考研数三(2008-2017年)历年真题公众号：小乖考研免费分享_06.数学三历年真题_普通版本数学三_真题集（里面就是真题，可直接打印）_PDF格式

2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的. 1cos x  , x0 (1) 若函数 f(x) ax 在x0处连续，则( )   b, x0 1 1 (A) ab (B) ab (C) ab0 (D) ab2 2 2 (2) 二元函数zxy(3xy)的极值点是( ) (A)（0，0） (B) （0，3） (C) （3，0） (D) （1，1） (3) 设函数 f(x)可导，且 f(x)f(x)0，则( ) (A) f(1) f(1) (B) f(1) f(1) (C) f(1)  f(1) (D) f(1)  f(1)   1 1  (4)若续数 sin kln(1 ) 收敛，则k=( )    n n  n2 (A)1 (B) 2 (C) -1 (D) -2 (5) 设为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( ) (A) E不可逆 (B) E不可逆 (C) E2不可逆 (D) E2不可逆 2 0 0 2 1 0 1 0 0       (6)已知矩阵 A 0 2 1 ,B 0 2 0 ,C  0 2 0 ,则( )             0 0 1 0 0 1 0 0 2       (A) A与C相似,B与C相似 (B) A与C相似,B与C不相似 (C) A与C不相似,B与C相似 (D) A与C不相似,B与C不相似 (7)设A，B，C为三个随机事件，且 A与C相互独立，B与C相互独立，则 A B与C相互独立的充分必要条件 是 （ ） (A)A与B相互独立 （B） A与B互不相容 （C） AB与C相互独立 （D） AB与C互不相容 1 n (8)设 X X ...X (n2) 为来自总 体 N(,1) 的简单随机 样本， 记 x x 则下列结论 正确的 是 1, 2, n n i i1 （ ） n (A) (x )2服从 x2分布 (B) 2(x x )2服从x2分布 i n 1 i1 n (C) (x X)2 服从 x2分布 (D) n(X )2服从x2分布 i i1 二、填空题：9 14 小题,每小题4分,共 24分. (9) (sin3 x 2 x2)dx ________.  (10)差分方程 y 2y 2t通解为 y = t1 t t (11) 设生产某产品的平均成本C(q)1eq，其中产量为q，则边际成本为 f(x,y) df(x,y) yeydxx(1 y)eydy f(0,0)0 f(x,y) (12)设函数 具有一阶连续偏导数，且 ， ，则 = 1 0 1   (13)设矩阵 A 1 1 2 ,、 、为线性无关的3维列向量组。则向量组 A、 A 、A的秩为   1 2 3 1 2 3   0 1 1   1 (14)设随机变量 X 的概率分布为PX 2 ，PX 1a，PX 3b，若EX 0,则DX = 2 三、解答题：15～23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分) x  xtetdt 求 lim 0 x0+ x3 (16)(本题满分10分) y3 计算积分 dxdy，其中D是第一象限中以曲线 y x 与x轴为边界的无界区域. (1x2  y4)2 D (17)(本题满分10分) n k k 求lim ln(1 ) n n2  k1 (18)(本题满分10分) 1 1 已知方程  k 在区间（0,1）内有实根，确定常数k的取值范围. ln(1x) x (19)(本题满分10分) 1  设a 1，a 0，a  (na a )(n1、2、3），S  x  为幂级数a xn 的和函数 0 1 n1 n1 n n1 n n0  (I)证幂 a xn 的收敛半径不小于1. n n0 (II)证(1X)S(x)xS(x)0x(1,1)，并求S(x)表达式. (20)(本题满分11分) 设3阶矩阵A,,有3个不同的特征值，且 2. 1 2 3 3 1 2 (I)证明r(A)2； (II)若a a ,a ，求方程组 Ax的通解. 1 2 3(21)(本题满分11分) 设 二 次 型 f x,x ,x 2x2 x 2 ax 2 2xx 8xx 2x x 在 正 交 变 换 xQy 下 的 标 准 形 为 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 y2 y 2，求a的值及一个正交矩阵Q. 