考研数学历年真题(2008-2017)年数学二公众号：小乖考研免费分享_05.数学二历年真题_普通版本数学二_1987-2017考研数学二真题集

2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1cos x  ,x0 （1）若函数 f(x) ax 在x=0连续，则   b,x0 1 1 (A)ab (B)ab (C)ab0 (D)ab2 2 2 （2）设二阶可到函数 f(x)满足 f(1) f(1)1, f(0)1且 f(x)0，则 1 1 (A) f(x)dx0 (B) f(x)dx0 1 2 0 1 1 1 (C) f(x)dx  f(x)dx (D) f(x)dx  f(x)dx 1 0 1 0 （3）设数列 x 收敛，则 n (A)当limsinx 0时，limx 0 (B)当limx (x  x )0 时，则limx 0 n n n n n n n n n n (C)当lim(x x2)0,lim 0 (D)当lim(x sinx )0时，limx 0 n n n n n n n n n （4）微分方程 y4y8y e2x(1cos2x) 的特解可设为 yk  (A)Ae2x e2x(Bcos2xCsin2x) (B)Axe2x e2x(Bcos2xCsin2x) (C)Ae2x xe2x(Bcos2xCsin2x) (D)Axe2x xe2x(Bcos2xCsin2x) f(x,y) f(x,y) （5）设 f(x,y)具有一阶偏导数，且在任意的(x,y)，都有 0, 0,则 x x (A) f(0,0) f(1,1) (B) f(0,0) f(1,1) (C) f(0,1) f(1,0) (D) f(0,1) f(1,0) （6）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m）处,图中，实线表示甲的速度曲线vv  t  （单位:m/s） 1 虚线表示乙的速度曲线vv  t ，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t （单 2 0 位:s）,则 (A)t 10 (B)15t 20 (C)t 25 (D)t 25 0 0 0 0 -1-0 0 0   （7）设A为三阶矩阵，P (,,)为可逆矩阵，使得 P1AP  0 1 0 ，则A(,,) 1 2 3   1 2 3  0 0 2  (A)  (B) 2 (C)  (D) 2 1 2 2 3 2 3 1 2 2 0 0 2 1 0 1 0 0       （8）已知矩阵A 0 2 1 ，B 0 2 0 ，C  0 2 0 ，则        0 0 1   0 0 1   0 0 0  (A)A与C相似，B与C相似 (B)A与C相似，B与C不相似 (C)A与C不相似，B与C相似 (D)A与C不相似，B与C不相似 二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.  2 （9）曲线 y  x1arcsin 的斜渐近线方程为  x x  t et d2y （10）设函数y  y(x)由参数方程 确定，则 y  sint dx2 t0  ln(1  x) （11） dx = 0 1  x2 （12）设函数fx,y 具有一阶连续偏导数，且dfx,y  yeydx x1  yeydy,f0,0  0，则 fx,y = 1 1 tanx （13） dy dx  0 y x 4 1 2 1     （14）设矩阵A   1 2 a  的一个特征向量为  1  ，则a  3 1 1 2     三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） x  xtetdt 求lim 0 x0 x3 （16）（本题满分10分） dy d2y 设函数fu,v 具有2阶连续偏导数，y  f  ex,cosx  ,求 , dx dx2 x0 x0 -2-（17）（本题满分10分） n k  k 求lim  ln  1   n n2  n  k1 （18）（本题满分10分） 已知函数 y(x)由方程x3  y3 3x3y20确定，求 y(x)的极值 （19）（本题满分10分） f(x) f(x)在  0,1  上具有2阶导数， f(1)0,lim 0，证明 设函数 x0 x （1）方程 f(x)0在区间(0,1)内至少存在一个实根； （2）方程 f(x)f(x)[f(x)]2 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根. （20）（本题满分11分） 已知平面区域D  x,y x2  y2  2y  ，计算二重积分 x 12 dxdy D （21）（本题满分11分） 3 设y(x)是区间(0, )内的可导函数，且 y(1)0，点P是曲线L: y  y(x)上的任意一点，L在点P处的切线 2 与 y 轴相交于点(0,Y )，法线与x轴相交于点(X ,0)，若X Y ，求L上点的坐标(x,y)满足的方程。 P P p P （22）（本题满分11分） 三阶行列式A(,,)有3个不同的特征值，且  2 1 2 3 3 1 2 （1）证明r(A)2 （2）如果  求方程组Axb 的通解 1 2 3 （23）（本题满分11分） 设二次型 f(x ,x ,x )2x2 x2 ax2 2x x 8x x 2x x 在正交变换 xQy 下的标准型为y2 y2 1 2 3 2 1 2 1 3 2 3 1 1 2 2 1 3 求a的值及一个正交矩阵Q. -3-2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的. （1）设a  x(cos x1)，a  xln(1 3 x)，a  3 x11.当x0时，以上3个无穷小量按照从低阶到 1 2 3 高阶拓排序是（ ） （A）a ,a ,a . （B）a ,a ,a . 1 2 3 2 3 1 （C）a ,a ,a . （D）a ,a ,a . 2 1 3 3 2 1 2(x1), x1, （2）已知函数 f(x) 则 f(x)的一个原函数是（ ）  lnx, x 1,  (x1)2, x1.  (x1)2, x1. （A）F(x) （B）F(x) x(lnx1), x1. x(lnx1)1, x1.  (x1)2, x1.  (x1)2, x1. （C）F(x) （D）F(x) x(lnx1)1, x1. x(lnx1)1, x1. 