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2016年福建省漳州市中考数学试卷
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相
应位置填涂．
1．（4分）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．（4分）下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a6÷a2＝a4
C．（a2）3＝a5 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
4．（4分）把不等式组 的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．2x+3＝0 B．x2﹣1＝0 C． D．x2+x+1＝0
6．（4分）下列图案属于轴对称图形的是（ ）
第1页（共27页）A． B．
C． D．
7．（4分）上体育课时，小明5次投掷实心球的成绩如下表所示，则这组数据的众数与中位数
分别是（ ）
1 2 3 4 5
成绩（m） 8.2 8.0 8.2 7.5 7.8
A．8.2，8.2 B．8.0，8.2 C．8.2，7.8 D．8.2，8.0
8．（4分）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）
A．每2次必有1次正面向上 B．必有5次正面向上
C．可能有7次正面向上 D．不可能有10次正面向上
10．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
第2页（共27页）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填入答题卡的相应位置．
11．（4分）今年我市普通高中计划招生人数约为28500人，该数据用科学记数法表示为
．
12．（4分）如图，若a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为 度．
13．（4分）一次数学考试中，九年（1）班和（2）班的学生数和平均分如表所示，则这两班平均
成绩为 分．
班级 人数 平均分
（1）班 52 85
（2）班 48 80
14．（4分）一个矩形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为 ．
15．（4分）如图，点A、B是双曲线y＝ 上的点，分别过点A、B作x轴和y轴的垂线段，若图
中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为 ．
16．（4分）如图，正方形ABCO的顶点C、A分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，
若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是 ．
第3页（共27页）三、解答题：共9小题，共86分，请将答案填入答题卡的相应位置．
17．（8分）计算：|﹣2|﹣（ ）0+ ．
18．（8分）先化简（a+1）（a﹣1）+a（1﹣a）﹣a，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a的
取值有什么关系？（不必说理）．
19．（8分）如图，BD是 ▱ABCD的对角线，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，
垂足为F．
（1）补全图形，并标上相应的字母；
（2）求证：AE＝CF．
20．（8分）国家规定，中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时，为了解这项政策的落实
情况，有关部门就“你某天在校体育活动时间是多少”的问题，在某校随机抽查了部分学
生，再根据活动时间（t 小时）进行分组（A组：t＜0.5，B组：0.5≤t＜1，C组：1≤t＜1.5，D
组：t≥1.5），绘制成如下两幅不完整统计图，请根据图中信息回答问题：
（1）此次抽查的学生数为 人；
（2）补全条形统计图；
（3）从抽查的学生中随机询问一名学生，该生当天在校体育活动时间低于1小时的概率是
；
（4）若当天在校学生数为1200人，请估计在当天达到国家规定体育活动时间的学生有
人．
21．（8分）如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图．已知长方体货厢
第4页（共27页）的高度BC为 米，tanA＝ ，现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，
仍可把货物放平装进货厢，求BD的长．（结果保留根号）
22．（10分）某校准备组织师生共60人，从南靖乘动车前往厦门参加夏令营活动，动车票价格
如表所示：（教师按成人票价购买，学生按学生票价购买）．
运行区间 成人票价（元/张） 学生票价（元/张）
出发站 终点站 一等座 二等座 二等座
南靖 厦门 26 22 16
若师生均购买二等座票，则共需1020元．
（1）参加活动的教师有 人，学生有 人；
（2）由于部分教师需提早前往做准备工作，这部分教师均购买一等座票，而后续前往的教师
和学生均购买二等座票．设提早前往的教师有x人，购买一、二等座票全部费用为y元．
求y关于x的函数关系式；
①若购买一、二等座票全部费用不多于1032元，则提早前往的教师最多只能多少人？
②23．（10分）如图，AB为 O的直径，点E在 O上，C为 的中点，过点C作直线CD⊥AE
于D，连接AC、BC．⊙ ⊙
（1）试判断直线CD与 O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD＝2，AC＝ ⊙，求AB的长．
24．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段
MN的最大值；
第5页（共27页）（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是
等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（14分）现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直
角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N．
（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是 ；
