考研数学李永乐数学历年真题全精解析（数学一）1987-2008公众号：小乖考研免费分享_04.数学一历年真题_李老师版本数学一_李永乐历年真题全精解析（数学一）1987-2008

0.'.l..3 ' 工~o 卢）＝｛ 或叭.x) = { —x 3, 3 < o- I 1 , .1 < 0 沪(0) ＝（一义3 ), 1, - o = (- 3.:i-2) I 工() = 0 矿(0) =（立:3 ) I I.,=O = 3x'I rO = 0 .t=O I ., -o 沁2 . .:r > 0 立，立~o `-) ＝ ｛ 或p( J) ={ - 3:r2 、 义冬0 - 31i , 1 < o 社(0)=(-3.1、2 )' 1,=0 = (- 6.x-) l, o =0 忒(0) = (3.:i-2)'I, =O = （如） 1 工一o = O 炒(`r) = {—6:.J. ：一二：或炒（工）= {—~:·.'.l. .: : : 中11~(0)=( - 6.J.. ）＇ | ,-1) =- 6 矿一(0) =（如）＇ = 6 r - 0 故矿(0) 不存在，于是广(0) 不存在 ．故 JI = 2 . 选（C) . 巨量1995 ，二（3 ) 超3 分）设f(.1) 司导，F釭）= f ( -r) ( 1+| sm .l | ），则/(0) = 0 是F( .J. ） 在x=O 处可导的 (A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件． (C) 必要条件但非充分条件． (D) 既非充分条件又非必要条件． 豆 A . 沪 由于F( 儿) = j釭）( 1 +I sin 工 | )= /(.r) + I sin.1.· I /(x) . f釭）可导，则F( ．l) 可 、 • 84 • 导的充耍条件是 Sll1 I I I( .1 ) 可导 ．令中(t) = I 叩In ? f(1) . hm 1 二二立＝ l,叩 1 、i n I .I.(() = { J (0 ) 工 ．？ —．f ` （0) ，．?．一►0 即j二(0) = f(O) . / (0) ＝— .f(O) ，则f(O) = 0 足 (p(.r) fl: .1'= 0 处可计的允要条件，从而 f(O) =O 是F 釭）右人＝ 0 处可导的允分必婓条f| ．故应选(/\.) . 回(1998 ．二（2 ）恙3 分）函数j,Q) ＝(?i _x - 2) I.r 1 - r I 不可导，点的个数是 CA)3. (B)2. O ．具中 g(1尸）是有界函数 ．则 t ＇冬0 J 釭）在 ．L — 0 处 (A) 极限不存在． (C) 连续，但不可导 立 D. (B) 极限存在，但不迕纹 (D) 可导， 臼 1 - co,;.i- - 0 _l ., — .1·~ .I ., ~ (0 ) f(.1. ) －f(O) 石 = lim ~ = Ii m --1.:!..__ = lim 二＝0 ,-d l 一 r-0,. . 0· .1" ., . n1 .1·0" · 85 • J '_ (0) = lim 卢）- r( 0) = l m1 ., - • O x-0 r 金1) 则J' (0) = 0 ，故应选( D ) ． 回(200 1 ，二（3) 是3 分）设J (0) = 0 厕f(x) 礼点工＝0 可导的充要条件为 1 1 （A) 四尸（1 - cos h) 存在 ( B ) 四？了J (1 - c1' ）存在 沪g-(.r) - 0 = .1 lim.rg (.r) = 0 , . i 1 1 CC) lim f--,;f (h - sin h ) 存在 Ij-.o h 2 怎急 社石 l J ( 1 - c1' ) - f(0) l - ch = ,- r( 管1) - I (0) / ( `飞-）- /(0) Ii m -;-f ( 1 - e'') = l i m ~ ~ Ii m ~ = - Ii m h-.o I1 /J .o h , .o l n (]— .l.-) , dl .l. 1 由上式可知 ，lim —J.(l -eI' ）与Ji m 「位）— f(O) 存在性是一致的曲又/CO) = lim /(?) - I( 0) · 贝lj ／，一c h .r . ．0 .1、， .;;. r l ( D ) hm -[f (2h) - j . ( h ) ］存在． h-. o f1 B （方法— ) 解析法 f （又）在｀r = 0 处可导的充要条件是极限hm -j( l — e I' ）存在 ，故应选(13) h - o /i 排除法令 j. （~1) - | J- 1 侧J'( 0) 不存在 ．而 （方法二） l . ., - lr l lim -:;-f( l I 1 - cos h I -- " .. _ 2 .. 1 —cos h) = I i m ~ = Ii m —= - ;,-_-_-,; lz2 ·'. - --.. .. - i,-_-_~- /z2 ;; --~- h 2 2 l 1 — I卢 lim -f-:;f(h —叩i n h) = lim I h —sin h II 3 = li m 6 I J =— lim I h I= 0 ;;_-_·o· h2J ··· ····· ·· , ;;·:o· h2 ;; -_·o· /1 2 6 i, 习 则排除(A) (C) 选项． 今卢）＝ ｛ l . o. :: / ：· 显然j.I( 0 ) 不存在．但 1 lim —[ f(2h) - f(h) ] = lim 上[ 1 -1 ]= 0 h-. (( Ii h . n /l 从而排除(D) ．故应选(B) ． 配量2002 ．习题，6 分）设函数J(t) 在 .1' = 0 的某邻域内具有一阶连续导数且r( 0) # o. f (0) #- 0 ，若叮(h) + bf(2h )-f(O) 在 1l -► 0 时是比h 心阶的无穷小 ．试圳定 (l . b 的伯． 斜 （方法一） 由题设知杻叩[ af(h) + t-汀(Zh) - /CO)] = ((1 + b - 1)/(0) = 0 . 又 f(0) ＃趴则 a + b - l = 0 . 又 o = lim ~ a/、( h ) + bf (2/i) - f(O) h • O h = li m a/1 (Ii) + 2bf1 (2/i ) l = (a 士2b) J.I (0) h 作。 由丁J'(0) -=I= 0 ，则a + 2b ＝釭千是a = 2.b = —I. （方法二 ） 同方法一知a + h - 1=0 ．又 o = li m 叮C ( h ) ＋叮(2h) - f(O) h • O h = lim af C/1) + bf (2h) — (a 下b) /(0) h · " h = a lim f( h ) — j、(O) / .(2h) - f(0) II + 2b lim ｝i 一0 ｝」 一 l ， 2 Ii • 86 • ＝矿(0) +2 bf 1(0) = (a + 2h)/(O) 囚为J'(O) =-p. 0 厕a+ 2/J = 0 , 千是 l/ = 2,b =- I 【评注】 若本题条件减弱为f位）在工＝ 0 某邻域可导 ．或［釭）在工＝0 可导 ．此时 只能用方法二． m ( ？OO2 吓 叩""'' - ．四及．7 分）已知两曲线y = j Q) 与y = I e 广山在点(O . O) 处的切线杆 。 同 ．写出此切线方程并求极限lm11 /、r — . 2 "一． ． （ 』:1八1)＇，C一1, d1 存，气(0 , 0) 处的切线相同知 ．一一、 斜 「h 两仙线y=J釭）与y = J(O) = 0 ('(0) = (J:""n'e / d I)' nrc”“'·, L , o = e l + 工:I, . / 2 li m11J . I 2 j —- J.(0) (f) ',_ ( ／1 ) ,j-- 」 — = lim 11 . I 2 I( -=- )- f(O) = 2 lim (II) " . . 2 II = 2/ (0) = 2 = ] 肛日(2007 , cl 题．4 分）设由数j.( ．t) {-1 .1. = 0 处连续 · 下列命题钺误的是 (A) 若l，1 贯勹［）存存 ．则/CO) = o. （B ) 若lim f. ( 1) - I. (— . -r) 存在 ．则J(O)= O . `r-· 勹 A1、 ( C) 若lim 丘旦存在 ．则j'( 0) 存存 r . n 、1. f(I) f( —`r) (I)) 若lim ' 不f1[ · 贝1l f., (0) 才子在 -' • O .1、 答哀 D. 若lim · f ( 、1) 存在 ．义lim .:r = O , 则hm j (.J. ) = （） ．又／（r) 在 ．1' = 0 处迫 娇析 （方法一） , _,..T r . 1) r . Il 续 ，则l im.fC.1) =.f(O) ．故(( O) = O . 选项(A ) 正劭 同理 ，若lim r釭）十八一.r) 存仕 ．则hm [r( .1:) + .I( - 飞)］= f( O) + f(O) = O ，则f( O) = r •II .r ., • fl 0 ，故选项(B) 正确 若lim j釭）存ft . 由选项(J\) 的讨论知f(O) = O . 则 r ．八 3 l i m. I. (..1) J ( 1) - I (0) = lim , • II 、1., . () .I. 存祚 ．由导数定义知 ．(( 0) 存在 ．故选项(C) 正确 ．由排除法知应选(D) ． • 87 • （方法二） 虽然有 I r( 立:) - f(- 父)[Cr ) - f(O) _蠡r( 一 、t· ) — f(O) 四立 ＝四[ “飞． 工 ］ f( 义;) - f （一工） f(x) - f(O) 但li m 存在，不能保证lim 或Ji m I （一心－f(O) .,- o 立．，丁 · O 、T .r一0 艾 f' （0) 不一定存在．如f( 立: ) = I 立: I ．虽然lim f(.1.:)-_((-.1.:) = lim 1 .1.: 1-1 —x i 工一0 31.. .r-·0 立＾ f'(0) 不存在，故选项(D) 不正确 ，应选(D) 【评注］ （1 ) 方法一中多次用到一个基本结论 ： 若上可知存在，且 l im g （心＝0 ．则 lim f釭）＝O ; (2) 由方法二可得到一个基本结论 ： 一定存在，故 =0 存在｀但 若f' 位。）存在，则极限lim f(.1.o + 6.x) - f位。－A立一定存在，但反之则不然 立- o 6..1.. 该知识点在考卷中多次考到 ，望考生重视； (3) 虽然本题涉及的知识（概念、理论）都是最基本的 ，但考生出错较多 ，说明部分考生 基础不够扎实， 、导数与微分计算 m ( 1 2 口 1 988 - ，一（1) 题 ，3 分）若J( t) = ;i~2'(1 +—) ，则／（c) = r 八心 工 签豆 虴＼析 e2'(2t + l) _ 由于lim 竺＝2l ，则 x-•= .1.` I l 2 LI. 叫l + — ) ＝e2 r ., 一., :.r.. j、(t) = 1e2' 则/(t) = e2'+2te2'= e2' (2t -\-- l) . m ( l 990 ，二（2 ）题 ，3 分）已知函数j位）具有任意阶导数，且f1 位）= ［f位）了，则当n 为大千 2 的正整数时，J位）的 n 阶导数f ( n ) ( ．r) 为 (A) 11 ! [ .f(x)] 叶l . (C) ［J(x) 了＂． 务名 A. (B)n[J (.l.) ]叶l . (D)n ! [/ 位）千＂． 气析 由f' （x) = ［f(x) 了知 『釭）= 2/(x)/(x) = 2/(x)[/ （工一）于= 2 广(x) 广位）＝ 2 X 3广(x)f' 位）= 3 ![/(x)]1 由数学归纳法可知 故应选(A ) . 广＇）釭）＝ 11 ! [/釭）］＇，一1 · 88 · mm9 l ，一（l ）题，3 分）设｛x=l+I' ，则d'y y = cos l d.l. ? 答孚 斜析 sin t —tcos l 4 1 3 dy ' . y, -s1n t —=-, = d工工; 2, ? d y d —sm 1 dt l lCOS I -山in I. l _ sin t —teas t —=—()—= -— · ·—= d .1卫 cl I \ 2 I } cl:r 2 I 2 2 I 4 广 肛】（1 992 ．一（1 ) 题 ．3 分）设函数y = y(.r) rt 1 方程er_,....)_ cos(.ly) = 0 确定 ，则虹＝ d又＾ 答阜 斜析 ysin(xy)-e"'-" e_,--,-,. - 工s in ( 工y) . 等式 e 户飞L cosCry) = 0 两端对一1 求导得 e 尸＿＼(1 dy 石）— s in ( 义y) (y d y 飞，石）＝0 由上式解街 心= ys m ( ，尤y) - et ` d.1.· C 户，＿艾s in (.ry) 肛~ (2002 ，一（2) 题，3 分）巳知函数y = y(."!.) 巾力程e" + 6xy + x'- 1 = 0 确定，则yII( O) = 答哀 斜析 - 2. 将 .r = 0 代人方程e" + 6xy + ？乙— 1 = 0 得y=O ．方程两端对.r 求导得 c"y 1+ 6y+6.1y ' + 2:'l. = 0 将_T=O , y=O 代入上式得y1 (0 ) = o. C 1) 式两端再对？求导得 c '广＋ey'' + l 2/ + 6.ry" + 2 = 0 将T=O , y=O , y'(O) =0 代入上式得 y"(0) + 2 = 0 (1) 即 y11(0) =- 2. 肛卧2005 ,7 题 ．4 分）设函数f口）＝ li m 如＋ ？尸厕j( ．1) 在（— = · 十＝）内 (A) 处处可导 （C) 恰有两个不可导点 答卒 斜析 由lim ✓叮＋吐＋… 十c亡，＝ max { a, } (a, >O) 知 I·,. "' /C.:r ) = li m 汃~ = max{l , I .1 ['} l . .?- | < l = { 1.1 i . I l > l 由 y = ．f (t ）的表达式和其图形可知 ．j．（.r) {r `t =± l 处不 可导（尖点） ．在其余点均可导 ．故应选( C) . (B) 恰行一个不可导点． ([))至少布二个不可导点． C. 先求极限得到］G) 的表达式 ．然后冉讨论［（r) 的可导性． l'= －入.J ) I Y=X3 六 － 0 二 一 汽 ， ＇ ， 一 / x • 89 • 【评注】 本题求得J釭）的表达式后，也可根据表达式确定各点的可导性，由其表达式 知，f(x) 不可导点最多两个，即x ＝士1 ，其余点均可导，又由f(x) 表达式知J位）为偶函数， 则 j．( x) 在x ＝士1 两点处可导性相同，因此，只需讨论 ．1.· = 1. 处的可导性． l —1 ~,.,,. , ,. x3 - 1 仁Cl) = lim ~ = o ，八（1 ）= lim = 3 J-. l－工一1 工一. l+ x- l 则f位）在工; = 1 处不可导，从而在 又· =— 1 处也不可导． 三、导数的几何意义 回(1997 ，一（3 ）超3 分）对数螺线r = e0 在点(r . 0) = (e 于亨）处切线的直角坐标方程 为 答孚 x+y=e于 ． 斜析 将极坐标方程 r = e0 化为参数方程． {x = rcos O = eOCO5 0 y = rsin O = e为in 0 所求仙线在点（千· ef) 处切线斜率为 少 eo s m 0 + c!cos O = ~ I = - l d.1. O－亏 e0co.., 0 — e知11 0 。一手 又当0 六时，.1. 齐 =—'. = 0 2 , y = e了，则所求切线方程为 y —$ = (- 1) 丘— 0) 即立十Y = ef . 肛讥2004. . 1 题 ，4. 分）曲线y = In _1. 上与直线立: + y = l 垂直的切线方程为 答孚 y = :飞. - l. 斜祈 由y = In:r. 知, /=~ ，又rtt1 线y = ln .1. 的切线与直线:r.+y=l 垂直，则~ = l, 得立. = 1 切点为( 1, 0) ，则切线方程为 y — 0 = 1 • C.1 —]) 即y =.1· — l. 肛】（2008 , 10 越4 分）曲线 sin 丘y) + lnCy — .T) =.r 在点(0 . 1) 处的切线方程是 答哀 y= 义月十 1 . 斜析先求曲线邓in C.ry) + ln(y - .r) =又在点(0 . 1) 处切线斜率y'(0). 等式 sin(.1-y) + ln (y —义）= ～t 两端对？求导得 y'-1 cos(..l·y) . (y + .]_y,) + ~ = 1 y -.1 .. 在上式中令义＝O . y = 1 得y'(O) = l ．于是该曲线在点(0,1) 处的切线方程为y - 」＝ .1. ， 即y =x+l. • 90 • 四、函数的单调性、极值与最值 I (x) - J(a) (1987 ．五（3) 题 ．3 分）设li m ~=-1 ，则在 .r = a 处 ; ·:; (x - a)2 (A)J釭）的导数存在，且 j.，（u) # 0. （B)J釭）取得极大值 (C)J釭）取得极小仙． （D ）／釭）的导数不存在． 答孚 B . 斜析 （方法—) 直接法：「l=J li m f. (1、) - f ((l ) 2 = －1 及极限保号性可知 ．在-r = a 的某壬 .r . . 』 （1· 一a) 心邻域U(a,o) 内 I.(.r ) - J .( a ) Cr - a) 2 ——— 时，y'>O ，则y = 边＇在．兀．＝－一一处取得极 ln 2 ln 2 ln 2 小值 1 【评注】 本题是一道填空题，求出唯一一个可能取得极值的点工＝———，就可以填答 In 2 案了，可以不再做进一步的判定． (1988 , 三（2) 题 ，3 分）设y = JU) 是方程y"- 2 y' + 4y = 0 的一个解，目f('.l. 。) > O,j' 也）＝ 0 , 则函数／（．r) 在点l 。处 (A) 取得极大值 （C) 某邻域内单凋册加 答哀 (B ) 取得极小值 ( D ) 某邻域内单调减少 • 91 • 纤析 由于y=f位）是方程y” — 2/ + 4y = 0 的解，则 f" 釭）－2/' 釭）+ 4 / (x) = 0 上式中令．1: = .T 。,则 广(.'.l. (, )-2/(x , ) ＋叮位。）= 0 /'(To ) = - 4 f (Xo ) < 0 故函数J位）在工。点取极大值． 四(1990 ．二（4 ）越3 分）已知J(x）在．兀·=O 的某个邻域内连续，且f(O) = O,lin1~ = f(.'.l-) ~ o 1 - cos.'.l. 2 ，则在点工＝ 0 处f 釭） (A) 不可导 (B) 可导，且j'(O)-# 0. (D) 取得极小值． (C) 取得极大值 答卒 D. 斜析 （方法—) 直接法 由于lim f釭） =2 > 0 ，由极限保号性知 ，存在工＝ 0 的某个去心邻域使 工一o 1 - cos 工 f( ｀兀.) >O l - cos 工 从而在该去心邻域内 I位）> 0 = f(O) 由极值定义可知f丘）在立＝ 0 处取极小俏． （方法二） 排除法 令j 位）＝ ．产 ，显然，此时 f ( ．1) ．产 lim ~ = lim ~ = 2 r.,, 1 - cos .1. ;r .;; l ., — 工～ 2 满足题设条件，而JC.1 · ) = .1' 2 在 ．:r· = 0 处可导，/ (0) = 0 取极小值，则(A) （B ) （C) 选项都不正 确，故应选(D) ． 曰(1995 , 二（2) 超3 分）设在［0 , J J 上 /'(.:i-) > 0 ' 则 J1 (0) ，／（］）， ．I、(1)-f(O) 或 f(O) -J.( ］)的大小顺序是 则 且1.l (A).f'(l) > f'(0) > j (])— _/(0) (C) ,r(l) —.f'(O) >/Cl)> /(0) . 答泉 13 . CB)/(])> J(l) - f(O) > /(0) . (D) j'(l) > f(0) - j(1) > f' (0) . 斜析 由于广（丑）> o . 则j' （.:i·) 单i)/,'j 增 气义 f(l) - f(O) = f' 符） ．O<( f' 化）> /( 0) f'( I ) > .f(l) -.f(O) > f'(O) 故应选(B) ． 困(1996 ，二（2 ）超3 分）设j( ~r) 有二阶连续导数且j'(O) = O ,lim 广（立）＝］，则 工一一o | 义: I CA)f(O) 是J(.r ）的极大值 CB)f( O) 是J（心的极小值 • 92 • (C)(O . /CO) ）是仙线y = J (t) 的拐点． (D)/(0) 不足f(i) 的极伯 ．（0 . /(0) ）也不是曲线y=J釭）的拐点 答孚 B . f／飞） 斜析 因为jU ）布一阶连续导数 ．且l i m ~= l >O ．由极限的保号性知 ．在i - 0 的 r . 0 .1.. | J”(r) 某去心邻域内——- > 0 . !11] /1( .r) > O . 所以 ．j＇（义、）单词递增 ．又f'(O) = O . 因此 ．j＇（1) .(，- I .c I X =O 两侧山负变正 ｀巾极值第一允分条件知 ，f釭）在又＝ 0 处取极小值，故应选( B ) 嘈 (2000 二(1) 题 ．3 分）设函数j.( 义:) . g （心是恒大于零的可导函数 ．且J'(t)g(1) - j 位）矿（.r) < 0 ．则当a < .r < h I讨，有 CA)/C.i-)g( h ) > .f( b )g(.i-) . (C) 「(t)g(r) > J ( b )g ( b ) . 答哀 A. 斜析 令F h) / (.J ) · = -- (u < g(.:i) ~ .J < h ) ，由题设知 ( B )f(.1) g(u) > ./ (u)g(1) . ( D)J(.r)g(.r) > f(a)g( a ) F'( .1·) = J' （1 ）片（1·) - g' (.1) ( .( .1) 8 2 (.1·) < O, (a <.1 < b) 则F C.r) A [ a .b] I单i)/i］减．从而 ．当a < .r < h 时F ( b ) < F ( 忙1·) ．即 J.(b) J.(-t·) -< g(b) g( 义·) 故 J.（心g( b ) > f(b)g 釭） (200 1 ．二（I) 题 ．3 分）设函数J (．？)在定义域内可导 ．y=J( 心1) 的图形如图所爪· y x 则导函数y = j'G) 的图形为 ( A ) Y, x 勹 ／ 。 x (C) y CDJ) x 答泉 D. 斜祈 巾y= 「釭）的图形可知，当．r 0 时 ．．r釭）先培 ．然后减 ．蚁后增 ．因此． j ' (~t) 先正 ，然后负 ．最后为正 ．显然(B) 不正确 ．故应选( D ) • 93 • 匠习(2003 匈二（1) 题，4 分）设函数f门）存（—= · 十= )内连纹 ．其 守函数的图形如图所示，则f （x) 有 (A) 一个极小值点和两个极大仙点． （B) 两个极小伯点和一个极大值点， (C) 两个极小值点和两个极大俏点． (D ）竺个极小值点和一个极大值点 答阜 C 斜析为方便说明 ．将图形与t 轴的交点依次标记为A, 13 . C. 如 勹图，在A 点左侧j' 釭）＞o . 在A 点右侧/1(.i-) < O 噜所以点A 为j· (l) 芞I 极大值点；同理可知点B . C 都是I Ci) 的极小值点 ；在点0 左侧 4 飞）> 0 ，右侧j' 妇）< o ，而f （文）才！｝，气0 连续 ．所以点（．）也足j 伈） 式极大值点． 故应选CC). m (2004.8 题 ．4 分）设函数JU) 连续，且f'(O) > 0 ，则存在汇＞0 ，使得 y ) ' 。 x c.\. (A)f(x) 在(O,o) 内单凋增加 (B)j口）在(- J.O) 内单悯减少． (C) 对任在的l E (O . 8) ．有 [(.r) > f(0) . (D) 对任意的 ．1E (— o. 0) ．有八．1 ）> f.(0) . 答孚 C. 斜析 由/(O) > O 知 I I G) - J(0) 1m~> O , ．,1 义 巾极限保号性知 ．在 `1· = 0 某邻域内 f(.r) - f( O) 义· > o 因此，在(O,o) 内 ． ．/C.1) > f(O ) ．故应选(C) ． 【评注】 本题不能选CA) ，也就是说由 /'(0) > 0 得不到j位）在(0 . 8) 内单调增加． 例如 贮）＝｛ 工 l .r + 2 ～廿s in —,．x * O 0 , .J:.. = 0 1 立: + 2x 2sin — /'CO) = lim ] 1 = 1 > o . 当又·# 0 时 ．I'G) = l +釭sin — - 2cos 一． .r~• O X . ' . I . ' . ' . l . . 1 因此．．f ＇(2n 六）＝ 1 - 2= - l 0 时．曲线y = xsin — l .J. (A) 有且仅有水平渐近线 (B ) 有且仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线 ，也有铅直渐近线 (D ) 既无水平渐近线 ．又无铅八渐近线． 答泉 A. 纤析 由千h m.2. 、i n 上＝ hm.2. ．（气＝］，则曲线y =.:i·sin +有水平渐近线y = I. r ` 上,o X., 一．． J· 显然该曲线无铅直渐近线 ，故应选( A ) . 回( 1 99 1 ，二（l ）题，3 分）仙线y= 1 + e一，．： 1 - C ·' (A) 没有渐近线 ( B) 仅有水平渐近线． ( C) 仅有铅直渐近线 ( D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 答孚 D. 斜析由千l i my= lirn l + e-r-a-= l. 则该曲线有水平渐近线y=l .r 忙飞1 - e-.,- 又limy= lim l + e-1' == ，贝ll .1 = 0 为该仙线的铅且渐近线，故应选(D ) . 工一一0 .，一一。1 - e一r 回(2005, 1 越4 分）仙线y=~ 2.T + I 立 的斜渐近线方程为 . 答孚 斜析 1 l y = - :J.. _ __. 2 4 y - 1: _ :i.-2 - 1 a = Ii m L = Ii m ~ = ~ r-· ～ 几: ; .~- (2 .1 · 十］）、1· 2 ? b = hm[ y u.1·] = h m[ 又_ —_]__义.] ＝hm - -t =- _]__ ;~;:.>'-·~ _, ;~ ·: L 2x 十 l 2.r-. . 2 (21· 十 l ) ,1 _ . ， 丿 、 ~ A. 0- — 为 勹 ＞ 拭 y ） 曾 卓 ~ I . （ 八 B j 应 是 且 对 且 J _ , 品 C l 数 处 j 卧 导 x o iJ 单 阶 点 ) － － 在 l y o 有 ) e < 工 具 3 < V ) j c y^ I __ )J 工 A < 0 ,6.x > 0 知dy =.f气r ,, ) 6..1· > 0. 又Ay = j.( .1.() ＋幻）－J (m) = I' (( )A1 . (I,) < （< .1。十Ai) , 巾于／＂勺）> o 令则 j. ，(J) 单悯增加 . / (c) > / (.r u ) ，从而有）、，（工，，）幻<.r\)Ax . 故O< 也＜幻· 因日( 2 007 . 5 题 ．4 分）设函数兀）在（o . 十＝）内具有二阶导数且j飞）> o , 令u ,, = {(11)( 11 =1 . 2, … ) ，则下列结论正确的是 (A) 若 Ll 1 > I心 ．则{ u ,，} 必收敛 (C) 若 ll 1< 四 ．则仇， ｝必收敛． 答阜 D . 斜析 （万法一） 图不法 ： 111 /'C.d > 趴知 ．曲线y = j 釭）是凹的． (B) 4;. l/l ＞也 ．则｛u,，）必发散． ( D ) 若叭＜ /1 2 ，则｛u ,，｝必发散． 显然 ．图 l 排除选项(A ) ．其中 ll ,, = f( 11 ) －►— 心 ；图 2 排除选项(B) ．其中u ,，= j. （I I ) 于O ; 图 3 排除选项(C) ｀其中 U ,, = _f( 11 ) - 十co ．故应选( ]) ) . \I y y y=/(x) y =fi.x) ）严／lx) ， 一 u I l 。 II I I 112 。 2 x 。 2 入 图 l 00 2 图 3 （方法二） 排除法 ．取f( :r) = (x - 2 )' , 显然在(0 , 十～），广釭）= 2 > o. /Cl) = 1 > /(2) =0 但 u ,1 = f( n ) = (11 - 2) 1 ＿叶= · 排除(A) ; 1 L 取f 釭）＝— ` 在（o . 十＝）上了( 1) > 0 , H. J .( l ) = 1 > J(2) ＝— 、 :r 2 1 f旦u ,. = J 句）＝—-► 0 ．排除(B) ． 11 取j (又)= e工 ．在(0 ` + OO ）上 ，广位）= c'> O . 且f(l) = C < f(2) = e2 , 但 u ,, = J( n ) = e " ＿►千多 ．排除(C ) ．故应选(D) （方法三） 直接法畸直接证明( D ) 正确． 由拉格朗日中值定理知 u, - u1 = f(2) - f(l) = /Cc) > 0 号C I < c < 2) 当 n >2 时 噜 f( 11) = f(n) - f(2 ) + f(2) = f' 炵）（11 - 2) + f(2) (2 < ~ < JI ) 巾千/1( .T) > 0 士l ? > ( 、则j .，符）> j .1(c) > 们从而有 J( n ) > / (c) (n - 2) + /(2) －►+ OO 则有 ll ,, = f伍）－►＋oo . 【评注】 本题显然是图示法和排除法比较简单．由于大部分考生对这两种方法不熟 悉，而证明(D ) 正确又有一定难度，部分考生只能猜答案 ，准确率较低 • 96 • l (200 7 . 2 题，4 分）仙线y - —-I· In( l + e') 渐近线的条数为 ( A )O . 答孚 D. 斜析 由丁 (B) 1. .r ( l' ) 2. Im v = lrIm 厂＋ I n( I + (.) ] =, 则x=O 为仙线的铅甘渐近线 ； 由于 (1)):-l . ,l~m y = , l~m ［了十ln (l L e' )] = oc ,l~my + •· ) 则y=O 为曲线的水平渐近线 ； 由千一 ::;,:::,一侧已有水平渐近线 ．则斜渐近线只可能出现在十卢一侧 ．义 v ,. 1 1 ln(l + c') - ,. l a = lim _,:_ = lim I ~ , r . J [ I I - = l:!l1 了十，如l I — ;;-,- = I I) = hm [ v —a.r = = lim —·: ln(l , c').1 = li m I f -t ln(l - e' ) —In c ' ] -,- ,l(m 勹＋l11(I I f)] = o ,l(m : 7- + l11 (I I 1)] 则曲线有斜渐近线y = ., ．故该仙线有二条渐近线 ．应选([)) . 【评注】 本题是一道基本题，但得分率很低，难度系数为 o . 220. 其主要原因是很多考 生选择了(C) ，少了一条渐近线．原因可能是考生认为 ｝上my= ｝I·巴匠＋ln(l + e., )] = = 则该曲线没有水平渐近线，又 1 , lnCl+e勹 lim 立＝ lim l~+ .r-,= 工 r ．．真［工工 J -=- 1 只( y —釭）= }i:17[~+ lnO + e' )-lnc']=o 该曲线有斜渐近线y ＝工，这样就少了一条水平渐近线 ，选择了(C) ．其问题的关键是考生 错误地认为lim e.r ＝～ ．这是一种“ 经典”的错误．正确的是 lim er =+ ～，但lim e.,. =0. 六、证明函数不等式 ( ] 993 ．六（2) 题 ．5 分）设 ／丿＞ ll > C ．诽明矿＞忙 证叫由于b>a > e 及对数函数 I n.1 单 j拈JJ许 ．则丿泉不笘式等价下bln u > uln b ．即 ln (1 ln b ln l - ＞一．因此 ．只耍i 止f(.r) = －－－存(c . - o ) rVi丿t] 减因此 ，令 a b / ( 7) ＝皿 ．·I E (e 、十，．．、） 则 , .「( 1 - In .:z· x) = ., . 义•" • 97 • 当父E( e ，十CX) ）时，J＇(父) < 0 JQ ) 单调减 ，义b > a > c 侧f( b ) < J(u ) ｀即 呈＜坦 h u 故a 1' ＞b” . (1 999 ，六题 ，6 分）试证 ：当工＞0 时 ．（正— ] ）In :1· ~ C.1· - l ) 气 证叫 方法 令中釭）＝伲－1) In .1 一 （忙t — 1) 2 ，易知 rp( l ) = 0 . 「h 于 1 cp'(.J一）＝ 2xl n .J ．一1 · + 2 —一 ，rp'( l) = 0 .1. 沪）＝2 1n .1 · + 1 ＋沪”（1) = 2 > 0 忒(:r) ＝2(.1.:2 - 1) .1 所以，当O< 几＜ 1 时 ．矿釭）< 0 ；当 l ＜工＜＋～时 ，中II/ 位）> o , 从而推知节 ．1 E (0 . += ）时，矿釭）> 0. 由中'(1 )=0 推知当O < .r ＜ 1 时，中，（r) < O ; 当 1 < .l <+ ～时，忍(..c) > 0 再由cpO ) = O 推知当工＞0 时（工2 - 1) In 1· ~ (.r 一l) 气 1 方法＿， .1、- 令叭.r) = In .r 一一——l · 则 义｀+ l 1 2.:r2 + l