0 1 1 + 1 1 （3）反常积分① exdx，② exdx的敛散性为（ ）  x2 0 x2 （A）①收敛，②收敛. （B）①收敛，②发散. （C）①收敛，②收敛. （D）①收敛，②发散. （4）设函数 f(x)在(,)内连续，求导函数的图形如图所示，则 （A）函数 f(x)有2个极值点，曲线 y  f(x)有2个拐点. （B）函数 f(x)有2个极值点，曲线 y  f(x)有3个拐点. （C）函数 f(x)有3个极值点，曲线y  f(x)有1个拐点. （D）函数 f(x)有3个极值点，曲线y  f(x)有2个拐点. （5）设函数 f (x)(i 1,2)具有二阶连续导数，且 f(x )0(i 1,2)，若两条曲线 y  f (x)(i 1,2)在点(x ,y )处 i i 0 i 0 0 具有公切线 y  g(x)，且在该点处曲线y  f (x)的曲率大于曲线 y  f (x)的曲率，则在x 的某个领域内，有（ ） 1 2 0 （A） f (x) f (x) g(x) （B） f (x) f (x) g(x) 1 2 2 1 （C） f (x) g(x) f (x) （D） f (x) g(x) f (x) 1 2 2 1 -4-ex （6）已知函数 f(x,y) ，则（ ） x y （A） f'  f' 0 （B） f'  f' 0 x y x y （C） f'  f'  f （D） f'  f'  f x y x y （7）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（ ） （A）AT 与BT 相似 （B）A1与B1相似 （C）A AT与BBT相似 （D）A A1与BB1相似 （8）设二次型 f(x ,x ,x )a(x2 x2 x2)2x x 2x x 2x x 的正、负惯性指数分别为1,2，则（ ） 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3 （A）a1 （B）a2 （C）2a1 （D）a1与a2 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。 x3 （9）曲线 y  arctan(1x2)的斜渐近线方程为____________. 1x2 1 1 2 n （10）极限lim (sin 2sin nsin )____________. nn2 n n n （11）以 y  x2 ex和 y  x2为特解的一阶非齐次线性微分方程为____________. x （12）已知函数 f(x)在(,)上连续，且 f(x)(x1)2 2 f(t)dt，则当n2时，f (n)(0)____________. 0 （13）已知动点P在曲线 y  x3上运动，记坐标原点与点P间的距离为l.若点P的横坐标时间的变化率为常数v ， 0 则当点P运动到点(1,1)时，l对时间的变化率是_______.  a 1 1 1 1 0     （14）设矩阵 1 a 1 与 0 1 1 等价，则a  _________.       1 1 a   1 0 1  解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 1 求极限lim(cos2x2xsinx)x4 . x0 （16）（本题满分10分） 1 设函数 f(x) t2 x2 dt(x0)，求 f '(x)并求 f(x)的最小值. 0 -5-（17）（本题满分10分） 已知函数z  z(x,y)由方程(x2  y2)zlnz2(x y1)0 确定，求z  z(x,y)的极值. （18）（本题满分10分） x2 xy y2 设D是由直线 y 1，y  x，y x围成的有界区域，计算二重积分 dxdy. x2  y2 D （19）（本题满分10分） 已知 y (x)ex ， y (x)u(x)ex 是二阶微分方程 (2x1)yn (2x1)y'2y 0 的两个解，若 u(1)e ， 1 2 u(0)1，求u(x)，并写出该微分方程的通解。 （20）（本题满分11分） xcos3t  设D是由曲线 y  1x2(0 x1)与 0t  围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体 y sin3t 2  的体积和表面积。 （21）（本题满分11分） 3 3 cosx 已知 f(x)在[0, ]上连续，在(0, )内是函数 的一个原函数，且 f(0)0。 2 2 2x3 3 （Ⅰ）求 f(x)在区间[0, ]上的平均值； 2 3 （Ⅱ）证明 f(x)在区间(0, )内存在唯一零点。 2 -6-（22）（本题满分11分）  1 1 1a 0      设矩阵A 1 0 a ， 1 ，且方程组Ax 无解。         a1 1 a1 2a2 （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求方程组ATAx  AT的通解。 （23）（本题满分11分） 0 1 1   已知矩阵A 2 3 0     0 0 0 （Ⅰ）求A99 （Ⅱ）设3阶矩阵B (,,)满足B2  BA。记B100 (,,)，将,,分别表示为,,的线性 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 组合。 -7-2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．． (1)下列反常积分中收敛的是（ ） (A) (B) (C) (D) sint x2 (2)函数 f(x)lim(1 ) t 在(,)内（ ） t0 x （A）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点  1 xcos ,x 0 (3)设函数 f(x) x (0,0)，若 f(x)在x  0处连续，则（ ）   0,x0 （A）1 (B)01 (C)2 (D)02 (4) 设函数 f(x)在(,)连续，其二阶导函数 f(x)的图形图所示，则曲线 y f(x)的拐点个数为（ ） （A）0 (B)1 (C)2 (D)3 y f f (5).设函数 f(u，v)满足 f(x y, ) x2  y2，则 与 依次是（ ） x u u1 v u1 v1 v1 1 1 1 1 （A） ,0 (B)0， （C）- ,0 (D)0,- 2 2 2 2 (6). 设D是第一象限中曲线2xy 1,4xy 1与直线 y  x,y  3x围成的平面区域，函数 f(x,y)在D上连续，则  f(x,y)dxdy=（ ） D -8- 1 2dsin2 f (rcos,rsin)dr  1  1 （A） 4 2sin2 （B）  2d sin 1 2 f(rcos,rsin)dr 4 2sin2  1  1 （C）3dsin2 f (rcos,rsin)dr （D）3d sin2 f(rcos,rsin)dr  1  1 4 2sin2 4 2sin2 1 1 1   1  (7)．