（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说
明理由；
（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM＝ON时，请探究点O在移动过程中可
形成什么图形？
（4）如图4，是点O在正方形外部的一种情况．当OM＝ON时，请你就“点O的位置在各种
情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说明）
第6页（共27页）2016 年福建省漳州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相
应位置填涂．
1．（4分）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【考点】14：相反数．
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【分析】由相反数的定义容易得出结果．
【解答】解：﹣3的相反数是3，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的定义；熟记相反数的定义是解决问题的关键．
2．（4分）下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】U1：简单几何体的三视图．
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【分析】四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形，由
此可确定答案．
【解答】解：因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体
的左视图是正方形，
所以，左视图是圆的几何体是球．
故选：C．
【点评】主要考查立体图形的左视图，关键根据圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方
体是正方形解答．
第7页（共27页）3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a6÷a2＝a4
C．（a2）3＝a5 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；4C：完全平方公式．
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【分析】直接利用合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方以及完全平方公式的知识求解即可
求得答案．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故本选项错误；
B、a6÷a2＝a4，故本选项正确；
C、（a2）3＝a6，故本选项错误；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项错误．
故选：B．
【点评】此题考查了合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方以及完全平方公式．注意掌握指
数的变化是解此题的关键．
4．（4分）把不等式组 的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
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【分析】先求出两个不等式的解，然后表示出解集，并在数轴上表示出来．
【解答】解：解不等式x+1＞0得：x＞﹣1，
解不等式2x﹣4≤0得：x≤2，
则不等式的解集为：﹣1＜x≤2，
在数轴上表示为：
．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键
是熟练掌握不等式的解法以及求不等式解集的规律．
第8页（共27页）5．（4分）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．2x+3＝0 B．x2﹣1＝0 C． D．x2+x+1＝0
【考点】86：解一元一次方程；AA：根的判别式；B3：解分式方程．
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【分析】A、解一元一次方程可得出一个解，从而得知A中方程有一个实数根；B、根据根的判
别式△＝4＞0，可得出B中方程有两个不等实数根；C、解分式方程得出x的值，通过验证
得知该解成立，由此得出C中方程有一个实数根；D、根据根的判别式△＝﹣3＜0，可得出
D中方程没有实数根．由此即可得出结论．
【解答】解：A、2x+3＝0，解得：x＝﹣ ，
∴A中方程有一个实数根；
B、在x2﹣1＝0中，
△＝02﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，
∴B中方程有两个不相等的实数根；
C、 ＝1，即x+1＝2，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程 ＝1的解，
∴C中方程有一个实数根；
D、在x2+x+1＝0中，
△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，
∴D中方程没有实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式、解一元一次方程以及解分式方程，解题的关键是逐项分析四
个选项中方程解的个数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别
式的符号判断根的个数是关键．
6．（4分）下列图案属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
第9页（共27页）C． D．
【考点】P3：轴对称图形．
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【分析】根据轴对称图形的定义，寻找四个选项中图形的对称轴，发现只有，A有一条对称轴，
由此即可得出结论．
【解答】解：A、能找出一条对称轴，故A是轴对称图形；
B、不能找出对称轴，故B不是轴对称图形；
C、不能找出对称轴，故C不是轴对称图形；
D、不能找出对称轴，故D不是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形，解题的关键是分别寻找四个选项中图形的对称轴．本题属于