0 1 釭＋1) ？ ．T 釭＋1) 2 (.1 > 0) 中（1) = 0 ，所以，当 O < .r < 1 时，cp 位）< o ，当 l < 义、＜＋～时 ．cp釭）> 0 于是当x>O 时，（｀廿－ l ）中釭）= (x 2 - l) In x - C.1· - l) 2 ~ 0. 即(:r 2 - 1 ) ln 工~(:r — 1) 气 【评注】 本题也可令中釭）＝（x + l) ln 工: -(x- 1 ) . 田( 2 004 ,1 5 题．1 2 分）设e < a < b < c气证明ln 2 b - In切＞4( b -d) e· 证咐 （方法一） 对函数 I n五在区间[ a . /J ] 上应用拉格朗日中值定理 ，得 21 n ~ ln2b - ln2a = －— ( b - 砬 : (c < (I < 5 < b < c勹 设f( t ) ln l ＝— ,则J'(I) = 1 - ln I l t 2 • 当 t >e 时 ，J'( t ) < 0, 故J(t ）单词减少．所以j炵）> f (b) > J促），即 血＞皿已＝主 ~ - e2 c2 （方法二） 2l n 令 4 n2b —ln' u = －一( b -u) > 2, ( b 一(I) ~ .. - e' 设f( .r ）＝ ln2 .1_ — § .1_ ．则 2 4 2 (l - ln .t) J' ( x) = -=- In x -.;. . j''(J·) = 1. c- ..l.2 当 ．-i· > e 时 ．j''(x) < O ,J' （又－）单调减少 ．所以当 C < J" < C 2 时， 4,1 j'G) > j ' ( e2) ＝了-2,- = 0 e~ C- 即当 e < a < b < e 2 时，(( b ) > J(a) ．即 98 • 故 4 ln2/; - 2,t, > In切－－ c- 飞U c· 4 I n切－In切＞~ (b — a) e 七、方程很的存在1T ．匀 ＇！勹 I (1987 ．八题， J O 分）设函数j(3) 在闭区间[O . l] 士可微，对于[O . 1 ] 上的每一个几．函数 f(x) 的值都在开区间(O . l ) 内 ．H JJG) # 1 证明在(0. l ) 内有月仅有一个工．使得f釭）＝工 分析 本题实际上就是要证方程f(.1. ）－x =O 在(0 , 1) 内有且仅有一个实根 让叫 （方法— I 令F 釭）= J(:r) - .t ，显然F (.T ）在区间［0 ,1 ] 上连续 ，且 F (O) = f(O) —O = f(O) > O,FO ) = /Cl) -1 < O 由连续函数零点定理知 ，存在~E(O, l ) ，使得F (E) = 0 · 即f 符）= 5. 以下证明这种e 只有一个 ，反证法．若不然，则存在 c E (0 ,1 ) . c ＃令使f (c) = C ，此时 F (c) = F(~) = 0 则由罗尔定理可知 ．在r 与:之间存在 17 使F'(17 ) = 0 ，即 / (17) = l 这与题设j .1 (t) ＃ l 矛盾 ．故在（0 ' l) 内存在唯一的．l ．使f ( :r) = .r. ［方法一 1 证明存在5 E (O . l) ，使F(C) = 0 同方｛上一 ，以下证明唯一性 这里要用到罗尔定理的推论 ：若在区间 I 上f' ，“ (立) # 0 ，则方程／（_r) = 0 在区间 ［上最 多n 个实根 在本题中F ' 位）= f＇（工）－1 # 0 ，则方程FG) = 0 在(O . l ) 内最多一个实根，故在( 0 ']) 内有且仅有一个 .r ，使J釭）= `1 . [ (1989 ，六题，7 分）证明方程 I n :r = f- J: 汇二下山在区间(0 ，十～）内有且 仅有两个不同的实根， 让叫 I。三 o. f(O) < O, 证明 ：J （.1. ）在(0 . 一 ）内打且仅有 个冷， I l\ 让叫 巾千j. 1 釭）诊k > 0 ．则j （I) 印调J· ',丫,'．从而r(1) 在（o . 十，' )上最多一个岑点 ．又 f(O) < O . 因此· 只要证J(i),(！．(0 ．十｀ ） 上至少仆一个岑点，也就是只要i止在（0 . 十o::, ) 至少 有一点艾．使J．(x) > 0 为此 ． 「h 拉格朗 11 定埋知 ． J(.1. ) = jG) - j. (0 ）土((0) = j' 炵）1 + J(O) (() < 令< t) 娑：如十/(0) f(O) 显然 ．只要1 >－一—－即可． J: 令心＞ J(O) fl ，则[(0) < o. f( .l ,, ) > 0 ．山连纹函数岑点定理知 ，j （..l ）存(0 . += )上至 少有一个各点 ．综上所述 · j( ；I) 存(0 ．十V ) 上有 1 I 仅有一个岑点 0 知 即 【评注】 证明在（o , 十oo ) 上有一点工 ．使J釭）> 0 还有另一方法 ，即由J'(x) ?k > I: ．f'(t)dt 诊I。: k d工 f釭）－f(O) ~妇 八、微分中值定理有关的证明题 (1990 ．六题 ，7 分）设不恒为常数的函数f(.i) 在IAlIX 间[ a . b ] 」迕纹 ．在升 lX 间(u , b) 内可导，且f(u)=f(b) 证明 ：在(u . b) 内至少存在一点: ，使得I.，田＞0 证叫由于f釭）不恒为常数、J=I . f(u) = f(IJ) ．则{I- (u .b ) 内至少有在一点 c , 仗f(c) =I= ．阳）不妨设f(c) > .f(u) ．在[a . c] I一一对J( ．i) 川拉格朗 1_l 中伯定理得 ．在(u . （） L 至少存在一，r，气 5 ，使 j ((·) -. f. (u) = I'(f:) (. _ CI 由于上式左端为正．则r' 符）> 0 ，原题街证． ( 1 99 1 ．六题．7 分）设函数j(3) 仕[ O , I ] 上连纹． （0 . ]) 内可导，且 3『勹 ．I口）dx = f(0) ，证明· 有（0 ']) 内存祚一点、（．使{'(c) = 0. 2 让吗由积分中值定理知 ．在[---;-, l 内存祚一点：，使 [,.r(.J. ) d 3 1 = ] J （钞（l - f)=+ /(:) 从而有 J 伶） ＝J( 0) 故丿（x) 有［0 , 打上满足罗尔定理条件 ．因此仵(0,5) 内存在 点 L ，使 j' ( c) = 0 . ( E (0 .:) C (0 ` l ) 原题得证． • l 00 • (1992 ．六题 ．7 分）设I',(I) z () .I (()) = （) ．hL 叽对任何工＞o ．心＞O , 有 . I. (. I l - l , ) < ／（Il ） 卜／（c) 社叫 对／（r) 分别( 1 :lx 间「0 . ? ：利I C .i-, • .r, 于i 2 ] 上用拉格朗日中值定理得 （这里小妫设已t·1 冬心） J.( 令l l ）一f( t l ) / (()) = I, ( : 1 ) ; I · ; I E (0 . `1 1 ) J (I I I - ) - I (, ~) = f, (5),! .;- E (7 - · ·1 1 一r_) 又j”(I) < 0 ．则j＇( ｀i) 1节，J,'，I 减 ．丁足I＇（定）< I ＇（;) ．则 f (I ! . l ~)— l (l. ) < f (( 1) 一.i-,) < JC.r 1) -.f (.r). 且1l -f (.? 1 只耍证明节I > () 时 ．j( 1 1 .- i) < J (1 1) - f伈） ， 令C(r) = f(I) - j([ l) - j (l - 1) ．则华，（l ）= I'( ?) - j'(I 由于j”(1 ) < 0 ．则j ＇（t - r) -::: ／＇（l) ．千足 沪r) > o. <.r > {)) 则弘`r) lP i丿h] 培． +立.) 义中(O) = f(1 1) - J(1 1) = （） ．故节 .I' > 0 时，华（r) > 0 ，原式得证 ( 1 995 ．七题 ．8 分）函数f(l) 和 g(.1) 祚［a . ti J I ::. 存在二阶导数，并目 g11(x) -::/= 0 . f(u) =f( IJ) = g(a) = ，义(h) - 0 . IJ_\ hl (l) 在开区间（（I . b) 内片G) # () , I. (6) /”($) (2) 在开区间((i . b ) 内至少有h - ｝i,、＄．仗一—= －—一 g (;) µ', ($) . 证叫 (1) 用反i止认：名什· (| （E(u . b) ．仗g(c) =- 0 ，则对g( ？)在[a. （]和[( .b ] 上分别 川罗尔沁埋 ．知仵{1 名 E((.I . ()和:. E (（，b) ． ，使 ,t; I (( I) — g ' （巳）－() 内对g1 (1) { 1 [5l 令］上川岁尔儿即知．｛凶8 E(51 . 8) ．使I'／（f,) = 0 ，这与题设g” （父）# 0 矛庙故在(a . b ) 内 g· (1) -/=- (), (2) 令甲(I) = I (t) 矿（！）- I/ （！坎(I) ，易知．cp(u) - cp(/J) —0 对叭() 1l [ u 小］上应丿I J 罗尔定J· ll' · 久1| {r {1 5 E(u . h) ．（史 cp' 伲）＝ o . 即 f （护，i.;"( 令） i.; (句II, （5) 一（） 山十，t;(() =I= 0 . 片＇，符）# （） ．故得 f (:) /', (:) = .“ ,i.; (f;) 片炵） 【评注】 J伶）广( ... ) 本题的难点就是辅助五1 故中釭）的构造．思路是 ：要证——= <，只要证 g 化） g＇／符） f(~)1;"(~) - g(¢) 广(~) = 0 只要能够造p釭） ．使 0 ，则f＇（.1．一）在( - 1, 1 ) 内严格单增，故0 (.1 ）唯一·. (2 ) 由泰勒公式得 jU) = .I (0) -I J'( 0).1 ＋告妇伶在0 与1 之间） 所以 从而 所以 , 1「 (0 (x).1 ）= / (Oh+ 广(~) ..2 . .r 2 ! /" (0(.r).1') - I'(0) _ /1 0 ( .1·) · = J 符） 0 釭）工: 2 ! 巾于Ji m f' （如）;;·) - /(0) = /'(O) , lim/'C~) = Ji m/' (~) = j''(O) . 0(.1·) ｀飞． r .0.， . O 七· ,） 故lim0( .1－）=— . ] J-~o 2 (1 ) 同方法一(l) ． (2) 对非零.rE C- I. l) ．山拉格朗 l」中伯定理得 _f(.r) = f(O) , xf'<0(.r ).1 ) ( 0 < 0(.r) < l). r' （0 釭）?) - r ' (0) = f .(1) J(0) —f'( 0 ) 1 • 2 .1一 文 • 102 • 由千lim. I' （0(3 凶）－/ (0) = J”(0) . r--o 0(1- ) 1令 “ lim ~ = lim tJ.:r ) - f' ( 0) =./ ( 0) , . () .1. ` r只o 2.i- 2 故li mOC.:i-) = —. ] r -. o 2 EE) c2002 ．二（3) 趣3 分）设函数y=f( ｀心在（0 ，十= )内有界且可导，则 (A) 当飞mJ (3) = 0 1.1寸．必有阿1_ /C.r)=O (B) 当州n j'Q) 存在时，必有[f}，J'(.1:) = 0. （C) 当limf 位）= 0 时，必有limj.／釭）= 0. ，一．0 ·' 一．0 (D) 当lim 「'釭）存在时，必有limf.，位）= 0. I - \I .,. • O 笭孚 B. 斜析 （方法—) 直按法巾拉格朗日中值定理知 j、(2J) - J (J) = j. I (;) 釭 0 巾连续函数的零点定理知 ．存在$ E CO , l) ．使得F 符）= 0 ，即 .r (;)= 1 - E. ( IJ ) 右区间[0 . E] 和[ E, l ] 上分别对f(x ）用拉格朗日中值定理得 • 103 • / （钞—/（()) 令 I. ( l) - I (:) l 仁 、 = /(17) . 刀 E- (O . f;) _ I, ( U . g e (: . 1) 此时 ．j＇（？）/'(§)= / (:) - I (0) / ( ] ) /(:) / (5) 1 • l___Ji§_}_ = l . : : (2007 . JD 题 ． 1 l 分）设函数j(.r) . 片（r) (r: [ u . h] I : 迕纹 · 仆((1 . b) 内丿l 介＿阶导数H 存在相等的最大倌 ．_((a) - g (a) · f (I,) —µ (b) ．hl 叽仵(「5 C (u . h) ．使得广符）= g” 炵）． 分析 若令 F(l) = /( I) －叫I) ．则本趋＇坟 11I 明有祚¢ E Cu . /J) . ｛史广炵） ＝（汃义 F(a) =F(b) = O ．若能证明存在 7J E (u .b ) ． f史 F(r/) = 0 ．对 F （t) 反复丿IJ 罗尔定即可址明 本题． 证叫 方立－ 令 I(I) = I (I) — g (I) 则 F(u l - F(b) -=0 . 设/(x) . g(.r) 在（d ．b) 内的蚁大伯为．＼I. II 分别(i:aE (u ./J),;3E (u . h) 取到，即／(a ) = M.g 位）＝\ II. 若a=,3 . 取？= G. 则F （沪－() . 若a # 3 ，则 I·、伍）- I 位） µ位）- VJ µ (a) 娑（） l·、(13) - J\3) —片(13) = ((3) M 冬() 此时．由连纹函数介(111 定即知仵 cl j了/3 之间午少｛（（门．i` n . 使F(71)=0 综上所述 ．存在刀E (u . b) ．使F( ？) = () 由罗尔定理知存（七: E (u 沪文 E (？· b) ．使得I气r( 名) -= （） ．F' 炵）= (). 内由罗尔定理得 ．存在(E 伲 • (_ l C (a 山） ．使得 I4,' 伲）- （） ．即I” 恃）= g" (f) . 六一 为诃明([ {1 7J E(u .b ) 使 F （沪一（）．川反11I 法 ．假设小存仵？E （u .b) ． f史 F(7Jl =0 . rh F (.,) 的连纹礼知对 切r E (u . h) . F(.r) ＇们大 J'令或扣小］＇令 不妨设FO) > o ．设g (i) (1 .I E (u . b) 取到最人伯 ．则 F (」) - I (!),g (t) - （） ．L月1 / (I) -. f.!, (I) 从而nj 知j (I ）行（u ．bl I的最人仙必大于片({ l (I ((I .bl I 的最大伯．这 'J }选设矛丿n . 故作在 7 E (u . b) ．使 F(7J ) () 以下同力法一 【评注】 本题证明完全正确的考生并不多 ．错误多种多样 ．主要有 ： (l) 部分考生将题设“ 存在相等的最大值＂误解为“ 不但攸大值相等．而且取得最大值的 点也相同“ ．即存在 n e (u . b) ，使 l (7J) = max / Q) , g (n) - maxg( ·1) 这样八71) = g(71) 、证明就简单多了，这显然是错误的 ． (2) 有些考生不考走题设条件 ．直接用柯西定理（柯西定理要求某函数导数不为零）．可 能是受“ 只要题中有两个山数的导故等式 ．就用柯西中值定理” 的误导． (3) 还有考生见到题目条件中有二阶可导．就想到用泰勒公式，这同样是 ，文某些参考书 中的“ 解题套路”的影响． • l o,1 • 第飞t －兀函数积分学 }勺卢逵｝ 一元函数积分学是微积分的另一个主要内容．与微分学不同 ，积分是研究函数整体性质的 ， 其中不定积分是微分的逆运算 ，定积分是一种和式的极限 ，微积分基本定理和牛顿－莱布尼茨公 式阐明了微分学和积分学的内在联系 ，换元法和分部积分法是计算不定积分和定积分的两种主 要方法，微元法是用定积分解决几何、物理等问题的一种常用的基本方法．一元函数积分是多元 函数积分的基础． 本章主要内容有 · (1) 不定积分与原函数的概念 ．求不定积分的两种主要方法 换元法 、分部积分法 ； (2) 定积分的概念、性质及计算方法（换元 、分部） ，变上限积分及其导数 ； (3) 反常积分的概念与计算； (4) 定积分应用（几何、物理）． 炉吐呻克｝ 定积分与不定积分是积分学的两个基本概念，计算不定积分和定积分是微积分的扯木运 符 ．是考研的一个正点，定积分应用是考研试卷中应用题考得最多的一个内容 }本章常考题型｝ （］）不定积分、定积分及反常积分的计算 ； (2) 变上限积分及其应用； (3) 用定积分计算几何、物理桩 ； (4) 一元微积分学的综合题． }如卿顷｝ 一、不定积分的计算 m 19 93 ．三（2 ) 越5 分）求］ 1－e重，归 J 斜令丘＝言＝u . 则r = In (]+ 矿），心＝ ] ：~ du ，从而 I 1.e' d-r = [ (1 ＋矿）l n (l ＋矿） ． ~d1 1 J二 u l + u' · 105 • = 2J 1nO + u2)du = 2uln(1 + 矿）- 4I ] :U2du = 2uln(1 + /,12) -4 u + 4a rctan u + C = 2.-i:· J;二－4 二＋4a rctan J了=勹-+c 曰(1 994 ，三（3) 题，5 分）求I 釭 sin 2.r + 2sin.r · 义一 斜 （方法－） 原式＝I 归 2s i n 立: (cos 又＋1) l d( 了 =— ) 4 I S t n 王 3 工 2 COS — 2 ＝订小a n 亨＝上f ~d tan 土 4J X,X 4.l. 2 tan -=-- COS" --=-- 2 2 t a n 一2 ＝由ta n 2 号＋¼I n I ta n 号＋C （方法二） 原式＝I d~t SIn .rd.r 2sm.1(cos.1 + l) = I 2(l - cos气）(cos.r + 1) CO5.r = ,, l j、如 1 ] (l —u) +( l + u) 一了 (l －矿）（l ＋u) =－丁 (1 －矿）（l + u ）du -—』[I (1:iu) 2 +[ l filLl2 ]=- +(- ] : U ＋告l n ~ )+c = 1 _ 上l n ~ +C 1~(1 + cos 立－） 8. . . J - cos.r 因l < ZOO l ，三题 ，6 分）求j. a rCl?rn c'cl立 一 e 奸 [ arct: n e·, dx= －十』arcta n e' d e-2 '= —乌－2·7 arctan e' -1- 甘 e－r d.::t c 2 ] + e2.r ＝－丛－2 ．r arcm n e' ＋彗 d cx 2 2 c2r ( l + e2r ) ＝－卢一2'a rc ta n e'+ + [J 产－[ 1 二］ 1 ] ] =-—e 2.,. arcta n c-' - —- — arcta n e·'+ C 2 2c'2 ] = - -;';- (c-2·' arc tan e' + e-., + arc tan e' ) + C 2 巨量2004 , 2 题 ，4 分）已知f' (e')=x c ·' ，且JO)=O ．则f (.i-) = 答哀 令( I n x) 气 斜析 （方法一 ） 令 er = ,, 则由 J1 ( e·' ) ＝．1C一．，知 · f'(I) ＝牛 f( t) = I 毕cit = f In tclln t =告（l n 1 ) 2+ C • 106 • 由 J(l ) = 0 得 ，C=O ，则 则 l j (`I) = - (l n 3) 2 2 （万法二； 等式j、' （c ·· ) = :i.·c ' 两端对 eJ 积分得 IJ.I (e·') d cJ = j ~t C- 'd c·r J (c·r ) = [t e r . e' d 1 = j, ? d,? ＝上1."2 + C 2 ] 令 e 工－ t ，则f(l) =~(Int)'+ C. 2 以下同方法一． 、定积分概念、性质及几何巷义 (1994 . 二（1) 题 ．3 分）设 1'v1 ＝『 :,,1 I1 :r, co吐rdx . N = 厂伈n五十cos ' x)d工，P = § l + 3 一 一号 厂产（父2 si卢－cos 1 .:l.今）如．则有 今 (A)N < P < M. CC)N < M < P . 答哀 D . u 斜析 由f J ( .Dd1 = JO ; 心 _ / (.:i-) d.1· = .1 寸／(.r)d.r . 。 ( 13)M < P < N. ( D) P < M < N . 当 J(.1 ）为奇函数 当们）为偶函数 ．可知 方． M = I sm3., cos ，又如= 0 亏 1 - r · N =『.(si n 3 .r + cos 1 .r)d.r = z{亏COS ; 1 Ci3· > 0 ＿勹 P = I 令 (.1.·2 si I卢－co心）d.1. = — 2J: co卢釭< 0 土' 则P O,f(x) < O , .f" 釭）＞0 . 令s , = I:J(.:t）中．S2 = f (b) (b - a) . S3 =心［f(a) + f(b)](b — a) ．则 CA) S , < S2 < 53. CB)Sz < S , < S :i . (C)S , < S1 < S2. 答孚 B . 斜析 由f(:r ）> 0 , J'(.r) < 0 , /'C.r) > 0 可知曲线y = j.(.r ）如 右图 CD) S2< S3< S1. )' A , r S1 = I _((.1.-) dx 为阱线y=_( 釭），｀1 = (i ` t = I) 及工轴阳成曲边 01 a 梯形面积． Si = f(b) (b — Q) 为线段BC 与立＝ a'.1. = b 及工轴所闱矩形而积． • 107 • c b ·\· s3 1 =—[J(h) + f(u) ] ( b — u) 为线段AC 与丑－= (E r = 人1 2 b 及.r 轴围成梯形的而积如图易伤 S2 < S1 < S3 故应选(B) ． 回1 ( 1 997 ．二（3) 题 ，3 分）设F (.r) =『. 2 六e""'s in tdt ，则F (x) J (A) 为正常数 (B) 为负常妏 (C) 恒为零 ( D ) 不为常数 答卒 A . 斜析 由千 e 寸'"s in/ 为以红为周期的函数 ．则 2 亢 I = 厂e ` 、in tdt = I:" e';"' sin tdt d 厂红 为常数．也可巾—f~Zc c"'"sin lei( = e"n(.r+Zs) s in 釭＋2妢－egn.r si n 几．== 0 ，则 I 兰C. d工 ， I = / (0) = J:0c""'sin tell =- 『它“' dcos l 。 =- cos I C叩， I: -1--I:, COS2 te”“[ dl = I.2, COS2 1e`III I dl > 0 .J 0 则 ／为正＇常数，故应选(A) . 区量(2007 , 3 题，11 分）如图所示 ，连续函数y=J釭）在区间[— 3,-2] , [2 , 3] 上的图形分 别是直径为 1 的上、下半圆周在区间[- 2 . 0] , [0 ,2 ] 上的图形分别是直径为2 的下、上半圆周 ． ., 设F(x) = [f( t )d { ，则下列结论正确的是 tl 3 (A )F (3) =- - F (- 2) . 4 5 (B)F(3) = - F (2 ). 3 CC)FC- 3) = ~ F (2) . 5 (D ) F C- 3) =- ~F(- 2) . 答阜 C . 奸析 （方法— ) 四个选项中出现的F( x) 在四个点上的函数值可根据定积分的几何意 勹 A `} 义矶定． F(3) = fl j(l)d1 = 『氏）dt + 『.f. （I)d t ＝互＿f= 三 . 0 0 2 2 8 8 2 F (2) = f 八1)d1 =王 o 2 ') F ( —2) = [ 2 f( t )dt =- r一？贮f' ( t)dt = -（－李）= ; 3 F(—3 ) = ] r(t) d1 =- 。 3 则F (- 3) = ~ F( 2) ，故应选(C) . 4 。 -3 f(1)d1 = — (f- 子）＝千 • 108 • （方屯二） 巾定积分几何意义知FC 2 ) > F (3) > 0 ，排除(B) 工 又由J位）的图形可知j位）为奇函数，则F 位）= f 知）d[ 为偶函数，从而 。 F (- 3) = F(3 ) > O,F(- 2) = F(2) > 0 显然排除( I\.) 和(D) ．故选CC) . 【评注】 (1 ) 部分考生选(A ) ，可能是没注意到 -2 ro F(- 2) = [2 J(t)dt =- [/Ct)dt ＝令 -2 误以为F(— 2) = J 氏）dt =－王． 。 2' (2) 方法二简单，这里用到一个基本结论 ：设J位）是连续函数，则 f(x ) 为奇函数尹(x) = f>(t)dt 为偶函数 。 f位）为偶函数尹Cx) = f:J 0 . JI ，求r:f (.i:· - 2)d.r . 斜 令工— 2 = l, 则 d.1．＝dI. I 原式＝I一/C t )dt = [l 0 + 12) d1 + I >'di =+ - + m ( 1 2000 ，一（1) 题，3 分）］平一了心＝ 。 ”、 ¾ · 令干析 （方法—) 原式＝[ 汃二飞；二订气I.1 ． 。 令又一一 ］= sin £ .则 d .1 = COS tell , 于 」 上式＝I COS2/dt = cos2tdt= - · 王＝王 弓 2 2 4 （万，去二） 由定积分几何惹义知定积;I: 尽二心在几何尸 ] 上表示曲线y= ✓釭－工2 与？轴及直线工＝ 1 所围— l、(r 位圆而积（如 4 右图） ，则 y=J芦 『互二飞＝王 0 . 4 。 2 ·`· 【评注】 方法二主要是利用定积分的几何念义 ．常用结论有 ： 设a > O 则『五亡二了dx =于I: 迈五＝7d.r ＝干 。 肛汀(2005 ,1 7 题，11 分）如图，曲线C 的方程为y={ （心， 点(3 , 2) 是它的一个拐点 ，直线l 1 与伈分别是曲线C 在点(0 . 0) 与(3.2) 处的切线 ．其交点为(2 . 4) ．设函数f（又）具有三阶连纹 导数．计算定积分『口＋1 ）广(x)clx . 。 分析 本题要求的是幕函数与f(:r ）的高阶导数乘积的定 积分．通常的做法是用分部积分法 ．并从图中得到f( ～I) 的相关 导数值和函数值 4 ( 、 } 2 \I 0 1 1 2 3 ➔ x 斜 由点(3,2) 是仙线y= f(.1气）的拐点知广（3) = 0 , 巾千 直线k 与 l 2 分别是曲线C 在点(0 , 0) 与(3 . 2) 处的切线 ，且由图中不难看出扛线/ I 与 l 2 的斜 率分别为 2 和－2 知 ，j"(O) = 2 .f'(3) =-2 ．且由图不难行出f(O) = O,f(3) = 2 则 『『 。伲＋工）广( .1-)cl.1` = 。(.r2 +.1` )dj”(:r ) = （又2 +.r)J飞） : -『(2.r ~ 1) j飞）d.1 =- I : (21· - l )dJ＇釭）=~ (2.l．十1)J'( ｀1) 1 : - 2I: / (.r)d, =- [7 X (- 2) —2] + 2f J'(.1`) ch = l6 + 2JCx) I = 16+2<2-o) = 20. · 110 · 【评注】 本题是一道高等数学的综合题，主要考查分部积分法和导数的几何意义，与 一般题不同的是，本题中f(x) , f' 釭），广（心在相关点的值不是直接给出，而是隐含在图形 中，考生的错误主要是两种 ： (1) 有些考生误认为 y = f(x) 是三次曲线，从而假设y = ax3 + bx 2 +c工 ； (2) 由于概念不清，J'(0) , J'(3) , /'(3) 求错， m (2007, ll 题．4 分）I 2 ] I 六c-::- d .1.. = 1 .1.. 答孚 主 [ 2 令干析 （方法一） 厂卢e7 dx= －厂~e上d(±-)=—[ : d (e主）=—: e1 : + 『e奴l (+.) 1 ..!.....!. I 2 ＝－一e 了十e + e""7 2 l l l ] 令一＝ I, ,1 · = — ,dx =-了山，则 艾 f f 五 2 =- （方法二） 丘 ＿2 t __ d 、 丿 石 ( e ! I -'3 J - le ( II -Z _ ( 石 ＿2 e l ___ 1ee __ d I l I-2 f·II- 2 I c __ dt - 五 ＿2 ( e l 忖 L ­ - e ___ _ a d I- ' 仁 一 l -3 T 1,21 · f. 四、 变上限积分函数及其应用 田(1987 ，五（2) 超3 分）设j豆）为已知连续函数，I = tf J位）d工，其中~ >O ,t > O . 。 则 I 的值 (A) 依赖于 s 和I. (C) 依赖于 1 和1. ，不依赖千 1 . 答导 斜析 (B) 依赖千 s 't, x . ( D ) 依赖于 ，I ，不依赖于 t . D. 今，1 = u, 则 t clx = du, I = I; f.(I( ) du 显然 ，I 只与 ＼有关放应选( D ) . (m0 988 . .::- (3) M , 3 ~) ~f(x) l::itE~1?fi'!&,£1J' T -1 1 988 ．二（3) 题，3 分）设j.（工）是连续函数，且］ 八t) d t = X ，则f( 7) = 。 ．又'3 （此题有误，j．（．1·) 不存在．将条件改成j J (t)dl = 3 - l . ) II 答阜 斜析 L. 12 等式r - 1f( t ) dt =义- 1 两端对工、求导得 。 3.1.: 2 .（釭· ·i - l) = l 111 上式中令孔＝ 2 得 则J( 7 ) = ~ 1 12· 12f(7) = 1 田(l990 ，二（1 ）题，3 分）设f(1.) 是连续函数，且F （立）＝『 J （l)dl ，则F＇釭）等千 (A) - e一·J (e一r ) - f(x). CC)e-r J (e - r ) — j. （心． CB) - e 一勹(e_ ,. ) + j 位）． (D)e- x f(e- x 〉十／釭） ． 答哀 斜析 A. F'(:r) = f < c-r) (— e- r) - j 釭）=- c ·-'f(e-.r ) －J(x) ，故选(A) ． 肛卧1 993 ，一（l ）题 ． 分）函数F位）＝［P －卢如＞0) 的单调减少区间为 . 答哀 斜析 (o 分） 由F （立）= ［飞飞）dt . Cx > o) 可知 F1 (义: ) = 2 - — 1 石 （工＞0) 1 由此可知，当O·f t,_, ＝显~o[幻． J (1) dl = li m f 符）Ax A.r-.o Ax （积分中值定理） = limf (~) 心－．0 其中5 介千又与X 十心立＾之间， 由 l imj 炵）= f位）可知，函数F 位）在几处可导．且F'(x) = f(x) . 心－．0 (IJ ）（方法一） 由于对任意的立｀，有 义＋2 c'cx+ 2) =［寸 f ( t ) d t — (x+z)f:J、（t) cit = 『勹、( I ) cit ; ＠因为 G' 釭）以 2 为周期 ．则GG) 也以 2 力周期． • I I 11 • 五、与定积分有关的证明题 (19 98 ，九题 ．6 分）设y =．f(l.) 址区间[ o . l ] 上的杆一非负迕级函数 (1) 试证存在 ．ro E (O . l) ．使得在区间[ 0 . l.o] 上以I.(l, ））为高的矩形曲积等千在区间［义。 ，1 ] 上以y = JC.1.) 为曲边的曲边梯形面积． 2/(.r) ( 2) 又设j釭）在区间(0 , 1) 内可导 ．LI j'G) >－二—— ．证明（l) 中的 l. 。是1府一的． 证喝 （方法一 I (l ) 设F( .l ）= `tj..l,.j (t)dI · 则F( O ) = F(l) =O . 目 F'Cx) = rf(t)clt -.r/C .d 对F ( ｀r) 在[0, 1 ] 上应用罗尔定理知 ．存在一点U E (O . l) ．使F 1 Cr" ) = O. I且而 I' .j (J) d t 一 ．t(J J.(`1,, ) = 0 即矩阵面积五f( ．2。)等千曲边梯形而积I ' j( 飞·)d .1. . (2) 设卢）= I:J (t )dt －汀（x) 厕当.r E C O . l) 时．有 中'( 、r ) =— f (.r ) —f(J·) - .rf'(.r) < 0 所以 ．cp釭）在区间CO . l ) 上虾 i/hj 减少｀故此时( l ) 中的？，；足咐一的 （方法二） （l) 设在区间(u ` 1) （" 娑+)内取m 若在区间[ .r 1 . l ] 上 ．们）== 0 则( 、r1 . 1) 内任一点都可作为扣 ．否则可设j. （金曰＞0 为连续函数j（飞）在区间［飞， ． l ] 上的最大值 、1. : E [.TI •] ]. 在区间[O . .1.· 1] ..L ．仵辅助函数cpC.1·) = J'.f (t )d t - .rf( .r) ，则cp(1) 连续且cpCO) > 0 汉 卢）＝[ f(1)clt 一｀rz/C.r2 ) ~ ( I - 2心入／( 1"2) < 0 因而，巾闭区间上的迕续函数的介伯定理 ．存有人，、飞凸E (0 今.I , ) C ( 0 . 1) ．使叭？．［））＝o . 即 r:.f( 1 )d t = ．飞,, f(.r ,, ) (2) 证法同上． 『 Ill (2000 . 九题，6 分）设函数j (l) h [ 0 ，六J I习．迕纹，「I. I / (.r) dx = 0 , I / C:r) cos 扛td1 = 』 o . 试证：在（0 ，心内至少存在两个不同的，点$,心，使丿（名）= ((&) = 0. 社d月 （方法一） 令F(.r) = I ,』，I< I) dt 畴。~ .r ~ IT • 则有F (O) = O ,F 丘）= 0. 又因为 0 = J : /(.r) cos.nh· = J: co 、(dF(1) 。 = F (x)cos.r I 冗+] 斤F (.1·) 、i n . rd . 1 , l ,) = J:FC.:i-)sin x d.:i ,/ 0 • 117 • = rcF 化）sin E; 又 s in E; * 0 ．则F 伶）＝ 0 . 由此可得 F (O) = F 炵）= F ( 1C) = 0 (0 < C < 刓 再对F （立在［0 ，令］，［乞叶上用罗尔定理知 ，至少存在8 E (0 , :) ．名 E (:，动，使 F'(E; 1) = F '(~z) = 0 (0 < ~ < 刓 即f （名）= f伶）= 0. (.JJ 法一 ｀ 由积分中值定理知 0 = j勹(x) 心＝订伶） () (0< 令1 < 亢） 则j （名）＝ 0 . 若在( 0 . 7'() 内［位）= 0 仅有—个实根工＝名 · 则叫JC.r)dx = 0 可知，j釭）存( 0 ，名）与 （名，动异号．不妨设在(0, :1) 内 JC.r) > 0 在（名 ，六）内 'f(x) < 0 ，于是再由 『f釭）cos xdx = 0 及cos 立在[O ，式上的单调性知 O= 『卢）（cos X - cos (I )d工 = f :, f(x) (cos x - cos €;1) dx - J: 卢）( cos .1· - cos t:1) d.1 由千这里I：贮）（cos 又－cos ¢1)中＞0 .『f(.T) (CJOe: .1· - COS 名）如＞0 . 上式左右两端矛盾． 从而可知，在( 0 ．亢）内除¢1 外 ．f釭）= 0 至少还有另一实根七故知存在8 心E (O . 六) fl．名＃ 令 · 使/(¢1) = J年）= 0. _ 丿、、反常积分的效散性与计算 (2002 ．一（1) 题，3 分）［ ` d.t= , . 工In二r 答孚 斜析 1. 1 ,, 1 I -气 已din 贮1 ＝一二 l c = 1 d工 ｀ 几· l n五＝．［ (· 十 仁 f· 七、 定积分的应用 (1987 ．一（3) 题 ．3 分）由曲线y = In 工与两直线y=(e + l)-.1 及y=O 所围成的 y 平面图形的面积是 . 3 2 · 答泉 斜析 所伟l 平面图形如右图所示 ．所求面积为 S= 『I n ..l也十］CI l [( e + l) －叶d.r =立2 118 • . 互 2 。 Y` ·1 或S = [ [ Cc + 1) - y - e]dy = — 3 。 2· (1988 ，九题，9 分）设函数f釭）打区间[ {./,b] 上连续，且在(a .b) 内有j.，口）> 0. ·iii:: 明 ：在( a,b) 内存在唯一的令使朋线y = f(:r · ) 与肋直线y = J（兮，.1: = a 所围平面图形面积S1 是曲线y=f釭）与两直线y = f(~)':r = I) 所围平面图形面积S , 的 3 倍 证吗 先证存在性 ：在[a,b] 内任取一点 1 （如右图），令 FU ) = r [J( 1) - f口）］中－3『，［卢）— j( t) ] d 1 = ( t - a)J (t) - I af0)d.1 - 3I:J (1)d.:1 + 3( h - i)J ( l.) 由于J位）在[ a ,b ] 上连续，且在(a,b) 内['(丑) > 0, 则F ( 义.）在[ a,b ] 上连续且f((i) < JU) < j( b ) 釭E(a ,b) ），则 • I, F(a) = - 3 r: / (:;_·) d.1 + 3 (b - a) f (a) < 0 /(,)I-~ ' 1 1 n t b y 。 r F (b) = (b －砬f(b) —『if(.1. ）dx > o 由连续函数零点定理知 ，存在$ E Ca ./J) ，使 F ( $) = O 下面证明啡一性 ：由于 F' (t) = f Ct) + (I - a) / (/ ) - I (t) + 3 I (I) - 3 I (I) + 3 (h - L) / (I) = [C i - a) + 3(b- 1)]/ (1) > O 则F (t) 在(a . b) 内单调增加 ．因此，在(a . b) 内只有一个5 ｀使 F 符）＝0 ，即S 1 = 3S2 ( 1 993 ．二（2) 题 ．3 分）双纽线(I 2 + y 2); =（－y2 所围成的区域而积可用定积分表 示为 (A)2厂cos 20d8. 。 答发 A. 令干析 图 ．其极坐标方程为 T (B) 4 1 cos 20d0. 。 ，手 ( C) 2j``d0. 。 由双纽线方程知 ．其图形关于x 轴和y 轴都对称．如右 CD) 上『(cos 28) 气18. 2 。 y x r2 = cos 2() 其在第一象限0 的变化范闱为0 冬0 冬王．则其在第一象限所闱图形而积为 S , = ½J: r2 dO ＝上『co、20cl0 2 。 2 。 由对称性知 ．