设矩阵A=  1 2 a  ，b=  d  ,若集合 =  1,2 ，则线性方程组Axb有无穷多个解的充分必要条件为（ ）         1 4 a2  d2  Ω （A）a,d (B)a,d (C)a,d (D) a,d (8)设二次型 f(x ,x ,x )在正交变换x  Py下的标准形为2y2  y2  y2,其中P=(e ,e ,e )，若Q (e ,e ,e )，则 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 f(x ,x ,x )在正交变换xQy下的标准形为（ ） 1 2 3 (A):2y2  y2  y2 (B) 2y2  y2  y2 1 2 3 1 2 3 (C) 2y2  y2  y2 (D) 2y2  y2  y2 1 2 3 1 2 3 二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答 ． 题 ． 纸 ． 指定位置上. xarctant d2y (9) 设 ,则  y3tt3 dx2 t1 （10）函数 f(x) x22x在x0处的n 阶导数 f (n)(0) x2 （11）设函数 f(x)连续，(x)  xf(t)dt,若(1) 1，'(1)5，则 f(1) 0 （12）设函数 y  y(x)是微分方程y''  y' 2y 0的解，且在x0处 y(x)取值3，则 y(x)= （13）若函数z  z(x,y)由方程ex2y3z xyz 1确定，则dz = (0,0) （14）设3阶矩阵A的特征值为2，-2,1，B  A2 AE ，其中E为3阶单位矩阵，则行列式 B = 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ．．． 15、（本题满分10分） 设函数 f(x) xln(1x)bxsinx，g(x)kx2，若 f(x)与g(x)在x0时 是等价无穷小，求a,b,k的值。 -9-16、（本题满分10分）   设A0，D是由曲线段 y Asinx(0 x )及直线 yo,x 所形成的平面区域， V ，V 分别表示D绕x 2 2 1 2 轴与绕 y轴旋转所成旋转体的体积，若V V ，求A的值。 1 2 17、（本题满分10分） 已知函数 f(x,y)满足 f(x,y)2(y1)ex， f(x,0)(x1)ex， f(0,y) y2 2y求 f(x,y)的极值。 xy x 18、（本题满分10分）   计算二重积分x(x y)dxdy，其中D  (x,y) x2 y2 2,y  x2 。 D 19、（本题满分10分） 1 x2 已知函数 f(x) 1t2dt 1tdt，求 f(x)零点的个数。 x 1 20、（本题满分11分） 已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将 一初始温度为120 0C的物体在20 0C恒温介质中冷却，30min后该物体温度降至30 0C，若要使物体的温度继续降 至21 0C，还需冷却多长时间？ -10-21、（本题满分11分） 已知函数 f(x)在区间  a,上具有 2阶导数， f(a)0, f(x)0, f(x)0设ba,曲线 y f(x)在点 (b, f(b))处的切线与x轴的交点是(x ,0)，证明：a x b。 0 0 22、（本题满分11分） a 1 0    设矩阵A1 a 1,且A3 O.   0  1 a  （1）求a的值；（2）若矩阵X 满足X  XA2  AX  AXA2  E,E为3阶单位矩阵，求X 。 23、（本题满分11分）  0 2 3 1 2 0     设矩阵A 1 3 3 ，相似于矩阵B  0 b 0 ，          1 2 a  0 3 1 （1）求a,b的值（2）求可逆矩阵P，使P1AP为对角矩阵。 -11-2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题 一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的. (1) 当 时，若 ， 均是比 高阶的无穷小，则 的取值范围是：（ ） (A) (B) (C) (D) (2) 下列曲线中有渐近线的是：（ ） (A) (B) (C) (D) (3) 设函数 具有二阶导数， ，则在区间 上：（ ） (A) 当 时， (B) 当 时， (C) 当 时， (D) 当 时， (4) 曲线 上对应于 的点处的曲率半径是：（ ） (A) (B) (C) (D) (5) 设函数 ，若 ，则 （ ） (A) (B) (C) (D) (6) 设函数 在有界闭区域 上连续，在 的内部具有2阶连续偏导数，且满足 及 ， 则：（ ） (A) 的最大值和最小值都在 的边界上取得 (B) 的最大值和最小值都在 的内部上取得 -12-(C) 的最大值在 的内部取得，最小值在 的边界上取得 (D) 的最小值在 的内部取得，最大值在 的边界上取得 (7) 行列式 （ ） (A) (B) (C) (D) (8) 设 均为3维向量，则对任意常数 ，向量组 线性无关是向量组 线性无 关的：（ ） (A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9) __________. (10) 设 是周期为 的可导奇函数，且 ，则 __________. (11) 设 是由方程 确定的函数，则 __________. (12) 曲线L的极坐标方程是 ，则 在点 处的切线的直角坐标方程是__________. (13) 一根长为1的细棒位于 轴的区间 上,若其线密度 ,则该细棒的质心坐标 ______ ____. (14) 设二次型 的负惯性指数为1，则 的取值范围为_______. 三、解答题：15～23小题,共94分.将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分) 求极限 -13-(16)(本题满分10分) 已知函数 满足微分方程 ，且 ，求 的极大值与极小值. (17)(本题满分10分) 设平面区域 计算 . (18)(本题满分10分) 设函数 具有二阶连续导数， 满足 ，若 ，求 的表达式. (19)(本题满分10分) 设函数 的区间 上连续，且 单调增加， .证明： (I) , (II) . -14-(20)(本题满分11分) 设函数 ，定义函数列 ，记 是由曲线 ，直线 及 轴所围成平面图形的面积，求极限 . (21)(本题满分11分) 已知函数 满足 ，且 求曲线 所围成的图形绕直线 旋转所成的旋转体的体积. (22)(本题满分11分) 设矩阵 ， 为3阶单位矩阵. (I)求方程组 的一个基础解系； (II)求满足 的所有矩阵B. (23)(本题满分11分) 证明 阶矩阵 与 相似. -15-2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题 1—8小题．每小题 4分，共 32 分．    １．设cosx1 xsin(x),(x)  ，当 x  0时， x （ ） 2 （A）比x高阶的无穷小量. （B）比x低阶的无穷小量. （C）与x同阶但不等价无穷小量. （D）与x等价无穷小量.  2      2．已知函数 y  f x 是由方程cos xy ln yx1确定，则limnf 1 （ ） n  n  （A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2 x ３．设函数 ，F(x)   f(t)dt 则（ ） 0 （Ａ）x 为F(x)的跳跃间断点． （Ｂ）x 是函数F(x)的可去间断点． （Ｃ）F(x)在x 处连续但不可导． （Ｄ）F(x)在x 处可导．  1 ,1 x  e  (x1)1  ４．设函数 f(x)   ，且反常积分 f(x)dx收敛，则（ ）  1 1 ,x  e  xln1 x （A） 2 （B）a  2 （C）2 a  0 （D）0 2 y x z z   ５．设z  f xy ，其中函数 f 可微，则  （ ） x y x y 2 2 （A）2yf'(xy) （B）2yf'(xy)（C） f(xy) （D） f(xy) x x   6．设D 是圆域D  (x,y)| x2  y2 1 的第k象限的部分，记I  (yx)dxd（y k 1,2,3,4），则（ ） k k D k （A）I  0 （B）I  0 （C）I  0 （D）I  0 1 2 3 4 7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则 （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价． （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价． （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价． （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价． 1 a 1 2 0 0     8．矩阵a b a与矩阵0 b 0相似的充分必要条件是     1 a 1 0 0 0 （A）a 0,b2 （B）a 0，b为任意常数 （C）a 2,b0 （D）a 2，b为任意常数 -16-二、填空题（本题共 6小题，每小题 4分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 1  ln(1 x)x 9． lim2   ． x0 x  x dx 10．设函数 f(x)   1etdt，则 y  f(x)的反函数x  f 1(y)在y  0处的导数 |  ． 1 dy y0    11．设封闭曲线L的极坐标方程为r  cos3  ，则L所围成的平面图形的面积为 ．  6 6  x  arctant 12．曲线上 上对应于t 1的点处的法线方程为 ．  y  ln 1t2 13．已知 y e3x xe2x,y ex xe2x,y xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程三个解，则该方程满足条 1 2 3 件 的解为 y  ．   14．设A a 是三阶非零矩阵， A 为A的行列式，A 为元素a 的代数余子式，若 ij ij ij ，则 ． 三、解答题 15．（本题满分10分） 当x 0时，1cosxcos2xcos3x与axn是等价无穷小，求常数a与n的值． 16．（本题满分10分） 1 设D是由曲线y  x3，直线x  a (a  0)及x轴所转成的平面图形，V ,V 分别是D绕x轴和y轴旋转一周所形成 x y 的立体的体积，若10V V ，求a的值． x y 17．（本题满分10分） 设平面区域D是由直线x 3y,y 3x,x y 8所围成，计算x2dxdy． D 18．（本题满分10分）   设奇函数 f(x)在 1,1 上具有二阶导数，且 f(1)1，证明： -17-  （1）存在(0,1)，使得 f' 1； （2）存在(1,1)，使得 f() f()1． 19．（本题满分10分） 求曲线x3  xy y3 1(x  0,y  0)上的点到坐标原点的最长距离和最短距离． 20．（本题满分11） 1 设函数 f(x)  lnx x ⑴求 f(x)的最小值； 1   ⑵设数列 x 满足lnx  1，证明极限limx 存在，并求此极限． n n x n n n1 21．（本题满分11） 1 1 设曲线L的方程为 y  x2  lnx(1 x  e)． 4 2 （1）求L的弧长． （2）设D是由曲线L，直线x 1,x  e及x轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标． 22．本题满分11分） 1 a 0 1 设A    ,B     ，问当a,b为何值时，存在矩阵C，使得ACCA B，并求出所有矩阵C． 1 0 1 b 23（本题满分11分） a  b   1  1 设二次型 f(x ,x ,x )2(a x a x a x )2 (b x b x b x )2．记a ,b ． 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 2     a  b  3 3 （1）证明二次型 f 对应的矩阵为 2T T ； （2）若,正交且为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y2  y2． 1 2 -18-2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项 前的字母填在答题纸指定位置上. ．．． x2 x (1)曲线y 的渐近线条数 ( ) x2 1 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数 f(x)(ex 1)(e2x 2)(enx n) ，其中n为正整数,则 f(0) ( ) (A) (1)n1(n1)! (B) (1)n(n1)! (C) (1)n1n! (D) (1)nn! (3) 设a 0 (n1,2,3), S a a a a ，则数列S 有界是数列a 收敛的 n n 1 2 3 n n n ( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件 (4) 设I  k ex2 sinxdx,(k 1,2,3),则有 k 0 ( ) (A) I I I (B) I I I 1 2 3 3 2 1 (C) I I I (D) I I I 2 3 1 2 1 3 (x,y) (x,y) (5) 设函数 f(x,y）为可微函数，且对任意的x,y 都有 0, 