基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过寻找给定图象有无对称轴来确定该图形是否
是轴对称图形是关键．
7．（4分）上体育课时，小明5次投掷实心球的成绩如下表所示，则这组数据的众数与中位数
分别是（ ）
1 2 3 4 5
成绩（m） 8.2 8.0 8.2 7.5 7.8
A．8.2，8.2 B．8.0，8.2 C．8.2，7.8 D．8.2，8.0
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【分析】将小明投球的5次成绩按从小到大的顺序排列，根据数的特点结合众数和中位数的
定义即可得出结论．
【解答】解：按从小到大的顺序排列小明5次投球的成绩：
7.5，7.8，8.0，8.2，8.2．
其中8.2出现2次，出现次数最多，8.0排在第三，
∴这组数据的众数与中位数分别是：8.2，8.0．
故选：D．
【点评】本题考查了众数和中位数，解题的关键是熟记众数和中位数的定义．本题属于基础题，
难度不大，解决该题型题目时，将数据按照一定顺序（从小到大或从大到小）进行排列，根
第10页（共27页）据该组数据中数的特点结合众数和中位数的定义即可得出结论．
8．（4分）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】N2：作图—基本作图．
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【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．
【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为D，
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是
结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性
质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图
9．（4分）掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）
A．每2次必有1次正面向上 B．必有5次正面向上
C．可能有7次正面向上 D．不可能有10次正面向上
【考点】X3：概率的意义．
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【分析】利用不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是 ，进而得出答案．
【解答】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，
所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是 ，
所以掷一枚质地均匀的硬币10次，
可能有7次正面向上；
故选：C．
【点评】本题考查了可能性的大小，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率＝
所求情况数与总情况数之比．
10．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
第11页（共27页）若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【考点】KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理．
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【专题】32：分类讨论．
【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得
BE＝EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而
可得答案．
【解答】解：过A作AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴EC＝BE＝ BC＝4，
∴AE＝ ＝3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
∴3≤AD＜5，
∴AD＝3或4，
∵线段AD长为正整数，
∴AD的可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出AD
的最小值，然后求出AD的取值范围．
二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填入答题卡的相应位置．
11．（4分）今年我市普通高中计划招生人数约为 28500人，该数据用科学记数法表示为
2.85×10 4 ．
第12页（共27页）【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：28500＝2.85×104．
故答案为：2.85×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（4分）如图，若a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为 12 0 度．
【考点】JA：平行线的性质．
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【分析】由对顶角相等可得∠3＝∠1＝60°，再根据平行线性质可得∠2度数．
【解答】解：如图，
∵∠1＝60°，
∴∠3＝∠1＝60°，
又∵a∥b，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝120°，
故答案为：120．
【点评】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
13．（4分）一次数学考试中，九年（1）班和（2）班的学生数和平均分如表所示，则这两班平均
成绩为 82. 6 分．
班级 人数 平均分
（1）班 52 85
第13页（共27页）（2）班 48 80
【考点】W2：加权平均数．
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【专题】11：计算题；541：数据的收集与整理．
【分析】根据加权平均数的定义计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得： ×85+ ×80＝44.2+38.4＝82.6（分），