总面积为 ·f S = 4S1 = 2 l . cos 20cl0 。 故应选(A) ． ~• (19 96 ．三（l ）题 ．5 分）求心形线 r = u(1 cos 0) 的全长 ．其中 /1 > 0 是常数 斜 r'(0) =— usin 0. • 119 • 小＝心2..L ，., 2 clO =a ✓(1 + co... 0): I ( — 、in 0) 气lO 。 =2(1co~ 丁 dO 2 巾对称件可知，所求心形线全长为 1· = 2 『2a I cos.!!_dO = 1\a 『CO、.!!_ clO = 8a . 。 2 . ，） 2 困( 19 99 ，七题 ，6 分）为清除井底的污泥．川缆绳将抓斗放入井底， 抓起污泥后提出井口（见图） ．巳知井深30 m ，抓斗 I, I 币 11 00 凡缆绳篇米重 50 N ．抓斗抓起的污泥皿2000 N ，提升速度为 3 m/ S, {f提升过程中，污泥 以 2 0 N 八的速率从抓斗缝隙中漏掉 ．现将抓起污泥的抓斗捉升至井门，问 克服项力＇盂做多少焦耳的功？ （说明 ：(D l N X l m = l J ：其中m . \1 . s .J 分别表示米 ．牛顿 ．秒 ．焦耳． ＠抓斗的韵度及位于升口上方的缆绳长度忽略不计． ） 矫 （方法一 ， 作J轴如图所示 ．将抓起污泥的抓斗提升到升口所作功 W = W , + W:+ W , 30 x+dr 其中咒是克服抓斗自重做的功 ；W 2 是克服缆绳业力做的功：W 3 是提出污泥所做的功 ．山1世怼 知 叭 ＝{00 X 30 = 12000 clW1 = 50(30 - .r)d.1 劝 从而 W2 = r 50(30 —d clx = 22 500 在时间间隔[ 1 , t + dt ] 内提升污泥所做的功为clW :, = 3 (2000 —20t)dt , 咒＝[ “, 3(2000 —201)ell = 57000 则共盂作功 W = 昭＋咒＋昭 ＝ 12000 - 22 500 + 57000 = 91500(J) （方法二） 以时间 1 为积分变扭 ．在时间间隔[ t . I + cit ] 内克服正力所做的功为 clW = [ 400 + (30 - 31) 50 一(2000 - 20t )]3dt W = 『。[400 + (30 —3t) 50-t ( 2000 —201) ]3O) ，汽锤第一次击打将桩打进地下a(m) ．根据设计方案，要求汽锤每次击打桩 时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数r(O < r < l) ．间： (1) 汽锤击打桩3 次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m 表示长度单位米） 稀 (1) 建立坐标系，地面作为坐标原点，向下方向为x 轴的正向．设第n 次打击后，桩被 打下立，第n 次打击时，汽锤所做的功为W.(n = 1,2, …）．由题设知，当桩被打进地下的深度 为x 时，土层对桩的阻力大小为妇，所以 W1 = J:'kxd工＝令对 (x1 = a) W2= 『kx如＝上（式一对） 2 叨＝『kxd工＝生国－式） 2 k 所以，W1+W产咒＝—式，又W.1 = rW2 = r2 叨，因此 2 k k -工i = ( l +r ＋产）W1 = O+r+r2) — a2 2 2 于是 (2) 由归纳法知 工1 = ✓1 + r+ r2a 工，，＝✓1 + r+ r2 +…＋~a= ｀了 a lim:rn= 几·, - J卢 • 121 • 第四章 向橇代数和空间解析儿何 炉…甲 本章内容只在硕士研究生入学考试数学试题数学一中要求．此部分考题较少，但并非该内容 不重要，在考试复习中也要重视这方面的内容． 炉竺呻点｝ 单独出题的可能性较小，即使出题也多为选择题或填空题，试题难度不大．但多元函数微 分学在几何中的应用、重积分、曲线和曲面积分的题目有许多涉及空间解析儿何．主要要掌握 向批的概念、运算及其运算性质，会求各种形式的直线及平面方程，特别是要记住常见的几种 曲面方程以及它们在各坐标面上的投影． 仁五归症｝ 一、向量运算 匮量1995 ，一（3) 题，3 分）已知(a X b) • c = 2, 则［（a+b) X (b+d] • (c+a) = 畴 4. ＠抑）利用向批的运算性质计算即可． [(a+b) X (b+c)] • (c+a) = (aXb+bXb+a Xc+bXc) • (c+a) = (a X b) • c + (a X c) • c + (b X c) • c + (a X b) • a+ (a X c) • a+ (b X c) • a = (a X b) • c + (b X c) • a = 2(a X b) • c = 4. 二、直线与平面 x=l 回(l987 (1) 题，3 分）与两直线{y= －1+t及x+l ＝二产 都平行，且过 z = 2+t 原点的平面方程为 “x—y+z = 0. ＂本题主要考查直线的参数方程与标准方程、向址的向址积及平面的点法式方程． 也可以利用待定系数法，根据题中条件定出所求平面方程Ar + By + Cz + D = O 中的系数． • 122 • （方法一） 由题意知直线L』::：1+t 的方向向狱为,, ~ (0,1,1), z = 2+t 直线L2 ．工＋1 y+2 z- 1 .= = 1 2 1 的方向向批为S2 = { 1, 2, 1 }. 由千所求平面与直线L八匕都平行，所以平面的法向扯为 i j k n = s1 X s2 = IO 1 11 = {- 1, 1, - 1} 1 2 1 又因为平面过原点，故其方程为x-y+z=O. （方法二） 设所求的平面方程为Ar + By + Cz + D = o ，其过原点得D = o. 由题意 {A,B,C} 与s1,s2 均垂直，则有 {B+C = 0 ，解之得{B =- C, A+ 2B + C = o... -. - IA= C 进而所求的方程为x-y+z = 0. 匾量1989 ，二（2 ）题，3 分）已知曲面z = 4-x2-y2 上点P 处的切平面平行千平面2工十 2y+z-l=O ，则点P 的坐标是 (A)(l,-1,2). (B)(-1,1,2). (C)(l,1,2). (D)(-1,-1,2). ~ C. ＂本题考查曲面的切平面的求法以及两个平面平行的充要条件． 设切点是P(xo •Yo,z。)，则切平面的法向扯是n = {2xo,Zyo,1} ，它与平面2工＋2y+z-l = 0 的法向擞平行，故有 2x。 2y。 1 = = 2 2 1 ．由此可得：X。＝ 1, Yo = 1, Zo = 4 - X6 - Y6 = 2 ，故选 (C). X =- t+Z m(l990 ，一（I) 题，3 分）过点M(1,2, －1) 且与直线{y=3t-4 垂直的平面方程是 z=t —1 归 x-3y-z+4 = 0. 臼直线的方向向掀即为所求平面的法向撒． 由于所求平面与已知直线垂直，故所求平面的法向址为(-1,3,1} ，又知此平面过点M(l, 2,-1) ，因此平面的点法式方程为 (-l)(x-1)+3(y-2)+(z+l) =O 即x — 3y — z+4 = 0. 匡量1991 ，一（3 ）题，3 分）已知两条直线的方程是 L产产＝气＝气3,L口号＝气气 则过L) 且平行于匕的平面方程是 雀 X - 3y + Z + 2 = 0, 姊豁）根据题意，所求平面应过直线L) ，从而过直线L1 上的点(1,2,3) ，另外所求平面的 • 123 • 法向盐n 与已知直线L1 与L2 的方向向抵都垂直，从而可取 i j k n = 11 O - 11 = i - 3j + k 2 1 1 千是所求平面方程为(x-1)-3(y-2)+(z-3) = 0 ，即工一3y+z+2 = 0. 图量1992 ，二（3 ）题，3 分）在曲线x=t,y=-t2,z=t3 的所有切线中，与平面x+2y+z= 4 平行的切线 (A) 只有 1 条 (C) 至少有3 条 二：l用曲线的切线的方向向盐与平面的法向批垂直． 所给曲线上对应千t 值点处的切线的方向向扯为{ 1, - 2t'3t2} ，若要求该切线与已知平面 (B) 只有2 条 (D) 不存在 平行，则有{1, — 2t,3t2} • {1,2,1} = 0 ，即 1 - 4t + 3t2 = 0 解得t1 =— 1 3 山＝ 1 ．因此，正确选项是(B). 回(1993 ，二（3 ）题，3 分）设有直线L1 ：王二l ＝江兰＝气这与L2:{x-y=6, 1 -2 则L1 2y+z = 3, 与匕的夹角为 (A) 工 6 (B) 工． 4 (C) 王． 3 (D) 工． 2 二C．需求两条直线的方向向猛的夹角直线L, 的方向向拭是sl= {1. - 2,1} . 直线L 的方向向量是 i j k Sz = 11 -1 0 I=-i- j + 2k 0 2 1 从而直线L1 与匕的夹角p 的余弦为 cos

= o CD 1 E = 2( y - 21人）- 4 ( t - 2y ) ＋入(- 2y + t ) = 0 @ F ~ = 75 —.12 —y'-!- xy = 0 @ CD 与＠相加得(x + y)(2 －入）= 0 ．所以x+y=O 或入＝ 2 . 业入＝2 时 ，由CD 或＠皆可得y =.T • 代人＠韶得可能的条付极俏点为 1气(- 5 岛，－5 岛）， • 13,1 • 凡( 5 瓦，5 岛）． 当x+y=O 时，由＠佃得可能的条件极值点为P , ( 5 , - 5) ,J气 ( - 5 , 5 ) . 由于f(P 1 ) = f( P 2) = 150 , / (?3) = .f( P 1) = 4 50 , 所以点P : 1 ( 5 . - 5) 或P .1( — 5 , 5) 可 作为禁登的起点 【评注】 此题看上去是一个实际问题，其实题中已明确是求解一个数学问题， 匠，（2003 ，二（3) 题，4 分）已知函数J亿y ) 在点(O . O) 的某个邻域内连续．国mJ位，y) 一¥= .r-.o (1.2 + y2)2 v·• O 1 ，则 （A) 点(0 , 0) 不是f(x , y) 的极值点 ． (B) 点(0, 0 ) 是J （x,y) 的极大值点． （C) 点(0 , 0 ) 是J丘，y) 的极小值点． ( D) 根据所给条件无法判断点(0,0) 是否为J飞.1· ,y ) 的极值点． 畔 A 牲由巳知得f(O . O) =O ，因此点(0,0) 是否为j(1 , y) 的极俏，关键看在点(0 . 0) 的充 分小的邻域内f (.1.·, y) 是恒大于零、恒小于零还是变号． 由l im f釭 ，y ) - xy X-.o (x2 + y2) 2 l 知，分子的极限必为零，从而有f(O . O) = 0 ，且J C.r , y) - xy ~ ，于0 （正十y了（卫 I , I 外充分小时），于是 f(x ,y) - f(O , O) ：：：：：：：：.ry + （尸＋y 2)2 可见当y=x 且 I 工 I 充分小时 ，J．( J , y) - J.( 0 `0) :::::::: 1 ' + 4.1 ' > 0 ；而当y = -x 且 I .x、 I 充 分小时J 釭，y) - f(O 心）::::::::- x2 + 4.r1 < 0 . 故点(O . O) 不是j (?_ ．y) 的极值点 ，应选( A) 【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数极值的概念．有一定难度． 回( 2 004 , 19 题，12 分）设之＝ 之（工y) 是由义2 - 6xy + 1 0 y2 - 2严— 之2 + 18 = 0 确定 的函数，求乏＝z （立y) 的极值点和极值． 归可能极值点是两个一阶偏导数为零的点 ．先求出一阶偏导，再令其为零确定极值 点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极侦． ＠因为 x2 - 6.ry + l 0y2 - Zy之－召十 ］8 = 0 ．所以 纭－6y-2y 昙— 2之卢＝0 - 6 又．十20y - 2 之－2 ．y 飞－2之飞＝0 今 oo ____ 三 x z ~ - y 33a3 ,Y. 得｛ .1· 一3y = 0 , - 3.r + l Oy- 之＝0 933 - -- 导 41 可 ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ , O r y 文 __{\ 8 . 1 . 十 或 2 之 ', 之 933 y 2 _ __ ____ 2 x y 乏 ) r 丿 ＼ 。 1 + y x 6 3 y ． 工 3y 入 飞 __ __ ,1 式 工 之 ,', 上 将 故 • 135 • 沪之 — 2 之 ＝0 a兀2 再对上述两个一阶偏导数的式子求偏导数得 护之 叔 2 2 - 2y ~ - 2 信） 所以 6-2 孔；沪z 3 之。之 — — — — 2y — 2 — · — — 2 之三三＝0 a 义： a.1Jy ay a 工 3 工Jy 20 - 2 吐妇 0五心 2 a 五 — 冗— 2 万— 2y 可— 2 （冗）— 2飞尸° =上,B=~五 I (9 .J .3 ) =- ½,c = ~五 5 6 3或; I (9 .J .3 ) ＝— 了，C= 可 I (9 . 3 -3 > =了 3 9 , z z 弓 a3 __ A 故AC — B2 =—>釭又A =+>o ，从而点(9 , 3) 是忒my）的极小值点，极小俏为忒9, 3 ) = 3. 3 6 6 类似地，由 A = i气 ＝二，B = i三 I {-9 . - 3 .- 3 ) = 上,C = 勹＝—立 Jx2 I <- 9 .-3 .- 3, 6,~ iJxiJy I <-9 ．一3 - 3 ) 2 3y 2 (-9 -3 . - 3) 3 可知AC — B 2 = ~>O ．又A =—— < 0 ，从而点(— 趴— 3) 是汃义，y ) 的极大值点 ．极大值为 3 6 6 忒－ 9 , - 3) = - 3 【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意 x,y ,z 满足原方程． 回(2006, 10 题．4 分）设f(x . y) 与中Cr ,y ) 均为可微函数· 且叭（工，y) -::;f::. 0 ，已知(.1·o , Yo) 是J(x,y) 在约束条件中(1 · y) = 0 下的一个极值点 ．下列选项正确的是 ( A ) 若f; （立o · Yo) = 0 , 则j~ (.1,o · Yo) = 0 (B) 若j: （'.lo , Y o ) = 0 ，则f; 位。心0 ) -::;f:. 0 （C) 若J;(x o , Y o )-::f::.0 ，则f｀1 (.:i、o ,Y o ) = 0. ( D ) 若f：位。 ，Y o ) -::;f::. 0 ，则J;. (x o •Yo) -::;f::. 0. 钮 扫作拉格朗日函数F(.1 ，y ，入）= j、（x . y) ＋入中（x , y) ．并记对应．1、o , Y o 的参数入的值为 入。 ．则 D. ｛贮(xU ，劝，入。）= 0 , 即｛［：釭。 ．Y o ) ＋入。妒（几．0 ，Yo ) = 0 F'. 丘。少，入。）= 0 , J } （五 ，Y o ) 十入。邑（五，Yo ) = 0 消去入。 · 得 f：炉，Yo ) 邑位。，．Yo ) - J;. （工，l ｀Y o ) 沪（巧 ，Y o ) = 0 整理得f ' ( 1 工 X 。 . Y o )= , 傥· 丘 ，Y o ) f', （工o · Y o ) 沪（、环 ，Y o ) （因为忍(x , y) -=I=- 0) . 若f: （工。 呵Y o ) =I= 0 ，则f:＇釭。 ．y。) # 0 ．故选(D) 【评注】 本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法． 厄日（200 7 . 17 超11 分）求函数f妇．y) =义_2 +2y2 _ 工2 y2 在区域D= ｛（工. y) I 工2+ y2 ~ 4 . y 娑0 } 上的最大值和最小值． 归木题求二元函数在闭区域的最值．先求出函数在区域内的驻点，然后比较驻点的 函数值和边界上的极值 ．则最大者为最大值 ，最小者为最小值 ＠函数在区域D= ｛(父. y) I x = + y 2 < 4 . y > o } 内的驻点． 136 • { j ,＇＝ 2.t — 2矿＝0 八 ＝ ,J y - 2.r1 y = 0 ffl.（f得{ .1.~ ＝土疫，相应的函数值f （士立1) = 2. y= l 函数在边界y = 0(-2 ~ .1. ~ 2) . f(.i- , 0) ＝产 ，一2 ~ .:z、~ 2 最大值f （土2 . 0) = 4 ．最小值f(O , O) = 0. 函数在边界 .:r 2 + .)'2 = 4 、y > O ，作拉格朗日函数 L (my ．入）= r ; + 2.),, _ .r2 y2 －入(l 2 + y 2 _ ll) ;;L —= 2工－2工沪＋2尥= 0 a 心r JL —= 4y - 2x2 y a Y 3L — = 1: 3 入 2入y = 0 . f1I(｛衔『r = 工/／或1 :: ~ y = 厂· ．y = 2. \ I 2 y: - 4 = O, 雇五言）＝f,f(0 . 2) = 8. 比较以上函数值，可得函数在区域D 上的垃大伯为 8 ，蚊小值为 0. 【评注】 多元函数的最值问题，一般都用拉格朗日乘数法解决．利用拉格朗日乘数法 确定目标函数的可能极值点后，不必一一检验它们是否为极值点，只要比较目标函数在这些 点处的值，最大者为最大值，最小者为最小值．但当只有唯一的可能极值点时，目标函数在这 点处必取到最值，究竞是最大值还是最小值需根据问题的实际意义判定． 因(2008,17 题，11 分）巳知iIII 线C : ( .l2 + ）产－2::::2 = 0 , 求曲线C 距工．Oy 面最远和最近 .1.· + y + 3:::: = 5 , 的点． 雹行）点（工，y , z) 到式）y 平面的距离为 1 叶，故求C 上距肉幻y 面鼓远点和最近点的坐标， 等价于求函数H =z2 在条件立2 + y2 - 2 之2 =0 与 J· 十y + 3z = 5 下的品大值点和最小值点． 斜）设P （x, y ．心为曲线C 上的任意一点，则点P 刲 ．rOy 平面的距离为 1 之 1 ．问题转化为 求云在约束条件x 2 + y2 _ 妇＝ 0 与工＋y + 3 之＝ 5 下的蚊值点．令拉格朗日函数为 F ( 义,y ，之· 入，µ. )=之2 ＋入（x 2 + y 2 _ z:::2) + µ. (立+ y + 3 之－5) 解方程组 贮 ＝ 2 沁. + 1.1. = 0 尺＝ 2 入y + µ =O 贮＝ 2 之－4 入：：：+ 3µ = 0 贮＝．1· 2 + y2 - 2 之2=0 旯＝ ．t· 十y + 3z - 5 = 0 由前两个式子得x=y ，从而｛红－2云三° ．得可能极值点 ： 2.r + 3 之＝ 3 lll ___ ___ 工 y u , V 、 或 { ~一： = ：一： • 137 • 根据几何总义 ．仙线( , L 存任i祀商t() v l Ill 最远，I. ，、和最近．炽 ．故所求，贞依次为(— 5 . — S . S) 禾I I ( I. 1 .1 J. 【评注】 本羡 .r 查在两个约束条件｛沪丘y . ;::; ）= 0 ，下的函数u=.f(x . y , ;::; ）的条件极 心位．y , ;::; ）= 0 位问L 可裘拟炖构造拉格朗日函数 F(x,y 文·入．I). ）＝f(x . y . 心十入中釭，Y · ：：）＋呻位．y ．之） 解出可能极值点后 ．直接代入目标函数计算函数值再比较大小确定相应的极值（或最值）即可． 三、反问题 m : 11 = .r — (1996 四（2) 题 ．6 分）戊变换 1 2y "''"~-~" n.f-~,,!'-:::,r-::: " ''-'•"'-"'' .r -~ \ 可把方干早6 彗尸二—二＝（）化简为＇ = u = I _l CIV () t J ,) l ()`\' ,7`\'. ()II心 0 ．求常数(/ . II= _1_· - 2y , （！变换｛ 下 · : I l「石作是通过I/ 心｛矗千！· v 的复合丙数．旧复合团数 飞I =.r -- ( 1'\' 分析 求导法则 ．将：：：义千r . ·'的谝导奻轧化为：：义丁u . u 的偏导数 ．从1(1i 将：：：人］－l · \, l](J （hni 计数）丿 程转化为：：关于 II . V 的偏导数方行 ．进曲水出 (1 的仇 斜 竺＝空钮＋竺竺＝主＿少 a 1 (1 11 () 1 (1 ?f a l (1 i/ ( )11 (l : a::: r) u r) 之，压，）：：： r1;;: -- = - ------- =-? --+ (I - 办 3 U ()-\'() V,)-\'r)II () ( I 千：：矿：：：r1l / f) ::: r) 飞I (} ::: r) 1/ 3 ：：：归 a.c au 一 心－ a l/3,('() { （？词II (1 t r) ?1: () t ，）一：：： (}2 : r) ? : = :_:____:: - 2 - — ·— () II- () 1/ ，凡，）飞1- () ::: ＝＇）一 ：：： r ）1/ －立江二一二（江—上三凸 心')`\＇ a l/ 、心，）1/ () 1' ,) \` （）飞＇（）l/ () ＼＇，）订() \ () 一下::: 千::: ,} : ::: =- 2 :_:____:: - (u — 2) －一 ' (i — al/ () 11a {I,} 71i a－之（）2 .:: (1 1/ （）口 ：：： ，) tI a ., ::: (] 1/ a 之 ().u 汃＝－2( 了冗一小心冗）－ u （（芦冗言冗） ,) 血 ：：： ()·.:: =I -－:_十 ( 1 -, () ·, ::: ', () II - () 1/r} T'r? u 因此代人原力程 ．月整现得 () ::: (? ::: (]（) 一切） 一(6--u — ,r) —= （） (] 1/a ·U () 7/- 由题意 6 - u - u : = 0 . l ( ）一;)(/ = () ． 韶得(/ = ::l . ［评注】 本题还可把中看作是递过x,y 依赖于“'v 的复合函数．』1 =气宁｀ y= -u+v (l + 2 护之 3五 护之 0 出发，利用 6 —— + - -- = 0 也可得到结果 扣2 ' J辽Y a.}'2 138 · 等式 回(2006 . 18 题．12 分）设困数I( u ) 在(0 ，十= )内具有二阶导数． 1－| 之= j(J了丁了了）拙足 (1) 验证/'(11) + r'( u ) = 0 : ll a"::: f.::: — +--c= O a 1 ; a.）产 ( lI ) 若f(1) = 0 . / (1) = 1 ，永函数j(u) 的表达式 a 气护：：：： a 2 ：：：：千：：：： 分，荷利用复合函数偏导数计犹方法求出 .) ' ——代入- - +—= 0 即可得( J) ．按＇，胖 ~ •2,.,,, ,,= ,_, -~·"",.., ., =. , .,,- ,,,~,-.- .. . ax' " a.)1 2 加·2 3y J 规方法解(II ）即可． 斜 ( T ) 设 l( = ✓｀广十.) ` :! .则 a 之 f'(u) _i· a之．y —= , — = / ( u ) 心二3.) ， 石 , , 三— 立｀～ ✓｀（ 心：l y: 3~:::: JI .1. -1` f'( u } • ~= 厂丁了 ． 一＋I＇(u) l 2 _I- y 2 ,, " 义- - =j ( ll } • .r' + y' - J' ( ll) • (:r 2..L y ' } ➔ 护之 JI '2 — , .f (u) · , ·) ? + ['( i1) • 3 v 心:i ·', ··, .r'+ y 。 ( ．t· 2 + ．y 个 ）- ，令 " .I ) ~ :::: a~:::: 3: :::: + a, :::: 将沪·万了代入万 冗＝0 ＇H }“(u) + f ( u . 1寸 l l p dp ( II ) 令J'( 11 ) = p. 则 I）, - - = 0⇒—=－— d11 u p u ．讷边积分得 ln /J =- In u - In Ci C 即 p ='::::..J.. ．亦即J'(u) = —. CI I I I I 巾j、, (]) = l 可得Ci= 1 所以小j,1(u) = ： ．两边积分得／（u ）= ln II -~ C 2 . 巾JC l ) = o 可得贮＝ 0 . 故f(u) = In u. 【评注】 本题为基础题型 ．看重考查多元复合函数偏导数的计算及可降阶方程的求解 四、求方向导数与梯度 厄卧1989 . 一（4) 题 ．3 分）向址场II (1 · ·v ．之）＝．r心＋ye 二j 妇ln (l 三）k fl,从P( I . 1. O) 处 的散度div 11 = 答孚 2. 令干析 向屈场u = Pi + Qj ...L Rk 在点(.1 · Y , ：：：：)处的散度 dIV I, = -JP a.1 aQ , aR -+- 炒 （）：：：：． 本题中 P=.1.)产 ．Q = yc" . R =.r ln(l + :::: ' ) ，则 div II I, 1.1.0, ap (KQ 3R = (— +—+-)| = 心.. J Y . a 之 (J . l . 11) (.v2 + c'+ 2.r:::: l + ::::~ ) I = 2 139 • 脏卧1991 ，三（2 ）题，5 分）设n 是曲面2工2 + 3y2 + zz = 6 在点PO, 1, 1) 处的指向外侧 的法向盘，求函数u= ✓6工2 +8y2 在点P 处沿方向n 的方向导数． ＂先求出单位法向蓝 n 冗T = { cos a, cos f3, cos y} ，则u 在点P 处沿方向n 的方向导数 有公式气 ＝叫 cos a ＋气 cos /3 ＋气 cosy. an IP ax IP --- - · Jy IP ---,.. · az IP 够）设F(x,y,z) = 2丘＋3y2 + z2 - 6 ，则 F:= 4x,F:= 6y,F'乒＝2z 因此过点P0,1,1) 处的指向外侧的法向批为n={4,6,2} ，单位化得 n =—- 1 F「江 { 2,3, 1}. 又气＝ 6x| ＝上，气＝ 8y | ＝主 ax IP z ✓釭＋8y2 p 八办，， z ✓釭＋8y2 p 尽 岊Ip ＝一军Ip=-./IT 千是有 au 6 2 8 —| =— x —+- X 3 —- J百x 1 11 an IP 尽 ./IT'./IT"./IT,---· ✓可 7 四(1992 ，一（2 ）题，3 分）函数u = ln(x2 寸＋夕）在点M0,2,-2) 处的梯度gradu| = M ~ ¾{1,2,-2}. ＂直接根据梯度公式grad u ＝妞i+ 钮j 钮 a£ · ay" · az + k 计算即可． 因为 au 2x au 2v · au 2z = = 2y = ax - x2 + y2 ＋牙＇ay-x2~'az 丑＋y2 +z2 千是有 grad ulM = 2.. 4. i+ 4. 2 —一一— k = - { 1, 2. - 2 } M J 9 9 9 9 因量1993 ，一（4) 题，3 分）设数量场u = In ✓X2+y2+z2 ，则div(grad u) = _. 嘟丘＋y2+z2. 鳍 div(grad u) ＝点（皂）＋点（皂）＋卢（皂） ＝生气生十五 a 工2'ayz'az2 au 工 3u au z = = y = a工工2 +y2 十夕'3y 工2 +y2 +z2'aZ 工2 +y2 +z2 立＝ y2+z2 ＿工2, 立＝工2+§-y2 立＝玉＋y2_z2 ax2 伲＋y2 +z宁 oy2 - (x2+;.z-~·a工2 (x2 +y2 ＋牙）2 而 故 div(grad u) = ~ x2 + y2 + z2 • 140 • _ ( 1 996 . 一（l) 题 ． ．3 分 ）函数 11 = ln ( .i - 2 . 2) 方向的力向导数丿J L 2 答孚 斜析 ✓§'+ ::" ) 11 ，饮八( I. 0 . I ) 处沿．r，l,I、A 指向l} (3 , 先求出单位认向 ！1 :.: 11 = ~ | .I\ B | 二{ co 、a · lO 、 (3 . C()" y } ．则 II ( I : , 1,1,1、 '＼处沿方向 ll 的 方向导数有公式 义 笭孚 斜析 因为 y `. Q c .f ·_ _3 . \ — 2-3 / D __2] I J 了 __ ,L - · B . 2_3\ 7 . . , l 』 。 __ 尸 J . ..: \ 2 -, . .2 3 凶 冗 + I I . a . 2j1 .K __ __ 0-c . \ -—. 飞 A J j a u - a 心 一 山 ___ _ 1 \ . 1 ll- 11 aa () II .v I = o 心' \ (T- ✓)产二了）二 ( __. \ 心 一 长 ai/ I () ” 回(2 001 ．一（2 ）题 ．3 分）戊，＝ :: I =— 二）二＼ 2 丁是所求的方向导数 l ? l l l = － )·、二 卜O -- －入一 ＝ - , 2 3 · 2 3 2 ✓ ? ~ - v 一一 ：：' . 则 cl iv( grad r 1 , 1 . c . _, = f 本题主婓考齐散度与梯度的混合坠符． () r 一！，． 如( grad r) ＝厉丘）－ -n 「 f l () 1 ·. 1` () 1. - =- .—= r) . { 1. () ` `. () () r 穴汇）－l \' ,} r ~ . = I- (): () () 1. 冗丘） 二 rJ I rl r 石（冗）＝ ,), I • - . 1 ·— c7.r 1.r~,) I,Jr \ l,·" " I ,Jr =— ——· - (- ) -—- - · - (—) = r - r) .1 ,) . v ,) y r r . ，I 之'):;: l -r } 一 尸 故 2-3 __ `) ＝ 二 I. di,·( grad ,-) I 3 .i- - v －一之； '= (了—一 ，~ ) （］）设某向贷场 A= PCx . y . 之) i + Q (... . y . 之) j + R （工 . y . z) k 则向岔场A 在场中的任意一主（义 . y . z) 处的散度为 div A= ~+ JP I JQ I JR -- -+— Jx . J.), a:::: ( 2) 对数埜场，作用一个梯度(g rad ) ．就得到一个向妾场 g rad r. 再对一个向泣场grad r 作用一个散度(div ) ．就得到一个数觉场 cl iv( grad r) a aI'. a 3r 3 3r ..L 护r , rl 2 r 沪r =—(—) 1 - (- )+-(-)=—+-+— 心五行办1 如归 3..l.z 'J y z ' rl 之2 【评注】 1,1 l 田（ ,2 2 2005 . 3 题 1 八）设函数u C.r . y . ::) = I ./:.::- 1 y , I . 1 刀 .Y . :: - - + - + － ．单位向桩n =~{] , 1, 1 } , 6 l2 18 点 则勹 = J n I <1.2.1, 鉴 社析 吾 3 因为心贮r Ju _ y <711 :::: 归 3 Jy 6 cJ :: 9 ·—= - · 一＝— . 千是所求方向异数为 钮 l ＝上已二己－上已｀ a n l ,1 .,.J, 3 岛- 3 岛－ 3 及－ 3 【评注】 co 本题若n = { m 中l } 非单位向注，则应先将其单位化，从而得方向余弦为： m t l a = .cos p =,COSY = ✓旷＋t2 + l2 ✓忙＋t2 + l2 ✓忙＋Li +l2 . 因(2008 . 2 题 ．1 分）函数.f(x . _v) = a r c t an 土在点(0 . l) 处的梯度等于 y (C) j. (A) i. 癹，泉 斜析 因为 (l3) - i. (D)- j. A. 直接利用公式g rad_((.£ . _v) = 3 / (1 · .y) 3 / (.?, .y) . . i + j. 加． ay 几． 叮(.1· . y) - y~ a )1 = 1 + 甘) ? = — 心飞2 : y? ? y y+ e- 1 __ 2 \ 王 y l -V:( + l __ 、 丿 y . r a 父 ( I a 千是 grad/Cr .y) I co . i> = ./1, (0 , l ) i + J 、'. CO . I )j = I , i + 0 , j = i (U , 1) 故应选(/\) . 五、多元函数微分学的几何应用 氐' (1993 ．一（2 ）愿3 分）由曲线{ 3.i·i + 2y1 = 12 绕y 轴旋转 :::: = 0 周得到的丿旋转面在点(0, ·瓦疫）处的指向外侧的单位法向狱为 . 红卢·迈，瓦｝． ＂顶）先写出旋转而的方程．再求仙面存点(0 ．杯，控）处的法向扯 仙线{ 扣· 2 + 2y2 = 12 绕y 轴旋较一周得到的旋转而为 之＝0 3(.12 +之2) + 2_v2 = 12 今 F( ．{．．y . 之) = 3( 工2 -;-之2)+2/- 12 . 则 F1, = 6.1 . F'` =,l y . F'二＝ 6 之 在点( 0 、拉＼庞）处的法向她为{O , ,I 点，6 迈－｝于是点（0 ．没＼序）处指向外侧的单位法向呈 l i 2 . 为~ { O ，迈，万｝． 石 回(1994 ，一（2 ）超3 分）曲面 z — c'+ 2 立．y = 3 在点 C 1, 2 , 0) 处的切平而方程为 鉴哀 斜析 求出切平面的法向最，利用点法式写出切平面方程． 令F釭· , y , ：：：）＝二-e'+ 2:ry - 3 , 则 P', = 2 y , F',. = 2.-r , F', = 1 — c· 在点(1 . 2,0) 处的切平而的法向址为{ J!,2,0 } ，千是点(1 , 2,o) 处的切平面方程为 4(..l — n +2 Cy - 2)=0 , 即红十y-4=0 回( ]9 97 ．四（l ) 题，6 分）设直线l: { 义＋y + b = O , 存平面II 上，而平面II 与 lIIi 面 艾十ay - 之-3 = 0 之＝．产十y2 相切于点(1,-2 . 5) ，求a,b 之值， 分荷首先利用多元函数微分学的知识容易求出曲面之＝义立＋y' 过点(1 . — 2,5) 的切平 面方程II ，而直线 l 在平面II 上，可将直线方程直接代入平面II 中．也可利用平面朱方法，找到 与II 皿合的平面，从而求出“ 山之俏． 布子 （万法—) 令F （儿，y 心）= ～甘＋y2 _之，则F'r = 23 ｀尺＝2y,F:= — l 在点(l , — 2 ' 5 ) 处曲面的法向扯为 ，l = (2, — !I , - 1) ，于是切平而方程为 2 (., — ] ) — 4(y+2) - (z - 5) = 0 2x - 4y- 乏- 5 = 0 妇＋y —4 = 0. 门 由 L : ｛1 + y + b = 0 ， 得y =-x - b. 之= .1· - 3 -I- a (-.1 - b) . x-1-ay —乏— 3 = 0 代入平面且方程，得 幻＋4.r + 4b -.1· + 3 -1- ax + ab - 5 = 0 故 5 + a = 0, 4b + ab - 2 = 0 由此韶得a= - 5 ,b =- 2 . ［方法二） 由方法一知，平而日的方程为2x — 4 y — z - 5 = 0. 过直线l: { 义＋y + b = O, 的平面束为 ~r + （/y - 之- 3 = 0 工·十y + b + 入（．1｀+ c/y - 之- 3) = 0 即 (1 ＋入）x ＋( l + CI入）y －江＋b －3入＝0 具与平面订陬合 ．要求 l ＋入 ］十（从 一入 b - 3 入 = = = 2 - 4 - 1 - 5 为 程 方 线 法 勺占 日 i ) 2 , 2 l ( 占 ~ 在 l 2 l - 2 之 3 + ” 』 y 2 + 1 面 t . 、 丿 2 一 分 3 - l b 题 5 、 丿 2 __( ” - , 。 _ 。 __ o 2 ( 入 归 m 笭凉 J — l =y + 2 =乏-2 - 4 6 斜析本题考查曲而在一点处的法线方程关键是求出法线的方向向虽，而此方向向址 恰是曲面在点(], - 2 , 2) 处的法向址 ， • 143 • 设F(x . y 心）＝儿2 + 2y ' 十3 ：：；- 2 j ．则仙而在点(],-2,2) 处的法同屈，即法线的方向向 队为 (F', . F ; . F '. 11"'·" ~ ( 2.r . 4y . 6 二｝I.. . , . ,, - (2, -s , 121 ~ 2(1. - 4,6 ) 故所求法线方程为 立·- 1 _ y + 2 ;;: - 2 2 ｀一＝．＝－— ,即1· — l = y + 2 = z —2 - 8 1 2'-, l - 4 6 . 肛日（200 ] ，二(2) 超3 分）设函数f (.r ，y) 有点(0 , 0 ) 附近有定义，且j仅0,0)=3 ，仄（O, 0) = 1 . 则 (A) clz l = 3cl.r+ dy (B) 曲面之＝J （.1 ，y) 在点( O . O , f(O . O)) 的法向且为{ 3 , 1. 1 }, ' z = J( 义. . y) (C) 曲线 ( 在点( 0 . O . f(O 心））的切向姐为｛l 心 ' 釭 `y = 0 (D ) 曲线（之＝j．（义，y) 在，，长(0 . O , f(O . O) ）的切向扯为{ 3 , 0, 1}. y= O ．句、 \ C 虹｝题设只知道一点的偏导数存在 ，但不一定可微，因此可立即排除(A) ；至于(B)' (C), (D) 则盂要通过具体的计弅才能进行区分．令F( 工,y,:::) =乏- f( 立- ,y ) ，则有 F', =- / , . F:=- J:.. F', = l 因此过点( 0 , 0 ,f (O . O) ）的法向批为工{- 3 . - 1 . 1 } ，可排除CB ) . ~ = 怕线｛～ ．m ．y) ，可表示为参数形式 ： y=O 4 方 程 y 的 ） 在 或 十 c ) } 方 ( y 1 面 x5 为 ， 面 平 2 x － 平 ． ， 切 面 ＿ ＿ 项 （ f 1 出 · 之 选 - : 5 的 飞 正 平 z { ＿ 丁 确 知 舟石 41 可 一 丁 Y 仆 ＇ i , 已 4 正 面 量 平 + 且 0 示 平 与 故 曲 向 ｝ 证 线 ＿ ＿ t J ｝ x ， 保 法 之 坐 1 其 ？ － O } l l 且 点 一 ， 能 为 一 , o O y l y 切 L 4 （ 定 换 ） ＋ 定 么 ？ － ＿ ＿ B 确 ( l 土 － ＿ 一 不 (l ) ｝ 釭 而 ＿ ＿ ＿ ＿ ． 5 m 览 口 面 只 n 亿 2 1 0 1 - 7 - 此 与 ． 一 位 ,',l. 0 可 将 平 y _ ＿ 因 試 ？ l 5寸 m 仅 数 使 与 o 工 J 函 P , - ｝ 向 一 J v } _ ＿ ) ( g y l 法 ＿ ＿ 门 I H 2 4 2 r 2 止 + I 9 , nJ - y - 工 O I 0 证 七 HF( l 立 心 而 ． 法 ＿ ＿ ＿ 5 ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ｛ 保 因 ？ i 匕 义 ， － 4 x y ~ ～ 士 有 ， 十 、 l 勺 f | Y | ＼ 定 面 ＿ ＿ 2 平 2 ( I ｛ y J － 而 ？ － 2 ＿ ＿ ) 为 卫 产 臼 钰 工 ＝ ， y 则 ＇ ＿ ＿ 平 － － 勹 r t J并 在 错 训 ］ 气 尸 切 有 x 也 （ ) 1 + y 则 2 2 飞 µ . ?-i 方 在 存 是 ) ＿ 一 向 ＿ ＿ ， i ～ f 应 为 存 处 然 分 5 1 - 线 切 数 ） 依 A ~ ～ 法 u - 1 尸 相 程 0 ) 题 丿 ） 2 方 勺 导0 J B ) － 朴 面 ～ － ． ( ？ － y 面 曲 ＿ ＿ 5 ＿ 一 面 ） 偏 - 4 平 据 ） 如 有 Y o平 ） 于 X o 项 （ 0( K ~ ～ 一 、 此 ． 切 ， 由 f 选 ＋ ` 1 5 根 ． 析 — l 0, , ( o3 勺 __ o I y n o 2 待 可 心 坐 µ ,l, 0 示 义 占 ~ 于 求; / 1 。 斤 心 注 X o1 ( ( 坐 F 切 平 ； 得 故 韶 ｀ E 豆 气 ＾ － 设 o 在 目 一 是 切 ＿ ＿ 其 牛 ｛ 程 而 u 可 • 144 • 第六章 重积分 巨… 本章考查的重点是二重积分的计算，除了掌握基本的计算方法，需注意对称性、拆分区域、 拆分函数、交换积分次序、交换积分坐标系等的应用．三重积分的考查要求较低． 丘竺粔汇｝ 由于重积分可以揉合在线、面积分中，单独对重积分的测试不是每年试题中均出现，分数 约占试卷的4% ~5% ．主要集中考查二重积分的计算，往往在被积函数和积分区域设置障碍， 因而要掌握一定的方法和技巧．另外，被积函数为抽象函数的二重积分值得关注． t竺 一、基本概念及性质 匮匾0991 ，二（4 ）题，3 分）设D 是xOy 平面上以0,1),(-1,l) 和（－1, 一1) 为顶点的 三角形区域，D1 是D 的第一象限的部分，则JJ I o < 工< 1 . 0 < y < x ) . 0 2 = { (.1: . y) I O < .:z奄< l . 1 < y < l } ．则 1 =]』cmhK•,' . ,' J.,·dy =』~e,' d.cdy jJe`：如dy /)2 = [l d ? ] .(: C' , dy +『cly te、, clx 0 J 0 y dl 2 \ ． 一 e IC `,} __ , “. 1 + 「 - d r` . d ; ". e J T e 了 ［ ( . . 2 ____ （方法二） 由于衱积函数j, （t . y) ＝矿'3 X ，仁、，·: = f(y,.:i·) ，故 l = ！［卢. y)d.nly = 2JJI<.r .y)d:r:cly I) = 2 I: d,? I。r cJ d y (J = c-1 • H6 • （方法三） 【评注】 利用极'`l§ 标系． 1 = jJ/ (.r . y) d.rdy = jJc•· dxd_v , jJ c/ d.1.dy i J I), {) 2 = J> 10 f厂c ° rdr -t J : dO 『er n 0rdr l 千 ］ ，， ＇ , ·“》、. 0 石 ＝了[u (co、2 0C I d0 + l 令 l ^' ,-,,n. 0 士 ) clO+ T ［了（了e I 。 )dO l l ~Cc - l)dO + — j子二(c - ]) d0 C05~ 0 2 于 S I n20 = +厂 | - l 宁 ＝了(e - l ) ldn 0 1 一了Cc - l ) col 8 I; = e - 1 本题的解法较多，同学们应从中理解、区别它们的优劣和繁简 二： ．一、利用区域的对称性及函数的奇偶性计算积分 巨量1 988 ．三（3) 题 ．3 分）设有空间区域几 ：．1勺'+ y' + ：：：, ~ R 2 ，之;?: 0 ；及几 ：x 2 + y' + 亏冬R 2 . X ;?: 0 . y ~ 0 ．之~ o ．则 (A),du = I`如 (C ) ］『:.::dv = · I 』『斗·u . n n. 笭哀 C . (,t"旷利用三亚积分的对称性． Q 关于岱面和忒及而对称，被积函数之关于l" · .}，均为偶函数，根据三重积分的对称性 ,clu=4]『之CIu 答案选(C) . 闷 5 d z y 仅 T } d f f l 屯 y , __ 皿 。 4 ) 勺 L c __ u~ ~ dv } y1 皿 n 1 叮 川 冗 )) 3) (( 【评注】 可看出，（A ）（B) （D) 的左边均为零 而右边不等于零． 回(2006 . 1 ii 题 ， 1 0 分）设区域D = { (.r • y) I.r' + y2 s:;; 1 心多0} . 计犹二單积分 『 1 +-ry i) l + 1 .: +.v_ d.l'dy 分析由 f· 积分Ix 域 l) 关 f.T 轴对称 ．故可先利川二正积分的对称性结论简化所求积 分 ．又因为积分区域为圆域的一部分．则将具化为极坐标系下累次积分即可 斜 积分区域D 如图所爪因为IX 域D 关丁1 轴对称 ． 函数JC.c . y) = 1 I + .rz + y' 介是变炉y 的（偶函数 函数g(_r . y) = . i. \I 1 土．r'+ y ' ．，足变l l ; y 的奇函数则 』] 一？] ＋，山dy = 2』1 + r 1 + y？如dy = 2I- d0［丁妙－勹2 147 • 。 __ y d 工 d : y c y 工 c + y?2 工 x y ++ l l 2 工 . b j+ l `. b . . __ y d 工 c 2 y xy+ + ， 工 1 + 1 fJD 故 『.［ ·1y i) 1 +｀召＋y 2 d.1·cly = 刓n 2 2 . 【评注】 只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考查被积函数 或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算， 四、分块函数积分的计算 m(2005 , 1 5 题 ，11 分）设D = {(.1\.y) I.r2 + y2 ~控- ` '.l. 多0 . y>o } , ［］＋正＋y'] 表 示不超过1 +.1 2...L ）产的最大整数计算二重积分lf.1y [ l + x2 + y勹cl .r ely . I) 首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可． 江 纣令 D1={ C-r . y) I O 冬 ~r 2 + y'< l .x ~ 0 .y ~ 0} , 则 趴＝ ｛（工 . y) I 1 ~ x 2 十），2~ 疫，又．~O . y~O} 「~-y[ l - x2 + y亨l.rdy =』.1.ydxdy + 2』工ydx dy 节也 =f。s in 0cos 0d0『rd 1 + 2『s in 0cos OclO厂户cir I l l 3 = - -—= 8 4 8 . 【评注】 对于二重积分（或三重积分）的计算问题，当被积函数为分块函数时应利用积 分的可加性分区域积分，而实际考题中，被积函数经常为隐含的分块函数，如取绝对值函数 订（工，y) | 、取极值函数max {/（工，y),g （工，y) } 以及取整函数[f(x ,y) ] 等等． 五、 交换积分次序及坐标系 回( 2 2 1 990 . 一（4) 题．3 分）积分［（如［尸｀2 dy 的值笱丁 釭主(1 - e一心）． 虹 『e王心用分部积分法 T 由千被积函数e->' 的原函数不是初吟函数 ． l I I 交换积分次厅后计弈；或令F(1 ) = （方法一） 交换积分次序 jo cl1-I: C_, dy= I: e1.)I I:,e_, d 1 = [.)IC / dy l 2 =-— e一、, 1: =上(l - c ; ) 2 - Io 2 • 148 · （万法二） 用分部积分法 令F 口）= ［亡dy , 则F1 口）=- e-r' ，且 I o d.J.. j.: c->' dy = f。[J: c-/ dy ] d工·=[工.I C- dy ] : + ].: I·c- .r d.J. . l = - ( l - e一］） 2 m ( l 995 ，三（2 ）题户 ' 5 分）设函数f位）在区间[ 0 , I ] 上连续．并设』f(x)dx = A, 求 I:d工[:卢f(y)dy . ＂二次积分转化为二蜇积分，再用二重积分的轮换对称性；或交换积分次序后将．1· ' .Y 互换 ；或考虑变限积分及凑微分法． @ （方法一） 化为二重积分 I d.r [!釭）f(y)dy =『 J位）f(y)d立．dy 二』， f(x ）归）d义．dy （方法二） 交换积分次序 上乓)．,;; 1 ·"'之, -:;: 1 0 妥．r乏 I o,:; )."( I =½［．』~ /(x)f(y)d心＋』，八．r)f(y)d.rdy 忆已．勹l os;:, ,;;; 1 n ·二y志 1 ＝向 I『 f(.r)J(y) 扣d.)I 0姿长 1 o,::; ., 冬 l = ½ J>c.r)d.r f:J(y) dy =尸 1 r 1 r1 I od-t I.r卢）f(y) dy = L dy I：卢）f(y)d.r 二[cl -1.- j.:f(3f(y) dy ] = +［I。J(x)d.r [f(y)dy + J>位）dx f:J(y)dy ] = ; [：J釭）如．[J(y) dy =巨 （万法三） 令F(x) = fJ(y)d.)＇，则F' （己1.- ）=— .f(x) I尸I:J 釭）－((y)dy = J: [1<.r) [ f(y)dy]心 =-I [ F'(.r)F(.1. ) ] d.1. 1 = —I F(.r ) dF(.1.-) = - －F飞） 。 2 。 ＝－卢[F2 (1) - F2 (0) ] = ½ F2 CO) =沪＇ 【评注】 本题从不同角度有不同的解法，其实方法三更简单一些． m( o r1- , 20 0 1 ．一（3) 题，3 分）交换二次积分的积分次序 ：［心[ f(my)d.1.. = 一I J 2 悉克 j. ：d.1. j.；-rf (.1.今. .)！）dy • 149 · I o j. 1 -` 斜析 因为 dy j. （ ，飞· Y) 扣＝— I l dy .［＿`．m . ．y)cl .r ．积分区域为 - I D = {(.1 .y) J- 1 ::(_y 冬O . l - y 冬1一冬2 } 又可将D 改写为D = { （工y) I l ::(.T ::(2 . 1 - .]_冬y 冬0 } . 于是有 『].l ` · 2 1 dy 2./ (1 . y) d 1 = - I , l cly [ l.、J一（义，y)d.l = - j d 1 I./ （又. y)cly l J 1-, =『cl .1 『 · Jc.r . y)dy l 【评注】 交换二次积分的积分次序应是常规题，但本题的一个小技巧在于工的积分下 限2 大于积分上限 1 — y ，于是按常规积分区域D = {Cx,y) I — l~y ~0,2~ 工~ l - y } 中的笫二个不等式是矛盾的，无法画出积分区域草图．这只需先交换一下积分上下限． Ill]( 2004 . 10 题．4 分）设／G ）为连纹函数．FCt ) = r cly 『贮）心侧F'(2) 等千 (A)2f(2). CB)/(2) . (C) - /(2). (D)O. （一·~ 烙沿表） B. 、＿＿ （研;虾) 先求导，再代入 t = 2 即可关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不 含有变址，． 交换积分次序 ．得 F(1) = I l dy 』\J (T·) d l = l,l [ ] .r(1) dy] 中＝』I J （工）(.r - l)d:r 千是 ，F'( I ) = IC l ) ( I - l) ，从而有 F' （2 ) ＝./（2) ．故应选CB) . 【评注］ 在应用变限积分对变岳x 求导时，应注意被积函数中不能含有变责X : ［厂:) f(t)dt]'= f[b(x) ]正）- f [a(x) ]a' （心 否则，应先通过恒等变形、变世代换和交换积分次序等将被积函数中的变量工换到积分号外 或积分限上 m ( 工 2006 , 8 题 ，4 分）设m . v ）为连续函数厕I 叫/Crcos e . rsin 0)rdr 等于 0 J 0 (A) I厂I尸I (.1.· . y) dy (C)j..0§ dyI/j. ( .J. ，y) 如， 答孚 C. y} dd )) yy ,« . 工 7 } (( 1 j 刁 』 y 2 了 。/ 厂 t 皇 一 八 ， y .d 工 dc 互 " 1 n ` 『 ·） 、 丿 BD (( ) 奸析巾题设可知积分区域D 如右图所示．显然是Y 型域．则 原式＝I: d.)II ，厂工，y) d.r. 故选(C) ． 【评注】 本题为基本题型 ，关徒是画出积分区域的图形． 。 I x • 150 • 六、三重积分的计算 国(1989 ，三（3 ）题，5 分）计算三重积分皿(x+z) 如，其中0 是由曲面z= ✓了平了与z= ✓1-x2-y2 所围成的区域． 釭注意三重积分的对称性，从被积函数和积分区域的特点，可利用球面坐标或先二 后一的积分方法 符（方法一） 由千9 关于yOz 面对称，所以皿xdv = 0而用球面坐标 皿zdv= 『可引:rcosO 时，F(1) > -=-G(t) . 六 归 (1) 先分别在球面坐标下计绊分子的三觅积分和在极坐标下计算分母的重积分． 再根据导函数F' （t) 的符号确定单调性 ；（2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助 函数，再用单调性进行证明即可． 社 (1) 因为 I d S n . 1 卢 ) c s 2 . rI ) ) , 2 . 户 ， I ( ( . JJ 1 0 、 』 10 『 j o c S,. -" d _“ 0 2 0 r . 『 · 。 c _` 2 0 .. = ) I ( F 2 I Jc 产）户d r - j;oj、（产）rd r F' (I) = 2tJ(t?[)』［0f/:~：2)：,l]: r) dr 所以在（0' 十= ) 上F'(t) > o ，故F （l ) 在（0' 十～）内单悯增加． (2) 因 亢『卢）rdr G (t) = ~ 『J （产）dr 2 2 要证明 t >O 时F(t) >..':::.... G(t) ，只需证明 1 >0 时，F(t) - ..':::....G(t) > O ，即 六六 令 炉r1) r2 dr {f( r' )d r - [j一；JC r2) rdr r > 0 g(t) = 『 .f( 产）r2 dr 『f （产）dr — [［归）rd r7 2 0 .I O L. J 0 则g'(t) = f矿）I J （产）( t - r) 2dr > 0 ，故g(t) 在(0 , += ) 内单棚增加 。 因为g(t ) 在t= O 处连续 ．所以当 l > 0 时 ．有g(t) > g(O) • 152 • | J、I~七 气 、『1 I > 0 11,j . [-'(I) 义 g ((）） — （） ．收甘，> o 11.J· . -~ (/) ') - (』｀(I) . 亢 (l . 【评注】 本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识友结合起未了．但难点是证 明(2) 中的不等式 ｀这里也可用柯西积分不等式证明 『l.I, r c.1 压(I) d, J 冬j/ ．／()) d t . 『,!!, · (.r)cl.i 在上式中取j(.1) 为J冗了了．片（.r) 力＼力（r) 即可 七、 重积分竹应用 (I (）沪） ．九匙 ．（）分）戊＇「径为k 的球仆ti 2: 的J小心（，生球 1 (1| 1 扣」当R 力（可们II 寸 ．球血 2:: (t',i'. J:k 1i1i 1J、j ，邹 I I勺 I叽1:i祁分血积最人I - \' — .:: = ( 1- ( u > 0 ) 十 ． 分析 求血积的最大怕 ,fl) J ll — · IT1 几！夕},K : 1 : h ;L合J:.K I (I I I 村订书 1勹＇丿 丿j | ；,i|；夕} !Iii 1(1j I?！｛丿 1 (1i t!! . I 月 -- A· 小妨戊球伯i :C: I门球心力(().() , (/) ．仙l 2 的力行为 I (~ — u) — R ．曲球间的父线( ~ (| l （丿v |们 I 的投影为 斜 . 』.I , '.:' = 0 f-- ` \' = ~(-lu , I (l - /(') . J tli;I !J戈仆勺VJ ，贞）、J /J " (~ll l'-'.-1>- \' C' J求仇l $ ｛| ，心球 [ il1 1 月 1们那 ，邠分的力·们为： 送郘分球血的曲积为 ll ＼／人）＇— l 飞一 —v .')( /~ ) j.|. J | i i, I.I, 1fl .I..' '\! /,, \ ,.. 1·1 / , , (,J) 1) 1 (/) (I1( l\ ' （邓——/！二－） (v~ —\ 1 —\) cl.rd.\ ／｀二 丛一 (. I / l [ \ - I (l () I R / c l l ✓!~ . 1· : \ ' .! ·'' \／I{ ＇— 广 2 刓｛ 甘I .S'(H) = ！叶《 ` ) I 亢 ') ,` ' , ( I ( )\ [ 六 | _ d )\ l _i _ ` , I< · 2 (1) )\ 1 ,I. l .• d 1, r, I T I 舍上） ． II I I s”(3 (1) — 压 0 为常数 I- - r 为质点A 与M 之间的距离），质点M 沿曲线y= ✓2 上｀－t : 自 /3(2,0) 运动到0位0) ．求在 此运动过程中质点A 对质点M 的引力所做的功 • 158 • 分析 本题的关铀是求出引力F = Pi + QJ 的表达式 ，进而可求所做 y 的功为第二类IIl] 线积分W = J ;;-/dx + Qdy. ;-] 斜 设M (x , y ) ，由已知有 盂＝ ｛一又，1 - y } , r =| 玩矿＝✓豆＋（l - y) i K 豆穴 K F = — · — =—｛一工 ，l - y } r 2 r r 0 A 。 B X 则 于是 【评注】 W = ，气；；）一义釭＋( 1 - y ) dy = ( 1 一言）K 变力做功是一类常见的物理应用题，并且还可拓展到空间曲线的情形 W = [ P 扛＋Qdy + R dz (1990 , 九题 ．8 分）质点 P 沿着以AB 为直径的半圆周，从点 A (l , 2 ) 运动到点B ( 3 . 4 ) 的过程中受变力F 作用（见图） ．F 的大小等于点 P 到原点0 之间的距离 ．其方向垂直千线段OP 且与y 轴正向的夹角小于 2 王．求变力F 对质点P 所做的功． 。 x 分析 变力F = Pi + Qj 对沿有向曲线L 运动的质点所做的功W = I P 山＋Qdy ，本题 I. 关键是写出F = Pi + Qj 的表达式． 斜 设质点P （工y ） ，则变力F 的大小为J了了了，F 的方向{- y ，立 ，因而 F = - yi + .1、j 变力F 对质点P 所做的功 W = Ii - ydx + :rdy 其中L 的参数方程为{ x= 2 ＋拉cos 0 ．故 y = 3 干忍in 0 于 W = I. ［戏( 3+ ＼底n 0)sin 0 ＋疫（2 ＋迈cos 0) cos 0] d0 = 2 丘－l) m(l9 9 l ．四；，6 分）在过点0(0 , 0) 和A ( ,r . O) 的曲线族y = u 归i n .1· ( a > 0) 中，求一条 曲线L ，使沿该曲线从0 到A 的积分f 1. ( l 千y3 ) dx -L (2.i- + y) dy 的值显小． /. 分析 先用参数法计贷L (1 + y' ) d产（釭＋y ) dy ，得到关千u 的函数再求ll 的值使此 I. 啪数取到最大值 ．进而求得曲线L 的方程． 矫 ］L Cl + y3)d.1.· + (2x + y) dy = J。[ l + a3 s i 1五＋（2x + a sin x) a cos.1 ]也 4 = —矿一4a + 六 3 令f(a) ＝长－4a ＋穴，由J'( a ) = 4矿－4 = 0 得a = lCa = - 1 舍去），此时f" （l ) = 8 > O, f (a) 在a = l 时取到最小值 ，所以所求的曲线为y = s i n 工 【评注】 本题是笫二类曲线积分与一元函数最值相结合的一个综合题． • 159 • 回(1992 ，七题．8 分）存变力F =y之i + z..rj +xy k 的作用下 ．匝点由原点沿八线运动到 .1 椭球而 ·, \I… 乏一 了十了十—= l 上第一卦限点M(8? · S) ，问当臼· s 取何们时，力F 所做的功W 屈大？ ( . : 并求出W 的最大值 变力F = Pi + Qj + Rk 对沿空间仙线L 运动的质点所做的功为W = f伈l.r + Qcly + R d ：：：，先写出直线OM 的参数方程· 由参数法求出W ，然后再求W 在条件兰寸L ＋耳＝ l 约束 ”- b 2 (.- 分析 下的极值问题． 斜 直线OM 的参数方程为x=$!,y=r;t,::::=(;'! , l 从0 到 1 侧 W = 『 y之心＋二1 dy ＋几yd.;:; = 1 3的矿dl ＝窜 市 面用拉格朗日乘数法求w = ~ 户2 2 』 叨勹在条件乓＋1 + 立＝ 1 下的最大值 矿矿产 设F （令，？· s 呻入）= 郅＋叶+ [: + ~ - 1) 户 启＝ r;:, + 2入乓＝0 a- 令 启＝笔＋2入互－= 0 b2 启＝切＋2凸＝0 c- F':= 豆＋笃＋立－1 = 0 c/ ' ti ' c2 f _ rl 归前三个方程可得f, = !L ＝骂， 矿胪 c2 1 1 代入第四个方程得$=— a . r; = ---;;-b. s = ---;;-c ] 烈屈瓦 因为根据实际意义该问题存在品大值．又:= 1 1 . . 1 — a 'r; =—b.s = －（是1]｛「一的可能极们 戎瓦屈 l 1, ~ 1 戎 点．所以 ．当~=— a . YJ = — /J.s = — （时 ．W 取到最大值— ul]（ 戎点点 9 【评注］ 题型． 本题将变力做功、第二矣曲线积分及多元函数的极值三者综合起来 ．是一综合 m (l993 ．二（4 ）是3 分）设曲线积分I 勹(r) －e.' 扣n ycl.1 — f釭）co 、ycly 勹路径尤 I. 关贯中f( ．1) 具有一阶连续导数 ．且／（0) = 0 ．则jG) 等千 c ' - eI CJ - e · (A) ? . (B) ~ - ( C) 7下CJ — 1. ( D ) 1 - ~ . e '+ e' 2 答孚 第二类仙线积分J1Pd.r -Qd.\，与路行无关的充耍条件是吐;=还} . rh 此列出关丁 吓五 f(x) 的方程 －娇方程求出 f. （`1一） 山已知丑＝竺．即3 [ （j(1)- c ' ）叩In ~\' 一＝a[— j(t)cos y] ．有 办， a 工 ay O.T [/Cr) - e'] co 、y =-f'(.r)cos y , l:![1 f'(x) —{(.,·) = C r 斜析 B • 160 • f昨－11介乡戈性微夕｝1i 和1,·1导 / (-r) = e idr (c 千Je' e.l"' d.i-) = c'((.,、干卢2' ) l 巾｝( 0) = 0 得C =－一 ．所以 f(.;i-) = e'- C ' 答案应选(B) ． 2 2 m ( ］的7 ．三（2) 超5 分）计算曲线积分 申长－y) d.r+ (x- 之) cly + (义- y) cl 乏 噜(` 其中C 是仙线（广十y2 = l ．从之轴正向往z 轴负向乔C 的方向是顺时针的． .l — y + ::: = 2 分析 计符第二类空间仙线积分主要有两种方法 一是用参数法将阱线积分化为参变从 的定积分 ．关令建在千用参数方程表示空间曲线 ；二是川斯托克斯公式将曲线积分化为第二类仙 面积分 ．关键在于选择一个以积分曲线为边界的有向曲面2 } 并且使曲面2 的侧与积分曲线的 方向符合右手法则 斜 （方法一） 令 .1.· = cos t . y = sin I. 则之＝2- co 、,-叩in t . 积分曲线C 的起点与终 点所对应的 1 的值分别为1=2 元I= 0 . 于是 咐（（：：：：－y ）如＋（r - z)dy- (.r - y)dz= 『－［2( 、in I+ cost) - 2cos 2t - l ] dt = - 2 六 2, （方法二） 设互为平而 ．r — y+ 之= 2 的下侧被曲线 C 所围成的部分， D," = { <.r .y) I 义2 + y2 ::;;:; 1 } 为2 在心y 而上的投影区域，巾斯托克斯公式得 cl y d 之 d:::d 立 中dy + (::: - y)(h + （1 —乏）dy+ (.1. — y)cl ::: = ［』上 上立 ( ' d a.r 3y 心 二 ::: - y X -之 .r －y = .IJ2d.rdy =- 2 j『d.rdy= — 2 六 飞 d'" 【评注】 用参数法将笫二类空间曲线积分化为参变责的定积分时 ，定积分的下限与上 限应分别是 ：对应于积分曲线的起点与终点的参变注的值若空间曲线积分的参数方程很难 写出 ．可考虑用斯托克斯公式． m (l999 ．四题. 5 分）求 I =I [e飞n y - /JC .1 I y)]dx + (e'cos y 一(1义:) cly ．具中a,b 为 I 卢 「F 的商数 ，L 为从从飞J\(2a . O) 沿曲线y = ✓2ur - l ： 到，l队()(0,0) 的弧． 分析 木尥川参数法计符比较复杂．可考虑添加打向仙线段，使之成为闭仙线 ．利川格林 公式计符 ；另外．考比到衱积表达式的一部分有右原函数 ．可将被积表达式分为两部分｀一部分 的积分y I 结为求）以函数 ．另一部分用参数法 i 1 符， 斜 （方法—) 添加有向且线段可了y =O . O~.l 冬2(／ ．则 I -』巳' sin y - 如＋y)] cl.r + (e'cos y a.r)dy -』市[e' 、in y — b(.2 上．＼，江d1 - (e'cos y - m)dy - I [c' 、in y — 如＋y ) ] d.r + (c'co::; y 一从r)cly 汀r - l1 - 1, • J 61 • 对千积分 / 1 ．巾格林公式得 l l =』．（产— 芫）山dv = j.|.(b - u)d rdy =宁(b-a)a 2 TJ 对于积分 ［2 ，以 ．r 为参变址，化为参变址的定积分得 I2 = I木[e飞n y - h (x+y) ] 釭＋（c 'cosy - a.r)dy = J:" ( — 如）缸＝－2矿b 所以， 1 = J ,_ [ e'sin y- bCr + y) ] cl.r + ( c'cos y- a..c) dy /. = 11 - I2 =王( b 一（i 汇＋2a 2 b 2 由被积表达式Pdx+ Qd y =e ' 汕i n y dx + e-' cos ydy —b(x + y) 归－(ady = d(c'sin y) - /J( x + y) d 丑，— cu dy 削一积分Le sin y扣＋e cos ydy = e'sin y I::~~:,, = 0 , I : 扣．f1) （方法二） 对于后一积分］b （`? - y) d1· 一(1.1·dy 取L 的参数方程．｛1 = a + acos l J : 0 -►六， y = a sm l J ( b I ` j f l 寸 /1 y) 缸＋u工cly = J: （一(l 2 妇n / -a飞n leas I - a切sin2 t 十矿co 、 t 十矿cos 2 I ) ell 。 = —王( b - a ) 矿－2矿IJ · 2 因此，J = J ,_[e' 、i n y - b釭＋y) ] cl.l + （e' co 、y - (1.l ）d y = y C b 一（i 闭＋2矿b 【评注】 当积分曲线L 不是闭曲线，且用参数法计界比较复杂时，典型的方法是：添加 有向曲线段，利用格林公式计算；而对于方法二．利用凑微分的方法求原函数．也是值得借鉴 的方法 m c2 000 ．五超6 分）计莽曲线积叶 ~1dy －宁 1 乡 4 .l．2 + y ，其中L 是以( 1, 0) 为中心 ．R 为半径的 圆周C R > l) ．取逆时针方向 分析 本题积分曲线L 虽然为闭曲线 ．但在R > l 时L 所围成的区域D 内含有奇点0 (0 . 0) ，不能且接在D 上利用格林公式 ，这时一般是构选适当的闭曲线挖去奇点 ，为使千积分 ，可构 造仙线L 1 : i伲＋Y 2 = c:2 •c > 0 且充分小使 [4 1F L 的内部． P = —y .， 、Q = 义 正＋y一正＋y2 a p = y2 - 4x2 _ J Q = Jy (4 工2 +．y 2 ) 2 归 当R > ] II寸 ， （o . o) E D （奇点）． 斜 这里 当（x , y) =/:- ( 0 , 0) 时， 作一小椭圆L 1 , :r = 主CO S / . y = €:Sin t(E > 0 . 13 充分小） ．使L 1 乙D. 2 于是 咐逵＝0 I_ ，一1.1, 4x~ + -\' 2 故 l , 一e - .rd.)，一y cl . r: 勹"'? 曰＋y2 = IU 亏dt = 六 fL 又＇：；三产＝十1 , 162 • 【评注】 本题的关键是合适构造挖去奇点的闭曲线［刁，如果取L ] 为小圆 ：工2 + y2 = e: 2 ,e: > O ，其参数万程力{x = cco` 1,t O 一2六，则平雇＋Qdy = 『“ dt ，此定和分计算比 y = e:sin I o 1 + 3cos勺 较复杂．另外，如果直接用L 的参数方程：｛t = 1 + Rcos I ,1:0 -►纽将积分1 ＝叫丑扭二过王直 y = Rsm 1 1 正＋y2 接化为定积分 ．则计算也较复杂 (200 1 . 六题 ．7 分）计符 l = + U- :::?)dx - (2.:::．三）cly +(3 .r 2 — y2 )d.::: ，J4 中L 是 平而t + v + .::: = 2 与柱面 l.i- l+l .v l= 1 的交线 ．从之轴止向看去 ．L 为逆时针方向． 分析 本题主要考查空间第二肢仙线积分的计贷力法．利川斯托克斯公式． 斜 记2 为平面x + y + .::: ＝ 2 _L L 所闱成部分的上侧，l）为2 在rOy 坐标平面上的投影． 巾斯托克斯公式，得 1 = 』（-2y - ,I 之）dyd 之＋(- 2之－6 .r)cl.:::cl.r + (- 2.r - 2y)cl沁 ? =—/I U .r ~ 2y + 3:.: ) dS ` =- 2]伈－y + 6) d .rdy b =- 1 2]『d.1(.l_v =- 2,1 ll) c2003 ，五超lb0 分）巳知平而区域D= ｛（丈. y) Io~ .1· ~ 六, o 冬y~ 六} ，L 为0 的正 向边界． 试证． ( l)f 1.x c'"'·· cly - ye-""' d.r = fl.1 C 、in dy - ye` ' d.t , (2)平l e寸l ` dy - ye一”“ ，山~2矿． • 1. 分析 木题边界仙线为折线段，可将曲线积分直倓化为定积分证明，或曲线为封闭正向 曲线 ，自然可想到用格林公式；（2) 的证明应注意用（］ ）的纠枭 证叫 （方法—) （l) 左边＝］：西'"-" cly - 『六C ""' d.T = 六[ (c'"" + e_ 、Ul., ) cl.1 丈 右边＝［邧 ｀心－I' 六C n d-i = 亢I (c + e- 」) d .1. 所以 向1e”n d v - yc- 、m r d 1 =f/..l' C 、'"' d y -yc、,n.r d.i (2 ) 巾千 e 、In'+ e~”“ ＇多 2 , 故巾（］）得 』又矿" ` dy - yc”“' 山＝亢J: ( c"" ' + C 、“'' )dx ~ 2示 I. J 0 （方法二） （1) 根据格林公式，得 向 I `T C”''` dy —ye `n.' d 1 = jr)「（e”n ` -I- c ”“ 上）山d y 小～t C `.'` dy - yc寸'" d.r = JT (e 、“' ｀一心” ·' ）d3 d y L 0b 因为D 具有轮换对称性 ．所以 • 163 • ) 性 称 2 寸 六 X2 y 换 ＿ ＿ 仑车 Y d 甘 d 工 工 d -- , ) , ·', ' c n 禾 2 J q f ` 、 h I J cyy 妃 ＋ 过 式 ＞ / ` yddy ，．矗 I ". d ， 工 、 1 d , ＇ I d x77 CI dd 、 丿 ec m ) ( C D , I J I J I J I J 工 、 ., 5 e ', __ y r + ＋ 『 -eyye dd+ y d y ＋ 工 艾 dd d yi 工 y n 、 . r n d ,., 心 n 1 、 ,n ) Ap e5qc (ee( I 书 1 1 ” D 门 H 胁 J J D m e 工 Y /_ __ ___ __ e. +'--0-. v _ ＿ ＿ 艾 n d “X, n 1 ed ` , ( 、 . e . ulJu I y 、 · c y y d y n l y 知 一 ， c 公 y 、 丿 e 工 n1 I ( 、 eL r r l l 宁 ) 2 t 故 （ 【评注】 本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的 ，因此期 望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的． m c2004 . 