文档内容
Born to win
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)
(1) 极限 _________.
(2) 设函数 有连续的导函数, ,若函数
在 处连续,则常数 =___________.
(3) 曲线 与直线 所围成的平面图形的面积为_________.
(4) 若线性方程组 有解,则常数 应满足条件________.
(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为 ,则该射手的命
中率为________.
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,
把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设函数 ,则 是 ( )
(A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数
(2) 设函数 对任意 均满足等式 ,且有 其中 为非零常
数,则 ( )
(A) 在 处不可导 (B) 在 处可导,且
(C) 在 处可导,且 (D) 在 处可导,且
(3) 向量组 线性无关的充分条件是 ( )
(A) 均不为零向量
(B) 中任意两个向量的分量不成比例
(C) 中任意一个向量均不能由其余 个向量线性表示Born to win
(D) 中有一部分向量线性无关
(4) 设 为两随机事件,且 ,则下列式子正确的是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(5) 设随机变量 和 相互独立,其概率分布为
-1 1
-1 1
则下列式子正确的是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
三、计算题(本题满分20分,每小题5分.)
(1) 求函数 在区间 上的最大值.
(2) 计算二重积分 ,其中 是曲线 和 在第一象限所围成的区
域.
(3) 求级数 的收敛域.
(4) 求微分方程 的通解.
四、(本题满分9分)
某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入
(万元)与电台广告费用 (万元)及报纸广告费用 (万元)之间的关系有如下经验公式:
(1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略；Born to win
(2) 若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.
五、(本题满分6分)
设 在闭区间 上连续,其导数 在开区间 内存在且单调减少；
,试应用拉格朗日中值定理证明不等式: ,其中常数
满足条件 .
六、(本题满分8分)
已知线性方程组
(1) 为何值时,方程组有解?
(2) 方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系；
(3) 方程组有解时,求出方程组的全部解.
七、(本题满分5分)
已知对于 阶方阵 ,存在自然数 ,使得 ,试证明矩阵 可逆,并写出其逆
矩阵的表达式( 为 阶单位阵).
八、(本题满分6分)
设 是 阶矩阵, 和 是 的两个不同的特征值, 是分别属于 和 的特征
向量.试证明 不是 的特征向量.
九、(本题满分4分)
从 十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率：
{三个数字中不含0和5}； {三个数字中不含0或5}.
十、(本题满分5分)
一电子仪器由两个部件构成,以 和 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知
和 的联合分布函数为:
(1) 问 和 是否独立?Born to win
(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率 .
十一、(本题满分7分)
某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72
分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.
[附表]
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.500 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999
表中 是标准正态分布函数.Born to win
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)
(1)【答案】
【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子 .
,
再分子分母同时除以 ,有
原式 .
因为 ,其中 为常数,所以原式
(2)【答案】
【解析】由于 在 处连续,故 .
为“ ”型的极限未定式,又 在点 处导数存在,所以
.
【相关知识点】函数 在点 连续：设函数 在点 的某一邻域内有定义,如
果 则称函数 在点 连续.
(3)【答案】 y
【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令 ,
解得 和 ,故所围成的平面图形如右图所示:
所求面积为
x
1 O 2Born to win
(4)【答案】
【解析】由于方程组有解 ,对 作初等行变换,
第一行乘以 加到第四行上,有
,
第二行加到第四行上,再第三行乘以 加到第四行上,有
.
为使 ,常数 应满足条件: .
【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设 是 矩阵,线性方程组 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广
矩阵 的秩,即是 (或者说, 可由 的列向量 线表出,
亦等同于 与 是等价向量组).
设 是 矩阵,线性方程组 ,则
（1）有唯一解
（2）有无穷多解
（3）无解 不能由 的列向量 线表出.
(5)【答案】
【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为 ,则进行四
次独立的射击, 设事件 为“射手命中目标的次数”, 服从参数 的二项分
布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为 ,它是至少命中一次的对
立事件.依题意Born to win
.
本题的另一种分析方法是用随机变量 表示独立地进行射击中命中目标的次数, 表
示一次射击的命中率,则 ,依题意
即
【相关知识点】二项分布的概率公式：
若 ,则 , .
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.)
(1)【答案】(B)
【解析】由于 ,而 ,所以,
,故 无界.
或考察 在 的函数值,有 ,可见
是无界函数.应选(B).
以下证明其他结论均不正确.
由 ,知(A)不正确；
由 ,而 ,知(D)不正确.
证明(C)不正确可用反证法.
设 ,于是 的定义域为
且 的全部零点为 若 以 为周期,则
有
令 有 即 .从而 ,其中 为某一正数.于是 也是Born to win
的周期.代入即得,对 有
这表明 在 上成立,于是 在 上成立,导致了矛盾. 故
不可能是周期函数.
