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2009 年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）函数 的可去间断点的个数为
(A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个.
（2）当 时， 与 是等价无穷小，则
(A) ， . （B） ， .
(C) ， . （D） ， .
（3）使不等式 成立的 的范围是
(A) . (B) . (C) . (D) .
（4）设函数 在区间 上的图形为
f (x)
1
O x
-2 1 2 3
-1
则函数 的图形为
(A) (B)
f (x) f (x)
1 1
-2 O 1 2 3 x -2 O 1 2 3 x
-1 -1
1(C) (D)
f (x) f (x)
1 1
O x O x
-1 1 2 3 -2 1 2 3
-1
（5）设 均为2阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ，则分块矩阵
的伴随矩阵为
(A) . (B) .
(C) . (D) .
（6）设 均为3阶矩阵， 为 的转置矩阵，且 ，
若 ，则 为
(A) . (B) .
(C) . (D) .
（7）设事件 与事件B互不相容，则
(A) . (B) .
(C) . (D) .
（8）设随机变量 与 相互独立，且 服从标准正态分布 ， 的概率分布为
，记 为随机变量 的分布函数，则函数
2的间断点个数为
(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9） .
（10）设 ，则 .
（11）幂级数 的收敛半径为 .
（12）设某产品的需求函数为 ,其对应价格 的弹性 ，则当需求量为10000
件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.
（13）设 , ，若矩阵 相似于 ，则 .
(14)设 ， ,…, 为来自二项分布总体 的简单随机样本， 和 分别为样本
均值和样本方差，记统计量 ，则 .
三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分9分）
求二元函数 的极值.
（16）（本题满分10 分）
计算不定积分 .
（17）（本题满分10 分）
计算二重积分 ，其中 .
（18）（本题满分11 分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数 在 上连续，在 上可导，则
，得证 .
（Ⅱ）证明：若函数 在 处连续，在 内可导，且 ，则
存在，且 .
3（19）（本题满分10 分）
设曲线 ，其中 是可导函数，且 .已知曲线 与直线
及 所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯
形面积值的 倍，求该曲线的方程.
（20）（本题满分11 分）
设 , .
（Ⅰ）求满足 ， 的所有向量 ， .
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量 , ，证明 , , 线性无关.
（21）（本题满分11 分）
设二次型 .
（Ⅰ）求二次型 的矩阵的所有特征值.
（Ⅱ）若二次型 的规范形为 ，求 的值.
（22）（本题满分11 分）
设二维随机变量 的概率密度为
（Ⅰ）求条件概率密度 ；
（Ⅱ）求条件概率 .
（23）（本题满分11分）
袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以 、 、
分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求二维随机变量 的概率分布.
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
4（1）函数 的可去间断点的个数为
(A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个.
【答案】C.
【解析】
则当 取任何整数时， 均无意义
故 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是 的解
故可去间断点为3个，即
（2）当 时， 与 是等价无穷小，则
(A) ， . （B） ， .
(C) ， . （D） ， .
【答案】A.
【解析】 为等价无穷小，则
故排除(B)、(C).
另外 存在，蕴含了 故 排除(D).
所以本题选(A).
5（3）使不等式 成立的 的范围是
(A) . (B) . (C) . (D) .
【答案】A.
【解析】原问题可转化为求
成立时 的
取值范围，由 ， 时，知当 时， .故应选(A).
（4）设函数 在区间 上的图形为
f (x)
1
O x
-2 1 2 3
-1
则函数 的图形为
(A) (B)
f (x) f (x)
1 1
-2 O 1 2 3 x -2 O 1 2 3
-1 -1
6(C) (D)
f (x) f (x)
1 1
O x O x
-1 1 2 3 -2 1 2 3
-1
【答案】D.
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 的图形可见，其图像与 轴及 轴、
所围的图形的代数面积为所求函数 ，从而可得出几个方面的特征：
① 时， ，且单调递减.
② 时， 单调递增.
③ 时， 为常函数.
④ 时， 为线性函数，单调递增.
⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为(D).
（5）设 均为2阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ，则分块矩阵
的伴随矩阵为
(A) . (B) .
(C) . (D) .
【答案】B.
【解析】根据 ，若
7分块矩阵 的行列式 ，即分块矩阵可逆
故答案为(B).
（6）设 均为3阶矩阵， 为 的转置矩阵，且 ，
若 ，则 为
(A) . (B) .
(C) . (D) .
【答案】A.
【解析】 ，即：
（7）设事件 与事件B互不相容，则
8(A) . (B) .