0,则使不等式 成立的 x y 一个充分条件是 ( ) (A) x x ,y  y (B) x x ,y  y 1 2 1 2 1 2 1 2 (C) x x ,y  y (D) x x ,y  y 1 2 1 2 1 2 1 2  (6) 设区域D由曲线ysinx,x ,y1围成，则(x5y1)dxdy 2 D ( ) (A)  (B) 2 (C) -2 (D) - 0  0  1  1         (7) 设α  0 ,α  1 ,α  1 ,α  1 ,其中c ,c ,c ,c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 1   2   3   4   1 2 3 4         c  c  c  c  1 2 3 4 (A)α ,α ,α (B) α ,α ,α (C)α ,α ,α (D)α ,α ,α 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 -19-1 0 0   (8) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P1AP 0 1 0 .若Pα ,α ,α ，Qα α ,α ,α 则Q1AQ   1 2 3 1 2 2 3   0 0 2 1 0 0 1 0 0 2 0 0 2 0 0         (A) 0 2 0 (B) 0 1 0 (C) 0 1 0 (D) 0 2 0                 0 0 1 0 0 2 0 0 2 0 0 1 二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．． d2y (9) 设y y(x)是由方程x2 y1ey所确定的隐函数，则  . dx2 x0  1 1 1  (10) limn     n 1n2 22 n2 n2 n2  .  1 z z (11) 设z  f lnx ,其中函数 f u可微，则x  y2  .  y x y   (12) 微分方程 ydx x3y2 dy 0 满足条件 y 1的解为y  . x1 2 (13) 曲线 y x2 x  x0 上曲率为 的点的坐标是 . 2 (14) 设A为3阶矩阵， A =3，A*为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则 BA*  . 三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ．．． (15)(本题满分 10 分) 1x 1 已知函数 f  x   ，记alim f x， sinx x x0 (I)求a的值; (II)若x0时， f  x a与xk是同阶无穷小，求常数k 的值. (16)(本题满分 10 分) x2y2  求函数 f  x,y  xe 2 的极值. (17)(本题满分12分) 过(0,1)点作曲线L:ylnx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,求区域D的面 积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积. -20-(18)(本题满分 10 分) 计算二重积分xyd，其中区域D为曲线r 1cos0与极轴围成. D (19)(本题满分10分) 已知函数 f(x)满足方程 f(x) f(x)2f(x)0 及 f(x) f(x)2ex, (I) 求 f(x)的表达式; x (II) 求曲线y f(x2) f(t2)dt 的拐点. 0 (20)(本题满分10分) 1x x2 证明xln cosx1 ,(1 x1). 1x 2 (21)(本题满分10 分) 1  (I)证明方程xn+xn-1x1  n1的整数 ，在区间 ,1内有且仅有一个实根； 2  (II)记(I)中的实根为x ，证明limx 存在，并求此极限. n n n (22)(本题满分11 分) 1 a 0 0  1     0 1 a 0 1     设A ， 0 0 1 a  0      a 0 0 1  0  (I) 计算行列式 A ； (II) 当实数a为何值时，方程组Ax有无穷多解，并求其通解. (23)(本题满分11 分)  1 0 1    0 1 1 已知A   ，二次型 f  x ,x ,x  xT  ATA  x的秩为2， 1 0 a  1 2 3    0 a 1 (I) 求实数a的值； (II) 求正交变换xQy将 f 化为标准形. -21-2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 （1）已知当x0时，函数 f(x)3sinxsin3x与cxk是等价无穷小，则（ ） （A）k 1,c 4 （B）k 1,c 4 （C）k 3,c 4 （D）k 3,c 4 x2 f(x)2f(x3) （2）设函数 f(x)在x 0处可导，且 f(0)0，则lim （ ） x0 x3 （A）2f(0) （B） f(0) （C） f(0) （D）0 （3）函数 f(x)ln(x1)(x2)(x3) 的驻点个数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （4）微分方程 y2y  ex ex( 0)的特解形式为（ ） （A）a(ex ex) （B）ax(ex ex) （C）x(aex bex) （D）x2(aex bex) （5）设函数 f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足 f(0)0，g(0)0，且 f(0) g(0)0则函数z  f(x)g(y) 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ） （A） f(0) 0，g(0)0 （B） f(0) 0，g(0)0 （C） f(0)  0，g(0)0 （D） f(0)  0，g(0)0    （6）设I  4ln  sinx  dx，J  4ln  cotx  dx，K  4ln  cosx  dx，则I ，J ，K的大小关系为（ ） 0 0 0 （A）I  J  K （B）I  K  J （C）J  I  K （D）K  J  I （7）设 A为 3 阶矩阵，将 A的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵。记 1 0 0 1 0 0     P 1 1 0，P 0 0 1，则A=（ ） 1 2     0 0 1 0 1 0 （A）PP （B）P1P （C）P P （D）P P1 1 2 1 2 2 1 2 1 -22-（8）设A(, ,, )是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵。若(1 ,0,1,0)T是方程组Ax 0的一个基础解系，则 1 2 3 4 A*x 0的基础解系可为（ ） （A）, （B）, （C）, , （D） ,, 1 3 1 2 1 2 3 2 3 4 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答 ． 题 ． 纸 ． 指定位置上。 1 12x x （9）lim     。 x0 2  （10）微分方程 y'  y excosx满足条件 y(0)0的解为y  。  x （11）曲线 y   tantdt (0 x )的弧长s  。 0 4 ekx, x 0,  （12）设函数 f(x) 0，则 xf(x)dx  。 0, x0,  （13）设平面区域D由直线 y  x，圆x2  y2 2y及 y轴所围成，则二重积分xyd 。 D （14）二次型 f(x ,x ,x ) x2 3x2 x2 2x x 2x x 2x x ，则 f 的正惯性指数为 。 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 三、解答题：15～23小题，共94分。请将解答写在答 ． 题 ． 纸 ． 指定位置上，解答应字说明证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分10分） x  ln(1t2)dt 已知函数F(x) 0 ，设 lim F(x) lim F(x)0，试求的取值范围。 x x x0 （16）（本题满分11分）  1 1 x  t3 t ,   3 3 设函数y  y(x)由参数方程 确定，求 y  y(x)的极值和曲线 y  y(x)的凹凸区间及拐点。 1 1  y  t3 t   3 3 （17）（本题满分9分） 设函数z  f(xy,yg(x))，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x 1处取得极值g(1)1， 2z 求 。 xy x1, y1 -23-（18）（本题满分10分） 设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线l: y  y(x)与直线 y  x相切于原点，记为曲线l在点(x,y)处切线的 d dy 倾角，若  ，求 y(x)的表达式。 dx dx （19）（本题满分10分） 1  1 1 （I）证明：对任意的正整数n，都有 ln1  成立。 n1  n n 1 1   （II）设a 1  lnn(n1,2,)，证明数列 a 收敛。 n 2 n n （20）（本题满分11分） 1 一容器的内侧是由图中曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 x2  y2 2y(y  ) 与 2 1 x2  y2 1(y  )连接而成。 2 （I）求容器的容积； （II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？ （长度单位：m，重力加速度为gm s2 ，水的密度为103kg m3 ） -24-（21）（本题满分11分） 已知函数 f(x,y) 具有二阶连续偏导数，且 f(1,y)0 ， f(x,1)0 ，  f(x,y)dxdy a ，其中 D   D  (x,y)0 x1,0 y 1 ，计算二重积分I  xyf(x,y)dxdy。 xy D （22）（本题满分11分） 设向量组 (1,0,1)T ， (0,1,1)T ， (1,3,5)T 不能由向量组  (1,1,1)T ，  (1,2,3)T ， 1 2 3 1 2  (3,4,a)T线性表示。 3 （I）求a的值； （II）将, , 用, , 线性表示。 1 2 3 1 2 3 （23）（本题满分11分） 1 1 1 1     设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且A 0 00 0。      1 1 1 1 （I）求A的所有的特征值与特征向量； （II）求矩阵A。 -25-2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题 x2 x 1 (A) 函数f(x) 1 的无穷间断点的个数为（ ） x2 1 x2 A.0 B.1 C.2 D.3 2.设 y ,y 是一阶线性非齐次微分方程 y p(x)y q(x) 的两个特解，若常数,使y y 是该方程的解， 1 2 1 2 y y 是该方程对应的齐次方程的解，则（ ） 1 2 1 1 1 1 A. , B. , 2 2 2 2 2 1 2 2 C. , D. , 3 3 3 3 3. 曲线y  x2与曲线y alnx(a 0)相切，则a （ ） A.4e B.3e C.2e D.e 1mln2(1x) 4.设m,n为正整数,则反常积分 dx的收敛性（ ） 0 n x A.仅与m取值有关 B.仅与n取值有关 C.与m,n取值都有关 D.与m,n取值都无关 y z z z 5.设函数z  z(x,y)由方程F( , )0确定,其中F为可微函数,且F0,则x  y =（ ） x x 2 x y Ax Bz Cx Dz n n n 6.(4)lim = （ ） x (ni)(n2  j2) i1 j1 1 x 1 1 x 1 A dx dy B dx dy 0 0 (1x)(1 y2) 0 0 (1x)(1 y) 1 1 1 1 1 1 C dx dy D dx dy 0 0 (1x)(1 y) 0 0(1x)(1 y2) 7.设向量组 可由向量组 线性表示，下列命题正确的是:（ ） A若向量组I线性无关，则r  s B若向量组I线性相关，则r>s C若向量组II线性无关，则r  s D若向量组II线性相关，则r>s 8.设A为4阶对称矩阵,且A2 A 0,若A的秩为3,则A相似于（ ） -26-1  1  1  1          1 1 1 1         9.A B C D  1   1   1   1           0  0  0  0 二、填空题 9. 三阶常系数线性齐次微分方程 y2y y2y 0的通解y=__________ 2x3 10.曲线 y  的渐近线方程为_______________ x2 1 11.函数 y ln(12x)在x0处的n阶导数y(n)(0) __________ 12. 当0时，对数螺线r e的弧长为___________ 13.已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l=12cm,w=5cm时，它的对角线增 加的速率为___________ 14.设A，B为3阶矩阵，且 A 3, B 2, A1B 2,则AB1  __________ 三、解答题 15.