3 题 ．4 分）设L 为正向圆周1卫气＝ 2 在第一象限中的部分则曲线积分 f,_xdy - 2yd:r 的值为 . /, 3 烙、．孚 －穴． ? - 4 怀析 利用极坐标将曲线用参数方程表示，4II 应曲线积分可化为定积分． 正向圆周．,, 2 + y 2 = 2 在第一象限中的部分 ，可表示为 ｛义～＝疫cos O. 0 0 一号 y =.ffsi n 0, 千是 ［心－2ych· =厂迈co s O • 迈co 、0 + 2 声n 0 ．墨n O)dO ，令 ＝叶］ 2 sm20d0 = 竺 o 2 【评注］ 本题也可添加直线段．使之成为封闭曲线 ．然后用格林公式计算 ．而在添加的 线段上用参数法化为定积分计算即可． 田(2007 . 6 题 ．4 分）设rth 线L f(.:r .y) = l(J(.l ．y) 具有一阶连续偏导数） ．过第 LI 象限 内的点M 和第 l\r 象限内的，、气 1\J . I' 为L 上从，I、1i M 到点N 的一段弧 · 则下列小于零的是 (A) [ J丘y)d义． ., r (C) I / ( 1 , y) d 1. I' 答导、 B. 斜析 设M 吨V 点的坐标分别为M( 工 , ~\＇I) • .\f （心心＇') ．则由题设可知凸＜r? 心＞y2. CB) r/Cx,y)cly. J' ( I)) Lr: C.r,y)d.r 十八(.1. ,y)dy . /' 囚为 I J (J, y) d 、1 = I 山＝J : - l l > 0 ; /. 1. 』、J (.1· ,y)dy = L dy = y~ - Yi < 0 , • 164 • j. J （x,y ）小＝ ds = I' 的弧长＞O ; I ` 』/ ( 3, y) dJ -IJ;`, (1, y) dy = [I,0d t + 0dy = 0 所以应选(B) . 【评注】 本题属基本概念题型 ．注意求对坐标的曲线积分时要考虑方向，对于曲线积 分和曲面积分 ，应尽贲先将曲线、曲面方程代入被积表达式化简 ．然后再计算． (m (2008 . 16 题 “ 9 分）计箕曲线积分L:-;in2nl.r t 2(.r' - l)ycly ｀丿［中L 是曲线y= 、i n .1 r. 上从点(0 . 0) 到点(m0) 的一段 分析 利用曲线的参数方程 I, ［按转化为定积分计贷或添加线段使之形成封闭曲线 ．山川 格林公式．而添加线段上川参数法 ， 则 斜 （方法—) j 1 、in 2又如＋2 (.t ? - l) yd v = ［压n 2.r + 2(.r! - I)sin .r • cos _r] d.1 I = t.r' sin 2.J.·cl.1.= －了cos 2.r I~ + r.no;; 2xd.i 六 =—了了..,i n 2.r I:- 』..,in 2心＝— 号 （方法二） 添加立轴L 从点(T( . 0) 到点( 0 . 0) 的门线段L 1 .[) 为 I夕勹亿闱成的封闭区域 · Lsin 2.l心＋2 （～t — l)yd \ = （f 、in 2.rd 心r + 2(r l) vdv - I 、in 2.rd.r + 2( .r'- l)yd_\ _, 1.-1. 1.1 三、 = l`1y ch dy +，，、in 2.nl.r =- [ d.1『m r 4 3 y dy I「 I 尺 di') 0 . ', =- j· 了2 t沮i'.rcLc =- J >·(l - co 、2.dd.l= —王2 · 平面曲线积分与路径无关的问题 m (l989 ．三（2) 超5 分）设曲线积分11y工＋y中U) dy 与路径尤关从中年(l) 具有迕 I. . 1 1, 1) 续的导数且cp( O) = o. il·)lj 心主＋y午(1)cly 的伯 (,., , ll) 分析 仙线积分LPd.r + Qd y 勹路径尤关-岊＝飞· 1! 1 此可得到关下 矿d.1·+ 平1') d_v = ［\，华( 0 )dy + i.l3(h = - l IO . l 2 这里不常要求出华(.l) ．但这是一种特殊情况．一般情形 ．应按本题的思路求解． ：从1 叩．了，六匙 8 分）设函数Q (.I ._\') （十式）v 平而上贝有 I 加v d.r + Q (. 1 啊v) dy 1:i 路行儿关 ．）j 对任心 1 恒打 阶连纹偏导数、曲线积分 f:, 1 1 2 I V (I I Q C.r . y) dy = 11 . ,, 2 () el`I - Q(t . v ) cl.\ ., (l . ', I 求Q ( }l · v) 竹如1 l 曲线积分j l.J ( I ／ 卜Q心与路17,:: 亘<=>呾＝让） 11厅归IIJ\ l Q( ｛，v) 的人 3 l 心＼＇ 系式 ．然后取＇竹硃路径积分 偏将已知笘式转化为含有变限积分的笘J..＼、甘i 对笘式讷边求汁即可 求出Q ( ( · v ) 分析 矫 （方法一） I I I IIh `JL '}Q(t · \) (.) ( 2 t \ ) ] 3Q ( l . .V I 心以 · 1-l -- = a., . L、ll ~ = 2 .1 . 1从j j且. J...J" . , 才只夕｝ ． 1 ！·} ay 心 Q (.r . y ) =.r ' 一（｀(\') 取特殊辂行积分衍 f 1 21\lh Q ( i \ ）小二［ ! －（（＼）小＝1 - ( ( ( ` I 1 2 门(I{ - Q( 1 \)小＝1 1 -（C) 飞I_\ —/ - f ( (` 千足． 1 - .,I, C( v ) d\ - I —.I. ( `( v) c1 \' ．两边对 1 求导得 ('(/) = 21 — l 即 C< y ) = 2y —I. I 入］此 ．Q(r . y ) = f - 2y - 1. ＼万示二） 同））认 ，水得Q( _ r , _v) = 上”- r(v) ．则彶积表达式 2.ry dJ - Q <.r . _v) cl_,. = 2.ryd.r + ..i· ' 小 ( (y ) cl~\' = d (i \ ) - cl j. l C( v ) cl,, = d [ 1 - \ ' ． ＼． 一 \-.r: C'( ,,) d·u: 廿Il I : 廿 ,1 导 之 . .J I . . }·,. lL J^ J } f 、 - 1 . j , 1 、 I \ . p.` 从 2 _ . ) - - ' ,' I . ... -( ( I I· ,: . 、 ` , ' 、 , ' ， · 1 I ? 飞 ( ( . . -- ( ( I .,. \ 1 · 1, ． 凰 . rL ) , ·' \ · , \I 、 、 ． ， ~r __ Q I -1 1 l ) . I t. ,. I ( ` l , \( , 1 I, . . . 2 l , ` l I ,L , . 4 由 Q(Li . ) ) c|y 得 '" = ［、~ · ~ Y + [ c 、(v) cl·u] I :.1:.' ,＇「,·, . ,,, ( ` (I) = ? t —1 且1l C (v) = 2 v — | ． 1 人IJJ 七 ．Q ( t · \ )— r'--- 2y — 1 本题Q ( ｀？ . v) 是.r . y 的二元函数 ．故JQ(t . y) 心 ＝幻也是 ．？心的二元函数 ．当 心 两边对艾妾t 积分时 ．积分帘数应为交量y 的函数 ．即 Q(:r . y ) = _,.) - C ( y ) . ［评注】 166 • m ( l 的8 国超6 分）确定常数入，使在右半平面x>O 上的向茧A(x,y) = Z.1y( ．沪＋y2 肖— 立卫口＋y了j 为某二元函数u(x,y) 的梯度，并求 u( x,y). 究析＇ 平面单连通区域内向量场A （:i; ,y ) = p （x , y) i + Q( x ，沁j 为某二元函数u(x,y) 的 梯度，相当于有些＝P( x,y) , 竺= Q (my) ，从而J Q J 2u _ J 2u _ J P —= = ＝—，由此可定出入 妇 c!y 妇 3y归归rly Jy 在此基础上，根据积分与路径无关可得u(x,y) = L P( 义-，y0 )dx 斗－I／,I Q （父，y)dy + C. 妞令P(x,y) = Zxy (x'+ y了，Q （父，y) ＝—七产(、:r' +y ' ）入 ，由题设，有产＝望i , 即 釭（矿＋y 2 ) 入佽＋1) = 0. 可见，当且仅当入＝－1 时，所给向址场是梯度场． 在x>O 的半平面内任取一点，比如(1, 0) 作为积分路径的起点，则根据积分与路径无关，有 卢，y) = [／忨－』：~ dy + C =- arcta n j + C 其中C 为任意常数 【评注】 向童场AC.x,y) = P(.x,y) i + Q (x ，沪j 是梯度场台存在u(x,y) ，使得 du(x,y) ＝昙dx ＋隽dy = P(x,y) i + Q (x,y) j 台产＝望RP(x ,y) dx+ Q (x,y) dy = 0 是全微分方程 - 积分LP (x,y) dx + Q （工，y) dy 与路径无关 L 实际上，本题还可利用直接凑微分的方法求出 u(x,y) . 区1J c2002 ，六题，8 分）设函数f位）在（一＝，十＝）内具有一阶连续的导数，L 是上半平面 (y > 0) 内的有向分段光滑曲线，其起点为(a ,b) ，终点为（c ，心．记I =f 1 —[ l + y勹(xy) J dx + L Y 兰[ y勹釭y) - l ] dy. y (1) 证明曲线积分 I 与路径L 无关 ； ( 2) 当ab= cd 时，求曲线积分 I 的值． ”) 本题主要考查曲线积分与路径无关的条件． 科 (1) 由于P (x,y) ＝ -1:_ [l + y勹(xy) J, Q(x,y) =乌［卢丘y) -1] ，且 y 飞＝．f(xy) －7 + 几、江(xy) =吩 y 归 在上半平面内处处成立，因而“曲线积分 ［与路径L 无关“. (2) （方法—) 利用(1) 的结果，取特殊路径． 由千曲线积分 ［与路径L 无关 ，故可取积分路径L 为由点(a, b) 到点(c, b ) ，再到点（c ，心 的折线段．所以 I = 『上[l + b勹（如）］也十』飞／气[ y勹(cy) - l]dy • d b I,y c —a ·, rd b = + j 叮（如）釭＋I 寸(cy)dy ,, J /, C C d b • 167 • =i 一旦＋『/c 1 )d1 + 』飞1_(( 1 )d 1 d I丿 心 1儿 ＝二三厂 cl h f- I I ( I ) di 心 当心＝“1 时 ．积分厂八1)d1 = o “h 由此可得 I = [ - “ d fJ 暴 注意 ：亦可取积分路径L 为巾点((l,b) 到点(a,d) ，内到点（（，心的折线段 （方法二） 将曲线积分 l 分项组合，利月」全微分公式 cl (uv) = vclu + uclv. f = 』:cl ，飞· — :dy + 』,Y.I. (义.y ) 山＋订（xy )dy = J,_cl( f) + 』1.Y .f (义y)d.t 十汀（仁iy) d} 而 』勹）＝厂f 设F(u) 为f(ll) 的一个原函数 ．则积分 r.yj、C.ry)d.1.· + ．寸C.1y ) dy = r/C.r_v)d(xy) = F(cd) - FCah) 所以 ，当 ah = cd 时 ，F(cd) - F (ah) = 0. 山此可得 J C = - －生． d h 【评注】 当曲线积分 I 与路径无关时 ．采用全微分的方法有时比用折线段的方法更容 易，前提是要记住常见函数的全微分的形式． 回' (2005 . 19 题，12 分）设函数cp( y ) 具有连续导数，在围绕丿泉点的忏程分段光滑简虾闭 曲线L 上曲线积叶叭y )d.1 + 2fydy L 2., 2 + _)I 的值恒为同一常数 (I) 证明 ：对右半平面.1 > 0 内的任意分段光滑简单/;;J·Jrll1 线C 有十叭．y ）dt + 2:ydy = 0 , c 2.r 2 + y （ ll ）求函数叭y ) 的表达式． t v 釭证明(l) 的关f处是如何将封闭曲线（．与围绕原点的任 意分段光滑简单闭仙线相联系 ．这可利用曲线积分的可加性将C 进 行分韶讨论而(l l ）中水叭y ) 的表达式 ．显然应用积分与路径无关 即可． 社 (I) 如图所示 ．将C 分韶为C = l , + l 2 ．另作一条曲线／l 伟l 绕原点且与C 相接则 咐 o(y)d1 + 2 1yd.)' =p 叭y)d 1 千2 父y dy _ 、中( y )d1 + 2-1y dy ` c 2-T2 + _\' \ I I I J 2正＋y 1 + 1~ / 2 1 2 + y: = 0 . ,, x I 3 ( D ) 设P =~礼网＿ 2 ．心 2_r'+ )' , .Q = 归－y 1 . P .Q 在单连通区域r >O 内具有一阶连续偏导数 ． 由（ T ) 知 ．曲线积分[ " y)d立于2 立y d v 1_ 2.1·' + v' －在该区域内与路径尤关 ．故当．< >O 时 ，总有 y ;JQ J P a 卢1 ,} -\ ' · 168 • 而 DQ ~ 2y(2义2 + y1) —归 . 2 义y — 4正y + 2.y. = = 吐 ( 2 ～产十y •\)2 (2:;.·2 + y \) 2 迂＝忍(y) （霆＋y ．')— 4 叭沁y 1 = 妇飞'(y ) + / y)y' — ~ ,I Jy (2正十y)2 (2t: + y1) : 比较0 、＠两式的右端，得 CD o 尸1( y) = - 2y @ 中I (y)y' — 4 中(y)y + = 2y CD 由＠得中(y) ＝— )' 2 + c ，将叭y) 代入＠得2y j - 4Cy' = 2)" ．所以C= o . 从1(1j cp(y) =- y' 【评注】 本题难度较大，关键是如何将持求解的问题转化为可利用已知条件的情形． 回(2006 ,1 9 题，1 2 分）设在上半平而D= {(.T , y) I y > O } 内，函数f．（吓y) 贝右迕纹偏 导数，且对任意的 t > 0 都有f ( t:i: ,ty)= t 刁［（文 . y) . 证明 ：对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ．都有 申yf釭，y)d.:i. 一．i．／(? · y) d y = 0 .J L 利用曲线积分与路径无关的条件—- = －二 aQ ap 归 a.y 记 ” 八 刀 迁入西 f、( t义｀ ，ty) = C 2 f(x . y) 两边对 1 求导衔 工片( I工 , ly), yf;. ( I文 . ty) = - 2, 一1 { ( 1 . y) 令 t = 1 ，则 工／（工 ，y) + yf'.. ( .r . y) = - 2f<.r . y) 设P ( 工,y) = yj. （工 . y) ,Q (J. , y) ＝－汀（立 . y) ，则 aQ =- a 工 J(x . y) —汀', <.r . y) ．飞＝f(.r . y) ..L yf.,1 ( x . y) 1Q ap 由0 可得~ = —- ．对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线上都有 a 工 Jy 咐yj. （又｀y) 如一寸(x . y)dy = o e 四、第一类曲面积分的计算 .. 回(1995 ，四（1) 题，6 分）计箕曲面积分］r之dS ．其中2 为钳而:;: = 了勹才，杜体t2 --j :. y2 冬红内的部分 分衍 考虑到积分曲面2 在辽为面上的投影区域比较简j下 ．为圆血D" = { (.r . y) I .r 2 y 2 冬2 工｝，将曲面积分化为该投影区域上的二礼积分． 斜 曲面2 在xOy 面上的投影区域为D .,, = { ( .r . y) I.r 2 + y2 ~ 2 讨 ． dS = ✓1 + （忒）2 + （：：：）, ）:f= 凇d .nly 将积分曲面方程之＝ ✓X 2 +y ；代人被积表达式 ，于是 『：：：dS =』左飞闷S= 』二· 疫d义dy IJ, 、 = `~ .,;. dB 厂｀。产dr =鸟庞 一下 。 9 • 169 • 【评注l 积分． 对于曲面积分，应先将积分曲面方程代入被积表达式化简积分，再计算曲面 区，（ 介 1 9 99 ．八超7 分）设S 为椭球面仁＿汇＿ 2 2 乏2 = 1 的上半部分 ．点 ［）(x . y ．之）ES ,[I 为S 在点P 处的切平曲．p （；，y 心）为点0 ( 0 , o . o) 到平面lI 的距离，求If 之 dS. ~ p (．飞． ｀y , 之） 分析 利用多元函数微分学的儿何意义及空间解析儿何相关知识求出切平面日及距漓 叭．r . y ，之） ．代入计贷第一类rll] 面积分． 勺 纤）令F(.r . y \r· 心）= .T - • - '~ · ? ＋勹 2 ' 2 z~ - 1 ，则曲面S 在点P 处的切平面的法向队为 { F '， 噜F '.) ．F ', } = ｛工，y,2z ) 设( X . Y, Z) 为切平由1 [I 上的任意一 1汇则切平面lI 的方程为 .1·( X —.r) + y( Y - y) + 2z(Z - z) = O 即？X + yY + 2:::Z - 2 = 0 ．可街 P(.1 、 . y , ：：：) = 2 厂2+4牙 因而 『 之 dS = 』]．．之二二二丘dS . 、P (.1 ,.y . :::) 2 』 曲面S 在J(）y 面的投影为D = { Lr ,y) I 义2 + y2 冬2} ，仙面S 的方程为之=《/勹：二了． d. = ✓1 + （忒）j + （式）；山dy = ✓4 — x 2 -y2 2m 釭d y 所以 『.::: d '/4 p ( 己1 一、-\ ＇ · .;:: ） l 1· ＝了』：：：／三dS = +』口— 3 ? — y 2 ) dx dy l 3 ? ．厅 =—[ d0I ( 4 －产）rdr =斗 4 . , 。 2 【评注】 这是一个多元函数微分学、空间解析几何、第一矣曲面积分的综合题 ．虽然单独的 每一个知识点不太困难．但整体运算岳较大． 特别注意用(X,Y,Z) 表示切平面II 上的任意一点的 手法 因(2 000 ．二（2 ）题，3 分）设S ：产十.)尸曰＝a气歹0) 心为S 在第一卦限中的部分， 则有 (A)Jf ·dS = I.[『rdS (C)』之dS = 4』? d 拿J 冬衷'l C. (B)『~dS = 41[义.d S. ; 叫J:ry之dS ~141［工y芯clS s s:I ＼杠市）木题考杏第一类仙而积分的对称性，不需要计算各个积分． 显然四个选项统式右边都大丁零而曲面关千沪之4五面对称厕 』~r dS = JJy dS = JI'.l.y过S =O • 170 • 所以应选(C) ． 【评注】 实际上，由轮换对称性ffzd "1 =『xdS 而II之dS = 4『zd 5 51 = 4§.x dS. 区卧20 0 7,1 4 题，4 分）设仙面2 ：口 1 I y l+I z I= 1 ，则卢＋lyl )dS= _ . 答哀 奸衬I 巾积分域与被积函数的对称性有 炉dS = 0,f Ix I dS ＝觅IYl ci 4 屈. 3 = # I zl dS $ 所以 f 压 I dS = ½ f ( I.1· I+ I YI+ I;::: I )dS= 』1j c1s = ½ X 8 X 享＝孚 叶釭＋I y I) clS ＝宁石． 三 【评注】 对面积的曲面积分 ，应考虑利用积分区域的对称性简化计算． 五、笫二类曲面积分的计算 回(1987 ，七题，10 分）计符曲面积分 I = 『儿(8y + 1 ) clyd ：：：上2 （1 - y2 )d ：：：釭－4y：：：如cl y 飞 其中S 是曲线｛z =心二丁｀（l ｀<3) 绕y 轴旋转 立'= 0 面它的法向扯与y 轴正向的夹角恒大于工 2 周所形成的曲 z 。 y x 形如 I = UPdy clz+ Qdz d .1.. + Rd.1.dy 的曲而积分，若S 不封闭此时计算 I 常采用 “补曲面法”，将S 补上一块有向曲而s · ．使得s + s · 为封闭曲而，利用腐斯公式，将s + s· 上 的曲面积分化为三重积分的计竹 ．而往往s · 上的积分易求． 因为曲线S , ｛乏＝石二丁(1 已圣3) 绕y 轴旋转一周所成的曲面为y - l=z气丘 .1: = 0 块有向曲面S · { .1 2 气~2 ，其法线方向与y 轴的正向相同 y = 3 坏 ~ ) 一 分 一 斜 于是．补充 由高斯公式，得 I = 叶— If ＝『r dv - 2』(l - 3 2 ) 上d.1. ~• s · s · n s· ＝『冗deJ: rdr r l ,今dy+ 』 .,' - 二,. 2 1 6 d z d 工 =2 六＋32 六＝ 34 六． • 171 • 【评注】 本题还可考虑用直接投影法或矢量点积法（或称投影轮换法），但运算都较复 杂，因而在实际计算中要选择合适的方法．另此题中的三重积分还可用“先二后一”的方法 来计算 匠卧1 988 ，一（3) 是5 分）设S 为曲面1 2 + y 2 气＝ l 的外侧，计算曲而积分 ! = 叶x 3 dy d ：：：：十y3 归d.r 十夕釭dy ; 汾炕 已知积分仙面S 为闭曲面 ，且满足高斯公式的条件，可直接用高斯公式将积分化 为三重积分 斜 设Q 为闭仙面S 所册成的空间区域，根据高斯公式并用球面坐标计符三重积分，得 I = ~立dyd之＋五：：：山十已dxdy = 3叽正＋y2 + z2) 扣dyclz = 3 J:'d0]：如I：产 · 心n 吵＝宁 【评注】 本题为常规题型，化为三重积分后，可考虑选用直角坐标、柱面坐标以及球面 坐标进行计算 ．根据被积函数和空间立体的形状，本题显然用球面坐标比较方便． 但考虑到 球体是旋转体，也可用“ 先二后一“法． 匹】（199 0 ．五超8 分）求曲面积分I = 『~zdzd:1· + 2 cl xcly 其中S 是球面正＋y z + zz = s 4 外侧在z 多0 的部分． 江｀， 区lS 不是封闭曲面，可以考虑添加辅助仙而，利用高斯公式计算还可考虑用向队 点积法（投影轮换法）或直接投影法． 纤 （方法— ) 令S 1 : { 矿＋y2 < ,I ::: = 0 取下侧，Q 表示曲面S + S 1 所圃的空间区域，则 』yzdzd又＋2dxdy = s』曰：：：cl立: + 2d过y - 』y：：：扣c杠＋2dxdy （方法二 ） 曲面S 心＝ 于是 =l『zclv- 、2d义cly = [O d0 [: : j`。rcos 中．r＇sm 纱＋，Jf<4 ＝仕＋8 六＝ ］2 六． 用向址点积法（投影轮换法） ✓II －正— y 2 ~'= -. r , y ? = — , ~ `. ^- 工 2 缸dy ✓4 - x 2 _ .)产 I = 『伈y：：：：2 } . ｛二三，1 ｝扣dy 卢 ＝』［（八三＋2 ）心dy= 』(y2 + 2) 归dy 』I (y2 + 2):lx dy = t d0 f勹~2 sinie • rd,- + 87[ 0 J 0 ,, T｀气•·，飞至 1 = 47[ + 87[ = · 172 · 【评注】 (1) 在方法一中，［2d.1..dy =- rz)』~1 2dxdy ，不能丢掉“一”号； (2) 还可利用投影法计算心：：：：dz釭＋2dxdy ，但运算要烦琐一些，其中计算Ifzdzdx 时， 需用幻z 面把曲面S 分为前后两部分，也要注意不同部分的方向． 黜】( 1 9 92 ，五题，8 分）计符曲面积分［I伲＋az 2 ) clyd ：：：：十 （y3 +矿）d击＋（之3 + 2 ay 勹釭dy ，其中2 为上半球面z = ✓矿一工2 - y 2 的上侧． 分析 因2 不是封闭曲面，可以补曲面后群用高斯公式计符， 斜令2 1 : { 工; + y2 < a 2 取下侧．Q 表示曲面2 ＋斗所I_1,I 的空间区域．则 :::: = 0 ］归＋c记）dydz + (y 3 ＋矿）dzd.7· 十 （：：：：，l + ay 勹釭dy 2 』正＋正）dy dz + (y 3 ＋正）dzdx + (：：：：j+a沪）d义dy 子一51 -II口－a:::: 2 ) clycl之＋（沪＋矿）d：：：：也＋（之3 + ay 2 ) 如cly 斗 = I』3口气＋z勹clv - jJa沪dx cly .n 斗 = 3 I。2- d0 I：如I尸 · 卢n cpdr +a JI y' d工dy 产＋y2 纣 ＝字＋a ［可。产、矿0 • rdr ＝气＋于＝譬 【评注】 (1 ) 利用直接投影法较烦琐，但可考虑用矢社点积法； (2) 曲面积分化为三重积分或二重积分时要注意符号； (3) 在计算二重积分 II y2 也dy 时，可利用轮换对称性 了2 一y2<；2 『 y2 釭dy=½ 『 口＋y2 ) d .1..dy 占扫让 上－y．2” 回(1993, 四题，6 分）计符虾丘d y扣＋yz d如－之；如dy ，其中2 是由曲面 :::; = ;;; ✓X2 + y2 与之＝心－x ？- y 2 所即立体的表而外侧． 分析 直接用高斯公式计符 斜 （方法一） 设Q 表示仙而2 所围的空间区域 ，由尚斯公式得 虾氐dydz + yz d忒x- 之？dx cl y = l』玉 ;. n = f:" dB I: d

O) 所伟l 成立体表面（如 右图）的外侧． 是由 考虑到被积函数P = X .R = z 1 +y +::2 x2 + y? +:.:::- ，在S 所 围内部的点(0 , 0 , 0) 处没意义，因而不能直接用高斯公式，只能分别在三 个仙面上积分 究析 x , _ - - -,一～、 ,, R ,、、 ，仁一一一· 三 , -- －气－－、 ＇，， ＇｀、 +R 优令S1 』 z = R 、,.2 + y 2 冬 I汜 ，取 侧心 ：{ - R ~ ＇，之~ R 正＋y~ = R2 ，取外 侧，则 咚 郎；S 2 : {:.2=;y: 正＋y',::;; R2 ，取 .1.、dyd ：：十：：：：2 山d y , .1.立千 .)/2+ ：：2 . 而 A. I+1 s 丿．f 齐－岛忙｀3 过yd ：：：十甘dady = 正＋y 2 +:::2 1、dy扣十之2 扣dy = 义:2 + y2+ 之？ 『 贷釭d y + .. R 2 釭dy s1..{2 +y2 + R 2 』正＋．y 2 + R2 s2 = II ~1: ：：．d旮－』工2 :2 .)m=O /)” 其中D.,y : ｛艾＝oy2 ~ R2¼ s, ( S2) ft.:i.Dy U 正＋y 2 ~ R2 是S , ( S 2) 在式）y 面上的投影 』x dydz +:::; 2 扣dy =..'.l..dydz 53 立2 气＋z2 』汇 S3 ✓贷－7c!y d::; R 2 + z2 =』✓R言：：：尸－』— =2 』R dy 『质 l - II 一u R2 + :::2 dz= －忒R 2 其中D ,. : { :i.· = 0 - R ~y~ R. - R ~ 之~ R 是 所以JI 己1 dy d 之十牙d :I... d y 1 艾2 + y2 + z2 = －朵R . s 2 飞在汃）：：：：而上的投影． 【评注】 对于曲面积分，注意在计算过程中应先将积分曲面方程代入被积表达式化简 积分，再计算曲面积分，但使用了高斯公式后就不能代入． 回(1 996 ．四（l) 题6 分）计箕曲面积分1『(21 长）dy d二十：：：归dy 其中S 为有向曲面乏＝ ; .1.'2 + y2 (0 :,;;;; z :,;;;; 1) ，其法向批与之轴正向的夹角为锐角． • 174 • 分析 本题可有二种方法求fiI/（（1) 补曲面用汕斯公式 ； （2) 向址，贞积法投影到心y 而 ； (3) 直接投影法 斜 （方法一） 补曲而S { i ·~ + Yi ~ 1 I : ，取下侧 ．则 之＝1 .. 』 (2.:i· + z)dyd之十之d.rdy-Jfc2x +z) dy cl ：：：十忒rely .'I'i，岛 』(2.1.，十乏）dyd：：：十立杠dy = ... .`' 川高斯公式 』(2.1 其中D 为 1(11 湿yd之十zd.Tdy= －前3dxdydz =- 3 』1 了d0 i rdr' l ck =－— 六 “n f:rdrfclz= -1 , S 1 所围的空间区域 ； 』(2..t + z)dydz 十之山dy = J)'cl.nly = - s, <`} f f , ～ 勹 `> r d.n ly =- 亢 IJ.（幻十二）clyd之千之釭dy =-斗＋六＝－— 亢 l s 2 2 （方法二） 川向扭点积法，曲面：＝工2 + y2 的法向扯为n = {-2.r , -2.)I • ] } • 则 』 s (2.1 + z) dyck + z c巨dy = JJ{2.1 ＋之，O,z } · {- 2:r . -2y ,J }dxdy = JI(－正－2义文一：：：）d.1 d.)' =.l厂－正－2 又－（又2+.)'2 ) + .r'+ .l]山dy 、 I. . JI ,- . ,.- I .2r 1 = j clO j (- 4 产cos' O 十产）rdr =- — 亢 2 ［方法三） 直桵投影法，把S 分别投影到yO之面和rO.)，而上． 设 .s = s ,-l S ，其中 .S ; : .r = ✓二气了．o 冬之~I 取后侧 ：s ! , .r =-F了了．0~ 二冬 l ．取前侧 ，它们在．＼（）之面上的投影为 I) = { （y ，二）I/~ 之~ 1. - 1 ~ .)'~ 1 } ．则 『 、(2义三）dyd习如dy = JJ<2.1. + ::::)dydz 十JJ(2.T + z) 0 内任芭的光滑有向封闭曲面S ，都有 炉j(i) dy止一xyI (.i-) dzcl.. c — e气扣cly = 0 s 其中函数jU) 在( 0 ．一 ：：：：c ) 内只有连续的一阶导数 ．且lim / 釭）= l ．求f(x) 工一0 分析 由，切斯公式得到关于jG) 的微分方程，韶此方程，结合条件lim f位）＝1 求出J( x) ~ o 纤记Q 为曲而S 所围成的闭区域仇高斯公式得 』汀( `I)dvd 之一义y贮）心dx-e气d1dy ＝土』［［J釭）＋儿、J ＇位）－汀(x) - e2r]dv = O h 其中产” 对应于S 的侧． 巾于S 是任意的曲面 ．所以对任意的Q 有 皿[J(．1·) ＋汀'(.'.l. ）- tf (x) - e2r] clv = 0 n 因而j｀釭）＋寸（.r) —寸(.,·) - e2r = 0 . up /(、i·) + (~ — ])卢）= ：泸 解此一阶线性微分方程 f(.r) = e [ （一 1) lr (C + j 主 cf< ~- i) 山d几、）＝尸(C + e.,. ) 由lnn J (r) = 1 得C=-l ．所求J(x) ＝旦伈— l) ． ·' ., t ' 区卧2004 . 17 超12 分）计符曲面积分 { = 『加,j clycl之丁2y ' d 之d.i-+3 曰－l ）归cly 从中2 是曲而之＝ l -.T~ - ｀沪（之诊0) 的上侧． ，分析 先添加一曲面使之与原曲面陨成一封闭曲面．应用高斯公式求解，而在添加的曲 面上应用自搂投影法求解即可． 斜 取~ I 为心y 平而上被rvn.1 ~+ /= I 所围部分的下侧，记Q 为由2 与~ I 围成的空 间闭区域，则 • 176 • I = II 红dydz + 2y3 d如＋3( z2 - l ) d工dy — I［红dy dz + 2y3dzdx + 3(z2 - l ) d工，dy 立心， 由高斯公式知 』丘dy dz + 2y3 dz d又:+3( 之2 - l ) dxdy = ~』归＋y 1 + z) d工·dydz 妇 =6[：了d0[;dr I; r2 (z 十产）rd之 = 12 亢 l ; ［千(1 -产）2+ 户(1 - r2) ]dr =2 六 而 jJ红dyd 之＋2y3 dzdx + 3( 之2 - 1) dx dy = - J - 3dxdy = 3 六， 故 :l = 2六－扫＝－穴． 』1 【评注】 本题选择21 时应注意其侧与2 围成封闭曲面后同为外侧（或内侧），再就是在 氐上直接投影积分时，应注意符号（氐取下侧，与 z 轴正向相反，所以取负号）． 回(2005,4 题，4 分）设9 是由锥面z = ✓产工了与半球面z= ✓R 2 一正－y 2 围成的 空间区域，2 是Q 的整个边界的外侧，则』x dydz + y dzdx+ 之釭dy = 二｀ 答泉 2邧1 -1l)R3. 斜析 1 JJx dyd三ydzdx + zd工: dy ＝皿3 dx dyd 乏 I n = 3J 。R 产dr』工sin q;d q;『亢d0 = 2邧1- 享）R 3 。 回(2006 , 3 题 ，4 分）设2 是锥面z = ✓了二了(0 ~ z ~ l ) 的下侧，则 』x dyd ：：：十Zy dzdx + 3( 之-l)dxdy=_ . 2、 所以 答衷 2 亢． 斜析 设2 ：z = l(x 2 + y2 ~ 1 ) ，取上侧，则 而 』过y d z + Zydzdx + 3(z - 1 ) 归dy =:!: II 又:dydz + Zydzdx + 3 (z - 1)也dy -『工dydz + 2yd忐＋3(z - 1 )釭dy . 汪名 斗 』.:rdydz + 2ydzd.:r 十3 位－l) clx cly =叽6dv = 6厂叫l rdr『扣＝2 n: 。 妥上· 1 r 『'.ldyd z + 2yd中＋3 ( z - l)d.:rdy = 0 斗 Jf x dydz + Zydzclx + 3( 之-l) dxdy = 2 亢 5 • 177 • 回（ ． 2007 , 18 题，10 分）计符仙而积分[ =j丿江dy d 之＋2yzdz cl又 3.1.v d .1:dy ，其中2 为曲 2 面乏＝ 1 - 义2 — L(0 < 之~l) 的 L 侧． 4 本题2 不是封闭曲面，首先想到加一曲面21 [=+0~,;; I ，取下侧，使,:+,: , 构成 4 封闭曲面，然后利川高斯公式转化为一正积分 ．再用球而（或柱面）坐标进行计箕即可． 因为2 的方程为 ：z = l －工l_ 奇(o~~ ~ l) . 分炕 ” 「 添加一个平面21 ] ：：：'＝0, 2 取下侧，则2 与2] 构成闭曲面2. ．具所Ihl 区域记为Q ．于是 忑十斗< l . 4 I = IIi —,IJ ＝咐－』 $1 5. ;. l 而 立．zdyd 之 r~ 2yzdzd.1. －3xyd工dy =皿（丁 a （立） ， a （2y：：：：）吐3 （3.ry) n 归 3y 3::::) =3皿主dydz = 3『zcl ：：：： # J 0 一 ｀ 忭 日 日 心2 ` i \ 个 l , d.1.-dy = 6] ：：：（l －之）扣＝穴 I 』工：：：：dyd ：：：：十2y过：：：如＋3.1yd.J.dy= 』釭ydxcly = Vf 2 V 丁 f · ,1 ， 一 3xydxdy = 0 所以 『— JJ= 』- 』．＝六 ：飞鸟 2 ．三I IIi)c 2008 . 12 题．4 分）设曲面立贮＝八＝下＝了的上侧．则『~ydyd：：扣d;::;cl尸．气中dy= $ I = 态冬 研枑 4 兀 补曲面氐：{ .Tl+ y2 ¾ 4 . 取下侧，记D = { (.l' . y) I.l.'2+.)产冬，I } ．则 之＝ 0 , I『rydyd之＋1 clzd，飞＋1. ？如cly = 『f 1.y dyd 之＋过：：：d.l 一～1 扣dy — JI几yclyd ：：： 飞 笠斗 乌 = ［』（甘＋贯＋望）dxdyd ：：：：十』又~ ? clml.)' =~』.ycl.nlyd ：：：：土[c10J: 产cos2 0 • rdr =O + 『,cos2 0d0『r dr = 4 1'(. " _, n rd 江杠十_l.2 心dy • 178 • 第八卒 凡穷级数 本章导读 本程王荽考杏如下几个方百 ．一是判别攻证明数顶级数约敛散性 ｀特别是判定抽象级数的 敛散性 ．二是求垢经数的和习效及数项天数的九 ．三是戈元数约每．．七及数展开式 ．对于瑰巨叶级 数 ．考讯装车代 ．（且也应孰练空桯块利克霍收敛定理 仁望严一心 旬年试题一般是一个大题、一个小尥 ．