【相关知识点】极限的四则运算法则:
若 , ,则有 .
(2)【答案】(D)
【解析】通过变量代换 或按定义由关系式 将 在 的可
导性与 在 的可导性联系起来.
令 ,则 .由复合函数可导性及求导法则,知 在 可导,且
,
因此,应选(D).
【相关知识点】复合函数求导法则:如果 在点 可导,而 在点 可
导,则复合函数 在点 可导,且其导数为
或 .
(3)【答案】(C)
【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.
(A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组 线性无关,可以
推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组
线性无关.
例如: 显然有 ,该向量组线性相关.但(A)
(B)(D)均成立.
根据“ 线性相关的充分必要条件是存在某 可以由
线性表出.”或由“ 线性无关的充分必要条件是任意一
个 均不能由 线性表出.”故选(C).
(4)【答案】ABorn to win
【解析】由于 ,所以 ,于是有 .故本题选A.
对于B选项,因为 ,所以事件 发生,则事件 必然发生,所以 ,
而不是 ,故B错.
对于C选项,因为 ,由条件概率公式 ,当 是相互独立的事
件时,才会有 ；所以C错.
对于 D 选项,因为 ,所以事件 发生事件 不发生是个不可能事件,故
,所以(D)错.
(5)【答案】(C)
【解析】由离散型随机变量概率的定义,有
.
故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.
对于(A)选项,题目中只说了随机变量 和 相互独立,且他们的概率分布相同,但是二
者是不同的事件,并不能说事件 与事件 是同一事件.故(A)错.
三、计算题(本题满分20分,每小题5分.)
(1)【解析】在 上, ,故函数 在 上单调
增加,最大值为 .
由 ,有Born to win
.
【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：
若 , , 均一阶可导,则
.
2.假定 与 均具有连续的导函数,则
或者
(2)【解析】区域 是无界函数,设
y 9x2
y 4x2
,
不难发现,当 时有 ,从而
x
O
(3)【解析】因系数 ,故
,
这样,幂级数的收敛半径 .因此当 ,即 时级数绝对收敛.
当 时,得交错级数 ；当 时,得正项级数 ,二者都收敛,于是原级
数的收敛域为 .
【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果 ,其中 是幂级数 的Born to win
相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径
2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数 满足：
(1) (2)
则 收敛,且其和满足 余项
3． 级数： 当 时收敛；当 时发散.
(4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.
.
方法2: 用函数 同乘方程两端,构造成全微分方程.
方程两端同乘 ,得 ,再积分一次得
.
最后,再用 同乘上式两端即得通解 .
【相关知识点】一阶线性非齐次方程 的通解为
, 其中 为任意常数.
四、(本题满分9分)
【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为Born to win
由多元函数极值点的必要条件,有
因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万
元可获最大利润.
(2)若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)
在 时的条件最大值.拉格朗日函数为
由
因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最
大.
【相关知识点】拉格朗日乘数法:
要找函数 在附加条件 下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数
其中 为参数.求其对 与 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：
由这方程组解出 及 ,这样得到的 就是函数 在附加条件 下的
可能极值点.
五、(本题满分6分)
【解析】方法1:当 时, ,即不等式成立；
若 ,因为Born to win
其中 .又 单调减少,故 .从而有
,即 .
方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将 视为变量 ,得辅助函数
令 ,由于 ,所以 ,又因为
且 , 在 单调减少,所以 ,于是 在
上单调递增,故 ,即
,其中 .
【相关知识点】拉格朗日中值定理：
如果函数 满足在闭区间 上连续；在开区间 内可导,那么在 内至
少有一点 ,使等式 成立.
六、(本题满分8分)
【解析】本题中,方程组有解 .(相关定理见第一题(4))
对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以 、 分别加到第二、四行上,有
,
第二行乘以 、 分别加到第三、四行上,第二行再自乘 ,有
(1) 当 且 ,即 时方程组有解.
(2) 当 时,方程组的同解方程组是Born to win
由 ,即解空间的维数为3.取自变量为 ,则导出组的基础解系为
.
(3) 令 ,得方程组的特解为 .因此,方程组的所有解是
,其中 为任意常数.
【相关知识点】若 、 是对应齐次线性方程组 的基础解系,则 的通解形式
为 其中 是 的基础解系, 是 的一个特解.
七、(本题满分5分)
【解析】若 、 是 阶矩阵,且 则必有 于是按可逆的定义知 .
如果对特征值熟悉,由 可知矩阵 的特征值全是0,从而 的特征值全是1,
也就能证明 可逆.
由于 ,故
.
所以 可逆,且 .
八、(本题满分6分)
【解析】(反证法)若 是 的特征向量,它所对应的特征值为 ,则由定义有：
.
