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2016年广西桂林市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分
1．（3分）下列实数中小于0的数是（ ）
A．2016 B．﹣2016 C． D．
2．（3分）如图，直线a∥b，c是截线，∠1的度数是（ ）
A．55° B．75° C．110° D．125°
3．（3分）一组数据7，8，10，12，13的平均数是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．12
4．（3分）下列几何体的三视图相同的是（ ）
A． 圆柱 B． 球 C． 圆锥 D． 长方
体
5．（3分）下列图形一定是轴对称图形的是（ ）
A．直角三角形 B．平行四边形 C．直角梯形 D．正方形
6．（3分）计算3 ﹣2 的结果是（ ）
A． B．2 C．3 D．6
7．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（xy）3＝xy3 B．x5÷x5＝x
C．3x2•5x3＝15x5 D．5x2y3+2x2y3＝10x4y9
8．（3分）如图，直线y＝ax+b过点A（0，2）和点B（﹣3，0），则方程ax+b＝0的解是（ ）
第1页（共22页）A．x＝2 B．x＝0 C．x＝﹣1 D．x＝﹣3
9．（3分）当x＝6，y＝3时，代数式（ ）• 的值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
10．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值
范围是（ ）
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
11．（3分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋
转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，
OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（ ）
A． B． C．3+ D．8﹣
π π π
12．（3分）已知直线y＝﹣ x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y＝﹣ （x﹣ ）
2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
13．（3分）分解因式：x2﹣36＝ ．
14．（3分）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
15．（3分）把一副普通扑克牌中的数字2，3，4，5，6，7，8，9，10的9张牌洗均匀后正面向下放
在桌面上，从中随机抽取一张，抽出的牌上的数恰为3的倍数的概率是 ．
第2页（共22页）16．（3分）正六边形的每个外角是 度．
17．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CH⊥BD于H，点O是
AB中点，连接OH，则OH＝ ．
18．（3分）如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接
AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转
90°，交点P运动的路径长是 ．
三、解答题：本大题共8小题，共66分
19．（6分）计算：﹣（﹣4）+|﹣5|+ ﹣4tan45°．
20．（6分）解不等式组： ．
21．（8分）如图， ▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接
BE，DF
（1）根据题意，补全图形；
（2）求证：BE＝DF．
22．（8分）某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况，随机抽取该年级部分
男生进行了一次测试（满分15分，成绩均记为整数分），并按测试成绩m（单位：分）分成
四类：A类（12≤m≤15），B类（9≤m≤11），C类（6≤m≤8），D类（m≤5）绘制出以下两幅
不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
第3页（共22页）（1）本次抽取样本容量为 ，扇形统计图中A类所对的圆心角是 度；
（2）请补全统计图；
（3）若该校九年级男生有300名，请估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C类的
有多少名？
23．（8分）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣
﹣海伦公式S＝ （其中a，b，c是三角形的三边长，p＝ ，S为
三角形的面积），并给出了证明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5
∴p＝ ＝6
∴S＝ ＝ ＝6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九
韶提出的秦九韶公式等方法解决．
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．
24．（8分）五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾
害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，
第4页（共22页）已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数
恰好与用300元购买乙种物品的件数相同
（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？