1 1 2 2 (22)(本题满分11 分) 1 设随机变来那个为 X ，Y 相互独立，且 X 的概率分布为 PX 0PX 2 ,Y 的概率密度为 2 2y, 0 y1 f y  0, 其他 (I)求P(Y EY); (II)求Z  X Y的概率密度. (23)(本题满分11 分) 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量是已知的，设n次测 量结果 X ,X ...,X 相互独立且均服从正态分布 N  ,2 .该工程师记录的是 n 次测量的绝对误差 1 2, n Z  X i1,2, n，利用Z ,Z , Z 估计. i i 1 2 n (I)求Z 的概率密度； 1 (II)利用一阶矩求的矩估计量； (III)求的最大似然估计量.2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 一、选择题：1-8小题，每小题 4分，共 24分，请将答案写在答题纸指定位置上。 （1）设函数 y f(x)在(,)内连续，其导函数的图形如图所示，则（ ） A.函数 f(x)有2个极值点，曲线 y f(x)有2个拐点 B.函数 f(x)有2个极值点，曲线 y f(x)有3个拐点 C.函数 f(x)有3个极值点，曲线 y f(x)有1个拐点 D.函数 f(x)有3个极值点，曲线 y f(x)有2个拐点 ex （2）已知函数 f(x,y) ，则（ ） x y A. f f0 B. f f0 C. f f   f D. f f   f x y x y x y x y （3）设J 3 xydxdy(i1,2,3)，其中D   (x,y) 0 x1,0 y1  ， k 1 D i D   (x,y) 0 x1,0 y x  D   (x,y) 0 x1,x2  y1  则（ ） 2 3 A. J  J  J B.J  J  J C.J  J  J D.J  J  J 1 2 3 3 1 2 2 3 1 2 1 3  1 1 （4）级数(  )sin(nk)（k为常数）（ ） n n1 n1 A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.收敛性与k有关 （5）设 A,B是可逆矩阵，且 A与B相似，则下列结论错误的是（ ） A. AT 与BT 相似 B.A1与B1相似 C. AAT与BBT相似 D.AA1与BB1相似 （6）设二次型 f(x,x ,x )a(x2 x2 x2)2xx 2x x 2xx 的正负惯性指数分别为1,2，则（ ） 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3 A.a1 B.a2 C.2a1 D.a1或a2 （7）设 A,B为两个随机变量，且0P(A)1,0P(B)1，如果P(A B)1，则（ ） A.P(B A)1 B.P(A B)0 C.P（AB）1 D.P(B A)1 （8）设随机变量 X 与Y 相互独立，且 X ~ N(1,2),Y ~ N(1,4)，则D(XY)=（ ） A.6 B.8 C.14 D.15 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共 24分，请将答案写在答题纸指定位置上。1 f(x)sin2x 1 （9）已知函数 f(x)满足lim 2，则lim f(x)__________. x0 e3x 1 x0 1 1 2 n （10）极限lim (sin 2sin  nsin )___________. nn2 n n n （11）设函数 f(u,v)可微，z  z(x,y)由方程（x1）zy2  x2f(xz,y)确定，则dz| __________. (0,1) （12）设D{(x,y)||x| y1,1x1}，则x2ey2 dxdy ___________. D  1 0 0 0  1 0 （13）行列式 _________. 0 0  1 4 3 2 1 （14）设袋中有红、白、黑球各 1 个，从中有放回地取球，每次取 1 个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球 次数恰好为4的概率为__________. 三、解答题：15-23小题，共 94分。请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分10分） 1 求极限lim(cos2x2xsinx)x4 。 x0 （16）（本题满分10分） p 设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数QQ(p)，需求弹性 (0)，p为单价（万元）。 120 p （Ⅰ）求需求函数的表达式； （Ⅱ）求 p100万元时的边际效益，并说明其经济意义。 1 （17）设函数 f(x) |t2 x2 |dt(x0),求f(x),并求f(x)的最小值。 0 （18）（本题满分10分） x x 设函数 f(x)连续，且满足 f(xt)dt  (xt)f(t)dtex 1，求 f(x)。 