由已知又有 .
两式相减得 .
由 ,知 不全为0,于是 线性相关,这与不同特征值的特征向量线
性无关相矛盾.所以, 不是 的特征向量.
【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设 是 阶矩阵,若存在数 及非零的 维列
向量 使得 成立,则称 是矩阵 的特征值,称非零向量 是矩阵 的特征向Born to win
量.
九、(本题满分4分)
【解析】样本空间含样本点总数为 ；即十个数字任意选三个有多少种选择方案.
有利于事件 的样本点数为 ；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案.
有利于事件 的样本点数为 ；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字
除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件 被加了两次,所
以应该减去 .
由古典型概率公式,
.
【相关知识点】古典型概率公式： .
十、(本题满分5分)
【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的定义,且 ( 为常数)有
和 的边缘分布函数分别为
由于对任意实数 都满足 .因此 和 相互独立.
(2) 因为 和 相互独立,所以有
.
十一、(本题满分7分)
【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有
关概率,通过 表计算.但是正态分布的参数 与 未知时,则应先根据题设条件求出Born to win
与 的值,再去计算有关事件的概率.
设 为考生的外语成绩,依题意有 ,且 ,但 未知.所以可标准
化得 .由标准正态分布函数概率的计算公式,有
查表可得 ,即 ,
.Born to win
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)
(1)【答案】
【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子 .
,
再分子分母同时除以 ,有
原式 .
因为 ,其中 为常数,所以原式
(2)【答案】
【解析】由于 在 处连续,故 .
为“ ”型的极限未定式,又 在点 处导数存在,所以
.
【相关知识点】函数 在点 连续：设函数 在点 的某一邻域内有定义,如
果 则称函数 在点 连续.
(3)【答案】 y
【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令 ,
解得 和 ,故所围成的平面图形如右图所示:
所求面积为
1 O 2Born to win
(4)【答案】
【解析】由于方程组有解 ,对 作初等行变换,
第一行乘以 加到第四行上,有
,
第二行加到第四行上,再第三行乘以 加到第四行上,有
.
为使 ,常数 应满足条件: .
【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设 是 矩阵,线性方程组 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广
矩阵 的秩,即是 (或者说, 可由 的列向量 线表出,
亦等同于 与 是等价向量组).
设 是 矩阵,线性方程组 ,则
（4）有唯一解
（5）有无穷多解
（6）无解 不能由 的列向量 线表出.
(5)【答案】
【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为 ,则进行四
次独立的射击, 设事件 为“射手命中目标的次数”, 服从参数 的二项分
布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为 ,它是至少命中一次的对
立事件.依题意
.
本题的另一种分析方法是用随机变量 表示独立地进行射击中命中目标的次数, 表Born to win
示一次射击的命中率,则 ,依题意
即
【相关知识点】二项分布的概率公式：
若 ,则 , .
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.)
(1)【答案】(B)
【解析】由于 ,而 ,所以,
,故 无界.
或考察 在 的函数值,有 ,可见
是无界函数.应选(B).
以下证明其他结论均不正确.
由 ,知(A)不正确；
由 ,而 ,知(D)不正确.
证明(C)不正确可用反证法.
设 ,于是 的定义域为
且 的全部零点为 若 以 为周期,则
有
令 有 即 .从而 ,其中 为某一正数.于是 也是
的周期.代入即得,对 有Born to win
这表明 在 上成立,于是 在 上成立,导致了矛盾. 故
不可能是周期函数.
【相关知识点】极限的四则运算法则:
若 , ,则有 .
(2)【答案】(D)
【解析】通过变量代换 或按定义由关系式 将 在 的可
导性与 在 的可导性联系起来.
令 ,则 .由复合函数可导性及求导法则,知 在 可导,且
,
因此,应选(D).
【相关知识点】复合函数求导法则:如果 在点 可导,而 在点 可
导,则复合函数 在点 可导,且其导数为
或 .
(3)【答案】(C)
【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.
(A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组 线性无关,可以
推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组
线性无关.
例如: 显然有 ,该向量组线性相关.但(A)
(B)(D)均成立.
根据“ 线性相关的充分必要条件是存在某 可以由
线性表出.”或由“ 线性无关的充分必要条件是任意一
个 均不能由 线性表出.”故选(C).
(4)【答案】A
【解析】由于 ,所以 ,于是有 .故本题选A.Born to win
对于B选项,因为 ,所以事件 发生,则事件 必然发生,所以 ,
而不是 ,故B错.
对于C选项,因为 ,由条件概率公式 ,当 是相互独立的事
件时,才会有 ；所以C错.
对于 D 选项,因为 ,所以事件 发生事件 不发生是个不可能事件,故
,所以(D)错.
