQ QN PM MN. ABM ABD CBN 15 ∵ △ ,∴ ∠ =
+ + = ∵ ∠ = ∠ ,∠ =
A B °. DC EC CDE CED
CBD ABC ° MBN ABC ° ∠ +∠ =120 ∵ = ,∴ ∠ =∠ =
∠ ,∠ =30 ,∴ ∠ =2∠ =60 ,∴
BMN是等边三角形 MN BD.当 BD AC 时 1 ° ° ° FEG CDE DCE
△ ,∴ = ⊥ , (180 -120 )= 30 ,∴ ∠ =∠ +∠ =
2
BD最短 即MN最短 此时 PQD 的周长最小.
, , △ ∵
° ° °. FE GE FGE 1 °
30 +120 =150 ∵ = ,∴ ∠ = (180 -
AC S BD 2×56 即 PQD 的 2
=8, △ ABC=56,∴ min= 8 =14, △ ° °.
150 )= 15
周长最小值为 .
9. 【解析】如解图 过点 P 作 PC AM 于点 C.
14
2 , ⊥ ∴
ACP ° CAP ° CBP °
∠ = 90 ,∵ ∠ = 30 , ∠ = 60 , ∴
APB ° BP BA 海里 .
∠ =30 ,∴ = =4×30=120( ) ∵
BPC ° ° ° BC 1 BP 海里
∠ =90 -60 =30 ,∴ = =60( ),
2
轮船从B处航行到C处所需时间为60 .
第 题解图 ∴ =2(h)
4 30
第 18 天 章整合小练
1. B 2. C
3. B 【解析】 DE 为 AB 边上的垂直平分线 BD
∵ ,∴
AD B C BAD ° DAC °
= ,∴ ∠ =∠ =∠ =50 ,∴ ∠ =180 -
B C BAD °. 第 题解图
∠ -∠ -∠ =30 9
129初二 预习视频课 数学
10. ° 【解析】 DE 是 AC 的垂直平分线 AD
35 ∵ ,∴ =
DC. AB DC AD AB. 设 C x C
∵ = ,∴ = ∠ = ,∴ ∠ =
DAC x B ADB x 在 ABC 中
∠ = ,∴ ∠ =∠ =2 ,∴ △ ,
x ° x ° 解得x ° C °.
2 +75 + =180 , =35 ,∴ ∠ =35
11. 解:(本题考查的知识点是最短路径问题)如解 第 题解图
12
图 作点A关于公路 M 的对称点 A′ 作点 B 关于 13. 解:(本题考查的知识点是等边三角形的性质与
, ,
公路N的对称点B′ 连接A′B′ 分别交公路 M N 判定和线段垂直平分线的判定)
, , ,
于点P Q 分别连接AP BQ 由对称性可知 AP DEF是等边三角形 理由如下
, , , , , = (1)△ , :
A′P BQ B′Q 故此时A P Q B最短 则货物 AB AD BAD °
, = , → → → , ∵ = ,∠ =60 ,
中转站P Q的位置即为所求. 分 ABD是等边三角形 ABD ADB °.
, ………… (8 ) ∴ △ ,∴ ∠ =∠ =60
CE AB
∵ ∥ ,
CED BAD ° DFE ABD °
∴ ∠ =∠ =60 ,∠ =∠ =60 ,
CED DFE °
∴ ∠ =∠ =60 ,
DEF是等边三角形 分
∴ △ ; ……………… (5 )
参
如解图 连接AC
考 第 题解图 (2) , ,
11
答 AB AD CB CD
12. 解:(本题考查的知识点是线段垂直平分线和角 ∵ = , = ,
案
AC是BD的垂直平分线 即AC BD.
及 的平分线的性质) ∴ , ⊥
详 AB AD BAD ° BAC CAD °.
如解图 过点 D 作 DF BA 交 BA 的延长线于点 ∵ = ,∠ =60 ,∴ ∠ =∠ =30
解 , ⊥
CE AB BAC ACE CAD °
详 F DG BC于点G 则 DFA DGC °. ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ =∠ =30 ,
, ⊥ , ∠ =∠ =90
析 AE CE DE AD AE .
BD平分 ABC DF DG. ∴ = =8,∴ = - =12-8=4
∵ ∠ ,∴ =
DEF是等边三角形
DE垂直平分AC DA DC. 分 ∵ △ ,
∵ ,∴ = ………… (5 )
EF DE . 分
{DA DC ∴ = =4 ………………………… (12 )
在 DFA和 DGC中 = ,
Rt△ Rt△ , DF DG
= ,
DFA DGC FDA GDC
∴ Rt△ ≌Rt△ (HL),∴ ∠ =∠ ,
ADC FDG ° DFA DGB ABC
∴ ∠ =∠ =360 -∠ -∠ -∠
° ° ° ° °. 分
=360 -90 -90 -120 =60 ………… (10 )
第 题解图
13
第十四章 整式的乘法与因式分解
第 19 天 幂的乘法与乘方 典例精讲学方法
巧构关联学知识 1-1 【解析】 m + n m n m n .
9 ∵ 2 =2 ×2 =36,2 =4,∴ 2 =9
1. 解: 原式 x3+2 x5 1-2 解: 9×3 2 n +1 =3 2 ×3 2 n +1 =3 2+2 n +1 =3 2 n +3 =3 7 ,
(1) = = ;
n n .
原式 y3 y2 y3+2 y5 ∴ 2 +3=7,∴ =2
(2) =- · =- =- ;
原式 am - n + m + n a2 m. 2-1 80 【解析】 10 2 a + b =(10 a ) 2 ·10 b =4 2 ×5=80 .
(3) = =
2. (1)4 6 【解析】 (4 2 ) 3 =4 2×3 =4 6 ; 2-2 解: 3 x ·27 y =3 x ·(3 3 ) y =3 x +3 y ,
(2) a3 m 【解析】 ( am ) 3 = a3· m = a3 m ; ∵ x +3 y -2=0,
(3)- m10 【解析】 -( m2 ) 5 =- m2×5 =- m10. ∴ x +3 y =2,∴ 3 x +3 y =3 2 =9,∴ 3 x ·27 y 的值为 9 .
3. 解: x 3 3 x3 x3 分层巩固练
(1)(2 ) =2 · =8 ;
mn 5 m 5 n5 m5n5 1. D
(2)(- ) =(- ) · =- ;
a6b5 4 a6 4 b5 4 a6×4 b5×4 a24b20. 2. C 【解析】a2 a4 a6 故 错误 a2 3 a6
(3)( ) =( ) ·( ) = · = · = , A ;(3 ) =27 ,
130参考答案及详解详析
故 错误 ab 2 a2 b 故 正确 a2b3 4 第 20 天 整式的乘除
B ;( ) = , C ;(2 ) =
16
a8b12
,
故
D
错误.
巧构关联学知识
3. 【解析】 3 9 2 9 3 2 9 9 1. 解: 原式 a5 a2 a7
-1 (- ) ×( ) =(- × ) =(-1) (1) =(2×3)×( · )= 6 ;
2 3 2 3 原式 x x2 y x3y.
. (2) =(-3×4)·( · )· =-12
=-1
2. 解: 原式 x2y x x2y y x3y x2y2
4. 【解析】 a + b a b a b a + b (1) =2 · +2 · =2 +2 ;
18 2 =2 ×2 ,∵ 2 =3,2 =6,∴ 2 =3× 原式 m m m n n m n n
. (2) =2 · -2 ·3 - · + ·3
6=18
m2 mn nm n2
5. 解: 原式 a4×3b2×3 6a2×6b6 a12b6 a12b6 =2 -6 - +3
(1) = +2 = +64
m2 mn n2.
a12b6 =2 -7 +3
=65 ; 3. a b a b b2 ab b2 ab a2 ab 横向计算
原式 x6 x3 3 x3 3 x2+7 x6+3 x9 x9 ( + )( +2 ); , , , , , ( );
(2) = · -3 ( ) + = -27 +
a b a b a2 b2 ab
x9 x9 x9 x9. ( + )( +2 )= +2 +3
= -27 + =-25
4. x4 【解析】x8 x4 x8-4 x4.
6. 解: 光年 . 12 千米 万 6 (1) ÷ = =
∵ 1 ≈9 46×10 ,200 =2×10 , a3 【解析】 a 10 a 7 a 10-7
万光年 6 . 12 . 18 千 (2)- (- ) ÷(- ) =(- ) =(-
∴ 200 ≈2×10 ×9 46×10 =18 92×10
a 3 a3.
米 . 19 千米. ) =-
=1 892×10
m4n4 【解析】 mn 8 mn 4 mn 8-4
答 该气体结构的尺寸约为 . 19 千米. (3) ( ) ÷( ) = ( ) = 参
: 1 892×10
mn 4 m4n4. 考
7. 解:a 333 111×3 3 111 111 ( ) =
=6 =6 =(6 ) =216 , 答
b 444 111×4 4 111 111 案
=5 =5 =(5 ) =625 ,
及
c 555 5 111 111
=4 =(4 ) =1 024 , 详
111 111 111 解
∵ 216<625<1 024,∴ 216 <625 <1 024 ,
详
a b c.
∴ < < 析
计算题专练
1. 解: 原式 m 5 m m3×2
(1) =(- ) ·(- )+
m 6 m6
=(- ) +
m6 m6
= +
m6
=2 ;
原式 2 x3 2 x3+3
(2) =(-3) ( ) +
x6 x6
=9 +
x6
=10 ;
原式 4x3×4y2×4 x6×2y4×2
(3) =(-2) -
x12y8 x12y8
=16 -
x12y8
=15 ;
原式 x2 x6 x2×4 2x4×2
(4) = · + +2
x8 x8 x8
= + +4
x8
=6 ;
原式 2x3×2y6×2 x2×3y4×3 x6y2×6
(5) =(-3) + -2
x6y12 x6y12 x6y12
=9 + -2
x6y12
=8 ;
原式 x8+2 1 100 1 100
(6) = -( ) ÷( )
8 8
x10 1 1 100
= -( ÷ )
8 8
x10 .
= -1
易 错 点 拨
将mn看作一个整体,该除式为底数为mn
的同底数幂相除
5. 解: x5 x3 x5-3 x2
(1)2 ÷ =2 =2 ;
x3y2 xy x3-1y2-1 x2y
(2)28 ÷7 =4 =4 ;
a3 ab a a3 a ab a a2 1b.
(3)(8 + )÷2 =8 ÷2 + ÷2 =4 +
2
典例精讲学方法
1-1 B 【解析】 x y y - x y x
∵ 5 =2,5 =4,∴ 5 =5 ÷5 =4÷2
.