(C) . (D) .
【答案】D.
【解析】因为 互不相容，所以
(A) ，因为 不一定等于1，所以(A)不正确.
(B)当 不为0时，(B)不成立，故排除.
(C)只有当 互为对立事件的时候才成立，故排除.
(D) ，故(D)正确.
（8）设随机变量 与 相互独立，且 服从标准正态分布 ， 的概率分布为
，记 为随机变量 的分布函数，则函数
的间断点个数为（ ）
(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.
【答案】 B.
【解析】
独立
（1）若 ，则
（2）当 ，则
为间断点，故选(B).
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9） .
9【答案】 .
【解析】 .
（10）设 ，则 .
【答案】 .
【解析】由 ，故
代入 得， .
（11）幂级数 的收敛半径为 .
【答案】 .
【解析】由题意知，
所以，该幂级数的收敛半径为
（12）设某产品的需求函数为 ,其对应价格 的弹性 ，则当需求量为10000
件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.
【答案】8000.
【解析】所求即为
10因为 ，所以
所以
将 代入有 .
（13）设 , ，若矩阵 相似于 ，则 .
【答案】2.
【解析】 相似于 ，根据相似矩阵有相同的特征值，得到 的特征值为
3，0，0.而 为矩阵 的对角元素之和， ， .
(14)设 ， ,…, 为来自二项分布总体 的简单随机样本， 和 分别为样本
均值和样本方差，记统计量 ，则 .
【答案】
【解析】由 .
三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分9分）
求二元函数 的极值.
【解析】 ， ，故 .
.
则 ， ， .
而
11二元函数存在极小值 .
（16）（本题满分10 分）
计算不定积分 .
【解析】令 得
而
所以
（17）（本题满分10 分）
计算二重积分 ，其中 .
【解析】由 得 ，
12.
（18）（本题满分11 分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数 在 上连续，在 上可导，则
，得证 .
（Ⅱ）证明：若函数 在 处连续，在 内可导，且 ，则
存在，且 .
【解析】（Ⅰ）作辅助函数 ，易验证 满足：
； 在 闭 区 间 上 连 续 ， 在 开 区 间 内 可 导 ， 且
.
根据罗尔定理，可得在 内至少有一点 ，使 ，即
（Ⅱ）任取 ，则函数 满足：在闭区间 上连续，开区间 内可导，从
而有拉格朗日中值定理可得：存在 ，使得
……
又由于 ，对上式（*式）两边取 时的极限可得：
13故 存在，且 .
（19）（本题满分10 分）
设曲线 ，其中 是可导函数，且 .已知曲线 与直线
及 所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯
形面积值的 倍，求该曲线的方程.
【解析】旋转体的体积为
曲边梯形的面积为： ，则由题可知
两边对t求导可得
继续求导可得 ，化简可得
，解之得
在 式 中 令 ， 则 ， 代 入 得
.
所以该曲线方程为： .
（20）（本题满分11 分）
设 , .
14（Ⅰ）求满足 ， 的所有向量 ， .
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量 , ，证明 , , 线性无关.
【解析】（Ⅰ）解方程
故有一个自由变量，令 ，由 解得，
求特解，令 ，得
故 ，其中 为任意常数
解方程
故有两个自由变量，令 ，由 得
令 ，由 得
求得特解
15故 ，其中 为任意常数
（Ⅱ）证明：由于
故 线性无关.
（21）（本题满分11 分）
设二次型 .
（Ⅰ）求二次型 的矩阵的所有特征值.
（Ⅱ）若二次型 的规范形为 ，求 的值.
【解析】（Ⅰ）
.
（Ⅱ） 若规范形为 ，说明有两个特征值为正，一个为0.则
1) 若 ，则 ， ，不符题意
162) 若 ，即 ，则 ， ，符合
3) 若 ，即 ，则 ， ，不符题意
综上所述，故
（22）（本题满分11 分）
设二维随机变量 的概率密度为
（Ⅰ）求条件概率密度
（Ⅱ）求条件概率
【解析】
（Ⅰ）由 得其边缘密度函数
故
即
（Ⅱ）
而
.
（23）（本题满分11分）
17袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以 、 、
分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.
①求 .
②求二维随机变量 的概率分布.
【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红
球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球
.
（Ⅱ）X，Y取值范围为0，1，2，故
0 1 2
X
Y
0 1/4 1/6 1/36
1 1/3 1/9 0
2 1/9 0 0
18