(5)【答案】(C)
【解析】由离散型随机变量概率的定义,有
.
故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.
对于(A)选项,题目中只说了随机变量 和 相互独立,且他们的概率分布相同,但是二
者是不同的事件,并不能说事件 与事件 是同一事件.故(A)错.
三、计算题(本题满分20分,每小题5分.)
(1)【解析】在 上, ,故函数 在 上单调
增加,最大值为 .
由 ,有
.
【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：Born to win
若 , , 均一阶可导,则
.
2.假定 与 均具有连续的导函数,则
或者
(2)【解析】区域 是无界函数,设
y 9x2
y 4x2
,
不难发现,当 时有 ,从而
x
O
(3)【解析】因系数 ,故
,
这样,幂级数的收敛半径 .因此当 ,即 时级数绝对收敛.
当 时,得交错级数 ；当 时,得正项级数 ,二者都收敛,于是原级
数的收敛域为 .
【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果 ,其中 是幂级数 的
相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径Born to win
2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数 满足：
(1) (2)
则 收敛,且其和满足 余项
3． 级数： 当 时收敛；当 时发散.
(4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.
.
方法2: 用函数 同乘方程两端,构造成全微分方程.
方程两端同乘 ,得 ,再积分一次得
.
最后,再用 同乘上式两端即得通解 .
【相关知识点】一阶线性非齐次方程 的通解为
, 其中 为任意常数.
四、(本题满分9分)
【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为
由多元函数极值点的必要条件,有Born to win
因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万
元可获最大利润.
(2)若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)
在 时的条件最大值.拉格朗日函数为
由
因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最
大.
【相关知识点】拉格朗日乘数法:
要找函数 在附加条件 下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数
其中 为参数.求其对 与 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：
由这方程组解出 及 ,这样得到的 就是函数 在附加条件 下的
可能极值点.
五、(本题满分6分)
【解析】方法1:当 时, ,即不等式成立；
若 ,因为Born to win
其中 .又 单调减少,故 .从而有
,即 .
方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将 视为变量 ,得辅助函数
令 ,由于 ,所以 ,又因为
且 , 在 单调减少,所以 ,于是 在
上单调递增,故 ,即
,其中 .
【相关知识点】拉格朗日中值定理：
如果函数 满足在闭区间 上连续；在开区间 内可导,那么在 内至
少有一点 ,使等式 成立.
六、(本题满分8分)
【解析】本题中,方程组有解 .(相关定理见第一题(4))
对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以 、 分别加到第二、四行上,有
,
第二行乘以 、 分别加到第三、四行上,第二行再自乘 ,有
(1) 当 且 ,即 时方程组有解.
(2) 当 时,方程组的同解方程组是Born to win
由 ,即解空间的维数为3.取自变量为 ,则导出组的基础解系为
.
(3) 令 ,得方程组的特解为 .因此,方程组的所有解是
,其中 为任意常数.
【相关知识点】若 、 是对应齐次线性方程组 的基础解系,则 的通解形式
为 其中 是 的基础解系, 是 的一个特解.
七、(本题满分5分)
【解析】若 、 是 阶矩阵,且 则必有 于是按可逆的定义知 .
如果对特征值熟悉,由 可知矩阵 的特征值全是0,从而 的特征值全是1,
也就能证明 可逆.
由于 ,故
.
所以 可逆,且 .
八、(本题满分6分)
【解析】(反证法)若 是 的特征向量,它所对应的特征值为 ,则由定义有：
.
由已知又有 .
两式相减得 .
由 ,知 不全为0,于是 线性相关,这与不同特征值的特征向量线
性无关相矛盾.所以, 不是 的特征向量.
【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设 是 阶矩阵,若存在数 及非零的 维列
向量 使得 成立,则称 是矩阵 的特征值,称非零向量 是矩阵 的特征向Born to win
量.
九、(本题满分4分)
【解析】样本空间含样本点总数为 ；即十个数字任意选三个有多少种选择方案.
有利于事件 的样本点数为 ；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案.
有利于事件 的样本点数为 ；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字
除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件 被加了两次,所
以应该减去 .
由古典型概率公式,
.
【相关知识点】古典型概率公式： .
十、(本题满分5分)
【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的定义,且 ( 为常数)有
和 的边缘分布函数分别为
由于对任意实数 都满足 .因此 和 相互独立.
(2) 因为 和 相互独立,所以有
.
十一、(本题满分7分)
【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有
关概率,通过 表计算.但是正态分布的参数 与 未知时,则应先根据题设条件求出Born to win
与 的值,再去计算有关事件的概率.
设 为考生的外语成绩,依题意有 ,且 ,但 未知.所以可标准
化得 .由标准正态分布函数概率的计算公式,有
查表可得 ,即 ,
.