（2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此
需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？
25．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°，以AD为
直径作圆O，过点D作DE∥AB交圆O于点E
（1）证明点C在圆O上；
（2）求tan∠CDE的值；
（3）求圆心O到弦ED的距离．
26．（12分）如图1，已知开口向下的抛物线y ＝ax2﹣2ax+1过点A（m，1），与y轴交于点C，
1
顶点为B，将抛物线y 绕点C旋转180°后得到抛物线y ，点A，B的对应点分别为点D，E．
1 2
（1）直接写出点A，C，D的坐标；
（2）当四边形ABDE是矩形时，求a的值及抛物线y 的解析式；
2
（3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的
速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线
l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t
的函数关系．
第5页（共22页）2016年广西桂林市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分
1．【分析】根据正数大于负数0，0大于负数进行选择即可．
【解答】解：∵﹣2016是负数，
∴﹣2016＜0，
故选：B．
【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握在数轴上右边的数总大于左边的数．
2．【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠1＝55°，
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即 两直
线平行 同位角相等， 两直线平行 内错角相等， 两直线平行 同旁内角①互补，
a∥b⇔，b∥c a∥c．② ⇔ ③ ⇔
3．【④分析】根据平⇒均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数进
行计算即可．
【解答】解：（7+8+10+12+13）÷5
＝50÷5
＝10
答：一组数据7，8，10，12，13的平均数是10．
故选：C．
【点评】本题考查了平均数的知识，掌握一组数据平均数的求解方法是解题关键．
4．【分析】找出圆柱，球，圆锥，以及长方体的三视图，即可做出判断．
【解答】解：A、圆柱的三视图，如图所示，不合题意；
第6页（共22页）B、球的三视图，如图所示，符合题意；
C、圆锥的三视图，如图所示，不合题意；
D、长方体的三视图，如图所示，不合题意；
．
故选：B．
【点评】此题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解本题的关键．
5．【分析】根据轴对称图形的概念，结合选项求解即可．
【解答】解：A、直角三角形中只有等腰直角三角形为轴对称图形，本选项错误；
B、平行四边形不是轴对称图形，本选项错误；
C、直角梯形不是轴对称图形，本选项错误；
D、正方形是轴对称图形，本选项正确．
第7页（共22页）故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合．
6．【分析】直接利用二次根式的加减运算法则求出答案．
【解答】解：原式＝（3﹣2） ＝ ．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．
7．【分析】A、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；
C、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可作出判断；
D、原式合并同类项得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝x3y3，错误；
B、原式＝1，错误；
C、原式＝15x5，正确；
D、原式＝7x2y3，错误，
故选：C．
【点评】此题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的
除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．【分析】所求方程的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可．
【解答】解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y＝ax+b过B（﹣3，0），
∴方程ax+b＝0的解是x＝﹣3，
故选：D．
【点评】此题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0
（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0
时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的
横坐标的值．
9．【分析】先对所求的式子化简，然后将x＝6，y＝3代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（ ）•
＝
第8页（共22页）＝ ，
当x＝6，y＝3时，原式＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是对所求式子进行灵活变化．然后对分式
进行化简．
10．【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以
及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴ ，即 ，