=2
1-2 【解析】 a 3 b 2 a -3 b 3 a b
4 ∵ 4 ÷2 =2 ,2 =8,∴ 2 -3 =3,
a b .
∴ 2 -3 +1=3+1=4
解题关 键
和 都可以写成 的幂的形式
4 8 2
2. 解: 如解图 补全图中空白部
(1) ,
分 则阴影部分的面积为
, :
b 1 a a b
( + )(2 +1)-2· ·
2
b a b 1 a 1 ab
= ·2 + + ·2 + -2 2 2 第 题解图
2
ab b a 1 ab
=2 + + + -2
2
b a 1
= + + ,
2
131初二 预习视频课 数学
计算题专练
海报的面积为b a 1
∴ + + ;
2
当a . b 时
1. 解:
(1)
原式
=8
a5b4
·
1 a2b2
(2) =0 5 m, =1 m , 4
原式 . . 2 . a7b6
=1+0 5+0 5=2(m ) =2 ;
答 字型海报的面积为 2. 原式 x2 x x x
:“E” 2 m (2) =6 -10 -3 +5-5
分层巩固练 x2 x
=6 -18 +5;
1. B 【解析】 x2 x3 x2+3 x5. 原式 a b 3 a b 6 a b 5
2 ·3 =(2×3)· =6 (3) =( + ) ·[-( + ) ]÷( + )
2. C 【解析】 (2 a ) 3 ÷(- a ) 4 =8 a3 ÷ a4 =8 a3-4 =8 a-1 =-( a + b ) 9 ÷( a + b ) 5
a b 4
8. =-( + ) ;
= a
原式 a4b2 a5b2 a3b 1a b ab
3. C 【解析】
3
x
·(2+□)= 6
x
+3
x
·□=12
x3
+6
x
,∴
(4) =(4 - )÷4 +
4
( + )
3
x
·□=12
x3.
∴ □=12
x3
÷3
x
=4
x2.
a4b2 a3b a5b2 a3b 1a b
=4 ÷4 +(- )÷4 + · +
4. a b2 【解析】M a2b ab3 ab a b2. 4
7 - =(7 - )÷ =7 -
5. 解: 原式 xy2 x2 xy2 xy2 x2 1 a ab
(1) =12 +3 - =11 +3 ; ·
参 原式 x6 x x2 x x5 x 4
(2) =12 ÷3 +6 ÷3 =4 +2 ;
考
答 (3)
原式
=
x3
-
xy
+2
x2y
-2
y2
-(
x3
+
xy
) =
ab
-
1a2b
+
1ab
+
1a2b
4 4 4
案 x3 xy x2y y2 x3 xy
= - +2 -2 - -
及 5ab
详 =2
x2y
-2
y2
-2
xy. =
4
;
解 6. 解: x a x b 原式 a3b ab a2b2 ab a2 a a
详 (3 - )·(2 + ) (5) =2 ÷2 +4 ÷2 -( +3 - -3)
析 =3
x
·2
x
+3
x
·
b
-
a
·2
x
-
a
·
b
=
a2
+2
ab
-(
a2
+2
a
-3)
x2 b a x ab ab a .
=6 +(3 -2 ) - =2 -2 +3
x2 x 2. 解:原式 x2 x x x2 x x
=6 -17 +12, =18 +2 -9 -1-18 +3 =-4 -1,
x a x b
(3 + )·( + ) 将x 1代入 得原式 1 .
=- , =-4×(- )-1=1
x x x b a x a b 2 2
=3 · +3 · + · + ·
第 21 天 乘法公式
x2 a b x ab
=3 +( +3 ) +
x2 x 巧构关联学知识
=3 -5 -12,
由题意可得 3 b -2 a =-17, a +3 b =-5, 1. 解: (1) 原式 = x2 -2 2 = x2 -4;
解得a =4, b =-3, (2) 原式 =(3 x ) 2 -1 2 =9 x2 -1;
正确的结果为 x x x2 x x 原式 x 2 y 2 x2 y2.
∴ (3 +4)·(2 -3)= 6 -9 +8 - (3) =(4 ) -(5 ) =16 -25
x2 x . 2. 解: 原式 x2 x 2 x2 x
12=6 - -12 (1) = -2· ·3+3 = -6 +9;
7. 解: m n m n m n m n 2 mn 原式 x 2 x 2 x2 x
(1)[ +2 -( - )](2 + )-( - ) - (2) =(3 ) +2×2×3 +2 =9 +12 +4;
n m n m n 2 mn 原式 x2 x y y 2 x2 xy y2.
=3 (2 + )-( - ) - (3) = -2· ·4 +(4 ) = -8 +16
mn n2 m2 n2 mn mn 3. b c b c d.
=6 +3 -( + -2 )- (1) -2 ;(2) - +2
mn n2 m2 n2 mn mn 典例精讲学方法
=6 +3 - - +2 -
m2 n2 mn. 1. 解: 原式 x2 x2 x
=- +2 +7 (1) =4 -1+ +2 +1
答 观景区的面积用m n 表示为 m2 n2 mn x2 x
: , (- +2 +7 ) =5 +2 ;
平方米 原式 x2 x2 x
; (2) = -1-2( -4 +4)
将m n 代入 中所得到的 m2 n2 x2 x2 x
(2) =6, =3 (1) - +2 + = -1-2 +8 -8
mn为 2 2 平方米 x2 x .
7 :-6 +2×3 +7×6×3=108( ), =- +8 -9
需要的费用为 元 2. 解: a b 2 a2 b2 ab .
∴ :150×108=16 200( ), (1)∵ ( - ) =25,∴ + -2 =25
答 修建观景区需要费用 元. 将a2 b2 代入 得ab
: 16 200 + =13 , =-6;
132参考答案及详解详析
由 知ab .则 ab 2 a2b2
(2) (1) =-6 ( ) = =36,
a2 b2 2 a4 b4 a2b2.
∴ ( + ) = + +2
将a2 b2 a2b2 代入 得 a4 b4 a2 b2 2
+ =13, =36 , + =( + ) -
a2b2 2 .
2 =13 -2×36=169-72=97
分层巩固练
1. B 【解析】 a b 2 a2 ab b2 故 选项错误
( + ) = +2 + , A ;
a b a b a2 b2 故 选项正确 a 2 a2
( + )( - )= - , B ;( -2) = -
a 故 选项错误 a b a b a2 b2 故
4 +4, C ;( +2 )( -2 )= -4 ,
选项错误.
D
2. D 【解析】 x y x y x y x y
(- -2 )( +2 )= -( +2 )( +2 )=
x y 2 不能用平方差公式计算 故 选项不符
-( +2 ) , , A
合题意 x y x y x y x y x
;(- +2 )( -2 )= -( -2 )( -2 )= -(
y 2 不能用平方差公式计算 故 选项不符合
-2 ) , , B
题意 x y x y x y 2 不能用平方差公
;( -2 )( -2 )= ( -2 ) ,
参
式计算 故 选项不符合题意 x y x y
, C ;(- -2 )( -2 )= 考
x y x y x2 y2 能用平方差公式计 答
-( +2 )( -2 )= -( -4 ),
案
算 故 选项符合题意.
, D 及
3. 【解析】 2 2 详
1 2 025 -2 026×2 024=2 025 -(2 025+ 解
1)×(2 025-1)= 2 025 2 -2 025 2 +1=1 . 详
4. 解: 原式 x2 x2 x x 析
(1) =9-4 +4 -12 +9=-12 +18;
原式 x y x y x2 y 2
(2) =[ +( -1)][ -( -1)]= -( -1)
x2 y2 y x2 y2 y .
= -( -2 +1)= - +2 -1
5. 解: a2 b2 ab a b 2
(1) + +2 =( + ) ;
S S m2 n2 .
(2)∵ 1+ 2=48,∴ + =48
m n 2 m2 mn n2
∵ ( + ) = +2 + =64,
mn mn
∴ 64=48+2 ,∴ =8,
S 1mn . ∴ 阴影= =4
2
第 22 天 因式分解
巧构关联学知识
1. B
2. a2b
2
3. m x2 y3
(1) ( - );
ab c b ac 【解析】各项的公因式为
(2)7 (2 - +4 )
ab 将 ab提出来可得原式 ab c b ac .
7 , 7 =7 (2 - +4 )
x y 2.
(3)(3 -2 )
典例精讲学方法
1. 解: 原式
(1) =(299+1)×(299-1)= 300×298
=300×(300-2)= 90 000-600
=89 400;
原式 2 2 2
(2) =99 -2×99×98+98 =(99-98)
2 .
=1 =1
2. 【解析】原式 1 a2b2 1 a 1 a2b2 b 1
-7 = · + · - ×
2 3 2 2
1a2b2 1 a2b2 1 a b 1 1 ab 2 1 a b = ( + - )= ( ) ( + -
2 2 3 2 2 3
1 . 1a b ab 原式 1 1
) ∵ + =-3, =2,∴ = ×4×(-3- )=
2 3 2 2
.
-7
分层巩固练
1. B 【解析】 x2y2 xy3 xy2 x y 提取
∵ 9 -12 =3 (3 -4 ),∴
的最大公因式为 xy2.
3
2. C
3. D 【解析】 2 024 2 025 2 024
(-2) +(-2) =(-2) ×(1-2)
2 024.
= -2
4. C 【解析】 2
2 025 -2 025=2 025(2 025-1)=2 025×
2 一定能被 和 整
2 024,∴ 2 025 -2 025 2 024 2 025
除. 是偶数 2
∵ 2 024 ,2 025 -2 025=2 025×2 024=
2 也
2 025×2×1 012=4 050×1 012,∴ 2 025 -2 025
能被 整除 故选 .
4 050 , C
5. 解:原式 x2 xy y2 y2 y2
= +2 + - -3
x2 xy y2 y2
=( +2 + )-4
x y 2 y 2 =( + ) -(2 )
x y y x y y
=( + +2 )( + -2 )
x y x y .
=( +3 )( - )
计算题专练
1. 解: 原式 m a b n a b
(1) =2 ( - )+3 ( - )
a b m n
=( - )(2 +3 );
原式 x x2 y2 x x y x y
(2) =3 ( -4 )= 3 ( -2 )( +2 );
原式 y2 x2 x y2 x 2
(3) =9 -(16 -8 +1)= 9 -(4 -1)
y x y x
=(3 -4 +1)(3 +4 -1);
易 错 点 拨
原式 2 x y x y 2
(4) =2 +2×2×3( - )+[3( - )]
在确定公因式时需要将系数,字母及其指
x y 2
=[2+3( - )]
数同时考虑到
x y 2.