0 0 （19）（本题满分10分）  x2n2 求幂级数 的收敛域及和函数。 (n1)(2n1) n0 （20）（本题满分11分）  1 1 1a  0      设矩形 A 1 0 a ， 1 ，且方程组 Ax 无解，         a1 1 a1 2a2     求：（1）求a的值 （2）求方程组 ATAx  AT的通解.（21）（本题满分11分） 0 1 1   已知矩阵 A 2 3 0     0 0 0   （Ⅰ）求 A99 （Ⅱ）设3阶矩阵B(,,)满足B2 BA。记B100 (,,)，将,,分别表示为,,的线性 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 组合。 （22）（本题满分11分）   1, X Y. 设二维随机变量(X,Y)在区域D (x,y)|0 x1,x2  y x 上服从均匀分布，令U  0, X Y. （I ）写出(X,Y)的概率密度； （II）问U 与X 是否相互独立？并说明理由； （III）求Z U X 的分布函数F(z). （23）（本题满分11分） 3x2  ,0 x, 设总体 X 的概率密度 f(x;)3  0, 其他， 其中(0,)为未知参数， X ,X ,X 为来自 X 的简单随机样本，令T max(X ,X ,X ).。 1 2 3 1 2 3 （1）求T 的概率密度； （2）确定a，使得E(aT).2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所 选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 设 是数列,下列命题中不正确的是：（ ） (A) 若 ,则 (B) 若 , 则 (C) 若 ,则 (D) 若 ,则 (2) 设函数 在 内连续,其二阶导函数 的图形如下图所示,则曲线 的拐点个数为： (A) (B) (C) (D) (3) 设 ,函数 在 上连续,则 （ ） (A) (B) (C) (D) (4) 下列级数中发散的是：（ ） (A) (B) (C) (D)(5) 设矩阵 , .若集合 ，则线性方程组 有无穷多解的充分必要条件为： (A) (B) (C) (D) (6) 设二次型 在正交变换为 下的标准形为 ，其中 ，若 ，则 在正交变换 下的标准形为：（ ） (A) (B) (C) (D) (7) 若 为任意两个随机事件,则:（ ） (A) (B) (C) (D) (8) 设总体 为来自该总体的简单随机样本, 为样本均值,则 (A) (B) (C) (D) 二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9) (10) 设函数 连续， 若 则 (11) 若函数 由方程 确定，则 (12) 设函数 是微分方程 的解，且在 处y(x)取得极值3，则 (13) 设 阶矩阵 的特征值为 ， 其中E为 阶单位矩阵，则行列式 (14) 设二维随机变量 服从正态分布 ，则 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.(15) (本题满分10分) 设函数 ， ，若 与 在 是等价无穷小，求 的值. (16) (本题满分10 分) 计算二重积分 ，其中 (17) (本题满分10分) 为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设 为该商品的需求量， 为价格，MC为边际 成本， 为需求弹性 . (I) 证明定价模型为 ； (II) 若该商品的成本函数为 ，需求函数为 ，试由（I）中的定价模型确定此商品的 价格. (18) (本题满分10分) 设函数 在定义域 上的导数大于零，若对任意的 ，曲线 在点 处的切线与直线 及 轴所围成区域的面积恒为4，且 ，求 的表达式. (19) (本题满分 10分) (I) 设函数 可导，利用导数定义证明 (II) 设函数 可导， ，写出 的求导公式. (20) (本题满分11分) 设矩阵 ，且 . (I) 求 的值； (II)若矩阵 满足 ，其中 为3阶单位矩阵，求 .(21) (本题满分11分) 设矩阵 相似于矩阵 . (I)求 的值； (II)求可逆矩阵 ，使 为对角矩阵. (22) (本题满分11分) 设随机变量 的概率密度为 对 进行独立重复的观测,直到 个大于 的观测值出现的停止.