解得：k＜5且k≠1．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是得出关于k的一
元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结
合一元二次方程的定义以及根的判别式得出不等式组是关键．
11．【分析】作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积＝△ADE的面积
+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可．
【解答】解：作DH⊥AE于H，
∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，
∴AB＝ ＝ ，
由旋转的性质可知，OE＝OB＝2，DE＝EF＝AB＝ ，△DHE≌△BOA，
∴DH＝OB＝2，
阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积
＝ ×5×2+ ×2×3+ ﹣
＝8﹣ ，
故选：πD．
第9页（共22页）【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，掌握扇形的面积
公式S＝ 和旋转的性质是解题的关键．
12．【分析】以点B为圆心线段AB长为半径作圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，由
直线y＝﹣ x+3可求出点A、B的坐标，结合抛物线的解析式可得出△ABC等边三角形，
再令抛物线解析式中y＝0求出抛物线与x轴的两交点的坐标，发现该两点与M、N重合，
结合图形分三种情况研究△ABP为等腰三角形，由此即可得出结论．
【解答】解：以点B为圆心线段AB长为半径作圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，
如图所示．
令一次函数y＝﹣ x+3中x＝0，则y＝3，
∴点A的坐标为（0，3）；
令一次函数y＝﹣ x+3中y＝0，则﹣ x+3＝0，
解得：x＝ ，
∴点B的坐标为（ ，0）．
∴AB＝2 ．
∵抛物线的对称轴为直线x＝ ，
∴点B在抛物线的对称轴上，
∴点C的坐标为（2 ，3），
∴AC＝2 ＝AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形．
第10页（共22页）设抛物线与x轴的交点为点E，F（点E在点F左边），
令y＝﹣ （x﹣ ）2+4中y＝0，则﹣ （x﹣ ）2+4＝0，
解得：x ＝﹣ ，x ＝3 ，
1 2
∴点E的坐标为（﹣ ，0），点F的坐标为（3 ，0）．
又∵点B的坐标为（ ，0），
∴BE＝BF＝2 ，
∴点E与点M重合，点F与点N重合．
△ABP为等腰三角形分三种情况：
当AB＝BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点；
①当AB＝AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；
②当AP＝BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；
③∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标、等腰三角形的判定、一次函数与坐标
轴的交点坐标以及等边三角形的判定定理，解题的关键是依照题意画出图形，利用数形结
合来解决问题．本题属于中档题，难度不小，本题不需要求出P点坐标，但在寻找点P的
过程中会出现多次点的重合问题，由此给解题带来了难度．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
13．【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x+6）（x﹣6），
故答案为：（x+6）（x﹣6）
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
14．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
15．【分析】先确定9张扑克牌上的数字为3的倍数的张数，再根据随机事件A的概率P（A）
第11页（共22页）＝ ，求解即可．
【解答】解：∵数字为3的倍数的扑克牌一共有3张，且共有9张扑克牌，
∴P＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了概率公式的知识点，正确找出数字为3的倍数的扑克牌的张数是解答
本题的关键．
16．【分析】正多边形的外角和是360度，且每个外角都相等，据此即可求解．
【解答】解：正六边形的一个外角度数是：360÷6＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查了正多边形的外角的计算，理解外角和是360度，且每个外角都相等是关
键．
17．【分析】在BD上截取BE＝CH，连接CO，OE，根据相似三角形的性质得到 ，求得
CH＝ ，根据等腰直角三角形的性质得到AO＝OB＝OC，∠A＝∠ACO＝∠BCO＝
∠ABC＝45°，等量代换得到∠OCH＝∠ABD，根据全等三角形的性质得到OE＝OH，
∠BOE＝∠HOC推出△HOE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结
论．
【解答】解：在BD上截取BE＝CH，连接CO，OE，
∵∠ACB＝90°，CH⊥BD，
∵AC＝BC＝3，CD＝1，
∴BD＝ ，
∴△CDH∽△BDC，
∴ ，
∴CH＝ ，
∵△ACB是等腰直角三角形，点O是AB中点，
∴AO＝OB＝OC，∠A＝∠ACO＝∠BCO＝∠ABC＝45°，
∴∠OCH+∠DCH＝45°，∠ABD+∠DBC＝45°，
第12页（共22页）∵∠DCH＝∠CBD，∴∠OCH＝∠ABD，
在△CHO与△BEO中， ，
∴△CHO≌△BEO，
∴OE＝OH，∠BOE＝∠HOC，
∵OC⊥BO，
∴∠EOH＝90°，
即△HOE是等腰直角三角形，
∵EH＝BD﹣DH﹣CH＝ ﹣ ﹣ ＝ ，