=(3 -3 +2)
第 23 天 章整合小练
4. B
5. a b a b m n 2 1. C 【解析】 a3b a5 a3+5b a8b.
(1)( +2 )( -2 );(2)( + ) ; 2 ·3 =6· =6
133初二 预习视频课 数学
2. C 【解析】a6 a3 a3 故 选项错误 a4 3 a12 原式 x2 x x x2 x
÷ = , A ;( ) = , (1) =18 +2 -9 -1-18 +3
故 选项错误 a2b 3 a6b3 故 选项正 x 分
B ;(-2 ) =-8 , C =-4 -1, ……………………… (3 )
确 a5 a 3 a8 故 选项错误.
; ·(- ) =- , D 将x 1代入得
=- ,
3. B 【解析】原式 3 2 024 4 2 024 4 3 2
=(- ) ×( ) × =(- ×
4 3 3 4 原式 1 分
=-4×(- )-1=1;………………… (4 )
4 2 024 4 2 024 4 4.
2
) × =(-1) × = 原式 x2y x2 y x2
3 3 3 3 (2) =6 -3 -6 ( -1)
4. B 【解析】 x y x y x y x y 不能用 x2y x2 x2y y
(- + )( - )= -( - )( - ), =6 -3 -6 +6
平方差公式. x2 y 分
=-3 +6 , …………………… (7 )
5. A 【解析】由题意得 a2 m +3 n a2 m a3 n am 2 将x y 代入得
, = × =( ) × =-2, =1 ,
an 3 2 3 . 原式 2 . 分
( ) =3 ×(-2) =9×(-8)= -72 =(-3)×(-2) +6=-6 …………… (8 )
6. B 【解析】 x a 2 x2 ax a2 根据题意得 a2 13. 解:(本题考查的知识点是乘法公式)
(2 - ) =4 -4 + , ,
b a a . 当 a 时 b a b n 2 n 2 能被 整除 理由如下
=9, =-4 ,∴ =±3 =3 , =-12, + = ( +5) -( -3) 16 , :
当a 时 b a b . a b 的值为 或 n 2 n 2 n n n n
-9; =-3 , =12, + =9 ∴ + 9 ( +5) -( -3) =( +5+ -3)( +5- +3)
. n
参 -9 =(2 +2)×8
考 7. x x 【解析】 x2 x2 x n 分
2( +2)( -2) 2 -8=2( -4)= 2( + =16( +1),…………… (7 )
答
案 2)( x -2) . ∴ 当n为自然数时 ,( n +5) 2 -( n -3) 2 能被 16 整
及 8. 【解析】 x y 2 x2 y2 xy 则 x y 2 x 除. 分
37 ( - ) = + -2 , ( + ) =( - ……………………………………… (8 )
详
解 y ) 2 +4 xy =5 2 +3×4=37 . 14. 解:(本题考查的知识点是乘法公式)
详 9. 【解析】 x3 ax2 x x2 x5 ax4 设停车区域和公共厕所区域的边长分别为 a 米
析 0 (2 + +3 )(-3 )= -6 -3 - ,
x3 由题知 a a . b米
9 , -3 =0,∴ =0 ,
10. xy 【解析】 x2y x xy x2y x2y 由题意 得两个正方形区域的周长差为 a b
( +2) ∵ [( +2 )· ]÷ =( , (4 -4 )
xy x xy x2y x3y2 x2y x2y xy 米 面积和为 a2 b2 平方米
· +2 · )÷ =( +2 )÷ = +2,∴ , ( + ) ,
采用甲挖掘机单独完成 需要 xy 天. 亲子娱乐区的面积为 a b 2 a2 b2 a2 ab b2
, ( +2) ( + ) - - = +2 +
11. 解:(本题考查的知识点是因式分解) a2 b2 ab 平方米 分
- - =2 ( ), ………………… (4 )
原式 xy y xy x a b a2 b2
(1) = · - · ∴ 4 -4 =64, + =500,
xy y x 分 a b
= ( - ); …………………… (2 ) ∴ - =16,
原式 x y x2 a b 2 a2 ab b2 平方米
(2) =( - )( -1) ∴ ( - ) = -2 + =256( ),
x y x x . 分 ab 平方米
=( - )( +1)( -1) ………… (5 ) ∴ 2 =500-256=244( ),
12. 解:(本题考查的知识点是整式的化简求值) 亲子娱乐区的面积为 平方米. 分
∴ 244 … (9 )
第十五章 分 式
第 24 天 从分数到分式 时 x2 选项有意义.
, +1=2≠0,D
x
巧构关联学知识 5. 【解析】 -1 x 且 x 解得
1 ∵ x =0,∴ -1=0 2 -3≠0,
1. C 2.
2 -3
①③④;②⑤ x .
=1
3. D 【解析】要使分式 3 有意义 则 x 解得 典例精讲学方法
x , +5≠0,
+5
x
x . 1-1 D 【解析】若分式 -5有意义 则 x x
≠-5 x , +8≠0,∴ ≠
4. B 【解析】当x 时 x 选项有意 +8
=-1 , -1=-2≠0,A .
义 当x 时 x 选项无意义 符合题意 -8
; =-1 , +1=0,B , ; 1-2 解:分式的值不存在 即分式无意义
当x 时 x 选项有意义 当 x , ,
=-1 ,- +1=2≠0,C ; =-1 x 解得x .
∴ 2 +6=0, =-3
134参考答案及详解详析
当x 时 分式的值不存在.
∴ =-3 ,
a
2-1 解: | |-2
∵ a =0,
+2
a 且a
∴ | |-2=0, +2≠0,
解得a .
=2
2-2 解: x2
∵ ≥0,
x2 .
∴ +1>0
该分式的值为正数
∵ ,
x
∴ 2 -3>0,
解得x 3.
>
2
参
考
答
案
及
详
解
详
析
第 25 天 分式的基本性质
巧构关联学知识
1. D 【解析】由分式的基本性质可知 分式的分子
,
与分母都乘 或除以 同一个不等于零的整式 分
( ) ,
a a a
式的值不变 2× 2 .
a = a = a
+2 2×( +2) 2 +4
2. m 【解析】由分式的基本性质可知 分式的分
≠0 ,
子与分母都乘 或除以 同一个不等于零的整式
( ) ,
分式的值不变 m .
,∴ ≠0
3. ab x b.
(1) ;(2)1;(3)2 +1;(4)3
4. D
解题关 键
a2b6 a2b5 b b
意识到x2
+1
是恒大于
0
的,只需保证 5. 解:
(1)
-8
a3b5 =
4
a2b5
(-2
a
)
= -
2
a;
12 4 (3 ) 3
分母大于 即可
0 x2 x x x x
+2 ( +2) .
(2) x2 = x x =x
分层巩固练 -4 ( -2)( +2) -2
6. B
m m2
1. B 【解析】 1 2- 是分式 共 个.
a, m2 ,-m , 3 7. 解: 1 1
(1)∵ x2y xy2 =xy x y ,
2. C 【解析】分式的分母中必须含有字母 而 是 + ( + )
, 3π 最简公分母为xy x y
实数. ∴ ( + ),
x x xy x2y
3. A 【解析】
∵
x
x
2 -1
=0,∴
x2
-1=0
且
2
x
-2≠0,
解 ∴ 通分 , 得 x
+
y=xy
(
· x
+
y
)
=xy
(
x
+
y
)
;
2 -2
得x . 2 2 1 1
=-1 (2)∵ x2 x=x x ,x2 = x x ,
- ( -1) -1 ( +1)( -1)
x
4. +2 答案不唯一 最简公分母为x x x
x ( ) ∴ ( +1)( -1),
-1
x x
通分 得 2( +1) .
5. 解: 当m 时 2 有意义 ∴ , x x x ,x x x
(1) ≠0 , m ; ( +1)( -1) ( +1)( -1)
5 典例精讲学方法
当a 即a 时 2 有意义
(2) +1≠0, ≠-1 ,a
+1
;
1. 解:
n
n m
(1)∵ m=2,∴ =2 ,
x
(3)∵
x2
+3>0,∴
无论x取何值时
,x2
2 都有意义
;
2
m
+
n
2
m
+2
m
4
m
+3
∴ m n = m m = m=-4;
x - -2 -
当 x 即x 3 时 +1 有意义.
a ab b
(4) 2 -3≠0, ≠ , x
2 2
2 2 -3 ab-ab-ab
x b 原式
6. 解: 当x 时 分式 + 的值为 (2) = a ab b
∵ =4 , x a 0, 3 3
+ ab+ab-ab
b a 解得b a .
∴ 4+ =0,4+ ≠0, =-4, ≠-4
2 2 1 1
x b -1-a 2( b -a)-1
这个分式为 -4.
.
∴ x a = =
+
3 3 1 1
x b +1-a 3( b -a)+1
当x 时 分式 -4的值为非负数
∵ =6 , x a ,
+
1 1 1 1
∵ a -b =2,∴ b -a =-2,
6-4
∴ a≥0,
6+
原式 2×(-2)-1
a 解得a ∴ = =1;
∴ 6+ >0, >-6, 3×(-2)+1
a 且a . 设x k y k z k
∴ >-6 ≠-4 (3) =4 , =6 , =5 ,
135初二 预习视频课 数学
y z k k k x2
则 +2 6 +10 16 16. 给 4 分子分母同时除以x2
x y z= k k k= k = x4 x2 ,
2 + - 8 +6 -5 9 9 +6 +1
分层巩固练 x2
得 4 4
x x x4 x2 = ,
1. D 【解析】 1 . +6 +1 x2 1
xy x2 =x y x =x y +6+x2
+ ( + ) +
2. C 【解析】将x y 的值均扩大为原来的 倍后
, 2 ,A 将x2 1 代入 得原式 4 1 .
+x2 =34 , = =
34+6 10
选项变为 2 1 2 选项变为 4
xy= xy≠xy;B x y 2 =
4 2 (2 +2 )
y
4 1 4 选项变为 4
x y 2 = x y 2 ≠ x y 2 ;C x y = 4( + ) ( + ) ( + ) 2( - )
y y 2 y2 y2
2 选项变为(2 ) 4 .
x y;D x = x ≠x
- 2 +1 2 +1 +1
n m n m m n
3. C 【解析】 -3 -( -3 ) 3 -
A. - n m = n m = n m≠
-2 -2 -2
m n m n 2
3 - 不符合题意 (3 - ) 是最简分式 且
参 2 m - n, ;B. (2 m - n ) 2 ,
考 m n 2 m n n m 答 (3 - ) 3 - 不 符 合 题 意 -3
m n 2 ≠ m n, ; C. n m =
案 (2 - ) 2 - -2
及 m n m n mn n2
-(3 - ) 3 - 符 合 题 意 3 -
详 m n = m n, ; D. mn n2 =
解 -(2 - ) 2 - 2 -
n m n m n 详 (3 - ) 3 - n 不符合题意.