记 为观测次数. (I) 求 的概率分布； (II) 求EY . (23) (本题满分11分) 设总体 的概率密度为 其中 为未知参数， 为来自总体 的简单随机样本. (I) 求 的矩估计量. (II) 求 的最大似然估计量.2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所 选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 设 ，且 ，则当 充分大时有：（ ） (A) (B) (C) (D) (2) 下列曲线有渐近线的是：（ ） (A) (B) (C) (D) (3) 设 ,当 时,若 是比 高阶的无穷小,则下列试题中错误的是：（ ） (A) (B) (C) (D) (4) 设函数 具有二阶导数， ，则在区间 上：（ ） (A)当 时， (B)当 时， (C)当 时， (D)当 时， (5) 行列式 （ ） (A) (B) (C) (D) (6) 设 均为三维向量，则对任意常数 ,向量组 , 线性无关是向量组 线性无关 的：（ ） (A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 (7) 设随机事件 与 相互独立，且 ， ，则 （ ） (A) (B) (C) (D)(8) 设 为来自正态总体 的简单随机样本，则统计量 服从的分布为（ ） (A) (B) (C) (D) 二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设某商品的需求函数为 （ 为商品的价格），则该商品的边际收益为________. (10) 设 是由曲线 与直线 及 围成的有界区域，则 的面积为________. (11) 设 ，则 __________. (12) 二次积分 __________. (13) 设二次型 f(x ,x ,x ) x2 x2 2ax x 4x x 的负惯性指数是1，则 的取值范围_________. 1 2 3 1 2 1 3 2 3 (14) 设总体 的概率密度为 其中 是未知参数， 为来自总体 的简 单样本，若 ，则 _________. 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. (15) (本题满分10分) 求极限 . (16) (本题满分10分) 设平面区域 计算 .(17) (本题满分10分) 设函数 具有连续导数， 满足 . 若 ，求 的表达式. (18) (本题满分10分) 求幂级数 的收敛域及和函数. (19) (本题满分10分) 设函数 在区间 上连续，且 单调增加， ，证明： (I) ； (II) . (20) (本题满分11分) 设矩阵 ， 为三阶单位矩阵. (I)求方程组 的一个基础解系； (II)求满足 的所有矩阵 .(21) (本题满分11分) 证明 阶矩阵 与 相似. (22) (本题满分11 分) 设随机变量 的概率分布为 在给定 的条件下，随机变量 服从均匀分布 . (I)求 的分布函数 ； (II)求 . (23) (本题满分11分) 设随机变量 , 的概率分布相同， 的概率分布为 且 与 的相关系数 (I)求 的概率分布； (II)求2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将 所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 当 时，用“ ”表示比 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是：（ ） (A) (B) (C) (D) (2) 函数 的可去间断点的个数为：（ ） (A) (B) (C) (D) (3) 设 是圆域 位于第 象限的部分，记 ，则：（ ） (A) (B) (C) (D) ． (4) 设 为正项数列，下列选项正确的是：（ ） (A) 若 ，则 收敛 (B) 若 收敛，则 (C) 若 收敛,则存在常数 ,使 存在 (D) 若存在常数 ,使 存在,则 收敛 (5) 设 均为 阶矩阵，若 ,且 可逆.则：（ ） (A) 矩阵 的行向量组与矩阵 的行向量组等价 (B) 矩阵 的列向量组与矩阵 的列向量组等价 (C) 矩阵 的行向量组与矩阵 的行向量组等价 (D) 矩阵 的列向量组与矩阵 的列向量组等价 (6) 矩阵 与 相似的充分必要条件为：（ ）（A） （B） 为任意常数 （C） （D） 为任意常数 (7) 设 是随机变量，且 ， ， ， ，则：（ ） (A) (B) (C) (D) (8) 设随机变量 和 相互独立，则 和 的概率分布分别为 则 ：（ ） (A) (B) (C) (D) 二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设曲线 与 在点 处有公共切线，则 _________. (10) 设函数 由方程 确定，则 _________. (11) _________. (12) 微分方程 的通解为 _________. (13) 设 是 阶非零矩阵， 为 的行列式， 为 的代数余子式， 若 ，则 _________. (14) 设随机变量 服从标准正态分布 ，则 _________. 