∴OH＝EH× ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判
定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．【分析】如图点P运动的路径是以G为圆心的弧 ，在 G上取一点H，连接EH、FH，只
要证明∠EGF＝90°，求出GE的长即可解决问题． ⊙
【解答】解：如图点P运动的路径是以G为圆心的弧 ，在 G上取一点H，连接EH、FH．
∵四边形AOCB是正方形， ⊙
∴∠AOC＝90°，
∴∠AFP＝ ∠AOC＝45°，
∵EF是 O直径，
∴∠EAF⊙＝90°，
∴∠APF＝∠AFP＝45°，
∴∠EPF＝135°，
第13页（共22页）∵EF是定值，
∴点P在以点G为圆心，GE为半径的圆上，
∴∠H＝∠APF＝45°，
∴∠EGF＝2∠H＝90°，
∵EF＝4，GE＝GF，
∴EG＝GF＝2 ，
∴ 的长＝ ＝ ．
π
故答案为 ．
π
【点评】本题考查正方形的性质、旋转的性质、轨迹、圆等知识，解题的关键是正确发现轨
迹的位置，学会添加辅助线，利用圆的有关性质解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题：本大题共8小题，共66分
19．【分析】先去括号、计算绝对值、零指数幂、三角函数值，再计算乘法、减法即可．
【解答】解：原式＝4+5+1﹣4×1＝6．
【点评】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握相反数、绝对值的性质及零指数幂、三角
函数值的计算是关键．
20．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解： ，
解 得：x＞2，
第14页（共22页）
①解 得x≤5．
则②不等式组的解集是：2＜x≤5．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中
各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤： 求不等式组中每个不等式的解集； 利用数轴求公共部分．解集的规律：
同大取大；同①小取小；大小小大中间找；大大小小②找不到．
21．【分析】（1）如图所示；
（2）由全等三角形的判定定理SAS证得△BEO≌△DFO，得出全等三角形的对应边相等即
可．
【解答】（1）解：如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴OB＝OD，OA＝OC．
又∵E，F分别是OA、OC的中点，
∴OE＝ OA，OF＝ OC，
∴OE＝OF．
∵在△BEO与△DFO中， ，
∴△BEO≌△DFO（SAS），
∴BE＝DF．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质的运用；熟练掌握
平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
22．【分析】（1）根据统计图可以得到抽查的学生数，从而可以求得样本容量，由扇形统计图
可以求得扇形圆心角的度数；
（2）根据统计图可以求得C类学生数和C类与D类所占的百分比，从而可以将统计图补
充完整；
（3）根据统计图可以估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C类的有多少名．
【解答】解：（1）由题意可得，
第15页（共22页）抽取的学生数为：10÷20%＝50，
扇形统计图中A类所对的圆心角是：360°×20%＝72°，
故答案为：50，72；
（2）C类学生数为：50﹣10﹣22﹣3＝15，
C类占抽取样本的百分比为：15÷50×100%＝30%，
D类占抽取样本的百分比为：3÷50×100%＝6%，
补全的统计图如右图所示，
（3）300×30%＝90（名）
即该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C类的有90名．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用本估计总体，解题的关键是明确题意，利用
数形结合的思想解答．
23．【分析】（1）先根据BC、AC、AB的长求出P，再代入到公式S＝ 即
可求得S的值；
（2）根据公式S＝ r（AC+BC+AB），代入可得关于r的方程，解方程得r的值．
【解答】解：（1）∵BC＝5，AC＝6，AB＝9，
∴p＝ ＝ ＝10，
∴S＝ ＝ ＝10 ；
故△ABC的面积10 ；
（2）∵S＝ r（AC+BC+AB），
∴10 ＝ r（5+6+9），
解得：r＝ ，
第16页（共22页）故△ABC的内切圆半径r＝ ．
【点评】本题主要三角形的内切圆与内心、二次根式的应用，熟练掌握三角形的面积与内
切圆半径间的公式是解题的关键．
24．【分析】（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x+10）元，根据用
350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同列出方程，求解即可；
（2）设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件，根据该爱心组织按照此需求的比
例购买这2000件物品列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x+10）元，
根据题意得， ＝ ，
解得：x＝60．
经检验，x＝60是原方程的解，
x+10＝60+10＝70．
答：甲、乙两种救灾物品每件的价格各是70元、60元；
（2）设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件，
根据题意得，m+3m＝2000，
解得m＝500，
即甲种物品件数为500件，则乙种物品件数为1500件，此时需筹集资金：70×500+60×1500
＝125000（元）．