析 n m n = m n( ≠0),
(2 - ) 2 -
x x x
4. x x 【解析】 2 2 ·3( +1)
6 ( +1) x2 = x x x =
-1 ( +1)( -1)·3( +1)
x x
6 ( +1) .
x x 2
3( -1)( +1)
5. 【解析】 最简公分母为 x6y2 b a .
6;2 ∵ 3 ,∴ =2, =6
6. 解: 最简公分母为 x x
(1) :( +2)( -2),
x x
1 -2 3 3( +2)
∴ x = x x ,x = x x ;
+2 ( +2)( -2) -2 ( +2)( -2)
最简公分母为 x x y
(2) :2 ( - ),
x x2 x x
2 .
∴ x y= x x y , x2 xy= x x y
- 2 ( - ) 2 -2 2 ( - )
b a2 b2 a b a b
7. 解:原式 ( -9 ) ( -3 )( +3 )
=b a2 ab b2 = a b 2
( +6 +9 ) ( +3 )
a b
-3
=a b,
+3
把a b 代入 得原式 3-3×2 1.
=3, =2 , = =-
3+3×2 3
8. 解: x2 x 且当x 时 x2 x
∵ -6 +1=0, =0 , -6 +1=1,
x .给x2 x 两边同时除以x
∴ ≠0 -6 +1=0 ,
得x 1 即x 1
-6+x =0, +x =6,
x2 1 x2 1 .
∴ +2+x2 =36,∴ +x2 =34
解题关 键
由已知条件难以求出 x 的值,考虑利用分
式的基本性质变形后整体带入求值
第 26 天 分式的乘除
巧构关联学知识
1. A
y x2 y x2 x2y 2. 解: 原式 5 4 5 ·4 20
(1) =- x· y2 =- x y2 =- xy2 2 10 2 ·10 20
x
=- y ;
y x
原式 2- +1 1
(2) =x · y 2 = y; +1 (2- ) 2-
a2 a
原式 -2 +1 a a
(3) = a ÷( +1)( -1)
+1
a 2
( -1) 1
= a · a a
+1 ( +1)( -1)
a
-1 1
=a ·a
+1 +1
a
-1 .
= a 2
( +1)
3. D 4.
x6 x2
-4
x
+4 .
(1)- y3 ;(2) x2y2
8
典例精讲学方法
x x x x 2
1. 解:原式 -3 ( +2)( -2) ( -2)
= x 2 · x · x 2
( -2) 3- ( +2)
x x 2 x
+2 ( -2) 2-
=-x · x 2 =x ,
-2 ( +2) +2
原分式要有意义 x
∵ ,∴ ≠±2、3,
取x 则原式 2-4 1. 答案不唯一
∴ =4 , = =- ( )
4+2 3
分层巩固练
x3 x
1. D 【解析】原式 1 .
=x2y·y =y2
b b2 y y3
2. C 【解析】 2 错误 - 3 错
( a ) =a2 ,A ;(x2 ) =-x6 ,B
136参考答案及详解详析
b2 b6
误 3 错误 故选 .
;( a) = a3 ,D , C
2 8
y
3. 解: 原式 2
(1) =- ;
3
x x x x
原式 2( -3) ( +2)( -2) 2 +4
(2) = x 2 · x = x ; ( -2) -3 -2
x4 y3 x4 y3
原式 xy.
(3) =y2 ·(-x3 )= -y2 ·x3 =-
4. 解: 设草籽数量为 a a 甲土地播撒密度
(1) ( >0),
a a
为 乙土地播撒密度为
:x2 2 , : x 2 , -3 ( -3)
x2 2 x 2 x 且x
∵ ( -3 )-( -3) =6( -3), >3,
x 即x2 2 x 2 .
∴ 6( -3)>0, -3 >( -3) >0
a
∵ >0,
a a
. 参
∴ x2 -3 2 < ( x -3) 2 考
答 乙土地的播撒密度比较大 答
: ;
案
a a a x x x
( +3)( -3) +3 及
(2) x 2 ÷x2 2 = x 2 · a =x , 详 ( -3) -3 ( -3) -3
解
答 甲 乙两块土地的播撒密度中 大的是小的的
: 、 , 详
x 析
+3倍.
x
-3
x2 x3
5. 解:原式 -4 2 1
= x ·x2 x·x4
-2 +2
x x x3
( +2)( -2) 2 1
= x ·x x ·x4
-2 ( +2)
2 .
=x2
原分式要有意义
∵ ,
x x x
∴ -2≠0, ≠0, +2≠0,
x
∴ ≠±2、0,
取x 原式 2 . 答案不唯一
∴ =1, = =2 ( )
1
a2 a2
2. 解: 原式 1 -1
(1) =ab-ab= ab ;
x x
原式 +1 2( -1)
(2) = x x + x x
( -1)( +1) ( -1)( +1)
x x
+1+2 -2
= x x ( -1)( +1)
x
3 -1
=x2 ;
-1
m2 m 2
原式 ( +1)
(3) =m m -m m
( +1) ( +1)
m2 m2 m -( +2 +1)
= m m
( +1)
m2 m2 m
- -2 -1
= m m
( +1)
m
-2 -1.
= m2 m
+ x x x2
3. 解:原式 -5 +5 -25
=[ x x - x x ]· x
( +5)( -5) ( +5)( -5) 5
x x x x
-5- -5 ( +5)( -5) = x x · x
( +5)( -5) 5
x x
-10 ( +5)( -5)
= x x · x
( +5)( -5) 5
2.
=-x
易 错 点 拨
代入求值时,一定不要忘记代入的值要使
原分式有意义
第 27 天 分式的加减
巧构关联学知识
a a
1. 解: 原式 +3+2 +5
(1) = a = a ;
a b a a b a a b
原式 2 -(2 + ) 2 -2 - -2 .
(2) = a b = a b = a b
- - -
解题关 键
一些分式的运算可根据式子的特点,灵活
运用交换律、结合律、分配律
典例精讲学方法
a a
1. 解:原式 2 -2 2 1
=a a + a a =a +a
( +2) ( +2)( -2) +2 +2
3
=a ,
+2
当a 时 原式 3 1.
∴ =4 , = =
4+2 2
s
2-1 【解析】由题意知 去实践基地时的平均速
a2 a ,
+
s s
度为 回学校时的平均速度为 则去基地时
a, a ,
+1
s s
的平均速度比回学校时的平均速度快
a -a =
+1
s
千米/小时.
a2 a
+
2-2 解:根据题意 欣欣两次购买的平均价格为
, :
137初二 预习视频课 数学
a a mn
2 2 2 1 2
a a =a m n =m n, ( ) +3×(-2)
( + ) + m 1 n 原式 2 23.
m+n mn ∴ = , =-2,∴ = =-
2 1 14
+3
mb nb m n 2
嘉嘉两次购买的平均价格为 + +
: b = , b b m
2 2 6. 解:给 的分子 分母都加上m 所得分式为 +
a 、 , a m,
m n mn m n 2 +
+ 2 ( - )
∴ -m n= m n >0, b m b a b m b a m m a b
2 + 2( + ) + ( + )- ( + ) ( - )
a m-a = a a m =a a m ,
嘉嘉两次购买的平均价格高于欣欣两次购买的
+ ( + ) ( + )
∴
m a b
平均价格.
m b a ( - )
∵ 0< < < ,∴ a a m >0,
分层巩固练 ( + )
b m b
m m m m +
1. A 【解析】 +1 -1 +1- +1 2. ∴ a m>a,
n - n = n = n +
所得分式与原分式相比增大了.
n m m2 n2 ∴
2. D 【解析】 + m2 mn n2 m2 计算题专练
m+n = mn ,∵ -5 + =0,∴
x x x x
参 +
n2
=5
mn
,∴
原式
=
5
m
m
n
n
=5
. 1. 解:
(1)
原式
=x x
4
-x
3
x
-2
=
4
x
-
x
3 +2
( +2) ( +2) ( +2)
考
x
答 3. x 6 a 【解析】由题意 得 甲工程队比乙工程队 +2 1
案 a; , : =x x = x ;
( +2)
6 5
及
x x x
m m2 m2 m
详 每天多铺设 米 甲 乙两队一起铺设 原式 -2 1 -2 +1
解 a- a= a( ), 、 (2) = 1- m+ 1- m+ 1- m= 1- m
2 3 6
详
x x x a a m 2
析 这段公路需要 x x 5 x 6 6 ( -1) m
÷( a+ a)= ÷ a= · x = = m =1- ;
1-
2 3 6 5 5
(
天
)
.
原式 2
x
-1
x
+1 (
x
-2)
2
(3) =( x -x )÷ x 2
a a +1 +1 ( +1)
4. 解: 原式 +6 6 +6-6
(1) = a - a= a x x x 2
3 3 3 2 -1- -1 ( +1)
a = x +1 · ( x -2) 2
1
= a= ; x x 2
3 3 -2 ( +1)
a2 a2 =x +1 · ( x -2) 2
原式 4 -4
(2) =a a -a a =a a x
( +2) ( +2) ( +2) +1.
=x
a a a -2
( +2)( -2) -2
= a a = a ; x x
( +2) 原式 1 +2 1-
原式 2 b 3 a 5 a +2 b 2 b +3 a -5 a -2 b (4) =x ( x -2) ÷[x ( x -2) + ( x -2) 2 ]
(3) = ab+ ab- ab = ab x2 x x2
6 6 6 6 1 -4 -
a =x x ÷[x x 2 +x x 2 ]
2 1. ( -2) ( -2) ( -2)
=- ab=- b
6 3 1
x2
-4+
x
-
x2
m m n n =x x ÷ x x 2
5. 解:原式 -3 3( -3) 2 ( +3) ( -2) ( -2)
= + n m × m
1 2 ( -3) +3 x x 2
1 ( -2)
m n =x x · x
-3 3( +3) ( -2) -4
= + m
1 +3 x
-2.
m2 n =x
-9 3 +9 -4
= m +m
+3 +3
2. 解: 原式
x
2
x
-3 (
x
+3)(
x
-1)
m2 n (1) =x ÷[ x - x ]
+3 -1 -1 -1
= m ,
+3 x x x2 x
2 -3-( +2 -3)
m n 2 m n =x ÷[ x ]
∵ |2 -1|+( +2) =0,∴ 2 -1=0, +2=0, -1 -1
138参考答案及详解详析
x x2 3 a -2 b 3 a b b b .