三、解答题：15 23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分) 当 时， 与 为等价无穷小，求 与 的值．(16) (本题满分10分) 设 是由曲线 ，直线 及 轴所围成的平面图形， 分别是 绕 轴， 轴旋转一周所得 旋转体的体积，若 ，求 的值. (17) (本题满分10分) 设平面区域 由直线 及 围成，计算 ． (18) (本题满分10分) 设生产某产品的固定成本为 元，可变成本为 元/件，价格函数为 ，（ 是单价，单位： 元， 是销量，单位：件），已知产销平衡，求： (I) 该商品的边际利润；(II) 当 时的边际利润，并解释其经济意义； (III) 使得利润最大的定价 ． (19) (本题满分10分) 设函数 在 上可导， ，且 .证明： (I) 存在 ，使得 ； (II) 对(I)中的 ，存在 ，使得 ． (20) (本题满分11分) 设 ，当 为何值时，存在矩阵 使得 ,并求所有矩阵 ． (21) (本题满分11分) 设二次型 ，记 ， (I) 证明二次型 对应的矩阵为 ；(II) 若 正交且均为单位变量，证明 在正交变换下的标准形为 ． (22) (本题满分11分) 设 是二维随机变量， 的边缘概率密度为 在给定 的条件下 的 条件概率密度为 (I) 求 的概率密度 ； (II) 求 的边缘概率密度 ； (III) 求 ． (23) (本题满分11分) 设总体 的概率密度为 其中 为未知参数且大于零， 为来自总体 的简单随机样本. (I) 求 的矩估计量； (II) 求 的最大似然估计量．2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求， 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． (1) 曲线 渐近线的条数为：（ ） (A) . (B) . (C) . (D) . (2) 设函数 ，其中 为正整数，则 ：（ ） (A) . (B) . (C) . (D) . (3) 设函数 连续，则二次积分 ：（ ） (A) . (B) . (C) . (D) .  1  (1）n (4) 已知级数(1)n nsin 绝对收敛，级数  条件收敛，则：（ ） na n2a n1 n1 (A) . (B) . (C) . (D) . (5) 设 ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为： (A) . (B) . (C) . (D) . (6) 设 为 阶矩阵， 为 阶可逆矩阵，且 .若 ， ， 则 ：（ ） (A) . (B) . (C) . (D) . (7) 设随机变量 与 相互独立，且都服从区间 上的均匀分布，则 ：（ ）(A) . (B) . (C) . (D) . (8) 设 为来自总体 （ ）的简单随机样本，则统计量 的分布为：（ ） (A) . (B) . (C) . (D) . 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上． (9) _________. (10) 设函数 ，y f[f(x)]，则 _________. (11) 设连续函数 满足 ，则 _________. (12) 由曲线 和直线 及 在第一象限中围成的平面图形的面积为_________. (13) 设 为 阶矩阵， ， 为 的伴随矩阵.若交换 的第 行与第 行得矩阵 ，则 _______ __. (14) 设 是随机事件， 与 互不相容， 则 _________. 三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤． (15) (本题满分10分) 求极限 . (16) (本题满分10分) 计算二重积分 ，其中 是以曲线 及 轴为边界的无界区域. (17) (本题满分10分) 某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为 (万元)，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为 (件)和 (件)，且这两种产品的边际成本分别为 (万元/件)与 (万元/件). (I) 求生产甲、乙两种产品的总成本函数 (万元)； (II) 当总产量为50件时，甲、乙两种产品产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本； (III) 求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义. (18) (本题满分10分) 证明： . (19) (本题满分10分) 已知函数 满足方程 f(x) f(x)2f(x)0及f(x) f(x)2ex. (I) 求 的表达式； x (II) 求曲线y f(x2) f(t2)dt的拐点. 