求函数f(x)  x2 (x2 t)et2 dt的单调区间与极值。 1 1 1 16.(1)比较 lnt [ln(1t)]ndt与 tn lnt dt(n1,2,)的大小,说明理由. 0 0 1 (2)记u   lnt [ln(1t)]ndt(n1,2,), 求极限limu . n n 0 x 17.设函数y  f(x)由参数方程 x2tt2, 5  (t 1)所确定，其中(t)具有2阶导数，且(1) ，  y (t), 2 d2y 3 (1)6，已知  ,求函数(t)。 dx2 4(1t) 3 b 18.一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为2 时， 计算油的质量。 -27- kg/m3 （长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为 单位为 .） 19. 2u 2u 2u 设函数u  f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式4 12 5 0. x2 xy y2 2u 确定a,b的值，使等式在变换 xay, xby下简化 0   20. 计算二重积分I  r2sin 1r2cos2drd,其中D｛(r,)0r sec,0 }. 4 D 1 21.设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=3,证明：存在 1 1 (0, ),( ,1),使得f() f()2 2. 2 2 22.  1 1  a     设A   0 1 0 ,b  1.已知线性方程组 Ax  b存在 2个不同的解。      1 1   1 （1）求 、a. (2)求方程组 Ax  b的通解。  0 1 4   1 23.设A1 3 a，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第一列为 (1,2,1)T ，求a、Q.   6  4 a 0 -28-2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选 项前的字母填在题后的括号内. xx3 （1）函数 f  x  的可去间断点的个数，则（ ） sinnx  A  1.  B  2.  C  3.  D 无穷多个. （2）当x0时， f  x  xsinax与g  x  x2ln  1bx 是等价无穷小，则（ ） 1 1  A  a 1,b .  B  a 1,b . 6 6 1 1  C  a 1,b .  D  a 1,b . 6 6 （3）设函数z  f  x,y 的全微分为dz  xdx ydy，则点 0,0 （ ）  A 不是 f  x,y 的连续点.  B 不是 f  x,y 的极值点.  C 是 f  x,y 的极大值点.  D 是 f  x,y 的极小值点. （4）设函数 f  x,y 连续，则 2 dx 2 f  x,y  dy 2 dy 4y f  x,y  dx  （ ） 1 x 1 y  A   2 dx 4x f  x,y  dy.  B   2 dx 4x f  x,y  dy. 1 1 1 x  C   2 dy 4y f  x,y  dx.  D  . 2 dy 2 f  x,y  dx 1 1 1 y （5）若 f x 不变号，且曲线 y  f  x 在点 1,1 上的曲率圆为x2  y2  2，则 f  x 在区间 1,2 内（ ）  A 有极值点，无零点.  B 无极值点，有零点.  C 有极值点，有零点.  D 无极值点，无零点. （6）设函数 y  f  x 在区间1,3 上的图形为： f(x) O 0 x -2 1 2 3 -1 则函数F  x   x f  t  dt 的图形为（ ） 0 -29-f(x) f(x) 1 1 0 0 x x -2 1 2 3 -2 1 2 3 -1 -1     A . B . f(x) f(x) 1 1 0 0 x x -1 1 2 3 -2 1 2 3 -1     C . D . 0 A （7）设A、B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A、B的伴随矩阵。若 A =2，B =3，则分块矩阵 的伴随 B 0 矩阵为（ ）  0 3B*  0 2B*     A .  B .  2A* 0  3A* 0   0 3A*  0 2A*     C .  D .  2B* 0  3B* 0  1 0 0   （8）设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP= 0 1 0 ，若     0 0 2 P=（，，），Q=（+，，），则QTAQ为（ ） 1 2 3 1 2 2 3 2 1 0 1 1 0         A . 1 1 0 B . 1 2 0         0 0 2 0 0 2 2 0 0 1 0 0         C . 0 1 0 D . 0 2 0         0 0 2 0 0 2 -30-二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.  1-t  x= eu2 du （9）曲线 0 在（0，0）处的切线方程为  y t2 ln(2t2) + （10）已知 ekxdx 1,则k   1 （11）lim exsinnxdx  n 0 d2y （12）设 y  y(x)是由方程xyey  x1确定的隐函数，则 = dx 2 x=0 （13）函数 y  x2x在区间 0，1 上的最小值为 2 0 0   (14)设，为3维列向量，T为的转置，若矩阵T相似于 0 0 0 ，则T=     0 0 0 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.  1cosx  xln(1tanx)  （15）（本题满分9分）求极限lim x0 sin4 x 1 x （16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1 )dx (x 0) x 2z （17）（本题满分10分）设z  f  x y,x y,xy ，其中 f 具有2阶连续偏导数，求dz与 xy （18）（本题满分10分） 设非负函数 y y  x x0 满足微分方程xy y20，当曲线 y y  x过原点时，其与直线x1及y 0围 成平面区域D的面积为2，求D绕 y 轴旋转所得旋转体体积。 -31-  （19）（本题满分10分）计算二重积分 x y  dxdy，其中D  x,y   x1 2  y1 2 2,y x D （20）（本题满分12分）   设 y  y(x)是区间（-，）内过（- ， ）的光滑曲线，当- x0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当 2 2 0 x时，函数 y(x)满足 y yx0。