- 2 ,∴ 2 =2 ,∴ -2 =1-2 =3,∴ =-1
=x -1 ÷x -1 1-3 【解析】 m -1 0 m +(-1)+0 m -1 -3 m
-2 7 ×7 ×7 =7 =7 =7 ,∴
x x
-1 m .
=x · x2 -1=-3,∴ =-2
-1 - 分层巩固练
1
=-x , 1. B 【解析】 -3 1 1 .
4 = =
3
4 64
x 原式 1 1
∵ =-2,∴ =- -2 = 2 ; 2. A 【解析】 ( a-2 ) 3 · a5 = a-6 · a5 = a-1 = a 1.
x y x
(2)
原式
= x
2
y 2 +y y
2
x = x
2
y 2 -x
2
y 3. 5×10 -7
( - ) ( - ) ( - ) -
2
x
2(
x
-
y
) 2
x
-2
x
+2
y 4. 解:
(1)
原式
=
2a2-(-3)b-1
= x y 2 - x y 2 = x y 2 5
( - ) ( - ) ( - )
y 2a5b-1
2 =
= x y 2 , 5
( - )
a5
2
x y 原式 2×(-4) 8 2 = b ;
∵ =2, =-4,∴ = 2 =- =- ; 5 参
(2+4) 36 9
原式 a-6b4 a4b-5 a-6+4b4-5 考
a b 2 a b a b 2 ab (2) =4 ·5 =20
原式 ( + ) + ( + ) 答
(3) = ab ÷( ab )= ab ·a
+
b
a-2b-1 20 . 案
a b
=20 =a2b
及
= + , 详
a b b 5. 解: 1 2 x -1 x -1 2 x -1 x 1-2 x x 解
∵ | +2 |+ +1=0, ∵ ( ) ·2 =(2 ) ·2 =2 ·2
2 详
b 且a b
∴ +1=0 +2 =0, 1-2 x + x 1- x 析
=2 =2 ,
b a
∴ =-1, =2, 1- x 4 x
∴ 2 =16=2 ,∴ 1- =4,
原式 .
∴ =2-1=1 x -2 x -4 2 .
∴ =-3,∴ 5 =5 =25
第 28 天 整数指数幂
6. 解: -333 -3×111 -3 111 1 111
2 =2 =(2 ) =( ) ,
巧构关联学知识
8
1. 1 1 1 . 5
-222
=5
-2×111
=(5
-2
)
111
=(
1
)
111
,
(1)1, ;(2)1, ;(3)1,a4 25
16 16
2. 解: a-3 a2 a-3-2 a-5 1 (-
1
)
444
=(-
1
)
4×111
=(
1
)
111
,
(1) ÷ = = =a5 ; 5 5 625
a4 a-12 b9 1 111 1 111 1 111
-3 a-12b9 ∵ ( ) >( ) >( ) ,
(2)(b3 ) = b-9 = =a12 ; 8 25 625
x-2y3 4 x-8y12
y12
. ∴
按从大到小排序为
:2
-333
>5
-222
>(-
1
)
444.
(3)( ) = =x8 5
计算题专练
3. . -6
7 2×10
a5
典例精讲学方法 1. 解: 原式 a-1b4 a6b-6 a5 b-2
(1) = · = · =b2 ;
1-1 1 【解析】 1 1 -3 3 1 -3 a 原式 ac-2 -3 a2c -2
- = =2 ,125=5 =( ) ,∵ 2 (2) =( ) ·(-2 )
3
27 8 2 5 -2 a-7 c4
=2 · ·
=
1
,(
1
)
b
=125,∴ 2
a
=2
-3
,(
1
)
b
=(
1
)
-3
,∴
a
=
c4
8 5 5 5 = a7 ;
4
-3, b =-3,∴ ab =(-3) -3 = 1 =- 1 . 原式 3a-3b6 ab a-2b6
3 (3) =2 · ÷
(-3) 27
a-2b7 a-2b6
1-2 【解析】 1 -1 - a -1 a . =8 ÷
-1 ∵ =3 ,∴ 3 =3 ,∴ =1 ∵ 8= b.
3 =8
139初二 预习视频课 数学
2. 解: 原式 3 2
(1) =-π -1+3 -2 当b 2时 原分式方程无解.
∴ = ,
3 3
=6-π ;
2-1 解:设汽车来时的平均速度是 x 则返回时
原式 km/h,
(2) =-4+2+1-(2- 3) 的平均速度是x %
(1+20 )km/h,
.
=-3+ 3
根据题意得 270 270 .
第 29 天 分式方程 : x +x % = 5 5,
(1+20 )
方程两边乘x % 得
巧构关联学知识
(1+20 ),
% . % x
1. 【解析】 分母不含未知数 故错误 是分 270×(1+20 )+270=5 5×(1+20 ) ,
②③ ① , ;②
解得x
式方程 分式方程判断是对原方程判断 不是约 =90,
;③ ,
检验 当x 时 x %
分化简后的结果 故正确 在判断关于 x 的分式 , =90 , (1+20 )≠0,
, ;④
原分式方程的解为x 且符合题意.
方程时 是非零常数 对判断分式方程无影响 ∴ =90,
,π , ,
答 汽车来时的平均速度是 .
故错误. : 90 km/h
2-2 解:设原计划每天修路的长度为 x 米 则实际每
2. C ,
天修路的长度是 % x米.
3. 解:方程两边乘x x 得 (1-20 )
参
( -1),
由题意可得 2 400 2 400 .
考 x x 解得x 2. : % x- x =6
答 -3 =2( -1), = (1-20 )
5
案 方程两边乘 % x 得
(1-20 ) ,
及 检验 当x 2时 x x .
% % x
详 : = , ( -1)≠0 2 400-(1-20 )×2 400=6×(1-20 ) ,
5
解 解得x .
=100
详 原分式方程的解为x 2.
∴ = 检验 当x 时 % x
析 5 : =100 ,(1-20 ) ≠0,
4. 解:方程两边乘 x 得 原分式方程的解为x
( -2), ∴ =100,
% x . 米 .
x 解得x 14. ∴ (1-20 ) =0 8×100=80( )
-1=3-5( -2), =
答 实际每天修路的长度是 米.
5 : 80
分层巩固练
检验 当x 14时 x .
: = ,( -2)≠0
5 1. B
原分式方程的解为x 14. 2. A 【解析】方程两边乘 x 得 x .解
∴ = ( -2), 3+( -2)= 0
5
得x .检验 当 x 时 x . 原分式方
典例精讲学方法 =-1 : =-1 , -2≠0 ∴
程的解为x .
1-1 解:方程两边乘 x 得 =-1
( -2), 3. B 【解析】将 x 代入分式方程中 得到关于 k
=2 ,
m
x x m 解得x 2- .
+ -2=- , = 的分式方程 10 20 方程两边乘 k 得
2 : - k=1, 2(2+ ),
2 2+
m
分式方程的解为正数 2- 解得m . k k . 解得 k . 检验 当 k
∵ ,∴ >0, <2 10(2+ )-40=2(2+ ) =3 : =3
2
m 时 k 10 20 的解为 k k 的
x x 即2- ,2(2+ )≠0,∴ - k=1 =3,∴
∵ -2≠0,∴ ≠2, ≠2, 2 2+
2 值为 .
m 3
∴ ≠-2,
m的取值范围是m 且m . 4. 【解析】 代数式 1 和 3 的值互为相反
∴ <2 ≠-2 -3 ∵ x x
+7 2 -6
1-2 解:方程两边乘 x 得
( +2),
数 1 3 .方程两边乘 x x 得
b x .解得x b. ,∴ x + x =0 ( +7)(2 -6),
3 + +2=2 =-3 +7 2 -6
当方程无解时 x 解得x x x .解得 x . 检验 当 x 时
, +2=0, =-2, 2 -6+3( +7)= 0 =-3 : =-3 ,
b 解得b 2 x x . x 是分式方程 1 3
∴ -3 =-2, = , ( +7)(2 -6)≠0 ∴ =-3 x + x
3 +7 2 -6
140参考答案及详解详析
检验 当x 时 x x
的解. 当x 时 代数式 1 和 3 的值互 : =2 , ( +2)≠0,
=0 ∴ =-3 , x x 原分式方程的解为x
+7 2 -6 ∴ =2;
为相反数. 方程两边乘 x x 得
(2) ( +5)( -5),
5. 解:设天天每消耗 千卡热量需要行走 x 步 则亮 x 解得x
1 , +5=10, =5,
亮每消耗 千卡热量需要行走 x 步 检验 当x 时 x x
1 ( +10) , : =5 ,( +5)( -5)= 0,
原分式方程无解
由题意可得 12 000 10 000 ∴ ;
, x = x ,
+10 方程两边乘 x 得
(3) 2( +1),
方程两边乘x x
( +10),
x x 解得x 1
得 x x . 2( +1)-4 =3, =- ,
12 000 =10 000( +10) 2
解得x
=50, 检验 当x 1时 x
检验 当x 时 x x : =- ,2( +1)≠0,
: =50 , ( +10)≠0, 2
原分式方程的解为x 且符合题意.
∴ =50, 原分式方程的解为x 1
∴ =- ;
x 步 . 2
∴ +10=50+10=60( )
方程两边乘 x x 得
答 天天每消耗 千卡热量需要行走 步 亮亮 (4) ( +2)( -1),
: 1 50 ,
每消耗 千卡热量需要行走 步. x x x x x 解得x 4
1 60 ( -1)= 3( +2)+( +2)( -1), =- , 参
6. 解: 方程两边乘 x x 得 5 考
(1) ( +2)( -2),
答
m 检验 当x 4时 x x
m x x 解得x 4+2 . : =- ,( +2)( -1)≠0, 案
( -2)-2= +2, = m 5
及
-1
m 原分式方程的解为x 4 详
令x 4+2 ∴ =- ; 解
= m >0, 5
-1 方程两边乘 x 2 得 详
{ m { m (5) ( -3) , 析
则 4+2 >0,或 4+2 <0,解得m 或m . x x x 2 解得x
m m >1 <-2 ( -3)-9=( -3) , =6,
-1>0, -1<0, 检验 当x 时 x 2
x x x : =6 ,( -3) ≠0,
∵ ( +2)( -2)≠0,∴ ≠±2, 原分式方程的解为x
m ∴ =6;
4+2 m 1. 方程两边乘x x x 得
∴ m ≠±2,∴ ≠- (6) ( +1)( -1),
-1 2
当m 或m 时 该方程的解为正数 x x x x x x 解得x 1
∴ >1 <-2 , ; 4 ( -1)-3 ( +1)=( +1)( -1), = ,
方程两边乘 x x 得 7
(2) ( +2)( -2),
m x x
检验 当x 1时 x x x
( -2)-2= +2, : = , ( +1)( -1)≠0,
7
整理得 m x m.