分数约占试在的9% ．小匙主婓是抽象级妏敛散忖 的判庄｀一般以选扦题的形式出现 ．往往才尸庄难度；大题主要涉及水铩级数的利面数以及把 函数展升成＇栝级数，题门难度不是很大，A 200s 、2013 年忤考过傅肛III 级数， }空堕口 _ 、 数项级数敛散性的判定 厘眉 1 98 7 ．五（l) 题．3 分）设常数I、, > （）．则级数I: ( - 1) " 仁二 ' 』 1 I I ~ ( B ) 绝对收敛． ( D) 收敛或发散勹k 的取伯介义 (A) 发散 （C) 条件收敛 答导、 C. 奸析 级数足交铅级数，可利川莱 {1i)已；及判别丛判断扎敛散忤 ．若收敛进一少判断具足 否绝对收敛 1 / · ~ ! I I ` K - 1/ 111 下数列( ` —-- ＼单曲递减 ． 1二L l i m i II ,' 一 11 - （) ．利川莱伈尼茨判别法知级妏); ( _ " 1 I ) '，二 / l - 收敛 考比级数2 1 (- l) k ／勹＝2 勹" =2 1[ + 21/ 因敌数~;产收人文2 尸 , 散，所以级数~ (- 1) 卜 一 ” ｀勹＂足条件收敛应心( C) " I 11 - 也可考虑I;(- ])" K + n k 一1 - 丁＝2 (— l) 1言：（— l ) 了，而级数~ (- J)"~ 绝对收敛，级数I; (- l) " 上条件收敛．利用级数的性质．级数2 (— l )飞且兰条件收敛 11 "= ! II 蠡 【评注】 • !79 • m (1990 ．二（3) ，遁' }分）设仪为常数，则级数：（宁g _\/) ( B ) 条件收敛． ( D ) 收敛性与Q 的取值有关． ( A ) 绝对收敛 ( C ) 发散 答发 斜析 c 先考虑级奻了立立竺二文上 II - _ , 与 仁」 的敛散性 ．再巾级数的运符性质 ．可得级数 “l \r;; 言（习:芢na ＿言）的敛散忤． 勺－ 因为 sin lb I _ I 1/ 2 < --;- ．所以级数 I /… 乙＿J " I ,,l!1 lb 1 气(/ I 2 — 盂）必发散答案为(C) . l 一发散，故级数 扑 SIil I~ 一了－ 绝对收敛， 而级奻 _ 11 - 之 " I 【评注】 :0 对于三个级数:u ,1 ,2 V,, :: ( u ,，土Vn) , " 一1, i -l,i = 1 （］）如果有两个收敛，则第三个收敛 i ( 2) 如果其中一个收敛，另一个发散，则第三个发散． 回(1991 ．二（3) 题3 分）已知级数2 ( — l ) "-1 a ,, = 2 . .I: a_ ,, 1 = S 则级数2 u , ？（i 丁 " I n-1,，一 1 （八） 3 . 答哀 针析 (B) 7. (L可） 8 . (I)) 9 C. 巾于艺（u ，十( - l) ＇，飞，，）＝2 I: 心 I 收敛，所以，巾级数的运符性质得级数2 ” ”· 1 , J I 收敛 且有2 孔，＝ 2 2 织，，一1 — ~ (- 1)" 1a ,, = J0-2 = 8 ．应选(C) ', l,, I ,' - l (1992 ．二（2) 题 ．3 分）级数t (-I ) " (I - cos -;) （常数(I >() ) (B) 条件收敛 ( | ）) 收敛性与u 有关， (A) 发散． ( (_`)绝对收敛． 答孚 斜析 c 因为( —]）' （L - co、旦） = l 一co、土 ．目 1 — cos 丛～上 ．旦 I I I I I / 2 11 ~ 所以~ (1 - co、兰）收纹即级数~ ( - l)" (l - co、气绝对收敛 II 答案选(C) ． 【评注】 ．气 ` 正项级数2记，2 V, " 若 II ,，～V,，则2u ,＇, 2 V,，同敛散 n 一 1 , ，一 1 ,＇- I ,'= 1 (1 9 94 ．二（3) 愿3 分）设常数入＞0 ，且级数2 忒收敛 ．则级数I: (- l) ' I (,/,, 1 ＂一l,『－ l 尸 ((_' ) 绝对收敛． （D) 收敛性与入有关． ( A ) 发散 (B ) 条件收敛． 180 • 培孚 斜析 ( `. I + | ( - ])”1 u , | I _ I a,, | 二 I ＼压二 2 II 一一－入 冬』(u -上- ）< ＋（（1 一．臼 目级数:U ,; . 2 I — 收敛 ．巾级奻的性质及正项级数的比较判别丛知级数~ ( - I) " I (I ,. I ,l /1 ~ ＇,1 二 绝对收敛 ．答案应选((._") m (l99! ．六题．8 分）设／（I) 在点,=O 的某一邻域内贝有二阶迕纹导数． l~ _ l i 1~ 旦已＝ , . f) .t I 0 ，前明级数〉厂）绝对收敛 I I. (i) 网:s1 = 0 隐含｀／（0)= /(0)=0 . 考氐I. （: )川一阶余勒公式 分析 证叫 1l·1lim · / (1) = () . 11 J 得f(O) = I'(0 ) = 0 1扑丿十j 易;'f办夕\ J.飞 , .,. .r / (i) = j (0) + I, (()) - 山已知 广(.r) fr.1 1 1 —!”化）1·: =—广(: .)．t 一 ．（＄介］-. 0 与／之间） 2 ·'. ' 2 = () 的从一邻域内有界 ．存存\1 >（) ．有 1 广<.r ) I 呈M l l l l 令r = 了卫）＝了／飞）了(0 < : < /l) I 当n 允分大时 ． I 厂） l l AIl l = — I“( 令,）-圣_ _ l 2 ` I I - l ? ? 1 : • 由比较判别法级数言厂）绝对收敛． 回( 1 99:'i ．一（ 1 ）题 ．3 分）幕级数了 “ 了 2 “ 十 ( — 3)”` 飞· · " I 的收敛半径R = . 答哀点 奸析 用比怕判别法或根仇判别认 这是缺坝的斜级数 ．小能自接用阿达玛公武求收敛半符 ．讨石作 寸，股困数项级数 ． 令 ll ,, ( .r) = II l • ~" I 2 " 十 ( - 3) ” · 贝lj 11 + 1 心·I p(1) = hm I II,'l (l4) = hm 2 '+1 + ( - 3)”1 1 ,j • . I I ,, (. 7 · ) ，， ．～、 I I l. 2,, l 2 ” 寸－（－ :-s)'' 2 1 l -3 l- l . 当叭．r) = —广 :{ < l 翡I I I | ＜聂 II寸 ．邸级数2 ” , l ? “十(- 3)”~ l ?,, l 绝对 1 1父敛 ． l . 当 ,0( ．r) =—.l`- $ > l ．即 I. I | ＞＼厅n j ．幕级数了 “ 了 ？＇二气－3)" l 山． i 发散 所以 ．所求收敛半1令R =./3. 【评注】 ., 还可作文觉替换y ＝工2 ，利用公式求2 2" + (- 3) " 1/ y ” 的收敛半径 ．开方即得 ', - I 原幕级数的收敛半径 ． 181 m (l995 ．二（4) 题3 分）设u ,, = (- l) " ln(l ＋言） ，则级数 二 (A) ~ll ,, 与2 记，都收敛． 二心 (B) 2u ,，与艺记都发散． " = 1 "= l ',= 1 "= l c (C) 2 /，I ,，收敛而I: u :. 发散 n=I n-1 oo c., (D) ~u ,，发散而2 式收敛 ,i =l , ，一 1 答泉 C. 纤析 对千交错级数~ u ,, = ~ ( 1 ~ u,, = ~ (- l) " ln(1 ＋石） ，利用莱布尼茨判别法知，此级数收敛． '.'.:., " ,::_,. " I, , 1 \ _.. _ _ /.. 1 \ l. _.;:_ 对千正项级数言u ; ＝詈ln 2 (l ＋孟）因为u' ＝In2 (1 + 了)～：所以笘正发散，故 选(C) ． m (l996 ，二（3 ）题，3 分）设a ,, > 0 (11 = l, 2, · · ）目言a，，收敛，常数入E (o ，牙），则级 数~ (- 入 S (- 1)" (ntan-; ）妇，＇ (A) 绝对收敛． (B) 条件收敛 (C) 发散 ( D) 敛散性与入有关． 答孚 A. 斜析 尽管级数2 仁1) ＇，（ ·11tan 宁）妇，，为交错级数，但不能判定它是否满足莱布尼茨判 别法的条件，因此应将其看作任意项级数，先考虑是否绝对收敛． 正项级数~ a,，收敛，则2 幻，，收敛． "= 1”= 1 而( - l)" (,aan ~)a 2,, I ~ 入a ，因此级数t (- l)" (,nan 产）a 2 绝对收敛，应选(A) 【评注】 抽象级数敛散性的判定一般以选择题的形式出现，综合考查对级数的概念及 , 性质的理解和掌握，题目相对有一定难度．本题用到了正项级数如下性质 ：若正项级数互许，＇ rO OO 收敛，则~a 2,, , ~a 3 ,, 等均收敛，但此结论对一般的数项级数不成立． "= 1,i= l lliJ ( l 99 7 ，六题，8 分）设ll1 = 2 ,u,- 1 = ½亿＋t 尸＝1, 2 , · · ·)，证明 (1) lima , 『存在； (2) 级数2(上-1) 收敛 产j \ll~1 " 一1 分析 （］）巾递推公式给出的数列 ．一般用单询有界数列必有极限来证明极限的存在 ； (2) 利用(l) 的结果，由正项级数的比较或比值判别法进行判断 句 (1) 显然a ，，诊0( 11 = 1.2 , 3, ... ) ，由于a,尸1 -a.,= ½ ( a,，十t) －a,,= 1 - a: 2a.,' , • 182 • j7II (1,J l l l —了((l ,，－－ （I, 』 ）复＼1/ （1, • : = 1 , 于足u , {/,, 0 I ) ．故妏列凶，』 ｝ I｀们周减少目有下 界 ．所以limu 们(1 " . (i ,' (2 ） 山 j 奻列 ： （l ，， f(1 1周战少 ．所以小 0 冬——— l = (i,, — (i ,, .: 这 ( i ,, - a,.. · ll " - I (I ".' I 』 |(I1 1 I坝级数2 (u , 『 _＿_、 u, ）的部分和S ,』＝之仇 (l, ,) - l l l —ll ,,, J ' " 1 义极限ll ll1(l ，，有｛j 、)听1)）极限lin心，，存在．即止坝级数三饥－ （1 ,』 I ) 收敛 ．则山仆项级数的 , I 比较判别以得级女心（三－l) 收敛 【评注】 本题综合考查了数列极限存在准则与级数收敛的判别法．在确定数列的界时 ， 1 －忒 往往可由 Cl., . I — a ,，的符号进行反推 ．本题由 （l ，户1 一(1,, = ．提示证明 u ,，冬 1 或a ,, > 1. 2u,' 另外级数:(u,, 1 一凡，）或2(u, - II"- I ) 收敛的充要条件是极限limu, ，存在 " I n~I ，一· - m (l 叩8 八迁了分）戊止项数列（1 ,， r 半调减少．II 之、( — l 压，友散．试问级数I: ( l ,r l , l d ,, —1) 是否收敛喟说叽J叭11 分祈 飞 l 根剒叩jJ,'i] 介界数列必有极限知极限 l i mu , ，有{i · |(II I1项级数） ” - (（1 ，十1) 的敛散，~I 司川比牧或根（八丿1」别；人进h )＇||；上．问题的关键闭丁讥叽极限尸令lll ( 1 ,' -， （）、“心 l I l 巾级数言(— l )" a ,, 友散得j,Il 斜 （方法一） 们已知 1 1项数列仅I ,, ｝单向减少 ．根iJ,1 : I、I,l 1从1 布界数列必有彶限知 ．极限hm (1，存 有．记 Cl = ，压血，』 ．则1l （／歹u 多0 . 如 0 , 义山j ((1 了）冬（（1: l) 而“~<1 儿们及数2 ((1/ l) 收敛 所以111 ii坝级数的比较判别去．得级数~ (zS ) 收敛 （方法二） II I] 力丛 ．可证明极限 (i ='！＼lll (l ，，行在 ， LI. Cl _.-'（）， 义 '』I I 1 \", l l '\/1 ((1 --!- l ) = hm e｛十l = C/ } I s、 - .l ／听以山 1 1坝级数的根（八判别丛 ，街级数）_ （（1 ，，十l) 收敛． 【评注】 本题巧妙地将数列极限存在准则、正项级数判别法、交错级数的莱布尼茨判别 法综合起来进行考查 ．只要熟练掌握了相关的基本概念、基本理论和基本方法 ，是可以正确解 答的 1 8 3 . m c1999 ，九题，7 分）设a,， 厂 = I tan石d工， 。 二 （］）求2 上(a, ，十a,i+2) 的值； ,l = 1 n c (2 ) 试证：对任意的常数入＞0 ，级数区气收敛 "= l n 直接求a ,，较困难． （1) 要整体考虑a ,，十a..+2 ; (2) 对a,，放缩估计． 分布 斜· (1)a. + a '""2 = f干( t an '女十ta n '叶五）扣＝［干ta n”工sec五d工 0 .J 0 ＝厂tan '' .rd tan:J... = l ta n '，+ I 工干＝ 1 o n + 1 。 n + l c l l 所以f ~(a., +a ，叶z ) = i= ~ = lim ( l —一一＝1 "= I n, ，一1 n(n + 1) ,'-.~ ( n + 1) c (2) 由于 0 < a,, < an + a ,,+2 = 1 < 1 a,, 1 n + l ，有了<- 1 m ，而级数: 飞可收敛，由正项级数 11 11 " 11 "= l n 亡 的比较判别法，级数2 与收敛． "-1 Ti 匡，（2000 ，二（3) 题，3 分）设级数2u“ 收敛，则必收敛的级数为 "= 1 「O ( A)2( - 1) ＇，乌 "= 1 n (C) 2 ( u,2n一1 一少，，）． "= 1 -- 答衷 D. r ( B ) 2 吐． ＂一 ］ ', (D) 2 (u，，十U n-1-1 ) . " = 1 级数: u ,I 收敛，则级数:仁1 也收敛，因而级数~ ( u ,，十u广l) 收敛 ,1 = l ,I 一 I " 一 1 正确答案选( D ) . 纤析 【评注】 1 本题也可利用举反例排除错误答案．如：取 u ,，= （-1) n —- ，排除( A ) ；取 In 11 1 1 u,, = ( - 1 )" — ，排除CB ) ；取u . = (- l) " —，排除C C ) . 石 n m (2002 ，二（2 ）题，3 分）设l佑尹O(n = 1,2, 3 , … ），且lim 立=1 则级数2 (- l),rl-1( 1, 1 , +— 一li,” “=l 比如］） (B) 绝对收敛 (D) 收敛性根据所给条件不能判定． ( A ) 发散 ( C) 条件收敛 答森 c （有干；对因为li112~ =l ，所以由极限的保号性，存在正整数N ，使得当n > N 时，有u, ，> 0. ”-~ U,' 1 ( 1 1 ) | 1 1 1 n u 由于(— 1 )'户1 —+—- ＝—+—－多— （n > N) ，又由 l i m.!.!.._ = l 得到lim 二＝ 1 ，所以，级 u,, U叮I / I Un • U，占 比 ，，一～U,, n--~ 1 n 184 · 数）酝、 l l I — (、11 II > .\' II寸ll,, >O) 与~ _1_ l 凶相同的收敛性．即级奻2 上及散 ．于是由正项级 / l, I l I l " I "•· " I " " I " " I l 奻的IL蚥月别“I-} 级数2 (— !)" I (± f-- 卢）发散即级数2( — I) ] （厂了了）不是坐 对收敛 卜．仆II 劣察级奻), (-I)" I 1 , I 弓— I) （汇 I lI,r l ) 足条件收敛还是发散 级奻言( - 1) ', l (t - II] 1 ) 的 I Ii」 II 坝郘分小1 s.. = ( l l l l ] “ 二勹－（了,: . ) · (t f)- • (— I) "'I (』+ l/ l l ) 1 1 = — 一(—] ）”-]— l / I I I,I' 山已知!i _m 』= 0 所以h mS - l/ l l! |l 级数习 ( - I )" I (~ -j II l )收敛 因此级数2 ( — ]) ,,_. I(— '』; ( - 1) " 1(~ -\ ~)条什收敛．应选(C:) . 【评注】 本题难度较大．综合了极限的保号性、级数的比较判别法及其极限形式、收敛 级数的定义． C 200 I . 9 题 , -1 分）设言（I ,, 为11 项级数 ．卜列结论中正础的比 --` (A) ,}', hm/1(1,,= 0 ·则级数之J 凡，收敛． ＂ 贮 · " I (I,) ）名有{I: I I 枣常数入．使得lml/ I(i ，， 入则级数2 化，发散 n-1 （C) 扒级数:化，收敛厕lmW I (i,, = () . " I （［））若级数~ll,，发散· 则存右 I I ，冬崩奻入 ．使得lIm)/（i ,, ＝入． “ 一 答孚 B. 斜析 对二］敛散性的判定同匙．才'1小使 1 '1 接扑I 证．往往可川反例逋过排除法找到止确选项 取化，＝ ．则l I m/I(1, = I I l n 1/ ,' - ().1|| 2u,, = 2 1 发散．扑）除(/\).([)); 11ln 11 I 义取u, = —－厕级数: (i ，，收敛．｛I I ]II11/I, (1,, = ～．排除(C) ．故｝订选(B ) /I 矗 【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式，lim11a,, = lim 生＝入＃0 ．而级数 一 -` l ，i -，力 n . ] 之 ＂二］ I I II 发散．因此级数2 u ,，也发散．故应选(B) . " I • 185 • 11 (2004 . 1 8 题，11 分）设有方程J “ 十几兀－1 = 0 ，其中n 为正整数．证明此方程存在唯 止实根,·,, ．并证明当a > 1 时，级数: 忒，收敛． 分析利用介值定理诃明存在性，利用单词性证明唯一性． 而正项级数的敛散性可用比 较法判定 证叫记j,，（心－义“ 十 1 1.,· - 1 由J,, ( 0) =—} < 0 , j,, (1) = I I > 0 ，由连续函数的介值 定即知 ，方程 .1.“ 十77工－ l = 0 存在止实数根工，，E (0,1). 当r > O 时．广，（．r）＝心',1+11>0 ．可见j;，位）在［o. 十=)上单调增加，故方程矿十1/X 一 l = O 存孔唯一正实数根工， ． 1 - 式 1 111 x" 十叩－ 1 = 0 与义·', > 0 知l 0 < r,, = ＜— · 故当a > 1 时， 0 ＜江＜（气 | ［IJ IL 项级数2 上收敛，所以当a > l 时，级数艺忒，收敛． "= l 【评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖 ，但难度 并不大，只要基本概念清楚，应该可以轻松求证． (2006 、9 题，4 分）若级数~a ,，收敛，则级数 C丈．， ( A) 2 | ＂“| 收敛． (B) 2 (- l) ” G,I 收敛． " I "= 1 (C) > :U, ，u ，汁－I 收敛． t (D) 2 a, ，十ll, ，1 1 收敛． 2 " I "= 1 答卒 D . U 斜析 II.12u ，，收敛知~Cl ,, 1 1 收敛，所以级数2 也，十lL，冲l 收敛，故应选(D) . 2 “ l , , l , l= 1 【评注］ 也可利用排除法： 取a" = (-1)" 1 一，则可排除选项(A) I— 4 + 2 I = 2 . llll.1 <— •I 或 、r>O 时 ．幕级数发散． 可见辅级数的收敛半径为 2 . 是诸f 级数~ Cl ，心－3)" 当 1 .1 - 3 I< 2 ．即 l < x <5 时收敛 ｀ "= 0 ( 1. 5]. 故2 u,,( T - 3)” 的收敛区间为C l. 5). " (I C勺 另外 ，孙级数~a ,, (.1:+2 )” 在x =O 处收敛 ，相当于幕级数2 a ，心－3 ）” 在立＝5 处收敛 ． , i = 0 , , () 故所求收敛域为(1 . 5]. 【评注】 收敛区间特指开区间 ．而收敛域应考虑在端点的敛散性． • 188 • 三 、求幕级数的和函数及数项级数的和 (l 987 ．六超1 0 分）求斜级数笘古＇户］的收敛域 · 升水其和函数 分析 先川公式求出砾级数的收敛半径及收敛区间，再考察端点处的敛散性可得到收敛 l..' ,.,. ,,. " -· _, _.L1' ,u ~、“ 域将寤级数: 一x" I 轧化为扯本悄形2 土，即可水得和闲数 112" "= 1 N 囚为P = lim I a,,I I | n2” 1 ，1 . ．言= I im ~ =—，所以收敛半径R = 2 ，收敛区间为(— 2,2) . ,;·:·: (n + 1)2 '叶I 2 斜 , 2 ] J1 1 = 2 11寸．级数 一发故，当立= -2 时，级数艺 ( l)” l I 211 - — 收敛，所以砾级数2 上又''l ” “ 1 2/l ,'= 1 1/2” I 的收敛域为[- 2,2). 令S ( 已I) = 2 主＝笘+(宁) ．则 S'(x) = + 昙（号）,,-, = ½~ = ~( - 2 < .r < 2) 1 工 2 —、飞 2 所以S(t) = S( 0) +[S(l) dt = ［卢山＝－In (1 - f) (- 2 :,( .1 < 2) 千是，当.l # 0 时2 卢－（ ］= ：归）一开（1 - 告）· 当x =O 时，［2 古” \]＝宁 因此，2 士 ] ＝厂 - +. l n(l — 号） - 2 ,s;;; .'.l. < 2 ,.1#0 , 几: = 0. 【评注】 求幕级数的和函数，一般先通过幕级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性 oo 质将其化为典型的幕级数求和问题：~ .l气 " 一o (1990 ，四题 ．6 分）求幕级数~ (2 11 1 ).1.·" 的收敛域·丿｛求其和闲数 ', o 分析 可直桵用收敛半径公式 ．求出收敛半径及收敛区间 上区回端点处的收敛性可转化 为数项级数敛散性的判定 ．进而得到收敛域，在收敛域内水和函数． I 也 1 I _ 1: -- 2 11 + 3 因为P = hm = hm ——- = l ，所以收敛半径为R = 』＝ l, 收敛区间为 ＇， ． 飞厂 ,i · , 2n + 1 p 斜 (-1 . 1) , 当义＝－ l 时，原级数为2( — l )"(Z n +l) 发散 ， ＂一 1 • 189 · 当? -= 1 时．原级数为~ (2 11 + I ) 发散． " 一 1 故所求的收敛域为( - I . ]). 和函数 S （工）= ~(211 -1).r" = 2~nx"- ~ .r" ', o ,t, n- 0 =2心(x") 1 + ~x" = Zx( ~ _i-")1 “ 1 , O ,, I = 2x(1 : a)1 + l 』.1 = ( 11 一：（－l< 文: < 1) 1 1 - 』 (1993 ，五超7 分）求级数~ (-1)"~厂'I -l 的和． 分析 数项级数的求和问题一般可通过构造切；；级数 ．转化为骚级数求和函数问题． 应先设法对数项级数进行变形 ．以便构造易于求和的幕级数形式． ~ ( - 1 ) ＇，沪— ?1 + l 2" = ~11 ( 11 - l) （－勹－上 “ 2 十昙( 2) · 奸 儿何级数2 ( －打＝ ] l =亨，令SC.d = ~11 ( 11 —1).r" ，有 1 - (- 了) ”2 l \,, 2 (.l') = L11 ( 11 -l )尸＝（2IU'I I )' = ( 2 1 ." )”=''= (- l < 1 < 1) ”- 2 n I) (1- .1.) (l - `r) ,I 于是 笘11(11 - 1)(－主）= （— ½)'s( －告）＝十· 2 , ＝卢 (1 -i-- ½) 所以 ., 乙＿J (- 1)'' 矿一 11 - l 2 . 4 22 ,r-O 2', ＝了十否＝歼 _ ( 1 996 ，五题 ．7 分）求级数之 l "- 2 (汒－1) 2" 仆勺不I I . 二- 对于级数2 , l .t·“ l ”-2 (11" - l )2" 先将其转化为求骈级数2 ? 的和函数，丙令x = — .> 1/ - - 1 2 ,,' 以求得数项级数的和． 分析 -·· 斜 令S （心＝2 ，-Tn 有 ”-2 7/ · - l (t) = 2 ;1- 1 =+（2,1 勹－2,1:+ 1) ＝彗；三— 归］古式子O) ＝令2 : — 卢（习=;; -.1 一卡） 因为 所以 J：：是 乙． 2.1', ~ I~ ' ] = “ II n I I。I ',-1 cl1 = J , ，言1 ”一' cit = ．［二dt =- ln(l 一心(-1 ~上· < 1) . .1` 2 In ( 1 1 l . 1 S(.1. ) =— — - J) + - - I + - ln (l — .1·) (— l ~.r< l ,.i- =j.= O) . 2 千,I ·· · 2.r 2 l = S 尸）＝立＿立 (/l ? - l) 2', 2 8 4 In 2 , "' 190 • 1 +x2 回(2001 ．五题．8 分）设f釭）＝｛ 工 arctan.r . .l'#: 0 ．试将J( ．2) 展开成1 的幕级数 l , x=O 并求级数〉(- l) " " I 1 一4II2 的和 分析 幕级数即可 l + i立 由千－－~=x1+ x 已经是3 的幕函数形式 ．所以只斋将arcran.1 展开成`r 的 斜 因为 所以 义｀ ,. I 1 (arctan x)· = 1 + 工 2 = 2 ( - l) ”产( - 1 < .1· < l) , " 一() 二 arctan x = ~ ( - 1 )" 211 + 1 艾2u · I(— l 冬x ~ I ) n=0 l +.,.2 arctan x = 工 2 二1?，＇+ 2 ( - j)” 矿”: ”- 0 妫＋ 1 " u 211 + 1 = 1 + I: 、 (- 1)" ' .1 211 + 1 ．一”- 2 ( - l) " I ·'" ”-l ,, I 211 - l .I = 1 + I: ~(-1)" • 2 产(— l < ．r 冬 l . x-:f:-0) ,i- l l - 4II2 又 艾~ l ) . l + 2 勹言／i．2 2 工心厂＝ 1 = f (O) ，丁·是／（r ) = 1 + ~勹;/ l.i 2丘( - 1 冬 “ 1 ,' - l 令艾＝ 1 ，得J(l) = 1 + 2; （-l)” ＝卫，闪此2 ( - l )” ＝互＿上 己 1 - 4 祔 2 ”l l -4 /l2 42 【评注】 1 +.:t.2 (1) 对于本题，不能直接对函数 arctan x 逐次求其一阶、二阶、…… 、直 .1.. 1 +.1.2 到一般的 n 阶导数，再由此求其幕级数展开式，这样做是非常复杂的．应考虑到 = 丑． x-1 +x 已经是x 的幕函数形式，只需将a rct a n 立· 展开成x 的幕级数 ．特别注意这种技巧 另外，应指出[ 1 + ~ (- 1)" . 2 = 沪］ = 1 = JCO) 这样才能说明幕级数1+~ (-1)" . 2 产 n一1 1 一物2 x一o n 一l 1- 4n2 在区间[- 1 , 1 ] 上表示函数f （工） ． OO L (2) 幕级数:(— 1)”x 2 ＂的收敛域为（－1, 1 ），但逐项积分后所得幕级数: ( - 1) " 又户.2..-1·1 211 + 1 n=0 ,' = 0 的收敛域为[- 1, 1 ] ．须注意 ：幕级数经过有限次的逐项求导、积分不改变其收敛半径及收敛 区间，但在收敛区间的端点处的敛散性可能会改变． oo (-1)" (3) 求级数芝｝ 的和是幕级数展开式的一个基本应用，根据要求和的级数的特点， n 一 1 1 - 4112 oo 在展开式J(x) = 1 + ~ (- 1)" . 2 沪'(- l ~x~ l) 中令 :r = l 即可得到所求级数的和． ＇，一1 l - 4n2 191 (2002 ，七题 ．7 分）（l ）验证困数 卢）＝］一｀`` + 满足敬分方程y" + y' + Y = c' ; 立.3n (3 11) ! 一 ... (— 歹i< . .1 <十中） (2) 利川(1) 的结果求幕级数2 `" ', - 0 (3 I I) ! 的和函数． ( l ) 利用骆级数的逐坝微分忤质 ；（2 ）利用(1) 中微分方程的解 分析 斜 ( ] )由郗级数的逐项微分性丿员．可知 , 1 r- 1 .1··, f'.1" y (x) = - + - - … - + … ..r E R 2 ! '5 ! ( 311 —1) ! . I . j,'- 2 “ y (义·) =.T .c I' .l -—! ... 土 I ! '' ( 3n - 2) 1 + … 心.E R 所以 y " y' + y = l + .l r ::. . r :s — +— 2 ! . 3 ! “ 工 －1 1 + . . . ＇ ．会(E R .1..j, I . .,“ (2) 山已知2 —— = -::-ti ( 311 ) ! y( ．1) ，所以为求: .1 (3n) ! 的和函数，只耍求出yG) 的表达式即 " () 可觥齐次力程y" y'+ y = 0 且牡彻方程为入： 入＋1 = 0 ，特征根为厂＝－上 吾 2 二2 1 ，故 齐次方程的通韶为y=e一寺(C1 cos f/.i- I C, sin 享X) . 1 可设力程y" 十/+y= e' 的特斛为Y . = J\ e' ．代人可得A= — •I枚y' 3 l = - c T ．于是y= 3 y(.r) = c f (C 拐荔 l , cos —工·+ C2s in — .J.·) +-;- c ' . 1HC 2 2 ) ＋了c . lhl) 中的结果可知y(O) = ! ,y'CO) = 0 由此得 (' 2 I = 3 ,C2 = O 囚此 1 ,, 2 ＿上万 y 釭）＝— e + — e- , cos- 父 3 3 2 故 2 产 1 2 今 瓦 (311) ! = y (x) = -;;;- e'+ —e - cos - ,T n~l 3 3 2 I- 1 - 2 文· (2003 . 四题 ，12 分）将函数「(x) = arctan 展升成 髦r 的铩级数 ．并求级数 1-2.1. 2 (- 1)” ', (1 2n -I- l 的和． 分析 本题可先求导 ．利川间接法展丿I· 成邸级数，然后取工为朵特殊仇，衍所求级数的和 奸 2 l l 因为f' 釭）＝— 1 土4~1: =— 2 笘( - l) ",!".J.. 2n 江E ( －了、言 义 .f'(O) ＝王 ．所以 4 1 9 2 . /C.d = J< O) + I: J'(1) d1 =于— 2 I 心(- 1) 4 『] dt ＝于－2 笘~:i- ~ " · 1 -.r E( －李½) ( - l) ” 1 囚为级数2 “ ') 211 + 1 收敛，函数f(x ）在3 = — 处连续 ，所以 2 卢）＝f - 2~ 勹／;1¾fx2" 1 ' , _r E (－宁心］ 令．t｀= - I 2 , 1 村： 叶）＝于一2 芦 祔rl1 J （+)=o . 得 (- l) ,J" I 2 n _j_ l · 尸］＝于－2 了（－1) ＇， 六 ． l 六 己 2三 l ＝广飞）＝了 (- l) " 211 + 1 l k 2005 , 1 6 恩12 分）求骆级数昙－ l ）＇』 1[ 1 +~ — l )]亡的收敛区间与和函数 J (J) . 分析 先求收敛半径，进而可确定收敛区间．和函数可利川逐项求导得到． 囚为lim C11 + 1)(211 + l )+ l 11 (2 11 - l ) " . ( n + l ) ( 2n+ 1) 1/ ( 2II - 1) + 1 = I ．所以当1· 2 < 1 时，原级数绝对收 斜 敛 ．当工＞ l II寸．原级数发散．因此原级数的收敛半径为 1 ．收敛区间为(- l, l) . 记S (1嘈）= 2 ( - 1) ＇广l 211 (2 11 - l ) 又中，心E ( — l ` 1) ，则 " ( - ])" I S' （立）＝~ ~.:i-2" 1.xE (- 1,l ) " I 211 - ] 立r)= ~ ( - 1) ＇广1 :r幻， 2 = l ; 1 , 心E (- 1 . 1) " 二 1 巾下＄（o) = o. s'< o) = o , 所以 S'0) ＝『S1(I) dt =『 ]d1 = arctan .r () o l + t2 沁）= t s'(t)dt = [arctan tclt = .rarct a n .1 —上In (]+ x2) 0 3 2 ? 义~( - j )" I 产” = S,xE (-1 . 1) . J},.T'fli l + 工. 从曲 " I 9 J(t) = 25 口）+ 又- 1 + 产 【评注】 = 2.ra rcta n x —In(1 +.1 2 ) ＋一二．飞:E(-1 .l ) I + .r" 本题求收敛区间是基本题型，应注意收敛区间一般指开区间．而幕级数求和尽 工 没将其转化为形如: — 或2 匹＇户1 的幕级数，再通过逐项求导或逐项积分求出其和函数． ,t l ?l ,, I 193 • (2007 , 20 超1 0 分）设邸级数〉a, ，1” 在（— = · 十= )内收敛 ，其和函数y(x) 祸足 " (I y11 - Zxy'- 4y = O, y(O) = O,y'(O) = 1 (T) 证明 ：a..+2 = ~a,,( 11 = J , 2 ,.. · ); 71 + 1 (II ) 求y （立的表达式． 分析 可将幕级数代人微分方程通过比较同次项系数，从而证得( ] ) ；由(I) 求( II ）． 斜 仁 ( ] ）对y = ~ a,,x" 求一、二阶导数，得 "= 0 、` y' = ~Ila ，江＇，一l "= l y" ＝言11 ( 11 - ] ）化，.i.- '~2 = t (11 + 1)( 11 + 2)a,，江” 代入y" - 2xy' - 4y = 0 , y(O) = 0 ,y' (0) = J ，司得 tc 11 + l )(n +2 )a,,-t2 x”-2 ：加，忑'— 42a,，工" = 0 , CI,) = 0 . (1l = 1,“2 = 0 之心 即纠－4a 。十I; [ (11 + 2) ( ll + 1) ll ,1. 2 —2(11 + 2)an] :r” = 0 ' "= l 比较同次项系数可得 2a 2 -4ao = 0,( 11 + l)(11 +2)a,,-2 -2(n+2)a ,, = 0 ,11 = 1, 2 ,· ·· 从而 2 CI,,. 2 = a,' , n = l, 2, · · · 71 + 1 ( |－| )由a 0 = O,a, = l ,a2 = O. a,. ,.2 = ¾ia,, ,11 = 1 , 2, ·· ．可得 1-111 . __ 2 2 1 = —. “ 坏一3 = ... =—" 2n (2n — 2) 矶 2 a2,, = O , 幻，户1= —cl 2 , ，一 211 故 y = i= 上飞切 I = 工 11 I 2 上(.r ' ) " = xc' n 0 11 ! • n-0 本题为一道幕级数与二阶微分方程的综合题，考查了幕级数的逐项微分法及e' ] 的麦克劳林级数展开式．所以需记住e勹一一一 ，ln (l ＋心等常见函数的麦克劳林级数展开式． l - x 【评注】 四、 函数的幕级数展开 回( 1 989 ，四题，6 分）将函数j．位）= arcta n ~旦展开为1 的轴级数． 1 －艾 分析 幕级数展开有两种方法 ．即且接法和间接法．一般考查间接法，通过适当的恒等变 形、求导或积分等，转化为幕级数展开式已知的函数 194 • 斜 因为['(） 1 义． ＝＝1 + :i' ' ，所以J' 位）= L 1 +儿一 ? = ~ ( — 1)” ～产”（— l < .r < l ) ，有 ,i = 0 f(.1') = f (O) L / (1)d1 = f + [；言(- 1)"t 2" dt ,._ ＝王＿2 (- l )” 4 "=0 211 + I 几如 1 （一］冬 ~r < 1) c 幕级数:(- l )”.2;2" 的收敛域为(- 1,1) ，但逐项积分后所得幕级数2 (— l)" .2 .2叶1 ”-o 2n + l ,1=0 c 的收敛域为[- 1,1 ) ，其实2 (- 1)” x？