则这两班平均成绩为82.6分，
故答案为：82.6
【点评】此题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的定义是解本题的关键．
14．（4分）一个矩形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为 a + 2 ．
【考点】4H：整式的除法．
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【分析】根据矩形的面积和已知边长，利用多项式除以单项式的法则计算即可求出另一边长．
【解答】解：∵（a2+2a）÷a＝a+2，
∴另一边长为a+2，
故答案为：a+2．
【点评】本题主要考查多项式除以单项式的法则；熟练掌握多项式除以单项式的法则是解决
问题的关键．
15．（4分）如图，点A、B是双曲线y＝ 上的点，分别过点A、B作x轴和y轴的垂线段，若图
中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为 8 ．
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．
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【专题】11：计算题；534：反比例函数及其应用．
【分析】由A，B为双曲线上的两点，利用反比例系数k的几何意义，求出矩形ACOG与矩形
BEOF面积，再由阴影DGOF面积求出空白面积之和即可．
【解答】解：∵点A、B是双曲线y＝ 上的点，
∴S矩形ACOG ＝S矩形BEOF ＝6，
第14页（共27页）∵S阴影DGOF ＝2，
∴S矩形ACDF +S矩形BDGE ＝6+6﹣2﹣2＝8，
故答案为：8
【点评】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是
解本题的关键．
16．（4分）如图，正方形ABCO的顶点C、A分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，
若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是 （ 2+ ， 1 ） ．
【考点】D5：坐标与图形性质；L8：菱形的性质；LE：正方形的性质．
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【分析】过点D作DG⊥BC于点G，根据四边形BDCE是菱形可知BD＝CD，再由BC＝2，
∠D＝60°可得出△BCD是等边三角形，由锐角三角函数的定义求出GD及CG的长即可
得出结论．
【解答】解：过点D作DG⊥BC于点G，
∵四边形BDCE是菱形，
∴BD＝CD．
∵BC＝2，∠D＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝CD＝2，
∴CG＝1，GD＝CD•sin60°＝2× ＝ ，
∴D（2+ ，1）．
故答案为：（2+ ，1）．
第15页（共27页）【点评】本题考查的是正方形的性质，根据题意作出辅助线，利用菱形的性质判断出△BCD是
等边三角形是解答此题的关键．
三、解答题：共9小题，共86分，请将答案填入答题卡的相应位置．
17．（8分）计算：|﹣2|﹣（ ）0+ ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂．
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【分析】分别进行绝对值的化简、零指数幂、二次根式的化简等运算，然后合并．
【解答】解：原式＝2﹣1+2
＝3．
【点评】本题考查了实数的运算，涉及了绝对值的化简、零指数幂、二次根式的化简等知识，属
于基础题．
18．（8分）先化简（a+1）（a﹣1）+a（1﹣a）﹣a，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a的
取值有什么关系？（不必说理）．
【考点】4A：单项式乘多项式；4F：平方差公式．
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【分析】分别进行平方差公式、单项式乘多项式的运算，然后合并得出结果．
【解答】解：原式＝a2﹣1+a﹣a2﹣a
＝﹣1．
该代数式与a的取值没有关系．
【点评】本题考查了平方差公式、单项式乘多项式的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的
运算法则．
19．（8分）如图，BD是 ▱ABCD的对角线，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，
垂足为F．
（1）补全图形，并标上相应的字母；
（2）求证：AE＝CF．
第16页（共27页）【考点】L5：平行四边形的性质．
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【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）由平行四边形的性质得出△ABD的面积＝△BCD的面积，得出 BD•AE＝ BD•CF，即
可得出结论．
【解答】（1）解：如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△ABD的面积＝△BCD的面积，
∴ BD•AE＝ BD•CF，
∴AE＝CF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形的面积关系；熟练掌握平行四边形的性质是解
决问题的关键．
20．（8分）国家规定，中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时，为了解这项政策的落实
情况，有关部门就“你某天在校体育活动时间是多少”的问题，在某校随机抽查了部分学
生，再根据活动时间（t 小时）进行分组（A组：t＜0.5，B组：0.5≤t＜1，C组：1≤t＜1.5，D
组：t≥1.5），绘制成如下两幅不完整统计图，请根据图中信息回答问题：
（1）此次抽查的学生数为 30 0 人；
（2）补全条形统计图；
（3）从抽查的学生中随机询问一名学生，该生当天在校体育活动时间低于 1小时的概率是
40% ；
（4）若当天在校学生数为1200人，请估计在当天达到国家规定体育活动时间的学生有 72 0
人．
第17页（共27页）【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X4：概率公式．