答：若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金125000元．
【点评】本题考查分式方程、一元一次方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决
问题的关键．
25．【分析】（1）如图1，连结CO．先由勾股定理求出AC＝10，再利用勾股定理的逆定理证明
△ACD是直角三角形，∠C＝90°，那么OC为Rt△ACD斜边上的中线，根据直角三角形斜
边上的中线等于斜边的一半得出OC＝ AD＝r，即点C在圆O上；
（2）如图2，延长BC、DE交于点F，∠BFD＝90°．根据同角的余角相等得出∠CDE＝
∠ACB．在Rt△ABC中，利用正切函数定义求出 tan∠ACB＝ ＝ ，则tan∠CDE＝
第17页（共22页）tan∠ACB＝ ；
（3）如图 3，连结 AE，作 OG⊥ED 于点 G，则 OG∥AE，且 OG＝ AE．易证
△ABC∽△CFD，根据相似三角形对应边成比例求出CF＝ ，那么BF＝BC+CF＝ ．
再证明四边形ABFE是矩形，得出AE＝BF＝ ，所以OG＝ AE＝ ．
【解答】（1）证明：如图1，连结CO．
∵AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，
∴AC＝10．
又∵CD＝24，AD＝26，102+242＝262，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°．
∵AD为 O的直径，
∴AO＝O⊙D，OC为Rt△ACD斜边上的中线，
∴OC＝ AD＝r，
∴点C在圆O上；
（2）解：如图2，延长BC、DE交于点F，∠BFD＝90°．
∵∠BFD＝90°，
∴∠CDE+∠FCD＝90°，
又∵∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠FCD＝90°，
∴∠CDE＝∠ACB．
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ ＝ ，
∴tan∠CDE＝tan∠ACB＝ ；
（3）解：如图3，连结AE，作OG⊥ED于点G，则OG∥AE，且OG＝ AE．
易证△ABC∽△CFD，
第18页（共22页）∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CF＝ ，
∴BF＝BC+CF＝8+ ＝ ．
∵∠B＝∠F＝∠AED＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴AE＝BF＝ ，
∴OG＝ AE＝ ，
即圆心O到弦ED的距离为 ．
【点评】本题是圆的综合题，考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，余角的性质，
锐角三角函数定义，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．准确作出辅助线，
利用数形结合是解题的关键．
第19页（共22页）26．【分析】（1）直接将点A的坐标代入y ＝ax2﹣2ax+1得出m的值，因为由图象可知点A在
1
第一象限，所以m≠0，则m＝2，写出A，C的坐标，点D与点A关于点C对称，由此写出点
D的坐标；
（2）根据顶点坐标公式得出抛物线y 的顶点B的坐标，再由矩形对角线相等且平分得：BC
1
＝CD，在直角△BMC中，由勾股定理列方程求出a的值得出抛物线y 的解析式，由旋转
1
的性质得出抛物线y 的解析式；
2
（3）分两种情况讨论： 当0≤t≤1时，S＝S△GHD ＝S△PDH +S△PDG ，作辅助线构建直角三角
形，求出PG和PH，利①用面积公式计算； 当1＜t≤2时，S＝S△HMD′ ﹣S△GE′F ﹣S△GE′M ，
利用30°角和60°角的直角三角形的性质②进行计算得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：
将A（m，1）代入y ＝ax2﹣2ax+1得：am2﹣2am+1＝1，
1
解得：m ＝2，m ＝0（舍），
1 2
∴A（2，1）、C（0，1）、D（﹣2，1）；
（2）如图1，由（1）知：B（1，1﹣a），过点B作BM⊥y轴，
若四边形ABDE为矩形，则BC＝CD，
∴BM2+CM2＝BC2＝CD2，
∴12+（﹣a）2＝22，
∴a＝ ，
∵y 抛物线开口向下，
1
∴a＝﹣ ，
∵y 由y 绕点C旋转180°得到，则顶点E（﹣1，1﹣ ），
2 1
∴设y ＝a（x+1）2+1﹣ ，则a＝ ，
2
∴y ＝ x2+2 x+1；
2
（3）如图1，当0≤t≤1时，则DP＝t，构建直角△BQD，
得BQ＝ ，DQ＝3，则BD＝2 ，
∴∠BDQ＝30°，
∴PH＝ ，PG＝ t，
∴S＝ （PG+PH）×DP＝ t2，
如图2，当1＜t≤2时，
第20页（共22页）因为矩形ABDE沿直线l折叠，所以延长DE和D′E′交直线l于同一点，设这一点为
M，
D（﹣2，1），E（﹣1，1﹣ ），
∴DE＝ ＝2，
∴EM＝DM﹣DE＝2t﹣2，
∵∠EMG＝30°，
∴EG＝E′G＝ （t﹣1），
在Rt△FEM中，∠EMF＝2×30°＝60°，
∴∠EFM＝30°，
∴FM＝2EM＝4t﹣4，
∴E′F＝FM﹣E′M＝FM﹣EM＝4t﹣4﹣（2t﹣2）＝2t﹣2＝2（t﹣1），
S△GE′F ＝ （t﹣1）2，
S＝S△HMD′ ﹣S△GE′F ﹣S△GE′M ＝ × t×2t﹣ （t﹣1）2﹣ × （t﹣1）×（2t﹣
2），
＝﹣ ；
综上所述：S＝ t2（0≤t≤1）或S＝﹣ （1＜t≤2）．
第21页（共22页）【点评】本题考查了二次函数的性质，旋转的性质和矩形对角线的性质，以及三角函数及
特殊角的应用，综合性较强；善于从已知中挖掘隐藏条件是本题的关键：如此题可以计算
矩形的边长及对角线与边的夹角，得出30°，以此为突破口，将需要的边长用t表示，得出
函数关系式；另外本题还运用了分类讨论的思想，这在二次函数中运用较多，应熟练掌握．
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