叶］在立今＝ 1 处也收敛，若对函数f(x) 补充定义 ：f( l ) = .. =o 2n + 1 【评注］ 仁 l+x ＝卫，则f (x) = 互 ( - l)" l im f （工）= lim arctan 1 —X 2 + 2 x 2叶1 在[- 1 - 1] 上成立． - 4 2n +1 工一．l C一俨 l ,r= 0 另外，幕级数经过有限次的逐项求导、积分不改变其收敛半径及收敛区间 ，但在收敛区 间的端点处的敛散性有可能会改变． 回(19 94 ，三（2 ）题，5 分）将函数 ．f釭）=- In 1 , l ＋工 1 4 1 －义 2 + — arctan 义，—上展开成3，的辐级数． 分析 用间按法展开，可以求导后展升或分俯为常见函数的展开式． 斜 （方法—) ,. 可计算f1( ） ] .T J = 1—.1.~ ,- 1 = ~ 沪－1 = t 亡(— l <.rO , i相线y = J(.r) 上点(x . J(.]_ ））处的切线在y 轴上 的攸距等于上[ , ((（）dt ．求贮）的一般表达式 J_、` 11 分析 写出切线方程 ，求出其在y 轴上的截距，然后列出积分方程求韶 斜 曲线y = j(r) 在点（工j釭））处的切线方程为 Y —f(x) = /位）( x-.1.) 其在y 轴上的攸距为f(x ) -.1.J'(.Tl 由题意知f(.T) —寸(.1:) ＝上J' ．I(I) dt ，即汀（心－沪I'(.1.. ）＝『J(t)dI X () 0 积分方程两边对立求导得叮｀IIG) + （1 釭）= 0 ，即[.'.If'(x)]' = O, {-J.1.f1(x) = C1 ｀进咐j 釭）＝(\ In .r + C, CC1,C, 为任总常数） 回(1997 ．三（3 ）题 ，5 分）在某一人附中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行 的 ．设该人群的总人数为V ，在t= O 时刻已华握新技术的人数为五．在任意时刻 t 巳堂握新技 术的人数为工( t ) （将1·( I) 视为连续可微变屈） ．且变化率与巳掌握新技术人数和未驴握新技术 人数之积成止比，比例常数k>O ．求r(t) 分析这是迫简单的微分方程应用熄． 斜 d.1 由已知 ．有一＝如(N-x) ，满足_r(O) =丘 dt 分离变蚁 d.i = kd( ．两边积分街l I 工 l ·一－n =妇十—In C . 义－( N - r) .\J··- N -工 N \JC 矿＇ 即t ＝ 可 K＼，．代入汃0) ＝丑，得C = N 尸工。 ＇ l + Cc ｝沂求r(I) = N-飞\ C凶 J\J - .ro + X oekN, . 【评注】 表示形式 l l 注意在式子－ln 又． ＝kt 十— ln C 中，为整齐起见 ，要合适选取任意帘数的 N---N — .i.- -- . N . . _ (1997 ．四（2) 题 ．7 分）设函数f(u) 具有二阶连续导数，而z = /(e"s in y) 满足方程 千之 于：：：： 一＋ = c 如 归C',7y z ：：：： ．求J (u) 分析 巾题中所给哼式转化为关丁I ( ll ) 的微分方程，韶方程求出f (u) . • 202 • 斜 由复合函数求导法则 a 之 ~ = c ' sin yf'( u), 生＝e'cc) 、yj'(u) 归 Jy 护芝 3 －之 进而—~ = e2·'sin 2 y /'( 11 ) \- c's i n y/'(u), －一＝ c妇 CO 、2yf"( u ) - e-'sin y_['(u), 心 2 - ~ ~"'.YJ ""'~ ' "" .J'.I ' ~'1 U y 2 代人已知等式得 e釭/'(u) = c2'I (u) ，即/1(u) - f(u) = 0 , 韶此二阶常系数齐次线性微分方程得 /(11) = C1 C“ 十C e-" （其中C,,C2 为任意常数） (1998 ，二（3) 题，3 分）已知函数y=y( 丑）在杠意点T 处的增扯公y= 当凶一0 时，a 是江·的高阶尤穷小，）1 （O) ＝ 六，则y(l) 等千 (A) 2 六． (B ）六． （C) 广 ． (D) 六ef . 答孚 D. y6.义｀ l+ 工一+ a ，且 斜析 巾题设可知函数y=y 釭）在点 .J.｀处可微．根据微分与导数的关系 ，可得y'= ~- 1 -.i-' 韶此可分离变扯方程即可． d.r dv 分离变屾得立＝ ？，两边积分得 In y = arctan.1 + In C . 即y = Cearc,an T ．代入y(O) = y 1+ 了 iT ，得C = iT ．于是y = iTC·"'"'""'.y(l) = iTCf ，故选(D) . 【评注】 由 t::.y = 沪釭· ,, 1 + 工 + a ，根据导数定义得 y'= lim 竺＝ Ii m (~ 十立 ＝ y 凶-“ 立严0 (1 + 了 t)=m 另外，从本题可知．由函数在任恋，点 .r· 处的微分或导数定义，可构造微分方程，这样可 将微分或导数的定义与微分方程结合起来，构造较综合的题目 ． (1998 ．五题．6 分）从船 I向询中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉 探栈y （从徇平面算起）与下沉速丿艾u 之间的函数关系．设仪器在亚力作用下，从淘平而巾静止 开始铅山下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质址为m ，体积为B ，悔水 1九 正为P ，仪器所受的阻力与下沉迷段成正比 ．比例系数为!?Ck > O) 试建立y 与v 所满足的徵分 方程，并求出函数关系式y=y(v ) 分析 巾牛顿第二定律列方程 ．片水解． 斜 设沉放点为原点（）.()y 轴正向垂直向下 、则由牛顿第一定律得 d飞 Ill — =mg －坎— kv dt2 其中 ？）＝赻．进而立）＝业业＝，V 业 dv di •-'"-'- '"'dt2 dy dt v dy • 千是所列微分方程化为 111V dy —=mg —B0 - kv. 分离变册 dy = _______!!33!___ cl v ．两边积分 mg —即－妇 Ill V Ill ( Ill /.f —和） y= - — — l n(mg - 柲— kv) + c k 妒 • 203 • 代入初值条件v i y II = 0 ．得C= Ill (I/If,; —印） \ II 妒 ln(111g -即） ． 所求的函数关系式为y = - 罕－m （mgk；即）In[~ 尸［一妒ku l · 【评注】 本题是一个难度不算太大的物理应用题，但由于题中涉及较多的抽象字母 ． 运算秸显烦琐，应注意计算能力的训练． —(2004 . 16 超 1 1 分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离 ．在触地的瞬间 ．飞机 尾部张开减速伞．以增大阻力九上飞机迅速减速并停下． 现有一质拭为9000 kg 的飞机，祚陆时的水平速度为 7 00 km / h. 经测试，减速伞打开后 ． 飞 机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 1~ = 6. O X 10勹． 间从若陆点符起 ．飞机滑 行的最长距离是多少？（主kg 表示千克，k m / h 表示于术 ／小时） 分析 本题是标准的牛顿第一定理的应用，列出关系式后冉俯微分方程即可． 斜 （方法一 ） 由题设 ．飞机的质址，n = 9000 k g ．右陆时的水平速度Vo = 700 km / h. 从 ，机接触跑道开始计时，设，时刻飞机的滑行距离为.1 ( I) ，速度为v( t) 根据牛顿第二定律 ，得 义 山以上两式得 dv 117 —- =- kv dt dv dv clx dv - = - —· - = ·u — J1 d.:i: cit - cl.:i. 釭＝－巴dv k 积分得式）＝－詈u + C. 山于v(O) = v。心（0) = o . 故得C= 巠四，从而 印）＝；口－v( I )) mv 。 9000 X 700 当 v( I ) －►0 时，辽l) －►—— =＝ l.05(k m ) . Ii 6. 0 X 106 所以，飞机滑行的报长距离为 l. 05 km dv （方法二） 根据牛顿第二定律，得m —= －妇 ，所以 dt dv k -- = - -dI V I?1 ` 两端积分得通韶v = Ce ；；；＇，代入初始条件计 ＝环韶得C= 玑 ．故 ' (I 飞机滑行的最长距离为 , 叭t) = V。e ;;;, r: = I。 如）d1 =－宁e 占，厂＝宁＝L 05C km) 或巾扣 dI —= V。产 ．知．r( I ) ＝『玑C 占cit =－包(e ~'- l ) ．故蚊长距离为当/ -.. 了II寸 ．r(I) m • 204 • K·u(1 -►— = I. 05 (km). Ill （刀法二 ） d 2 ~,I. 根据牛顿纶二定律，得m - - = - K —邑 d.1、 d1 2 " dt. cl2.r 上k d.r ——= 0 cit' m dt k 其特征方程为入'+—入 ＝0 ．韶之得入 O ．入 fl = .,= - － ，故 III I/1 { k-m e ,3 c + c __ 立 c~ I/iV (} k ，于是 如· I kC~ 1 = - - — 一气 ；；；' I =环，得C d I 1= 0 /l i = O, v 由．｛ nru() (I k .r ( l ) ＝飞－ －e ;;;I) ' 11 I -十＝时．.r ( I ）－►~ = l. OS( km) k 所以飞机滑行的最长lil订岛为 1. 05 km. 【评注】 本题求飞机滑行的最长距离，可理解为 t -十00 或v( t ) －►0 的极限值，这种条 件应引起注意 ( 200 5 . 2 题 ．4 分）微分方程巧＇／土2y = .Tin 、1 满足y (l) = - - . 9 的侃（为 答孚 斜析 1, l y=- 义·In.1.. — — J . 3 -· -·· -- U 2 原方程等价为y 1 -I- —y = In 父，丁是通斛为 ，艾 Y = e.『7 d, ［』．In x • c.归心＋C l l l = — .1 · I n.J. 、一— 又-+ c~ 3 9 丁 = + . [J几今I n 如+ C ] 巾y (l)=- — 得C = O ，故所求韶为y = -;;-xln '.l_ - — .J.' . 9 9 【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型 ，另外，本题也可 如下求解 ：原方程可化为 :i- 2 y' + 2xy = x 2 ln 工，即（工2 y)' = 立. 2 I n 工，两边积分得 F 1 工z y =工2 ln x dx =—工3 In 工— —沪＋C , 3 9 1 再代入初始条件即可得所求解为y= — x ln x - —x . 1 3 9 ( 2006,2 题 ，4 分）微分方程y' =,y (J - 义.) 的通解是 答孚 纤祈 y=C扛 ＇（1 # 0 ) ．C 为任意常数 原方程等价为 芒＝ （于－] )d.,· • 205 两边积分得 I n y = In x-.r + C 1 ，整理得 y = C.re .x , (C = (/,) m c2008 ,9 题，4 分）微分方程.ry'+ y = 0 满足条件y(l) = 1 的解是y = 笭哀 ] y= —. 丑． 0. 分析 本题为高阶常系数非齐次线性微分方程，有标准的求解方法 ：先求出特征方程的 思进而写出对应齐次方程的通韶5 ；其次待定系数水出北齐次线性微分方程的一个竹韶y` ; 仗后写出非齐次线性微分方程的通f1W,y = y+y· . 斜对应齐次方程的特征方程为矿＋6 入2 + (9 ＋矿以＝ 0 可 求解得根为入］= 0 畸入23 =－3 士ai ，故对应齐次方程的通韶为 y = C, -e一3' (C2 cos (LT + C.1 邓In (l.1) 设非齐次方程的特解为y· = Al ．代入原方程得 I\ = l 9 + a 2· 所求微分方程的通解为y = C 1 千e 3·' (C2 cos a..r T C，叩in a.l:)+~ 9 +a2· 【评注】 本题也可先作变量代换y'= u ，将原方程化为二阶常系数线性非齐次微分方 程进行求解． 肛卧1 988 ，五超8 分）设函数y=y （心满足微分力程y" - 3/ + 2y = 2e勹且其图形在 点(O,l) 处的切线与曲线Y = x'-.1 · 一］在该点的切线汛合 ，求面数Y = y(x) . 分析 本题实际上是求二阶常系数非齐次微分方程的一个特解 ．初值条件由题意确定为 、y(O) = l,y'(0) =- l. 斜对应齐次方程的特何方程为 入2 —蚁＋2 = 0 得入I = l ，入2 =2 ，则对应齐次方和的通解为y = C , e'+ （-，飞' . 可设原方程的特解为y. = A..1C＇蛉代入原方程得A =— 2. 故原方程的通解为y=C飞＋C2 泸－2.lCr ．其中( \ 、C, 2 为任笣常数 • 206 · 所求函数对应的仙线在，I，气CO . l) 处的切线与仙线y = .r z _ 工 ...L 1 小该权的切线正合 ．们 y(O) = L,y'(0) ＝— l, 得C, = l.C2 = o . 故所求的函数为y=Cl - 2x)c' . 【评注】 注意利用函数y = y(x) 的图形在点(0,1) 处的切线与曲线y = x2 — x+ l 在 该点的切线重合确定微分方程初值条件的方式， ([989 ．二（3) 题．3 分）设线性无关的函数 ·\' l ＇沁 · -\只都是二阶 II；齐次线性微分方秤 y" ＋叭心y' -f- q (.1 ）Y = _f(.r) 的侃( . c1 ，亿是任意常数 ．则该非齐次线性微分方程的通韶是 (A )Cy1 + C立2 + Y-<· (B) （、1 .V1 + （占y 2 - ( C ` l + ( `2) v, . CC)C1.)11 + C2.)'2 —( l - （、I - <'2) YJ · ( D ) （、1 Yi + Czy z + (1 - C、1 - （＼）沪 · 答床 D . 斜析 此题主要考全二阶线性微分方程韶的性质及结构 根据线性微分方程韶的性质y 1 -.)为心＇2 - y , 足齐次方程的两个线忤尤关的附 ．丛l 而升次 方程的迪侃（为C 1 < Y1-y,)+ （江Y 2 - Y 3 ) ，所以非升次力程的通解为 C1 (yl - y :, ) + C:1 (y2 - y , ) +.Y:i = Ci Yi I- C, y , + (j —("1 C~) Y:i 答栥选( D ) . 叮(1989 , 五题．7 分）设j(.l ）= s in .r —j:( l - I) ／（t)d t ．其中/(.r) 丿、j 连续函数．求 J (.r) 分析 先在等式两边对1 求导，消去变限积分4名丿京方程化为关于未知函数j釭）的微分 方程，由求侃（该微分方程 斜 IQ) = sm J - ]u (i - 1) /（I)d1 化为 两边对立永导得 即 两边冉对 .:t' 求导得 / (.1 ) = sin .1·- .1 f,,J (I)d1 +『川(I)dI j'(.r) = co 、贮r - I r J、(I) Jt - .J、/ （r) －汀(.1·) 。 j'( 义-）= cos.? - I, j .( t) dI " j“( `t·) + J (t) = - SI I1 贮r 令r = O . 由（1) (2) 式 ．得((0) = 0 . /CO) = I ( l ) (2) 千是，原问题就转化为求微分方程j”(x) ＋J(1) ＝－、in.T 满足初始条件j{O) = 0 ./(0) = 1 的 牡fff( ． 方程广（x) + f(x) =- s i n.l 对应的齐次方程的牡征方程为入2+ 1 = 0 ．特征根为入！；一 ± i . 故对应的齐次方程通韶为C ,co s 艾丁C2 sin .L 囚为士 1 是特征根 ．因此原方程的特解可设为 y = x(Acos.1 十Hsin .r) • 207 • l ] 代入方程得A= — ,B =O ．所以方和的逋韶为y = C`l lO 、r -\- C 2 sin 工＋－_rco 、飞 2 2 I. , 1 代入初始条什/C O )= 0 ./(0) = I ，得C , = O,C2 = ~ ．从而J釭）＝—汛1 上十—义cos.t 2 2 2 【评注】 此题是一个积分方程，但要注意题中隐含的初值条件f(O) = 0,J'(0) = 1. I盲(1990 ．三（3) 题，5 分）求微分方和y” + 4-V1 + Ily = c-2 r 的通韶（一般／［作） 分析 本匙足水韶二阶常系数非卉次线性微分方程的油解，利用＿阶＇i;i 系数非齐次微分 力程f叶的结构求斛．即先求出对应升次方程的通斛:;; . 然后求出非齐次微分力程的一个牡俯 y 厕其通韶为y = y,y 斜 对应升次方程的特征方程为 尺十忧＋4 = 0 得入1 = 入2 =- 2 ，则对应齐次方程的迪/1作为了＝((` 1 -I C~ r)e－趴 可设原方程的牡韶为y· = A尸e ” · 代入原方程得/\ ＝上 2 故原方程的逋侃（为y = (C ] C飞）c -2., + －义2 c刁＇ ．其中 C'i . C , 为任惹常数． 2 【评注】 对二阶常系数非齐次线性微分方程，当 自由项为多项式、指数函数、s in 釭，cos 釭以及它们和、差、积所得的函数时，要熟练掌握求特解的方法． 区jJ 099 1 ．九题 ，8 分）在上半平而求一条向上 1卫l 的仙线．其上任一点P (.r- , y) 处的曲率笘 丁·此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与？轴的交点），且曲线在点(1.1) 处的切 线与 x· 轴平行 分析 本题为儿何应川问题，先写出 ,1 11 率与法线方程 ，然后根据题总列出微分方程并求 fif（注意 · 曲线向卜凹总味着y" > 0 ．曲线fl点( 1. 1) 处的切线与 .r 剞U 平行总味祚有初始条件 ： _y(l) = 1. y'0) = 0. 斜 设所求仙线的方程为y = 汃r)(y>O) ．其在忏 点P （工y) 处的法线方程为 y - y = - l, < X - .,·) y 七勹1 轴的交点足(1 + yy' ．o) ．从而线段PQ 长度为✓G7Y+?=y ✓厂尸了气恨据题意 ． 有微分方程 I y” I = l 1 + y'2)f y 厂 山千y" > 0 ，得方程yy" = L I一 ．y ' i , 目满足初始条件 : yCl) = l, y'(l) = 0 这是不显含A 的可降阶的二阶方程．令 /J = y' ，有y', dp dp = p —- ，代入方程得yp — =1 + p2' dy dy 分离变址得 pc.Ip - d 1 + /J2 ＝立 ．两边积分得』＝了＝C 心＇．即凶＋沪＝Cly. + IJ Y 代入初始条件y(l)=l . y'(U =O ．得C 1 = l ．因此布J厂亡了T = Y · 即y' ＝士✓-7二了． • 208 • dy 厂 ＝土 cl.! ．两边积分得 In(y I ＼冗一勹）＝二工＋C` 代人y( I) = 1 得（：＝干l ，所求曲线的）丿才111 为lnCy + ./:7二l)= ::r: (.r - l) ，即y= — (e' 1 2 l, e', ) . 1+ 【评注】 本题综合考查了导数的几何应用、微分方程等多个知识点 ．有一定的难度与 计并泣另外．求曲线在任意点P (x . y) 处的法线方程时，由于任这点已用x 和y 表示，因此 法线上任惹点的坐标设为(X .Y ) ．以示区别． (l !)!J 2 . 四题 6 分）求敞分）i f',l y" I 2_v' — 凶＝c 1 的通侃( . 分析本题是求韶二阶诮系数 II 升次微分方程的通）解 ．利丿1 」＿阶常系数非齐次微分方程 佣／（的钻构求侃（ 书即儿求出对应齐次））才早的通侃（；．然后求出非齐次微分）丿程的一个特韶y' ．则 丿[il!i fff（为v = v -l y . 斜对应齐次方程的特1ll 方种为 入'+ 2 入－3 = 0 得｝l 1 = ] . 入2 =- 3 , 则对应齐次方程的迪韶为§ = ( ` l e2 一(、2 C J, . 可设原）丿干早的持解为.v · = 心c .代入）队方程得A= - 』 . 故／原力程的通韶为y = C i c ' 土(•, C .1 , - 上re “ ．其中C 1 立为打岂常数 ( 1 994 ．五题 ．9 分）设／（l) 具钉一阶连纹导数，f(O) = 0 ,/(0) = 1 ，且 [.ry( 工+ y) ( (l) v ] cl 1 + ［f' （立）+ .i·2y] dy = o 为全微分力程，求j｀位）及此个微分方杆的迪僻 3Q ap 分析利用Pd1 -Qdy = （）为个微分方程的充分必要条件是－= － · 求出．r 釭） ．然后 心·砂 韶方程水通fII1( ． 斜由个微分方程的允分必婓条件介 叩'(l) I i . v ] = a [工y (～飞＋y ) - J(l)y] a. , 心 即( ( . r) f- 2.ry = .T2 + 2.ry —J (?)．亦儿广(.r) +「（t) = l } · 侃（此二阶楷系数线件微分方程衍 j (i) = ( ` l C( ）、r+ （左s i n .x+ .r2- 2 1 11 「(（））= 0 . j·1 (0) = 1 ．得亿 ＝ 2 .C = l. 所以 J (l) 2c() 、l 十邓in x +.i-2 —2 原个微分方程为 [ .ry - y(2cos x - 叩r) I 2_vl cl.z· + (- 2~in :i:: - co 、l f- 2.z f- 心）dy = o 凑微分 占d( 义2 .)i2 ) - 2 d (J入in .d I dCyco;;.:r) - 2 d ( 飞y) = 0 囚此原力捍通解为了了— 2吓in ;飞＋yco 、 i· + 2 又-y = C. • 209 • 【评注】 对于全微分方程的解法 ．除了题中直接凑微分外 ，还可考虑用笫二类曲线积 分求原函数u (x,y) = r p （父，Yu )dx + L Q ( 飞,y) cly , 通解为u (.1.: , y) = C ；或用偏积分法 ·' o J .>。 atl au - = P, - = Q ，求出 u( x ,y) . ? (x 3y ( l 996 ．一（3) 题 ．3 分）微分方程 y11 - 2 y' - 2 y = er 的通解为 答孚 y = e·' CC1 cos.r + C2sin .1.) + cI . c！心为任意常数． 斜析 本题求僻二阶常系数非齐次微分力程的通推，利用二阶常系数非齐次微分方程韶 的结构求筒即先求出对应齐次方程的通韶5 然后求出非齐次微分方程的一个特韶y ' ，则其 通侃（为y=y+y· . 对应齐次方程的特征方程为 A2 - 2 入T 2 = 0 街A1. 2 = 1 士 1 · 则对应齐次方和的通解为y = c' (Ci cos x + C 2 汕i n .1 ）． 可设原方程的特韶为y· = Ae ，代入原方程得A = l ，所以原方程的特解为y· = er . 故原方程的通俯为y = e' CC1 cos 义· 十C 2 汕in .r) + e上 ，其中C , ,C2 为任觅常数 (19 99 ，一（3) 题 ．3 分）y" — 4y ＝泸的迪解为y = __ • 答孚 C: e2., + C2 c-2r + ] -~te2.r . c 、 l ．长为任意常数 4 斜析 利用线性微分方程的通斛的结构求雉 先求齐次微分方程y" - 4y = 0 的通斛y . 特征方程为入2 - 4 = 0 ，得入1=2 ．儿＝－2 所以，齐次微分力程的通解为5 = C 1 芢 －I- C2c-2 ' . 再求非齐次微分方程y" - 4y = e2' 的一个特fII{fy' ，心＝2 是特征方程为入2 — 4=0 的单 根，则设特解的形式为y· = A江气 将y· 代人到原微分方程，得A ,—.:i.·e2' . ＝— . 原微分方程的通解为y = C1 e2' + C , e-2工土 (1999 ，五题 ，6 分）设函数y( 义)（.1，~ o) 二阶可导且y' (x) > 0 . y(O) = 1 过曲线y= y(.z) 上任慈一点P<.1·. y ) 作该巾线的切线及3 轴的垂线 ，上述两直线与 ~t 轴所围成的＝．角形 的面积记为S 1 ，区间[O ．上］上以y=)心）为曲边的曲边梯形面积记为s , . 并设2S 1 - 5 2 恒为 l ，求此曲线y =)心）的方程 分析 由儿何意义 ，求出S 1 - S 2 . 利用25, -s, = 1 得到关千y(.1) 的积分方程 ．韶此方程 ． 求：H y= y （心． 斜设过点P C.r . y) 的切线方程为Y-y=y' 釭）（x - .r) ．与义轴的交点为仁－ .: , o ) 且由题设，知y 釭）> 0. 因为S , =½ylx-(x-1) 1={;, l =了 - ．2 一7) ＝亏且S2 = J: y( t ) dt 巾条件2S 1 — 5 2 = l ，气－『y(t)dt = I ．两边对x 求导整理得yy" = y'' • 210 • 且满足初值条件y(O) = 1.y'CO) = l 入 ' dy,, cl2y dy' d y dp -.{y' = — = =—- = —- ．一＝ ！）一．于是 ．ypp' ＝矿 ， L!II yp'= p . P · 则y d.1 cb·: dy d.r,. dy 韶此微分方程，得通解为y = C(' l 只，县中C 1 心为任意诮数 于是，利用条件y(O) = l, y'(0) = J ．满足特定条件的特韶为y = e' . 【评注】 注意积分方程隐含的条件y'(O) = 1 `, (2000 . 一（3) 题 ，3 分）微分方和ry" + 3/ = 0 的通解为 . 答孚 C y = ~ + Cz . 又.. 斜析 这是不显含y 的二阶微分方和． 令y'= l)· 则y”= p / ，于是 ．一1-p1 + 3p = 0 ．这是一个可分离变献微分方程． dp 3 C - ＝- — cl .'.l ，讷边积分，得 ln p = - 3ln'.l. + In C ，从而p= 六，即y'=- · C IJ 再积分一次 ．即得原微分方程的通韶为 C , r • C, , r• fr• _ C y = — 了＋C, ＝言＋（；伈＝－言 (2001 ．一（l) 题 ．3 分）设y = c'(C'i sin 父－＋C2cos 心(C I ' 亿为任意常数）为某二阶常 系数线性齐次微分方程的通解．则该方程为 答卒 y'＇－2y1..L2y = 0 令干析 由下二阶常系数线件齐次微分方程由其特征方程唯一确定 ，因此山通解表达式得 到对应的特征根，即可确定特征方程 ｀从而得到齐次微分方程． 根据二阶常系数线性齐次微分方程的特征根与其通斛表达式之间的关系，可知特征根为 一对复数根入1. 2 = l 土 I ．根据根与系数的关系．得特征方程为r-2入十2 = 0. 囚此相应的二阶常系数线性齐次微分方和为/ - 2/ + 2_y = 0. 【评注】 对于二阶常系数齐次线性微分方程J'+py ／十qy = 0 ，函数Ae立＇是其解的无要条 件为入＝a 是特征方程尺十队＋q=O 的根；函数Ae"'sin 位: ,B e"r cos f3x 或e"'(Asi n 位:+ Bcos 应） 是其解的无要条件为入＝a 士(Ji 是特征方程尺十队十q =O 的根 = ' (2002 ｀一（3) 题，3 分）微分方程yy" + y'2 = 0 满足初始条件y| = 1, y' ，二O 广' = o 2 的特解是 答孚 .l =.'.l + 1 或y= ll平丁． 斜析 这是不显含1一的可降阶的二阶微分方程，令y' ＝p 降为一阶微分方程． 令y'= p 原方程变为 yp 贤＋矿＝0 有 /J = 0 或y 拉勹＝0 cly 显然 /J = 0 不满足初始条件y | = l .y' ＝」 工 u 2 • 211 • 勃 J/J _ dy,11;• 1,m1 \.'. 11 , C （、 囚此必有y — · d v ／丿＝0 ．即一＝－－．曲边积分得 /J = :_ I 翡l y' =__!_ ．代人初始条件y1 = I) 、v··-··--·· · y y'I l l 2 1 !!,(. I =— · =— 2 · I 丁是y' 一 . L!|l 2ydy = d 1 ．两边积分得y· = .l 一（｀． ，代入y 2y 故所求特韶为v ~ = l 十 ］或 .v = ✓厂丁丁． .)1 = I . f 廿 ( 、? = 1. 1 (20 0 3. 七题 ．12 分）设函数v - v(l) 在（一一口． I , 、）内贝有一阶计数 . 11. y'=I= o. x = r(y) 是y =.)'Cl) 的反函数． (1) 试将c = .r(_\·) 所满足的散分Ji f"i' d ·. -r d -l. .` 王＿＿(v - ` l l l ·— cly'· .·. x) (~) = I) 变换为\. = "\＇( ～l) 满 足的微分方秤 ； (2 ) 永变换后的微分方程r曲足初始条件．y( O) = o . y'(O) 分析 应汴总 ： 3 ＝一的韶． 2 归＝立产）＝ (1 (勹· 也＝二 ．』＝－《＇ dy dy dy d i y d)'\',: y (y' ) 然后再代入原方程化简即可 ． 矫 cl.r 1 (1) 由反函数的求导公式知一＝勹 ．于是有 dy y 止＝立产）＝丛凸） ．生＝二 ．』＝－ y', dyi dy dy d l y dy v v (y' ) 代人原微分方程街 y” - y = S l n.1. (2) 方程(·X· ) 所对应的齐次力程y” — y=O 的迪侃（为 ; (, I C'一千(..2 e ' 设方程（＋）的牡f1f（为 V 一 ．仁＼cos.-r - B s111 .1 I 代入方程( -):) ．求得八＝0 . B =- — ，故y· 2 1. I, __ = - - `` I n . r - 2 从 1 rii y" - _y = sin.r (I 、J 迪IllI( 是 y=y--t.\'. I = C 1 c'- ( \ c' - —SI n 工 2 由 y(O) = O. y' = - l . }l ! 人所求初（自问题的（时为 I y - u' — e' - ~sin .r 2 【评注】 本题的核心是笫一步方程变换． ( 2004 . . [ 贞 ． ，1 分）队拉方程 t 趴＝0 ( i > 0) 的通韶为 d'\''Cl V —-- l 义．一 d`t - cl 1 答卒 （．（、一． y= ~ 十~ . X. I • 2 l 2 • (*) 斜析 欧拉力程的求韶有固定）丿法作变址代换．l" = Cl 化为常系数线性齐次微分方程即可 dv dy dI l dy 令．l. = l,I ．则一＝—· —= - - cl..{· dt d.1.l ( l/ 臼＝－f 譬 I 勹胪 · 焉＝卢（归飞） 代入丿队力和，整则得 d'y , •) cly -- + 3 - + 2y = 0 dI 2 dI 你（此方程 ．得逋韶为y = C1e' (、I, C2 C: C 21 =— -j ::..+. r ．飞．一 【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式．令工＝ e 『 ，则欧拉方程 d2 y I L-. dy 可化为 釭2 — +bx ~+cy = J飞r) d .:r 匕 d工 a 尸－气＋b 少+cy=f(e') d 广 dt J ' ., dt (2007,13 题 ．4 分）二阶，常系奻非升次微分方秤y" - 11y' + 3y = 2c 2 ' 的通斛为y= 答卒 奸析 (、l e' 十亿e3-'- 2c '·' ，共中 ( \ . (、i 为任意常数 对应卉次方程的特徊力程为 r －以＋3 = 0 入 I = 1 . 入2 = 3 则对应卉次方程的迪韶为y = C1e' !- C五2e;,, . 设胀方程的特fi'1!（为y· =,'\ c 2' ，代入j）仗力程可得 4Ac幻· - 8Ac'' + 3/\ c2'= 2c” ⇒A =-2 所以加方程的特俯为y =-2c2·' ，故）队方和的逋斛为 y = Cl C'+ (`2 c“ 2c山 ．其 l ~I (' 1 、C, 为任总常数 (2008 . 3 题 ．4 分）在下列微分方程中．以y = C1e·'+ C2cos 2x + C., `in 2.r (C 1, C2, C;, 为任汽邯数）为汕ff11 的是 (/\)yh/ +.)'11 - ly1 - 4y = 0. (C).y” -.)'“ —4y/ —1ly = 0. D. (l3)y"' - y" + 4y'+ 4y = 0 ( D)y'“- y” 十l y' —··1.v = 0 答孚 斜析 山通韶表达式y = Ci e'+ C" cos 2.1 CI 邓in 2.1.~ ，可知其牡征根为入l = I ，入2 . 1 ＝士2 1. 可见对应牡彻力程为 （入一 ］ ）（入2 4) ＝矿— X +4 入一 1l = 0 故对应微分方程为YI// — y” 十4 y'-,[ y = 0 应选(I)) . 【评注】 对于三阶或三阶以上的常系数线性微分方程，同样应该掌握其特征方程与对 应解之间的关系 ． 213 • 第二部分 线性代数 早＾ 行扒 历年来单纯考行列式的题不多 ，分值也不高，相对重要的是抽象型行列式的计算 ．另一方 面大家要庄意如何通过行列式的计算来帮助回答矩阵、向证、方程组、特征值、二次型笋问题 ． 即行列式的应用 ． 1 ，产型行列;“ 叶 - -- 对于数字型行列式的计犹主要是用按行、按列展升公式，但在展开之前往往儿运川行列式 性丿员对具作恒等变形 ．以期朵行或朵列有较多的零元索，这时再展开可减轻计符砒．同时 、也要 注意一些特殊公式 ，如上（下）＝角、范德蒙行列式、拉普拉斯展开式的运用． 计算行列式时 ．一些常用的技巧有 ：把第一行的k , 倍加至第 1 行 ；把每行都加到第一行 ：逐 行相加I; ... . a 1 。 (1 996 ，二（5) 题 ，3 分）4 阶行列式 。 b 1 (A)a 1a 2a 3a , —b l b2b3b 1 ( C)(a 1a 2 -b 1 b z )(a 凶 I - I) 1 九 ） ． 0 0 I.人 妇 h 2 0 的值等千 I):j u :{ 0 0 0 如 ( B )u l u 2 U 飞( 1 1...L 仇I} ？伈b , . ( D ) (Cl 2 Cl 3 - b 2 仇）( a 1a , -bi b,) . 答导、 D . 纤祈 这是一个数字型行列式的计算 ．由千本题有较多的本 ．可以直接展开计符．若按第 行展开 ，有 妃 伈 o I I o a 2 h2 D = (1I 伈 G 3 0 —仇 0 b., a 3 。。如仇 0 0 23 b a 、 丿 3 b 2 h 2j' ub I b 3 IU b ,_ " -( . ) 23,,4 bab ] 2 l b 2$ - . ab ,r ',U Q l 1 a ,` ( { ____ 所以应选(D) . 若熟悉拉普拉斯展开式，可通过两列互换 ．两行互换 ，把零元索凋至行列式的一角例如 Cl1 0 0 b1 I I U1 b 1 0 0 I I Cl1 仇 0 0 O u 2 伈 0 I I O O b 2 G 2 仇 G1 0 0 =—= 0 b 3 CL :i O I I O O a , 仇 0 0 (13 仇 从 O O u ！仇 Gi O O I I O 0 优 a2 从而知 a 1 D = bi r 练习亘二｝ b 32 05 __ D 式 § -T ,4 八 义 .1 ”} 00 u 0 b 7 3 02 3 ? 』 － ab ba 2 4?]0 3 ? 】 一 ha 。 2 ．则笫！行各元素余子式之和的值为 . 。 2 。 。 • < -]. 1· II 阶行列式 。 7 ... ,j 00 00 oh oo 。 " h 。 。 " 练习题参考答案 —28. 按余子式定义翡l 求下列 ，1 个行列式值之和 0 4 0 I I 3 ,1 0 I I 3 0 0 2 2 21 + 12 2 2 卜 2 —7 O 0 1 10 0 01 10 = -56 + 0+42- 1,1 =- 28 囚力行列式中有较多的零元素 ．所以川余子式的定义直接求和月不复杂． 如果利用余子式与代数余子式的关系及代数余子式的性质 ．也可如下计打 2M.J =- J\ n - ！从一1.\ n 下．仙 3 0 4 0 2 2 2 2 = I I= 7 1 2 0 - 7 0 0 -I - 1 I - 1 I 2 . 