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【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）求出C组的人数，A组的人数补全条形统计图即可；
（3）根据概率公式即可得到结论；
（4）用总人数乘以达到国家规定体育活动时间的百分比即可得到结论．
【解答】解：（1）60÷20%＝300（人）答：此次抽查的学生数为300人，
故答案为：300；
（2）C组的人数＝300×40%＝120人，
A组的人数＝300﹣100﹣120﹣60＝20人，
补全条形统计图如图所示，
（3）该生当天在校体育活动时间低于1小时的概率是 ＝40%；
（4）当天达到国家规定体育活动时间的学生有1200× ＝720人．
故答案为：40%，720人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统
计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（8分）如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图．已知长方体货厢
第18页（共27页）的高度BC为 米，tanA＝ ，现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，
仍可把货物放平装进货厢，求BD的长．（结果保留根号）
【考点】T8：解直角三角形的应用．
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【分析】点D与点C重合时，B′C＝BD，∠B′CB＝∠CBD＝∠A，利用tanA＝ 得到
tan∠BCB′＝ ＝ ，然后设B′B＝x米，则B′C＝3x米，在Rt△B′CB中，利用勾
股定理求得答案即可．
【解答】解：如图，点D与点C重合时，B′C＝BD，∠B′CB＝∠CBD＝∠A，
∵tanA＝ ，
∴tan∠BCB′＝ ＝ ，
∴设B′B＝x米，则B′C＝3x米，
在Rt△B′CB中，
B′B2+B′C2＝BC2，
即：x2+（3x）2＝（ ）2，
x＝ （负值舍去），
∴BD＝B′C＝ 米．
故BD的长为 米．
第19页（共27页）【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是能够从实际问题中整理出直角三角
形，难度不大．
22．（10分）某校准备组织师生共60人，从南靖乘动车前往厦门参加夏令营活动，动车票价格
如表所示：（教师按成人票价购买，学生按学生票价购买）．
运行区间 成人票价（元/张） 学生票价（元/张）
出发站 终点站 一等座 二等座 二等座
南靖 厦门 26 22 16
若师生均购买二等座票，则共需1020元．
（1）参加活动的教师有 1 0 人，学生有 5 0 人；
（2）由于部分教师需提早前往做准备工作，这部分教师均购买一等座票，而后续前往的教师
和学生均购买二等座票．设提早前往的教师有x人，购买一、二等座票全部费用为y元．
求y关于x的函数关系式；
①若购买一、二等座票全部费用不多于1032元，则提早前往的教师最多只能多少人？
②【考点】C9：一元一次不等式的应用；FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）设参加活动的教师有a人，学生有b人，根据等量关系：师生共60人；若师生均
购买二等座票，则共需1020元；列出方程组，求出方程组的解即可；
（2） 根据购买一、二等座票全部费用＝购买一等座票钱数+教师购买二等座票钱数+学生
购买①二等座票钱数，依此可得解析式；
根据不等关系：购买一、二等座票全部费用不多于1032元，列出方程求解即可．
②【解答】解：（1）设参加活动的教师有a人，学生有b人，依题意有
，
解得 ．
故参加活动的教师有10人，学生有50人；
（2） 依题意有：y＝26x+22（10﹣x）+16×50＝4x+1020．
故y关①于x的函数关系式是y＝4x+1020（0＜x＜10）；
第20页（共27页）依题意有
②4x+1020≤1032，
解得x≤3．
故提早前往的教师最多只能3人．
故答案为：10，50．
【点评】本题主要考查对一次函数，二元一次方程组，一元一次不等式等知识点的理解和掌握，
此题是一个拔高的题目，有一定的难度．
23．（10分）如图，AB为 O的直径，点E在 O上，C为 的中点，过点C作直线CD⊥AE
于D，连接AC、BC．⊙ ⊙
（1）试判断直线CD与 O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD＝2，AC＝ ⊙，求AB的长．
【考点】MB：直线与圆的位置关系．
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【分析】（1）连接OC，由C为 的中点，得到∠1＝∠2，等量代换得到∠2＝∠ACO，根据平
行线的性质得到OC⊥CD，即可得到结论；
（2）连接CE，由勾股定理得到CD＝ ＝ ，根据切割线定理得到CD2＝AD•DE，
根据勾股定理得到CE＝ ＝ ，由圆周角定理得到∠ACB＝90°，即可得到结
论．
【解答】解：（1）相切，连接OC，
∵C为 的中点，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠ACO，
∴∠2＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
第21页（共27页）∴OC⊥CD，
∴直线CD与 O相切；
⊙
（2）方法1：连接CE，
∵AD＝2，AC＝ ，
∵∠ADC＝90°，
∴CD＝ ＝ ，
∵CD是 O的切线，
∴CD2＝⊙AD•DE，
∴DE＝1，
∴CE＝ ＝ ，
∵C为 的中点，
∴BC＝CE＝ ，
∵AB为 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∴AB＝ ＝3．
方法2：∵∠DCA＝∠B，
易得△ADC∽△ACB，
∴ ＝ ，
∴AB＝3．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，平行线
的性质，切割线定理，熟练掌握各定理是解题的关键．
24．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
第22页（共27页）（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段
MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是
等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；HF：二次函数综合题；ID：