0 (20) (本题满分11分) 设 ． (I) 计算行列式 ； (II) 当实数 为何值时，方程组 有无穷多解，并求其通解．(21) (本题满分11分) 已知 ，二次型 的秩为 ． (I) 求实数 的值； (II) 求正交变换 将 化为标准形. (22) (本题满分11分) 设二维离散型随机变量 的概率分布为 (I) 求 ； (II) 求 . (23) (本题满分11分) 设随机变量 与 相互独立，且服从参数为 的指数分布.记 ， . (I) 求 的概率密度 ； (II) 求 .2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 (1) 已知当 时，函数 与 是等价无穷小，则：（ ） (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． (2) 设函数 在 处可导，且 ，则 =（ ） (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． (3) 设 是数列，则下列命题正确的是：（ ） (A) 若 收敛，则 收敛. (B) 若 收敛，则 收敛. (C) 若 收敛，则 收敛. (D) 若 收敛，则 收敛. (4) 设 ， ， ，则 的大小关系是：（ ） (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． (5) 设 为 阶矩阵，将 的第 列加到第 列得矩阵 ，再交换 的第 行与第 行得单位矩阵，记 ， ，则 （ ） (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． (6) 设 为 矩阵， 是非齐次线性方程组 的 个线性无关的解， 为任意常数，则 的通解为：（ ） (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． (7) 设 与 为两个分布函数，其相应的概率密度 与 是连续函数，则必为概率密度的是：（ ） (A) ． (B) ． (C) ． (D) ．(8) 设总体 服从参数为 的泊松分布， 为来自总体 的简单随机样本，则对应 的统计量 和 ，有：（ ） (A) ， ． (B) ， ． (C) ， ． (D) ， ． 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上． (9) 设 ，则 _________. (10) 设函数 ，则 _________. (11) 曲线 在点 处的切线方程为_________. (12) 曲线 ，直线 及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转所成的旋转体的体积为_________. (13) 设二次型 的秩为 ， 的各行元素之和为 ，则 在正交变换 下的标准形为 _________. (14) 设二维随机变量 服从正态分布 ，则 =_________. 三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤． (15) (本题满分10分) 求极限 ． (16) (本题满分10分) 已知函数 具有二阶连续偏导数， 是 的极值， ，求 .(17) (本题满分10分) 求 . (18) (本题满分10分) 证明方程 恰有两个实根. (19) (本题满分10分) 设函数 在区间 上具有连续导数， ，且满足 ， ，求 的表达式. (20) (本题满分11分) 设向量组 不能由向量组 线性表示． (I) 求 的值； (II) 将 用 线性表示.(21) (本题满分11分) 设 为 阶实对称矩阵， 的秩为 ，且 ． (I) 求 的所有特征值与特征向量；(II) 求矩阵 ． (22) (本题满分11分) 设随机变量 与 的概率分布分别为 且 ． (I) 求二维随机变量 的概率分布； (II) 求 的概率分布； (III) 求 与 的相关系数 ． (23) (本题满分11分) 设二维随机变量 服从区域 上的均匀分布，其中 是由 与 所围成的三角形区 域． (I) 求边缘概率密度 ； (II) 求条件概率密度 ．