,( -1) =4+2
原分式方程的解为x 1.
分式方程无解 分两种情况 ∴ =
, : 7
整式方程 m x m无解 第 30 天 章整合小练
① ( -1) =4+2 ,
此时m m
-1=0, =1; abc c xy xy
1. C 【解析】 - 不符合题意 2 -5
m A. ab =- , ;B. xy
当m 时 x 4+2 2 2
② ≠1 , = m ,
-1 xy mn 2
3 不符合题意 符合题意 2( )
要使分式方程无解 即最简公分母等于 =- xy =-3, ;C. ;D. mn
, 0,
x x x 或 mn 不符合题意 故选 .
∴ ( +2)( -2)= 0,∴ =2 -2, =2 , , C
m m 2. B
即4+2 或4+2 解得m 1.
m =2 m =-2, =-
-1 -1 2 a a m2 m
3. C 【解析】 +1 不符合题意
当m 或m 1时 该方程无解.
A. b ≠b
+1
, ;B. n2 ≠ n,
∴ =1 =- ,
2 a2 ab a a b a b
不符合题意 3 +3 3 ( + ) + 符合题
计算题专练 ;C. a2 = a2 = a ,
6 6 2
1. 解: 方程两边乘x x 得 x x
(1) ( +2), 意 -1 -1 1 不符合题意
x x 解得x ;D. x2 = x x = -x , ,
3( +2)= 6 , =2, 1- -( +1)( -1) +1
141初二 预习视频课 数学
故选 .
C 2 分
=x ; ………………………… (3 )
4. B 【解析】a 2 -2 1 9 b -1 1 c
+1
=(- ) = = , =2 = , m n 2 mn
3 3 2 4 2 原式 ( - ) 2 1
(- ) (2) = m2n2 ·(n m) · n m 2
2 - ( - )
m n 2 m2n2
3 0 则a c b 故选 . ( - ) 1
=(- 2 ) =1, > > , B = m2n2 · ( n - m ) 2 · ( n - m ) 2
x x
5. A 【解析】观察题图可知 3 +1 1 分
, - 1- x=x -1 ·x +1 = = ( n - m ) 2 ; …………………… (6 )
x x x x
3 3 -3 . 原式
x ,∴ =x + x=x -x =x (3) =-1+1-4- 2+1
-1 -1 1- -1 -1 -1
. 分
6. A 【解析】分式两边乘 x 得 x a x =-3- 2 ……………………… (9 )
( -2), - =2( -2)-
12. 解:(本题考查的知识点是分式的化简求值)
a 解得x a . 分式方程的解为非负数 a
2 , = +4 ∵ ,∴ +
x2 x x x x
a . x x a a 原式 - ( +1)( -1)
4≥0,∴ ≥-4 ∵ -2≠0,∴ ≠2,∴ +4≠2,∴ =(x2 x+x2 x)÷ x 2
.综上 a 的取值范围是 a 且 a 只 - - ( -1)
≠-2 , ≥-4 ≠-2, x2 x 2
有 选项符合题意. ( -1)
A =x x · x x
( -1) ( +1)( -1)
参 7. ab3c2
x
考 分
=x , ……………………………… (4 )
答 8. x 1 【解析】方程两边乘 x 得 x +1
=- ( -2), 2+( -2)=
案 2 要使原分式有意义 x x x .
及 ∵ ,∴ ≠0, -1≠0, +1≠0
详 -( x +1), 解得x =- 1.检验 : 当 x =- 1时 , x -2≠0 . ∴ x ≠0、1、-1,
解 2 2
当x 时 原式 2. 答案不唯一 当 x 时
详
原分式方程的解为x 1. =2 , = ( , =-2 ,
析 ∴ =- 3
2 原式 分
x b =2) ……………………………… (10 )
9. 【解析】 x 时 分式 + 无意义 a 13. 解:(本题考查的知识点是分式方程的实际应用)
-1 ∵ =4 , x a ,∴ 4-2
-2
设桂花树苗单价是 x 元 则梧桐树苗单价是
x b (1) ,
a . x 时 分式 + 的值为 b
=0,∴ =2 ∵ =3 , x a 0,∴ 3+ . x元
-2 1 5 ,
且 a b 且 a 3 .综上 a b 依题意 得2 400 1 800
=0 3-2 ≠0,∴ =-3 ≠ , =2, = , . x = x -10,
2 1 5
-3, 故 ( a + b ) 2 025 =(-1) 2 025 =-1 . 方程两边乘 1 . 5 x得 ,
x 解得x
10. 1 【解析】 1 -3 m - n 1 1 -3 m 2 400=2 700-15 , =20,
∵ ( ) ·3 = ,∴ ( ) · 检验 当x 时 . x
16 3 9 3 : =20 ,1 5 ≠0,
原方程的解为x 且符合题意
1 n 1 n -3 m 1 2 n m m n ∴ =20, ,
( ) =( ) =( ) ,∴ -3 =2,∴ 3 - =
3 3 3 . x . . 分
∴ 1 5 =1 5×20=30 …………………… (4 )
-2,4 3 m - n =4 -2 = 1 . 答 : 梧桐树苗单价是 30 元 , 桂花树苗单价是 20
16 元 分
11. 解:(本题考查的知识点是分式的混合运算及实 ; ……………………………………… (5 )
设购进桂花树苗m 棵 则购进梧桐树苗
数的混合运算) (2) , (50-
m 棵
x x2 x ) ,
原式 +1 -3 2 依题意 得 . m m
(1) =[ x x + x x ]·x , 0 9[20 +30(50- )]≤1 314,
( -1)( +1) ( +1)( -1) -1
解得m
x x2 x ≥4,
+1+ -3 2
= x x ·x m为整数 m的最小值为 .
( -1)( +1) -1 ∵ ,∴ 4
答 最少购进 棵桂花树苗. 分
( x -1) 2 2 : 4 ………… (11 )
= x x ·x
( -1)( +1) -1
142参考答案及详解详析
预习成果检测卷(一)
x
1. B 【解析】 分式 -2的值为 x 且 x
∵ x 0,∴ -2=0, +1
+1
. x .故选 .
≠0 ∴ =2 B
2. B 【解析】(本题考查的知识点是三条线段可以
构成三角形的条件) 不能构
∵ 7+8=15,∴ 7,8,15
成三角形. 选项不符合题意
∴ A ;∵ 15+7>20,20-7
可以构成三角形. 选项符合题
<15,∴ 15,20,7 ∴ B
意 不能构成三角形. 选
;∵ 5+6<12,∴ 6,12,5 ∴ C
项不符合题意 不能构成三
;∵ 7+6<14,∴ 7,6,14
角形. 选项不符合题意.
∴ D
3. C 【解析】(本题考查的知识点是多边形内角和)
该五边形的内角和为 ° ° B
(5-2)×180 =540 ,∵ ∠ =
° C D ° E ° A °
125 ,∠ =∠ =90 ,∠ =120 ,∴ ∠ =540 -
° ° ° ° °.
125 -90 -90 -120 =115
4. C 【解析】逐项分析如下
:
选项 逐项分析 正误
x8 与x2 不是同类项 不能合并 A , ✕
x2 x2 x2+2 x4
B 2 · =2 =2 ✕
x2 3 x6
C (- ) =- √
x2y 2 x4y2 D (2 ) =4 ✕
参
5. B 【解析】方程两边同时乘 x 可得 x 考
(2 -1), -2+
答 x .
(2 -1)= -1 案
及
详
解
详
析
预
习
成
果
检
测
卷
︵
一
︶
角形且 A ° B C 1 ° °
∠ =120 ,∴ ∠ =∠ = ×(180 -120 )
2
°. AC 在 ADC 中 AD . DE
= 30 ∵ =4,∴ Rt△ , =2 ∵ ⊥
AC EDC °. ADE °. 在 ADE
,∴ ∠ =60 ∴ ∠ =30 ∴ Rt△
中 AE . CE AC AE .
, =1 ∴ = - =4-1=3
第 题解图
8
9. B 【解析】 D 为 BC 的中点 AD 为 ABC 的
∵ ,∴ △
中线. S S 1S . E 为 AD 的中
∴ △ ABD= △ ACD= △ ABC=8 ∵
2
点 BE 为 ABD 的中线 CE 为 ACD 的中线
,∴ △ , △ ,
S 1 S S 1 S . F 为
∴ △ BED = △ ABD =4, △ CED = △ ACD =4 ∵
2 2
CE 的中点 BF 为 CBE 的中线 S
,∴ △ ,∴ 阴影部分 =
S 1S 1 S S 1 . △ BEF= △ BEC= ( △ BED+ △ CED)= ×(4+4)= 4
2 2 2
10. D 【解析】 OA AD OD .
∵ =90cm, =10cm,∴ =80cm
如解图 过点C 作CE OA 于点E OEC °
, ⊥ ,∴ ∠ =90 ,
OCE COE °. OC OB BOC ° ∴ ∠ +∠ =90 ∵ ⊥ ,∴ ∠ =90 ,
BOD COE ° BOD OCE.在 OCE
∴ ∠ +∠ =90 ,∴ ∠ =∠ △
ì CEO ODB ï ï∠ =∠ ,
和 BOD 中 í OCE BOD OCE BOD
易 错 点 拨 △ ,ï∠ =∠ ,∴ △ ≌△
ï
îOC BO
分式方程去分母时,需要给常数项乘最简 = ,
. CE OD .即此时摆球到OA 的水
公分母 (AAS) ∴ = =80 cm
平距离为 .
80 cm
6. B 【解析】 原计划所用的时间为x天 快马送
∵ ,∴
文件所用时间为 x 天 慢马送文件所用时间为
( -3) ,
x 天. 则快马的速度为900 慢马的速度为
( +1) x ,
-3 第 题解图
10
900.根据题意可列方程为900 900 . 11. x x y 2 【解析】x3 x2y xy2 x x2 xy y2
x x =x ×2 ( - ) -2 + = ( -2 + )=
+1 -3 +1
x x y 2.
7. A 【解析】在 ABC 中 ACB ° AC BC. ( - )
Rt△ ,∠ =90 , =
12. 【解析】 . . -5 n
-5 ∵ 0 000 050 8=5 08×10 ,∴ =
A CBA 1 ° ° °. CBD
∴ ∠ =∠ = ×(180 -90 )= 45 ∴ ∠ = .