两点间的距离．
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【分析】（1）由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线
BC的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于
m的函数关系式，再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即
可解决最值问题；
（3）假设存在，设出点P的坐标为（2，n），结合（2）的结论可求出点N的坐标，结合点N、B的
坐标利用两点间的距离公式求出线段PN、PB、BN的长度，根据等腰三角形的性质分类讨
论即可求出n值，从而得出点P的坐标．
【解答】解：（1）将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝x2+bx+c中，
得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．
（2）设点M的坐标为（m，m2﹣4m+3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，
把点点B（3，0）代入y＝kx+3中，
得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
∵MN∥y轴，
∴点N的坐标为（m，﹣m+3）．
第23页（共27页）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为x＝2，
∴点（1，0）在抛物线的图象上，
∴1＜m＜3．
∵线段MN＝﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m＝﹣ + ，
∴当m＝ 时，线段MN取最大值，最大值为 ．
（3）假设存在．设点P的坐标为（2，n）．
当m＝ 时，点N的坐标为（ ， ），
∴ PB ＝ ＝ ， PN ＝ ， BN ＝
＝ ．
△PBN为等腰三角形分三种情况：
当PB＝PN时，即 ＝ ，
①
解得：n＝ ，
此时点P的坐标为（2， ）；
当PB＝BN时，即 ＝ ，
②
解得：n＝± ，
此时点P的坐标为（2，﹣ ）或（2， ）；
当PN＝BN时，即 ＝ ，
③
解得：n＝ ，
此时点P的坐标为（2， ）或（2， ）．
第24页（共27页）综上可知：在抛物线的对称轴l上存在点P，使△PBN是等腰三角形，点P的坐标为（2， ）、
（2，﹣ ）、（2， ）、（2， ）或（2， ）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性
质、两点间的距离以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数
解析式；（2）利用二次函数的性质解决最值问题；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不
大，解决该题型题目时，利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，再结合二次函数的
性质解决最值问题是关键．
25．（14分）现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直
角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N．
（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是 OM ＝ ON ；
（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说
明理由；
（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM＝ON时，请探究点O在移动过程中可
形成什么图形？
（4）如图4，是点O在正方形外部的一种情况．当OM＝ON时，请你就“点O的位置在各种
情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说明）
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质；LO：四边形综合题．
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【分析】（1）根据△OBM与△ODN全等，可以得出OM与ON相等的数量关系；（2）连接AC、
BD，则通过判定△BOM≌△CON，可以得到OM＝ON；（3）过点O作OE⊥BC，作
OF⊥CD，可以通过判定△MOE≌△NOF，得出OE＝OF，进而发现点O在∠C的平分线
上；（4）可以运用（3）中作辅助线的方法，判定三角形全等并得出结论．
【解答】解：（1）若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是：OM＝ON；
第25页（共27页）（2）仍成立．
证明：如图2，连接AC、BD，则
由正方形ABCD可得，∠BOC＝90°，BO＝CO，∠OBM＝∠OCN＝45°
∵∠MON＝90°
∴∠BOM＝∠CON
在△BOM和△CON中
∴△BOM≌△CON（ASA）
∴OM＝ON
（3）如图3，过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分别为E、F，则∠OEM＝∠OFN＝90°
又∵∠C＝90°
∴∠EOF＝90°＝∠MON
∴∠MOE＝∠NOF
在△MOE和△NOF中
∴△MOE≌△NOF（AAS）
∴OE＝OF
又∵OE⊥BC，OF⊥CD
∴点O在∠C的平分线上
∴O在移动过程中可形成线段AC
（4）O在移动过程中可形成直线AC．
【点评】本题主要考查了四边形中的正方形，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．解
第26页（共27页）题时需要运用全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理．
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日期：2019/2/2 14:42:31；用户：星光；邮箱：orFmNt9Sl5o9zVVGxqq8R8Yve1Uc@weixin.jyeoo.com；学号：24989655
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