2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 一、选择题(1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的， 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.) (1) 若 ，则 等于（ ） (A) . (B) . (C) . (D) . (2) 设 是一阶线性非齐次微分方程 的两个特解，若常数 使 是该方程的 解， 是该方程对应的齐次方程的解，则：（ ） (A) . (B) . (C) . (D) . (3) 设函数 具有二阶导数，且 ，若 是 的极值，则 在 取极大值 的一个充分条件是：（ ） (A) . (B) . (C) . (D) . (4)设 ，则当 充分大时有：（ ） (A) . (B) . (C) . (D) . (5) 设向量组 可由向量组 线性表示，下列命题正确的是：（ ） (A) 若向量组 线性无关，则 . (B) 若向量组 线性相关，则 . (C) 若向量组 线性无关，则 . (D) 若向量组 线性相关，则 . (6) 设 为 阶实对称矩阵，且 ，若 的秩为 ，则 相似于：（ ） (A) . (B) . (C) . (D) .(7) 设随机变量 的分布函数 则 =（ ） (A) 0. (B) . (C) . (D) . (8) 设 为标准正态分布的概率密度， 为 上均匀分布的概率密度，若 为概率密度，则 应满足：（ ） (A) . (B) . (C) . (D) . 二、填空题(9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.) (9) 设可导函数 由方程 确定，则 _________. (10) 设位于曲线 下方， 轴上方的无界区域为 ，则 绕 轴旋转一周所得空 间区域的体积为_________. (11) 设某商品的收益函数为 ，收益弹性为 ，其中 为价格，且 ，则 =________. (12) 若曲线 有拐点 ，则 _________. (13) 设 为 阶矩阵，且 ，则 =_________. (14) 设 是来自总体 的简单随机样本，记统计量 ，则 _______ __. 三、解答题(15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.) (15) (本题满分10分) 求极限 .(16) (本题满分10分) 计算二重积分 ，其中 由曲线 与直线 及 围成. (17) (本题满分10分) 求函数 在约束条件 下的最大值和最小值. (18) (本题满分10分) (I) 比较 与 的大小，说明理由； (II) 记 ，求极限 . (19) (本题满分10分) 设函数 在 上连续，在 内存在二阶导数，且 . (I) 证明存在 ，使 ； (II) 证明存在 ，使 ． (20) (本题满分11分) 设 ，已知线性方程组 存在 个不同的解. (I) 求 ， ；(II) 求方程组 的通解. (21) (本题满分11分) 设 ，正交矩阵 使得 为对角矩阵，若 的第 列为 ，求 . (22) (本题满分11分) 设二维随机变量 的概率密度为 ， ， ， 求常数 及条件概率密度 ． (23) (本题满分11分) 箱中装有 个球，其中红、白、黑球的个数分别为 个，现从箱中随机地取出 个球，记 为取出的红球 个数， 为取出的白球个数. (I) 求随机变量 的概率分布； (II) 求 .2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 函数 的可去间断点的个数为：（ ） (A) . (B) . (C) . (D) 无穷多个. (2) 当 时， 与 是等价无穷小：（ ） (A) . (B) . (C) . (D) . (3) 使不等式 成立的 的范围是：（ ） (A) . (B) . (C) . (D) . (4)设函数 在区间 上的图形为： 则函数 的图 形为：（ ） (A) (B) (C) (D)(5) 设 均为 阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ，则分块矩阵 的伴随矩 阵为：（ ） (A) . (B) . (C) . (D) . (6) 设 均为 阶矩阵， 为 的转置矩阵，且 .若 ，则 为：（ ） (A) . (B) . (C) . (D) . (7) 设事件 与事件 互不相容，则：（ ） (A) . (B) . (C) . (D) . (8) 设随机变量 与 相互独立，且 服从标准正态分布 ， 的概率分布为 . 记 为随机变量 的分布函数，则函数 的间断点个数为：（ ） (A) . (B) . (C) . (D) . 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9) _________. (10) 设 ，则 _________. (11) 幂级数 的收敛半径为_________. (12) 设某产品的需求函数为 ，其对价格 的弹性 ，则当需求量为 件时，价格增加 元会使产品收益增加_________元. (13) 设 ， .若矩阵 相似于 ，则 _________. (14) 设 为来自二项分布总体 的简单随机样本， 和 分别为样本均值和样本方差，记 统计量 ，则 _________. 