-5
2
A ACB ° ° °. BE 为 CBD 的平 13. 【解析】 DE 垂直平分 BC BE CE CD
∠ +∠ =45 +90 =135 ∵ ∠ 19 ∵ ,∴ = , =
BD . BC BD CD . ABC 的周长为
分线 CBE 1 CBD 1 ° . °. =4 ∴ = + =8 ∵ △
,∴ ∠ = ∠ = ×135 =67 5 ∴ AC AB BC AC AB . AB BE
2 2 27,∴ + + =27,∴ + =19 ∴ + +
E ° BCE CBE ° ° . ° AE AB CE AE AB AC ABE 的周长
∠ =180 -∠ -∠ =180 -90 -67 5 = = + + = + =19,∴ △
. °. 为 .
22 5 19
8. D 【解析】如解图 连接 AD ABC 为等腰三 14. 【解析】(本题考查的知识点是同底数幂的乘
, ,∵ △ 3
143初二 预习视频课 数学
除) a 2 b 2 a 2 b 2 a +2 b 2 3 2 6 AC AD CD AD AD AD
∵ 9 ·3 =3 ·3 =3 =27 =(3 ) =3 , ∴ = + = +2 =3 =6,
2 a +2 b 6. a b b a. a c a - c AD . 分
∴ 3 =3 ∴ 2 +2 =6,∴ =3- ∵ 5 ÷5 =5 ∴ =2 ………………………………… (8 )
a - c 1. a c . c a . a2 ab c 19. 解: AB CD ABE C.
=5,∴ 5 =5 ∴ - =1 ∴ = -1 ∴ + -3 ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠
=
a2
+
a
(3-
a
)-3(
a
-1)= 3
.
∵
BF
=
CE
,∴
BF
-
EF
=
CE
-
EF
,
即BE
=
CF.
15. 【解析】如解图 连接BP BE ABC是等 ì ï AB DC
3 ①, , ,∵ △ ï = ,
边三角形 AD 是边 BC 上的高 AB BC AC 在 ABE和 DCF中 í ABE DCF
, ,∴ = = = △ △ ,ï∠ =∠ ,
ï
AD垂直平分 BC BP CP PC PE BP îBE CF
6, ,∴ = ,∴ + = + = ,
PE. BP PE BE 当 B P E 三点共线且 BE ABE DCF
∵ + ≥ ,∴ , , ∴ △ ≌△ (SAS),
长最小时 PC PE 的值最小. 如解图 此时 BE CDF A °.
, + ②, ∴ ∠ =∠ =30
AC 又 AB BC E为AC的中点 CE . FD BD BDF °
⊥ , ∵ = ,∴ ,∴ =3 ∵ ⊥ ,∴ ∠ =90 ,
BDC BDF CDF ° ° °.
∴ ∠ =∠ +∠ =90 +30 =120 …
分
……………………………………… (10 )
20. 解: b a b b a b b2
(1)∵ 2 (3 +4 )+3 (2 + )-6
ab b2 ab b2 b2
=6 +8 +6 +3 -6
b2 ab
=5 +12 ,
第
15
题解图
∴
铺设滴灌管道的占地面积为
(5
b2
+12
ab
)
平方米
;
16. 解: 原式 [ -1 ] -3 4 2 3 分
(1) = (-2) -1+(2 ) ÷2 ……………………………………… (4 )
8 3 a b a b b2 ab
=-8-1+2 ÷2 (2)(3 +4 )·(2 + )-(5 +12 )
5 a2 ab ab b2 b2 ab
=-9+2 =6 +3 +8 +4 -5 -12
分 a2 b2 ab
=23; ……………………… (4 ) =6 - - ,
y 2 x2 x2y2 当a b 时 原式 2 2 .
原式 (- ) - 2 2 =5, =1 , =6×5 -1 -5×1=144
(2) = x3 · y ·xy=- x4y2 种植水稻的面积为 平方米. 分
∴ 144 …… (10 )
参 21. 解: 设该车间有x名员工.
考 2. 分 (1)
=-x2 ………………………… (8 )
答 根据题意 得2 400 2 400
案 17. 解:任务一:一 通分时没有给分子乘最简公分 , x + x =13,
; 16 10
及
母 分 方程两边乘 x 得 x
详 ; ……………………………………… (4 ) 80 , 12 000+19 200=1 040 ,
解 x x 解得x .
任务二:原式 -2 3 -2 =30
详 =(x +x )· x 2 检验 当x 时 x .
析 -2 -2 ( +1) : =30 ,80 ≠0
x x 原分式方程的解为x 且符合题意.
+1 -2 ∴ =30,
=x · x 2 答 该车间有 名员工 分
预 -2 ( +1) : 30 ; ……………… (4 )
习 由 得 该车间有 名员工.
1 (2) (1) , 30
成 =x ,
果 +1 设安排a名员工加工A零件 , 则安排 (30- a ) 名员
检 将x =-2 代入 , 得原式 =-1 . …………… (8 分 ) 工加工B零件.
测
18. 解: 如解图 点D即为所求 分
卷 (1) , ;………… (4 )
根据题意 得800 1 000
︵ , a= a ,
一 16 10(30- )
︶ 方程两边乘a a 得 a a
(30- ), 50(30- )= 100 ,
解得a .
=10
第 题解图 检验 当a 时 a a .
18 : =10 , (30- )≠0
原分式方程的解为a 且符合题意.
由 知 ABD CBD 1 ABC ° ∴ =10,
(2) (1) ,∠ =∠ = ∠ =30 , a 人 .
2 ∴ 30- =30-10=20( )
A ° BD AD. 答 安排加工A零件的员工为 人 安排加工 B
∵ ∠ =90 ,∴ =2 : 10 ,
在 ABC中 A ° ABC ° 零件的员工为 人. 分
∵ △ ,∠ =90 ,∠ =60 , 20 ………………… (10 )
C CBD ° CD BD AD 22. 证明: AB AC BAC °
∴ ∠ =∠ =30 ,∴ = =2 , (1) ∵ = ,∠ =124 ,
144参考答案及详解详析
ABD BCE 分
B C 1 ° ° °. ∴ △ ≌△ (AAS);……………… (4 )
∴ ∠ =∠ = ×(180 -124 )= 28 解: AD DE CE DE
2
(2) ∵ ⊥ , ⊥ ,
由折叠的性质可知 E C °.
ADB BEC ° BAD ABD °.
∠ =∠ =28 ∴ ∠ =∠ =90 ,∴ ∠ +∠ =90
DE AB BAE E °.
ABC ° ABD CBE °
∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ =28 ∵ ∠ =90 ,∴ ∠ +∠ =90 ,
B BAE ° AF BF BAD CBE. 分
∴ ∠ =∠ =28 ,∴ = , ∴ ∠ =∠ ……………………… (6 )
ABF是等腰三角形 分
ì ADB BEC
∴ △ ; ……………… (5 ) ï ï∠ =∠ ,
解: BAC ° BAE ° 在 ABD和 BCE中 í BAD CBE
(2) ∵ ∠ =124 ,∠ =28 , △ △ ,ï∠ =∠ ,
CAF ° ° °. ï
îAB BC
∴ ∠ =124 -28 =96 = ,
由折叠的性质可知 EAD CAD
ABD BCE
:∠ =∠ ,
∴ △ ≌△ (AAS),
BD CE BE AD
EAD CAD 1 CAF ° ∴ = =2, = =6,
∴ ∠ =∠ = ∠ =48 ,
2 DE BE BD 分
∴ = - =6-2=4; ……………… (8 )
ADC ° CAD C °.
∴ ∠ =180 -∠ -∠ =104 ………… 证明:由 可知BD EC
(3) (2) = ,
分
……………………………………… (10 ) DF BD DF EC. 分
23. 证明: AD DE CE DE
∵ = ,∴ = ………………… (10 )
(1) ∵ ⊥ , ⊥ , AD DE CE DE FDG CEG °.
∵ ⊥ , ⊥ ,∴ ∠ =∠ =90
D E ° DAB ABD °.
∴ ∠ =∠ =90 ,∴ ∠ +∠ =90 ì ï FGD CGE
ABC ° ABD EBC °
ï∠ =∠ ,
∵ ∠ =90 ,∴ ∠ +∠ =90 , 在 FDG和 CEG中 í FDG CEG
DAB EBC. 分
△ △ ,ï
ï
∠ =∠ ,
∴ ∠ =∠ ……………………… (2 ) îDF EC
= ,
ì D E
ï ï∠ =∠ , FDG CEG DG EG
∴ △ ≌△ (AAS),∴ = ,
在 ABD和 BCE中 í DAB EBC
△ △ ,ï∠ =∠ , G是DE的中点. 分
ï ∴ …………………… (11 )
îAB BC
= ,
参
考
答
案
及
详 解
详
析
预
习
成
果
检
测
卷
︵
二
︶
预习成果检测卷(二)
1. C 6. A 【解析】 正n边形的内角和为 ° °
∵ 1 260 ,∴ 180
2. B n ° 解得 n 该多边形为正九边
×( -2)= 1 260 , =9,∴
3. B 【解析】 p2 p3 p2+3 p5 p6 故 选项不符 形. 正九边形的外角和为 ° 每个外角的度
A. · = = ≠ , A ∵ 360 ,∴
合题意 ;B.( a2b3 ) 2 = a4b6 , 故 B 选项符合题意 ;C. 数为360 ° °. =40
m n 2 m2 n2 mn m2 n2 故 选项不符合题 9
( + ) = + +2 ≠ + , C y xy x y x xy
意 ;(- a + b )( a - b )= -( b - a )( b - a )= -( b - a ) 2 ≠ a2 7. D 【解析】5 y + xy -5 x = 5( y - x ) x + y ,∵ 1 x - 1 y =3,
- - - -
b2 故 选项不符合题意.
xy xy
- , D 等式两边同时乘xy 得y x xy 原式 15 +
4. C 【解析】 ABC 是等边三角形 A °. , - =3 ,∴ = xy xy
∵ △ ,∴ ∠ =60 3 -
° BDC ° ° °. a b xy
∵ ∠2=16 ,∴ ∠ =60 +16 =76 ∵ ∥ ,∴ 16 .
= xy =8 BDC °. 2
∠1=∠ =76
8. C 【解析】点A先向下平移 个单位长度 再向右
5. B 【解析】逐项分析如下 3 ,
:
平移 个单位长度后的坐标可表示为 m n
2 ( +2, -
选项 逐项分析 正误
. A B两点关于 x 轴对称 m n
3) ∵ , ,∴ +2=-1, -3=
a2 a a2 a a 2 解得m n .