求 y(x)的表达式 （21）（本题满分11分） （Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数 f  x 在  a,b  上连续，在 a,b 内可导，则存在点 a,b  ，使得 f  b  f  a  f ba ； （Ⅱ）证明：若函数 f  x 在 x0处连续，在 0,0 内可导，且 lim f x  A，则 f  0 存在，且  x0 f  0  A。   1 1 1 1     （22）（本题满分11分）设A 1 1 1 ，  1   1        0 4 2  2 （Ⅰ）求满足A ,A2 的所有向量, 2 1 3 1 2 3 （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量,，证明：,,线性无关。 2 3 1 2 3 （23）（本题满分11分）设二次型 f  x ,x ,x ax2 ax2  a1  x2 2x x 2x x 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 （Ⅰ）求二次型 f 的矩阵的所有特征值； （Ⅱ）若二次型 f 的规范形为y2  y2，求a的值。 1 2 -32-2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选 项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数 f(x) x2(x1)(x2)，则 f '(x)的零点个数为（ ）         A 0 B 1. C 2 D 3 a （2）曲线段的方程为 y  f (x)，函数 f(x)在区间[0,a]上有连续导数，则定积分 af t(x)dx等于（ ） 0  A 曲边梯形ABOD面积.  B 梯形ABOD面积.  C 曲边三角形ACD面积.  D 三角形ACD面积. （3）在下列微分方程中，以 y Cex C cos2xC sin2x（C ,C ,C 为任意常数）为通解的是（ ） 1 2 3 1 2 3  A  y'''  y'' 4y' 4y 0  B  y'''  y'' 4y' 4y 0  C  y'''  y'' 4y' 4y 0  D  y'''  y'' 4y' 4y 0 ln|x| （4）设函数 f(x) sinx,则f(x)有（ ） |x1| （A）1个可去间断点，1个跳跃间断点 （B）1个可去间断点，1个无穷间断点 （C）2个跳跃间断点 （D）2个无穷间断点 （5）设函数 f(x)在(,)内单调有界， x 为数列，下列命题正确的是（ ） n  A 若 x 收敛，则 f(x ) 收敛.  B 若 x 单调，则 f(x ) 收敛. n n n n  C 若 f(x ) 收敛，则 x 收敛.  D 若 f(x ) 单调，则 x 收敛. n n n n f(x2  y2) F （6）设函数 f 连续，若F(u,v)  dxdy，其中区域D 为图中阴影部分，则  x2  y2 uv u D uv v  A  vf(u2)  B  f(u2) u v  C  vf(u)  D  f(u) u （7）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若A3 O，则（ ）  A  EA不可逆，E A不可逆.  B  EA不可逆，E A可逆. -33- C  EA可逆，E A可逆.  D  EA可逆，E A不可逆. 1 2 （8）设A  ，则在实数域上与A合同的矩阵为（ ） 2 1 2 1   2 1     A  . B  .  1 2 1 2  2 1  1 2     C  . D  . 1 2 2 1  二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. 1cos[xf(x)] （9） 已知函数 f(x)连续，且lim 1，则 f(0) ____ . x0 (ex2 1)f(x) （10）微分方程(yx2ex)dxxdy 0 的通解是 y  ____ . （11）曲线sin  xy ln  yx  x在点 0,1 处的切线方程为. 2 （12）曲线 y (x5)x3的拐点坐标为______. x  yy z （13）设z    ，则  ____.  x x (1,2) （14）设3阶矩阵A的特征值为2,3,.若行列式 2A 48，则 ___. 三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. sinxsin  sinx sinx   (15)（本题满分9分）求极限lim . x0 x4 (16)（本题满分10分）   x x(t)   dx 2tex 0 2y 设函数y  y(x)由参数方程   y   0 t2 ln(1u)du 确定，其中x(t)是初值问题   dt x t0 0 的解.求 x2 . （17）（本题满分9分）求积分 .. (18)（本题满分11分） 求二重积分max(xy,1)dxdy,其中D {(x,y) 0 x2,0 y2} D -34-(19)（本题满分11分） 设 f(x)是区间 0,上具有连续导数的单调增加函数，且 f(0)1.对任意的t 0,，直线x0,xt ， 曲线 y  f (x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积 的2倍，求函数 f(x)的表达式. (20)（本题满分11分） (1) 证明积分中值定理：若函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，则至少存在一点[a,b] ，使得 b  f(x)dx  f()(ba) a 3 (2)若函数(x)具有二阶导数，且满足(2)(1),(2)  (x)dx，则至少存在一点(1,3),使得()0 2 （21）（本题满分11分） 求函数u  x2  y2 z2在约束条件z  x2  y2和x yz  4下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分） 设 元线性方程组 ，其中 ， ， ， （1）证明行列式 A  n1  an； （2）a为何值，该方程组有唯一解，并求x ； 1 （3）a为何值，该方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分10分） 设A为3阶矩阵，, 为A的分别属于特征值1,1特征向量，向量满足A   ， 1 2 3 3 2 3 （1）证明,, 线性无关； 1 2 3 （2）令P ,, ，求P1AP. 1 2 3 -35-