三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. (15) (本题满分9分) 求二元函数 的极值. (16) (本题满分10分) 计算不定积分 . (17) (本题满分10分) 计算二重积分 ，其中 . (18) (本题满分11分) (I) 证明拉格朗日中值定理：若函数 在 上连续，在 可导，则存在 ，使得 . (II) 证明：若函数 在 处连续，在 内可导，且 ，则 存在，且 . (19) (本题满分10分) 设曲线 ，其中 是可导函数，且 .已知曲线 与直线 及 所围 成的曲边梯形绕 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 倍，求该曲线方程.(20) (本题满分11分) 设 ， (I) 求满足 的所有向量 ； (II) 对(I)中的任意向量 ，证明： 线性无关. (21) (本题满分11分) 设二次型 . (I) 求二次型 的矩阵的所有特征值； (II) 若二次型 的规范形为 ，求 的值. (22) (本题满分11分) 设二维随机变量 的概率密度为 (I) 求条件概率密度 ； (II) 求条件概率 . (23) (本题满分11分) 袋中有 个红球， 个黑球与 个白球.现有放回地从袋中取两次，每次取一个球，以 分别表示两次取球 所取得的红球、黑球与白球的个数. (I) 求 ； (II) 求二维随机变量 的概率分布.2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设函数 在区间 上连续，则 是函数 的：（ ） (A) 跳跃间断点 (B) 可去间断点 (C) 无穷间断点 (D) 振荡间断点. (2) 如图，曲线段方程为 ，函数 在区间 上有连续的导数，则定积分 等于：（ ） (A) 曲边梯形 面积 (B) 梯形 面积 (C) 曲边三角形 面积 (D) 三角形 面积. (3) 设 则：（ ） (A) 存在， 存在 (B) 不存在， 存在 (C) 存在， 不存在 (D) ， 都不存在. (4) 设函数 连续.若 ，其中区域 为图中阴影部分，则 （ ） (A) (B) (C) (D)(5) 设 为 阶非零矩阵， 为 阶单位矩阵，若 ，则：（ ） (A) 不可逆， 不可逆 (B) 不可逆， 可逆 (C) 可逆， 可逆 (D) 可逆， 不可逆. (6) 设 ，则在实数域上与 合同的矩阵为：（ ） (A) (B) (C) (D) (7) 随机变量 独立同分布，且 的分布函数为 ，则 分布函数为：（ ） (A) (B) (C) (D) (8) 设随机变量 ， 且相关系数 ，则：（ ） (A) (B) (C) (D) 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设函数 在 内连续，则 _________. (10) 设函数 ，则 _________. (11) 设 ，则 _________. (12) 微分方程 满足条件 的解是 _________. (13) 阶矩阵 的特征值为 ， 为三阶单位矩阵，则 _________. (14) 设随机变量 服从参数为 的泊松分布，则 _________. 三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.(15) (本题满分9分) 求极限 . (16) (本题满分10分) 设 是由方程 所确定的函数，其中 具有 阶导数且 . (I) 求 ； (II) 记 ，求 . (17) (本题满分11分) 计算 其中 . (18) (本题满分10分) 设 是周期为 的连续函数， (I) 证明对任意的实数 ，都有 ； (II) 证明 是周期为 的周期函数． (19) (本题满分10分) 设银行存款的年利率为 ，并依年复利计算.某基金会希望通过存款 万元实现第一年提取 万元，第 二年提取 万元， ，第 年取出 万元，并能按此规律一直提取下去，问 至少应为多少万元？ (20) (本题满分12分) 设 元线性方程组 ，其中 ， ， ，(I) 证明行列式 ； (II) 当 为何值时，该方程组有唯一解，并求 ； (III) 当 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解. (21) (本题满分10分) 设 为 阶矩阵， 为 的分别属于特征值 特征向量，向量 满足 . (I) 证明 线性无关； (II) 令 ，求 . (22) (本题满分11分) 设随机变量 与 相互独立， 概率分布为 ， 的概率密度为 记 . 求：(I) ； (II) 求 的概率密度 ． (23) (本题满分11分) 设 是总体 的简单随机样本.记 ， ， (I) 证明 是 的无偏估计量； (II) 当 时，求 .