2 -4 +2=2( -2 +1)= 2( -1) -3, =-3, =0
A a 2 ✕ 9. D 【解析】如解图 过点 E 作 EF AD 于点 F
≠2( -2) , ⊥ ,∵
AB BC DC BC AB CD BAD °
a2 ab a a a b ⊥ , ⊥ ,∴ ∥ ,∴ ∠ = 180 -
B + + = ( + +1) √
ADC °. DE 平分 ADC CE FE. E
a2 b2 a b a b a b ∠ =120 ∵ ∠ ,∴ = ∵
4 - =(2 + )(2 - )≠(4 + ) 为BC的中点 BE CE BE FE. 在 ABE
C a b ✕ ,∴ = ,∴ = Rt△
(4 - ) {BE FE
和 AFE 中 = , ABE AFE
D a3b - ab3 = ab ( a + b )( a - b )≠ ab ( a - b ) 2 ✕ Rt△ , AE AF ∴ Rt△ ≌Rt△
= ,
145初二 预习视频课 数学
BAE FAE 1 BAD °.
(HL),∴ ∠ =∠ = ∠ =60
2
第 题解图
9
10. C 【解析】 CD CE DE
∵ =4, =1,∴ =4-1=3,∵
CD 是 AB 边上的高 CD AB CDA
,∴ ⊥ ,∴ ∠ =
BDC °. 在 ADE 和 CDB 中
∠ = 90 Rt △ Rt △ ,
{AD CD
= , ADE CDB AED
AE CB ∴ Rt△ ≌Rt△ (HL),∴ ∠
= ,
B BD DE . CEF AED B AB
=∠ , = =3 ∴ ∠ =∠ =∠ , =
AD BD . B DCB ° CEF
+ = 7 ∵ ∠ +∠ = 90 ,∴ ∠ +
DCB ° AF BC. S 1 AB CD ∠ =90 ,∴ ⊥ ∵ △ ABC= · =
2
1BC AF 1 1 EF 解得 EF
· ,∴ ×7×4= ×5×(5+ ),
2 2 2
3.
=
5
11. 三角形具有稳定性
x
参
12. x
≠±1
【解析】要使分式
x2
+1有意义
,
即 x2
-1≠
考 -1
答 即x .
0, ≠±1
案
13. ° 【解析】由旋转得 ABE CBD BCD
及 25 △ ≌△ ,∴ ∠
详 A ° AB CB BCA A °
=∠ = 50 , = ,∴ ∠ = ∠ = 50 ,∴
解 ACD BCA BCD °. 由图可知 ACD
详 ∠ =∠ +∠ =100 ∠
析 是 DCE的一个外角 CDE ACD AED △ ,∴ ∠ =∠ -∠
° ° °.
=100 -75 =25
预
习
成
果
检
测
卷
︵
二
︶
解 题 关 键
旋转前后的两个三角形全等
x a
14. a 2且 a 1 【解析】解分式方程 +
≥- ≠- : x +
3 3 2 -2
a
最简公分母为 x 去分母 得 x a
x =1, 2( -1), , : + +
-1
a x 解得 x a . x x
2 =2( -1), : =3 +2 ∵ 2( -1)≠0,∴
a a 1. 分式方程的解为非
≠1,∴ 3 +2≠1,∴ ≠- ∵
3
负数 a 解得 a 2. a 2 且 a
,∴ 3 +2≥0, ≥- ∴ ≥- ≠
3 3
1.
-
3
易 错 点 拨
在求 a 的取值范围时需要去掉使得最简
公分母为 时的a的值
0
15. 【解析】 BAC ° DAE °
12 ∵ ∠ =120 ,∴ ∠ =180 -
BAC ° ° °. DF 是线段 AC 的垂
∠ =180 -120 =60 ∵
直平分线 DEA ° AC AE D
,∴ ∠ =90 , =2 =6,∴ ∠ =
° DEA DAE ° ° ° ° AD
180 -∠ -∠ =180 -90 -60 =30 ,∴
AE . AB AC BD AB AD
=2 =6 ∵ = =6,∴ = + =6+6
.
=12
16. 解 原式 a6 a6 a8 a2 a6 a6 a6
:(1) = +9 - ÷ = +9 -
a6 分
=9 ; ……………………… (4 )
原式 x2 xy y2 x2 xy y2
(2) =4 + -( -4 )- +
x2 xy y2 x2 xy y2
=4 + - +4 - +
x2. 分
=8 …………………………… (8 )
x x x2 x
17. 解:原式 ( -2) -4 +4
= x2 ÷ x
x x x 2
( -2) ( -2)
= x2 ÷ x
x x x
( -2)
= x2 · x 2
( -2)
1 分
=x , ………………………… (5 )
-2
要使分式有意义 则x x
∵ , ≠0, -2≠0,
x x 取x
∴ ≠0, ≠2,∴ =1,
当x 时 原式 1 1 . 分
∴ =1 , =x = =-1 …… (9 )
-2 1-2
易 错 点 拨
选取数值时需考虑该数要使得分式有意义
18. 解: 如解图所示 A′B′C′即为所求 A′
(1) ,△ , (1,
B′ C′ 分
-4), (-2,-1), (3,-2); ………… (4 )
如解图 连接CB′ CC′
(2) , , ,
S 1 . 分
∴ △ CB′C′= ×5×4=10 ………………… (9 )
2
第 题解图
18
146参考答案及详解详析
19. 解: BD平分 ABC
∵ ∠ , 根据题意 得60 60 分
, a - . a=3, …………… (2 )
ABD CBD. 1 25
∴ ∠ =∠
方程两边乘 . a 得 . . a
EF BD 1 25 , 60×1 25-60=3×1 25 ,
∵ ∥ ,
解得a .
ABD EFB CBD BEF 分 =4
∴ ∠ =∠ ,∠ =∠ , …… (4 )
检验 当a 时 . a 且符合题意.
EFB BEF : =4 ,1 25 ≠0,
∴ ∠ =∠ ,
原分式方程的解为a
BE BF. 分 ∴ =4,
∴ = ……………………………… (7 )
. a .
∴ 1 25 =1 25×4=5,
BD BF 1BD
∵ =4, = , 玫瑰香 葡萄的利润为 元/千克 茉莉香
2 ∴ “ ” 5 ,“ ”
EB BF . 分 葡萄的利润为 元/千克 分
∴ = =2 …………………………… (9 ) 4 ; ……………… (4 )
20. 解: 因式分解的结果为 x x 任务 :设购进 玫瑰香 葡萄m千克 购进 茉莉
(1)①1;②-2, (2 +1)(3 2 “ ” , “
分 香 葡萄n千克.
-2);……………………………………… (4 ) ”
【解法提示】二次项系数 常数项 由题意 得 m n
6=2×3, -2=1× , 16 +12 =9 600,
一次项系数 符合十字 m
(-2), -1=2×(-2)+3×1, n 2 400-4 . 分
∴ = ………………………… (6 )
相乘法. 3
若要使利润不低于 元 则 m n
x2 x x y2 y y 3 100 , 5 +4 ≥3 100,
(2)∵ 4 =2 ·2 ,-15 =5 ·(-3 ),
m
十字相乘形式如下 即 m 2 400-4
∴ : 5 +4× ≥3 100,
3
解得m 分
≤300, …………………………… (9 )
m的最大值为
原式 x y x y . 分 ∴ 300,
∴ =(2 +5 )(2 -3 ) …………… (9 )
要使利润不低于 元 最多能购进 玫瑰
21. 证明: DM BC EN CB ∴ 3 100 , “
(1) ∵ ⊥ , ⊥ ,
香 葡萄 千克. 分
CMD BNE °. ” 300 …………………… (10 )
∴ ∠ =∠ =90 参
23. 解: AD BE 分
{CD BE (1) = ; ………………………… (3 ) 考
在 MCD和 NBE中 = ,
【解法提示】 ABC 和 CDE 都是等边三角 答
Rt△ Rt△ , DM EN ∵ △ △
= , 案
形 ACB DCE ° AC BC CD CE
MCD NBE ,∴ ∠ =∠ = 60 , = , = , 及
∴ Rt△ ≌Rt△ (HL),
ACD ° DCE ° BCE ° 详
∴ ∠ C =∠ NBE. ………………………… (3 分 ) ∴ ∠ = 180 -∠ = 120 ,∠ = 180 - 解
ACB ° ACD BCE. 在 ACD 和 详
NBE ABC ∠ = 120 ,∴ ∠ = ∠ △
∵ ∠ =∠ , 析
ìAC BC
∴ ∠ C =∠ ABC ; ………………………… (4 分 )
BCE 中 í
ï ï
A
=
CD
,
BCE ACD BCE
△ ,ï∠ =∠ ,∴ △ ≌△ 预
解:MP 1BC 理由如下 ï
(2) = , : îCD CE 习
2 = ,
成
由 (1) 得 Rt△ MCD ≌Rt△ NBE ,∴ CM = BN. (SAS),∴ AD = BE. 果
成立 理由如下 分 检
ì MPD NPE
ï ï∠ =∠ , (2) , : …………………… (4 ) 测
在 DMP和 ENP中 í DMP N ABC和 CDE都是等边三角形 卷
△ △ ,ï∠ =∠ , ∵ △ △ , ︵
î ï DM EN ACB DCE ° AC BC CD CE 二
= , ∴ ∠ =∠ =60 , = , = , ︶
DMP ENP 分 ACB BCD DCE BCD
∴ ∠ +∠ =∠ +∠ ,
∴ △ ≌△ (AAS), …………… (7 )
ACD BCE.
MP NP MP NP PB BN PB CM.
∴ = ,∴ = = + = + ∴ ∠ =∠
MP PB CM BC ì ï AC BC
∵ + + = , ï = ,
在 ACD和 BCE中 í ACD BCE
MP 1BC. 分
△ △ ,ï
ï
∠ =∠ ,
∴ = ………………………… (10 ) îCD CE
2 = ,
22. 解:任务 :设 茉莉香 葡萄的利润为a元/千克 ACD BCE
1 “ ” , ∴ △ ≌△ (SAS),
则 玫瑰香 葡萄的利润为 . a元/千克. AD BE 分
“ ” 1 25 ∴ = ; ……………………………… (7 )
147初二 预习视频课 数学
如解图 设AD与BC交于点G. AFB ACB °. 分
(3) , ∴ ∠ =∠ =60 ……………… (11 )
由 可知 ACD BCE
(2) △ ≌△ ,
CAG CBE. 分
∴ ∠ =∠ ……………………… (9 )
在 ACG与 BFG中
△ △ ,
AGC BGF
∵ ∠ =∠ , 第 题解图
23
CAG ACB CBE AFB
∴ ∠ +∠ =∠ +∠ ,
参
考
答
案
及
详
解
详
析
预
习
成
果
检
测
卷
︵
二
︶
148