【答了」】 u“ 十( - l) "II //' . ｝析】 按第 1 列展开 ，有 b I . ［笞尸，， [ （: 7 析 2 —7 320 + 20 3 a () 2 - 7 4? 'i O 2 一 ］ 。 21 = - 28 l b a “ h D=a 队一 l) 广i = a" 于(— l) "-1 //' (' b (l b (I b • 215 • 沽思考本题按奶 l 行展开与按奶 l 列展JI· 哪 种力认史简便？ 二、抽象型行列式的计算 ｛试题特点} 对千抽象拟行列式的计符 ，有司能考杳行列式性丿员的即f，队运川 ，有 I Il 能涉及矩阵的运符，也 可能用特征值相似等处理这一类题II 往往综合性强 ．涉及知识点多囚此为生复习时婓(i 怼 知识的衔接与转换．如果内在联系把拆得如＇．韶题叫的思路就灵活．这一类题 1」计算叶一般小会 太大 _ _ (1987 ．五（4) 题 ．3 分）设A 为 11 阶方阵且A 的行列式 I A l= a -c/= () ．而A 是A 的伴肋 知且许，则 I A . I 约丁 (A)a. 1 (B) —. (C)a " 1 . Cl 答孚 C. 斜析 这显一个抽象行列式的计符．巾伴随矩阶的拈本关系式 M' = A · A =[ .4. [ E 两端取行列式 ．并利川 [ AB [ = [ A [ B l 及 I 妇 I = k”| A I 有 | A I . I A | .= A I”| I2~ I = [ A | " 因为 [ A [ = a #- 0 ，从而知 I A · I= a "-1 故肋甘选(C) ． ( l)) u ". ( 1 988 ，二（4) 题 ，3 分）设 1I X 4 知阵A= [ a,r:: ,Y:, .yi] ,B = [ p.y ~ 平，t ］，其中“.Ii, 仇小平均为 4 纣I 列向批 ．且已知行列式 [ A [=1l, [ B [= l. 则行列式 I A + B I = 从而 答孚 4() ， 斜析这是抽象行列式的计符．． 1!1 l :: A + B = [ a + p , Zr~, 2 r 俨I ,2y,] [ A + H l=Sl a + p 平汀，平 I =S CI a.y, .y.y, l+l /J·Y2 •Y1.y, I ) = 8( I A - B > = -10 【评注】 当行列式的一行（列）有公因数时，可把公因数提取到行列式记号之外 ．这一 性质不要与 I kA I= k" I A I 相混淆 当行列式的一行（列）是两个数的和时，可把行列式对该行（列）拆开成两个行列式之 和，拆开时其他各行（列）均保持不变．对于行列式的这一性质应当正确理解．因此．若要拆 开 n 阶行列式 I A + B I ．则应当是2n 个？1 阶行列式的和，所以 I A+B l=I A l+I B I 是不 正确的 ． _ CJ 99 1 、八题 畸6 分）设A 丛II 阶吓定阵，E 丛 I/ 阶单位 1阵，证明A + E 的行列式大丁 l. 证｀月 （方法— ) 因为A 是仆定11,1- ，故存在正父矩阵Q ，使 • 216 • QTAQ = Q一1AQ = A = ［入1 入2 -- " 入 其中入，＞O(i = 1,2, …，n) ，入，是A 的特征值． 因此QTL （方法二） 设A 的n 个特征值是入！，入2, …，入，，．由千A 是正定矩阵，故特征值全大千0. 因为A+E 的特征值是入1 +1 ，入2+1, …，入，，＋1 ，它们全大千l ，根据IAl=TI 儿，知 IA+El=Il （入，十1) > 1 匡量1994 ，试卷 Il, 6 分）设A 是？／阶方阵，且2,4, …，211 是A 的n 个特征值，E 是n 阶单 位阵．计算行列式 I A-3E I 的值 豁（方法一） 因为矩阵A 有n 个不同的特征值，故可相似对角化，即有可逆矩阵P ，使得 p-IAP = [2 4 ·.. 2nl = A 千是 A= PAP- I 从而 A - 3E = PAP-I - 3E = P(A - 3E)P-1 那么 I A - 3E I = I P I • I A —3E I· I p -i I= I A- 3E I .— l l 3 =-[(2n-3)!!] 211 - 3. （方法二） 因为A 的特征值是2,4, … ,211 ，故知A-3E 的特征值是一1, 1, 3, …, 211-3. 由千IAI= II 入，，所以 I A-3E I= (— 1) • 1 • 3…(211-3) =-[(211-3)!!] 配置(1995 ，九题，6 分）设A 为n 阶矩阵，满足AAT = E(E 为n 阶单位阵，心是A 的转悝 矩阵）， I A lO ，故 I E + A l =O 2 1 0 回(2004 - 5 题，4 分）设矩阵A = ［1 2 0 ，矩阵B 满足AHA . ~ 28A · I E ，其中A 力A 的件随矩阵．E 是单位矩阵，则 B I : O l 丞宁． 臼由千儿\ ' = A'A = I A I E ，易见 I A I= 3 ，用A 右乘矩阵方程的两端，有 3AB = 6B + A⇒3(A - 2E) B = A. ⇒矿 I A - 2E I I B I = I A I 0 l 0 义 I A - 2E I = I 1 0 0 I = 1 ，故 B l l = -_ 1 · —. 9 ．因此应填 ．9 0 0 - 1 m(2005 ,5 题 . - i 分）设q 也，＂3 均为三维列向批，记矩阵 A= [a 1 ，贮 ．a:.J ,B = [ a 1 + a 2 + a :i ,a 1 + 2a2 + 4a 3,a1 + 3a2 + 9a 3] 如果 I A I= 1 ，那么 I B I = 釭 2 . 扫（方法一） 用行列式的性质，例如先3 列－2 列再2 列－ l 列有 I B I = I a 1 + a 2 + a, ,a 1 + 2a 2 + '1-a3,a 1 + 3a 2 + 9a 3 I = I a 1 + a 2 十a , ,a 2 + 3a 3,a2 + 5a .1 I = I a 1 + a z + a3, a 2 + 3a 3, 2a 3 I = 2 I a 1 + a 2 + a3. a , + 3a , . a 3 I = 2 I a 1 + a2 + a :i ,a 2,a, I= 2 I a 1 ，亿，“ 3 I= 2 I A I= 2. （方法二） 用分块矩阵 ，巾于 B - [a,.a,a,] [! : l 4 』= A [＼[ 』 两边取行列式 ．并用行列式乘法公式，所以 1 1 l I B I = I A I • 11 2 3 I = 2 I A I = 2. l 4 9 【评注】 计算抽象型行列式本题的这两种解法是重要的． 1Dc2006 , 5 题，4 分）设矩阵A= l I 2 l . E 为二阶单位矩阵，矩阵B 满足BA = B + - 1 2J 2 E ．则 I B I= 虹 2. 吓 由BA = B + 2E 得B ( A — E) = 2E ，两边取行列式 ，有 I B I • A - E I = I 2E I = 4 • 218 • 1 l 因为 I A - E l = 1- \ : 1 =2 ．所以 I B I= 2. 【评注】 本题考查抽象行列式的计算，运用的是矩阵运算．行列式乘法公式等基础知 识．另外 I kA I= k" I A I 不要出错．本题难度系数0 . 485 . 简单题考的不理想要引起警惕． ｛包翌垦｝ 0 A 1. (1992 ．数三．1 分）设A 为m 阶方阵．B 力n 阶方阵，且 I A = a . I B I= r,.c = [ ~ ~ ] ．则 I C I= 2. ( 2000 ，数四．3 分）已扣 ，！阶矩阵A 相似于“,A 的特征位力 2,3 ，年5 ,E 为 4 阶单位托阵 ．贝1l I B - E I= 恒匀题参考答茎9 L 【答案】 (- 1)""ab. （解析） 由拉忤拉斯）如1 式 ，布 0 A I C I= I~~ !=(-]) '"" I A II B l =(- 1)三． 故应填 ：(— l) ”“ ub . 2 . 【答案】 24 . 【解析】 由 ．4 ~ B 得[l 的特征值为2.3 . ，1 , 5 ．进而知B - E 的特征值为 l . 2, 3, · I 故应从 24 若用B ~ A = l2 3 1 』推出B - E ~ A - E进而知 I B — E , ~ A - E l ,jJ 可求出行列式的（八 三、行列式 I A I= 0 的判定 仁担呻点｝ 常用的判断 I A I 是否为零的问题的思路有 ： CD 利用秩，设法证r(A) < 11; ＠川齐次方程组Ax = （) 是否有非零解 ； ＠据 I A I= IT 入 ，判断0 是否是特征值； ＠反证法 ； ＠相反数 I A l=-1 A I. 肛讥L 989 二(5) 题 ．3 分）设A 是4 阶矩阵，且A 的行列式 I A I= 0 ，则A 中 （A) 必有一列元索令为0 . （B) 必有两列元素对应成比例， • 219 • (C) 必有一列向批是其余列向批的线性组合． （D) 任一列向蜇是其余列向盘的线性组合． 噫恐 C. 畛本题考核的是 I A I= o 的充分必要条件，而选项(A)(B)(D) 都是充分条件，并 不必要 1 1 2 以3 阶矩阵为例，若A= ［1 2 3] ，条件(A)(B) 均不成立，但 I A 1-0. 1 3 4 若A= ［} : ：]，则 I A 1-o ，但第3 列并不是其余两列的线性组合，可见(D) 不正确． 1 2 5 这样，用排除法可知应选(C). 复习时，对千概念性的选择题，错误的最好能举一个简单的反例，正确的最好有一个简单 的证明，这样可加深理解，把握概念能更透彻． mo994 ，九题，6 分）设A 为n 阶非零方阵，A 是A 的伴随矩阵，心是A 的转置矩阵．当 A. ＝心时，证明 I A I# o. 鳍（方法一） 由于A'=A飞根据A 的定义有 A., = a，丿（V i,j = 1.2, …, n) 其中人是行列式 I A I 中a,，的代数余子式． 因为A-::i=O ，不妨设a', ＃0 ，那么 故 I A I# o. I A I = a;1A;1 +a;2A;2 +…+ a,,,A,,, ＝吐＋吐＋…＋a;,> 0 （方法二） （反证法）若 I A I= o ，则 AAT=AA'=IAIE=O 设A 的行向盘为a;(i = 1,2, …，n) ，则 ＂矿＝a71 +吐＋…＋吐＝O(i = 1,2,···,n) 千是a, = (a,1,ai2, …,a.,)= O(i = 1,2, …，n) ．进而有A=O ，这与A 是非零矩阵相矛盾．故 I A I -=;=O. "1(1999 ，二（4 ）题，3 分）设A 是m Xn 矩阵，B 是nXm 矩阵，则 (A) 当m>n 时，必有行列式 I AB I =I= o. n 时，必有行列式 I AB I= o. (C) 当n>m 时，必有行列式 I AB I -=;e o. (D) 当n>m 时，必有行列式 I AB I= 0. 峦莺 B. 鳍因为AB 是m 阶矩阵， I AB I= o 的充分必要条件是秩r(AB) < m ．由于 r(AB) ¾ r(B) ¾ min(m,n) 可见当m>n 时，必有r(AB) ¾ n < m. 因此选(B). 另外，由千方程组压＝0 的解必是方程组ABx =O 的解，而压＝0 是n 个方程m 个未知数 的齐次线性方程组，因此当m>n 时，压＝0 必有非零解，从而ABx=O 有非零解，故IAB l=O. • 220 • 第二章 矩阵 [空空归} 矩阵是线性代数的核心内容，矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终．几乎年年都有 单纯的矩阵知识的考题，而且其他考题也回避不了矩阵的知识，矩阵的重要性不言而喻． 二十多年来，矩阵的解答题考得很少，但复习时，对于填空与选择不要大意失荆州． 一、矩阵运算、初等变换 丘妇 试题简单、基本、但容易失误．由于矩阵乘法没有交换律、没有消去律、有零因子，这和大家 熟悉的算术运算有很大区别，试题往往就是考查这里的基本功，因此复习时对于矩阵的运算要 正确、熟练，不要眼高手低、犯低级失误． 矩阵的初等行变换是左乘初等矩阵、矩阵的初等列变换是右乘初等矩阵，在这里要分清左 乘右乘，记住初等矩阵的逆矩阵． 1 o O 1 rl O 0 血(1988 ，七题，6 分）已知AP=PB ，其中B=[: : _0ll,P= [ - 1 :l ，求A及A气 移）由IP I=—1 -=I= 0 ，知P 可逆，千是由AP =PB 得A =PBP气而 A 5 = (PBP-1) (PBP-1) (PBP-1) (PBP-1) (PBP 一I) = PB (P-1 P)B(P-1 P)B(P一I P)B(P-1 P)Bp-• =PB5P-1 由P 求出 1 0 0 Fl = [ 2-10 一4 1 1] 所以 1 A-PBP一1 = [2 6 因为B 是对角矩阵，易见B 5 = B ．故 -1 -~ll A5 = PB5P-1 = PBP-• = A 回1(1994 ，一（5 ）题，3 分）已知a= (1,2,3),/J= (1 ，少斗），设A=aT,，其中矿是a 的 转置，则A"= • 221 • 吵 3n-1 3 12 1-213-2 . 1-32-31 ＂矩阵乘法有结合律，注意 1 酝＝（1 ，门）［］＝3 ，（是一个数） 而 A = aTp = [] （五）＝ 12 1-21 1_32_3 ,（是3 阶矩阵） ; 于是A"= (aT/J)(aT/J).. ·(aT,）＝矿（酝）（扣外．．（酝）/J = 3.-1 aT /J. 1 1 2 3 色1. 3 3 1 1 所以应填：3,r- ］ 2 l 3 3-2 l au 黜(1995 ，二（5）题，3 分）设A=[“21 a31 pl = : ; :,p2 = 已IPl2]=B. 二 C.经过两次初等行变换得到B ，根据初等矩阵的性质，左乘初等矩阵为行变换，右 乘初等矩阵为列变换，故排除(A) (B). P1P2A 表示把A 的第一行加至第三行后再一，二两行互换．这正是矩阵B ，所以应选(C). 而P2P1A 表示把A 的一、二两行互换后再把第一行加至第三行，那么这时的矩阵是 ［三a21 a3:2 a“三］ [: : ：]，则必有 1 0 1 A 的特征值入＝O=>E-A （或E + A ) 特征值均不为 O=> I E — A l=/= O （或 I E +A l=I= O)=> E - A （或E + A ) 可逆， • 227 • E 练习题3 I. (1993 ，数四．8 分）已知3 阶矩阵A 的逆矩阵为A~1 = [} 1 121 :].试求伴随矩阵A 的逆矩阵． A 2. (2002 ．数四，3 分）设A,B 为n 阶矩阵，A·,B' 分别为A,B 对应的伴随矩阵，分块矩阵C= [ 。 C 的伴随矩阵c· = (A) [ I A~ A. I B ~ B • l (B) [ I B ~ B. I A~ O I B| B. ] （B)[ 。 I A I A ] (C)[IA I B· °] [IB | A.o O I B| A. . (D) O I A I B. ]. 3. (1992 ，数四，3 分）设A,B,A+B,A一1+B一1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A一1 +B一1 尸等于 (A)A-1 +B气 (B)A + B. (C)A(A + B) 一1B. (D)(A+B) 气 1 -1 4. (2002 ，数四，3 分）设矩阵A= G -3 l],B = A2 - 3A + 2E ，则B一1 = 2 3 . : J, 员，J A =A·--—= E I A I 往习题参考答堕9 1. 【解】由AA" =A"A=IAIE ，有 ITTA 按可逆定义，知 (A 于＝击＝IA一I I A 由于(A一1 尸＝A ，求A一1 的逆矩阵，有 (A一1; E) = [} 1 121 100 .,',',. ll3 010 100 -- f -- 001 。 。 00 l1-2 5_2- -1 。 __ 01-2 1-2 知 故 . 2 11-2-l 5_2-| I -- A __ 1 A 因 又 一 l 于是 。 -- 1_201_2 (A. ）一l =| A一1 | A =[-52 -1 2 20 -- I 01 2. （答案】 D. 【解析】 对任何n 阶矩阵A,B 关系式要成立，那么A,B 可逆时仍应成立，故可看A,B 可逆时C. =? A O I rA 0 一1. ... rA一I 0 c· =l Cl C' = 10 B | [0 B] = I A | I B I [ 0 B一1] = [IA 11: I A-1 I A I I~ : I A-'I A 11 ~ I B-'] 由千 故应选(D). 3. 【答案） C. 【解析】 因为A,B,A+B 均可逆，则有 • 228 • (A I -"- B ' )_, = ( EA l - B ' E ) l = ( B ' B.4 ' 士1J , A--\ ,), = [ lJ , (IJ . r\JA , J 1 = ( .4. l ) I ( /J 上A ) -1 (8 1) I= A ( A l- lJ)' IJ 故应选(C) ． 让意 ．一般情况下( A 上B ) - # A 1 - B ' ．不要与转罚的竹匝相如介 ,i 【答案l [ o 勹 I - I 【解析］ 因为 1J = ( A - 2E)(A-E) ，故 B '= (A - E ) 1 (A - 2El ' 所以 l大IJJ七蛉J ，从才之! | i ( A - E ) , ( A - 2E )- 1 . ( A - E ) 一I= [ 0 - 171 1 1 2 J 2 2 ] ＝于[ 20 ( A - 2£ ) I = [-/ - 11] , = [ _\ I ] B = + I/2 ;] [_12 -l l ]= [_0l -宁l] A • 【评注】 A 是2 阶矩阵 ．有A一I= ——- ，而 2 阶矩阵的件随矩阵有“ 主对调，副文号”之规律． I A I 这是许多教材中都出现过的习题，但仍有相当多的考生（约 3 6 % ）答钳．反映出者生基本运算不热练． 计算能力差，在发习的过程中，要动脑要动手，千万不要眼高手低． 二 、 矩阵的秩 仁空顷一 矩阵的秩是币，，气也是难点 ．耍兀确理解矩阵的秩的概念 r ( A ) = r A A 中有r 阶子式不为0 ．每个 r + l 阶子式（若还有）全为0 在这里要分沾“ 有一个” 与“ 每—个＂ ．当r(A) = r 时 ．A 中能否有r - 1 阶子式为0? 能否有 r 十］阶子式不为0? 如何川行列式来描述，-( A ) 娑 r ？如何描述r(A) ＜仅 要搞消矩阶的秩与向扯组秩之间的关系，这种转换见正要的在线性相关的判断与诃明中 往往是由知阵的秩推导向机组的秩，而韶方程组时往往山相关、无关推导矩阵的秩． 经初等变换矩阵的秩不变 ．这是求秩的最重要的方法．有时可以把定义法与初等变换丛相 结合来分析拍导矩阵的秩 要会用Q) I A I 是否为0 . ＠相关、无关息）力程组的你（这＝个条件中的两个夹逼求出矩阶A 的秩 a 1 bl u 心 田(1992 ｀一（5 ）题，3 分）设A = ［幻仇 u, b, “ nl) l a ,,b 2 …粤11 ) ，则矩阵A 的秩r( A ) = 2 . __ .I ( 。 # , b . 。 # I a p r 才 1/ . -- ,', ',' bbh ••• I'3” “aa .. }~ • 229 · 1. ＂利用矩阵秩的概念，考察矩阵A 的2 阶子式．因为矩阵A 中任何两行都成比例（第l 行与第j 行的比为生），所以A 中二阶子式全为0 ，又因a, ＃0.b,#0 ，知a心＃O,A 中有一阶 aJ 子式非零．故知r(A) = 1. 或者 T 呻 __ 、 ｀ 丿 " b , . . . , 2 b , I b ( -- 12” aa … a -- __ -- "n bb … b 12” aaa ... ... .. 22 仇 b … b l2n aaa III bb … b 2n alaa -- __ A 千是r(A) = r（呻巧¾ r(a) = 1 ，又A=/=O 有r(A) 多1. 所以r(A) = 1. 1 叩1993 ，二（5）题，3 分）已知Q= ［2 3 ,.\ =- O=A 可逆因此对于 Iw - (). ？日具中有一个矩阵的秩为m 例如设r( A ) = 11 . 贝lj,{I B = !\ 1MI A 10 = 0 勹已知B # 0 相才肵从1(ll l / ［排除((..)（D) 对AB = 0 ．把知I;1， Ij I J 零矩Ii', 均按列分块 AU 1\ (/J1 -/J, . · · · 、/J ., l = (,\JJ1.1\/J, . ···. ,1p.) = ( ll.O.···.O ) j )亡AP , = () ( I = l . 2..... 11 ) . Ll[I /J, 足齐次方和组心 ＝ 0 的韶 那么 ．r\B = 0 心．昧ft B 的列向桩全是齐次｝ J f'1堵Il A.\ = ll 的韶． 囚此 ．AB = o.n 'r' o 农明A \ = 0 有非＇忐绍 ．从曲，（心< /i 可以维续用 II' 岑ifI 的戏，，l;．米处理秩］（ll) . }) 法如卜： 矿A 1 = <,VJ ) 1 = OT = 0 • 232 • 从心非零，知r(BT) < 11 ，故r(B ) < 11. 当然，本题最简单的方法是用命题： 若A 是m X 11 矩阵，B 是II X s 矩阵,AB =0 ，则r(A) + r(B),.;;; 11. 再以A,B 均非零，按秩的定义有r(A) ~ 1,r(B) ~ 1 ，也就不难看出应选(B). 本题涉及线性代数中许多基本概念，思路亦多样化，知识点的切换较多，还考查了用基本概念进行推理判 断的能力． 2 . 【答案】 D. 【解析］ 因为A 是m X ,，矩阵，秩r(A) = m ，故增广矩阵的秩必为m．那么r(A) = r （五）＝111<11. 所以 方程组Ar= b 必有无穷多组解，故应选(D). 四、矩阵方程 炉屯呻点｝ 解矩阵方程时，首先要根据矩阵的运算法则、性质把方程化简（特别要注意矩阵的乘法没 有交换律），化简之后有三种形式： AX= B ；从＝B;AXB = C 对于前两个方程，若判断出A 可逆，则有 X = A-1B;X = BA 一1 对千第三个方程，若A,B 均可逆，则有X=A - 1CB 1. 那么，再通过求逆等运算就可求出X. 近十年未考矩阵方程，以往的考题请练习． 3 0 1 m(1987 ，三（2）题，4 分）设矩阵A 和B 满足关系式AB =A+2B ，其中A= [l l Ol, 0 1 4 求矩阵B. 由 而且 酌）由已知AB= A+2B 得AB — 2B = A ，于是 (A-2E)B = A 3 。 1 1 。 。 A-2E = 1 1 0 -2 。 1 0 = 。 1 4 。 。 1 l 。 1 。 1 - l 。 I A-2E I= 1 -1 0 =- l #- O 。 1 2 I 。 2 知A-2E 可逆，故 2 - I - 17 13 0 17 1 5 - 2 - 2 B =(A- 2E) A = [ 2- 2 —l] [I I Ol - [1 -3 - 2] -1 I 1 110 1 41 1-2 2 3 • 233 • ［评注】 因为B = (A-2E) 一I A ．也可以不求(A -2E) 一1 ，而用行变换直接求出B ，方法 如下 ： 1 0 (A-2E ; A) = [1 -1 0 1 -- 10 4 011 310 . 1 102 ; 3 0 1 7 p O 1 : 3 0 1 -► l0- 1 - 1 - 2 1 -l -►[0 1 1 2 - 1 1] o 1 2 : o 1 4 I lo o 1 i—2 2 3 [~ : : ! _\勹 2 /l= (EB) l —l O O 7 12 l 3 -1 回(1990 ，七题，6 分）设4 阶矩阵B = [: ; - l -0 l』.C = ［: : ; :]，且矩阶 o o O 1 I 10 o o 2 A 满足关系式A(E - C 1 B ) 「CT= E ，其中E 为四阶单位矩阵，Cl 表示C 的逆矩阵 ，C 表示C 的转甡矩阵．将上述关系式化简并求矩I~「A 社 巾（AB ) r = n · 1 A -r ．知 ( E - C-1B ) TCT = [ C(E - C飞）丁＝ （C - B )T 那么巾A(C - B )T = E 知A = [( C - B ) 1.] l = [(C - B ）于 ． 由 ( C - B ) 一I = 故 l OOO - - = Ol l - 432 1 2 3210110 -- 2lOO __ l OOO A _ _ - 2 - 2 00 。 -- 2 0 11 阵 位 单 阶 3 , J E B + 2 A = E + -000 1 - AB 2 足 0 0 1 － 满 迕 21 - 1 矩 丿 八 ', 3 为 BB , 4 AII 矩 求 设 、 丿 , 分 － － ]01 -3 为 l o 2 0 程 卷 l 方 试 J O 诈 矩 ,-- 2 9 9 ＿ ＿ 简 U A 化 回 』 钮 ( A —E ) B = A'- E = (A - E H A + E ) 0 0 1 巾丁A- E = [ 0 1 0] 可逆，对矩阵方程两端左乘(A - E ) l 得 - I O 0 2 0 l B = A + E = [ 03 Ol —1 0 2 • 234 胚邸1995 ，一（5 ）题，3 分）设3 阶方阵A,B 满足关系式A-1BA = 6A +BA ，其中 i A= 则B=. [3 2 l l · ＂矩阵方程右乘A飞化简为 A-1B = 6E+B 由于A 是对角矩阵，易知 " 。 。 。 。 l-40 Ol-7 => (A一1 -E)B = 6E 1-3 一1 A-I= 1-4 于是 B = 6 『 3 l -- 6 =6 l 一 7 1 _ 2 3 -- __ l-3 i 1 匡000 ，十题，6 分）设矩阵A 的伴随矩阵A. = [: 。 4 __ 7 飞 － __ 3 010 2 -l l 0010 。 』，且ABA-1=BA-1 + 3E ，其中E 为4 阶单位矩阵，求矩阵B. 铅由 I A* I= I A I ＂一1 ，有 I A 13 = 8 ，得 I A I= 2.A 是可逆矩阵． 用A 右乘矩阵方程的两端，有 (A-E)B = 3A 因为A'A=AA'=IAIE ，用A. 左乘上式的两端，并把 I A I= 2 代入，有 (2E - A.) B = 6E 于是B = 6(2E — A) 飞 e© 因为(2E-A 骨尸＝[_\ 。 0103 OOlO I -- 6 ooo- 1010 -- __ 0101_2 OOlO . -- l_6 000 因此B= [: 0603 0060 . -- 1 000 • 235 • 第三章 向量 尸…如贮｝ 向批既是重点又是难点，由于向批的抽象性及逻辑推理上有较高的要求，同学们在复习时 要迎难而上． 考研的重点首先是对线性相关、无关概念的理解与判断，要消楚选择、填空、证明各类题型 的解题思路和技巧；其次，要把握线性表出问题的处理；第三，要理解向批组的极大线性无关组 和向证组秩的概念，会推导和计算；第四，要理解向蜇空间的相应概念． 一、向量的线性表出 炉空堕点｝ 向量p 可以由a1,a2, …，a, 线性表出己方程组工，＂1 +x2a2 +… +x,a, = p 有解 台r(a1,a2, …，a,) = r(a,,a2, …,“'/J) 女如果已知向址的坐标，那就通过判断方程组是否有解来回答向址能否线性表出的问题，不 仅要会一个向址P 能否由a1,a2, …，a，线性表出，还要会分析、讨论一个向呈组凡，凡，…，p, 能否 由a1,a2, …,"，线性表出的问题． 女如果向批P 的坐标是未知的，那就要能用秩、用概念以及相关的定理来推理、分析． 1111(l991 ，七题，8 分）已知“1 = (1, 0, 2, 3), a2 = (1, 1, 3, 5), a3 = (1, - 1, a + 2, 1), a4 = (1, 2, 4, a + 8) 及/J= (1,1,b+3,5). (l)a,b 为何值时，p 不能表示成q,“”“”“』的线性组合？ (2)a,b 为何值时，p 有a1,“”“”“』的唯一线性表示式？写出该表示式． 砂设x1”1+ … +X3a3+ 工，心＝p ，按分批写出，则有 对增广矩阵高斯消元，l有i:：：三＋（a十三(~+：三尸 五-l[ : :: a i 5 b; ll-li I a:ll a: l l Il 所以当a =— l,b=/=-0 时，方程组无解，p 不能表示成a1,a2,a3,a., 的线性组合； • 236 • 21! a + b + 1 /1 u I l (1+ l u I- l ) 当u # — l II寸，方和．组有唯一f伯，（— , . ,o ·1 ，故p 有 , ,m 一表示式且 2b , 11 I /J ..L 1 /) p =- ~ a 1 + ~ a 2 + ~ a i + 0 · 亿 u + 1 a + l (1 + ] 匮暑1 992 ．八题 ．7 分）设向拍组a 1 .a 2 m 线性相关 ．向址组贮心．＂1 线性无关同 （l ) ” ] 能否由a , . a ., 线性表出？证明你的结论 ； (2) a l 能否巾q ,“ ：心线性表出？诃明你的结论 优 (1) a ] 阳|！” 2 曼o 线性表出 因为巳知贮 ．ll :1 ·a : 线性无关 ．所以贮m 线性无关义因 、时向从组 I I 必线性相关 (D）当r > 、时向性组 ．［必线性相关 霓根据定耶偌a 1 , az . … ．o 可山fJ I ，/12 , …，JJ，线性表出 ，且．｀＞I' 则a 1 , a2 , … ，g ，必 线性相关”问庄书豹杖向砓可以由少数向队线性表IL们则这多数向晶必线性相关 ．故应选( D ) ． 【评注】 建议你举几个例子说明(A)(B)(C) 均不正确． 肛日(2 00• 1 . 1 2 题 ．4 分）设A .B 为满足AB = 0 的任怼两个非岑矩阵 ．则必有 (A) A 的列向队组线性相关 ．B 的行向从组线性相关． (B)A 的列向蚁组线性相关 ．B 的列向队组线性相关． (C) A 的行向州纠线性相关．B 的们向研组线性相关 (D)A 的行向吊组线性相关B 的列向牡组线性相关 裕谅i）-\ A. 虹）设A 忙111 X 11.B 是II X .1 矩1W 且心＝0 ，那么 rCA) + r( B ) 冬 II 山f A . B 均非零 ，故0 < r( A) < 11, 0 < r(B ) < 11. 「Ii r (A) = A 的列秩 · 知A 的列向队组线性相关 由 rC B ) = B 的行秩 ．知B 的行向队组线性相关．故应选(/\ ) . m(2 00G . ll 越l 分）设入 I . A ~ 足知阶A 的曲个不同的特征伯 ．对地的特征向届分别为 ＂J . ＂i ．则a 1 , A （亿于0 」)线性儿关的允分必要条件是 (A) 入1 于0 . (B) 入2 =I= 0. (C) 入1 = 0. ( D) 及＝ 0 . 俗忑． l} ． 社＠按牡征伯、特征向闷定义A( a ！丁仅2 ) ＝应＋如＝卫＋卫· 若入？= 0 ．则a 1 . A ( a 1 + a z ) 即a · 入！” 1 必线性相关．排除(D) ． 若入1= 0 ．则a 1 . A (a 1 + a z) = 入a , 必线性无关 ．但入1=0 只是a 1 ,A ( a 1 + a 2 ) 线性无关 的允分条件 ．并不必耍．因此（C) 足铅误的 ． （方法一） （川年义）设丸a ！上从A ( a 1 上g ) = 0 ．即右 (K1 7 入I /, z ) a l+ 入? k 2 a 2 = 0 Cl) 由于特扯俏不同特补向杖线性无关 ．所以a l ,“ 2 线忤尤关．巾(1) 得 ｛丸十入 ！从＝0 入：从 ＝0 (2) • 242 • a , . A( a 1 飞）无关口｛丸＝（）气）只有零ffl华已 1 入1# 0尹＃。 丸 ＝0 (） 入： |入1 （方法二） （用秩）闪为C a 1 ,A ( a 1 十矿）= ( ll I ，归＋入妇＝ （a 1 ,a , )[~ :.J • 0 入2 那么a 1 . A < a 1 + a , ) 线件无关 (.=} r( a 1 ．入1 U 1+ 入2 a2) = 2 ］入1 巾 r a 1 -a 2 线性尤关 ．故a 1 . A n. `' J, ；，, 设a , ．止，＂3 是齐次线性方程组Ax = 0 的一个丛础解系 ．证明a l ＋a i , a z 丁”3 , a 3 + a l 也是该方程组的一个基础解系 ， 练习题参考答案 J. ［答案】 C. ［解析】 对矩阵A 按列分块，有A = ( a , .a , .·· · ,a ,，)，则Ax = 0 的向从形式为 m a 1 + .l2a2 + ··· 十 ．r ，，a ,， = 0 那么，心＝ （）有非零解台(l , .a , ....,a ,，线性相关 台r( (l ， ．a , . · ·· , a ,)< 11 仁r ( A) < II 故应选(C) 注疫，＂元方程组只是强调有 r} 个未知数而方程的个数不一定是，i ，因此 ．系数矩阵A 不一定足 ，／阶方阶 ． 所以我们应当用r(A) < 11 ，而有些同学特别爱用行列式 I A I= 0 ，这里是婓小心的 2 . ［证明】 由A( a 1 + a2) ＝如I + Aa z = 0 + 0 = 0 负1 a1 + (l2 是心＝ 0 的韶． 同理知a 2 + (l:< .(l3 + (l 1 也都是心＝ 0 的I（;r} 若k 1 @ + a2) ＋妇( a, + a, ) ＋如( a , 十a ,) = 0 ，即 (k , 十丸）a , 十 Ck, -I 如）a 2 + （如十k 3 ) a , = 0 由于a 1, a 2 . a 3 是基础韶系，知a 1 .a2 .a 3 线性无关故知 k, 土丛＝ 0 {K-K: = 0 如＋如＝0 因为系数行列式 I O I I 1 o I = 2 =;t:. o 0 1 1 所以方程组只有零解丸 ＝ k 2 = 如＝ 0 ．从而a 1 + a2,a2 + a3,a3 + a 1 线性尤关． 由已知 ．心＝U 的基础斛系含三个线忤无关的韶向拭．所以a 1 + a2 , a厂I a., ,a, -I a , 是心＝0 的基础照系． • 253 • 一、非齐次方程组的求解 炉竺翌点｝ 记住解的结构 a + k1 11 1 十如11？一 ．．．十K,，－r n ,，一r 其中a 是Ax = b 的特解，11 1 ，平，…，n ，＇- r 是A x = 0 的基础侃（系． 往届考生在加减消元时计箕错误较多（一定要多动手认真做）；讨论参数时不能丢三落四， 要严谨 求A 的秩、求特解 、求基础解系、讨论参数是复习时要注意的知识点． 2?22 工 工 工 工 3 2- ＋ 「 － + 12-l 工 x u - 0 3 u l , V , 1 ll ' _oo 解 乡 ． 解 -1 000 --1 000- - 通 程 勺 方 唯 性 o 才 ►► 有 H 解 －－ 钱 组 l 时 多 0 1 b - 值 穷 ， ＇ ． ： ： ： ： ： ； ： · ， 程 何 无 有 1 2 7 a 贡 为 有 ， ． 4 换 ＿ ＿ 3 心 出 - ) 变 -A a 求 .. l 2 1 二 J 并 1 司 ... u( ）入 1 J ? · 刍 r / 1 __ ll 2 分 解 初 A ＄ 多 作 一 ） ( 题 穷 阵 1 003 , 九 无 矩 － － ， 礼 有 广 时 8 曾 l 1 9 韶 土 对 ＃ a （ 无 m ， 妇 当 唯 -1 -2 0 - 1 1 2 +x3 + x.1= O, +2 工3+ 2 工．1= 1 , 有 (u - 3) 义3 -2x,= b, 十儿、3+ （红4 =- l ]-- __ 0 1 b - 7 1 气 。 b ••• ............. 3 2 12- 1 -1 020 a 当a = 1 时，b #-- l 时，r(A) = 2 .r(A) = 3 ，方程组无韶 业u = l .b =- ］时．r ( A ) ＝五）= 2 ．方程组有无穷多傩 方程组的通解为 (— 1,1, 0 , o)"r 环 ( 1, -2,1 . 0)1 十如( 1, - 2 , 0 ,l )T , k1 ，如为任恋常数 .'.lI +.'.l．3= 入， m ( ］989 ，七题，6 分）问入为何值时，线性方程组』炉三＋2工1= 入＋2 ，有解？并求出解的 6.i- 1+ .1·2 十七Z:3 = 2入＋3 一般形式 @) 对方程组的增广矩阵作初等行变换，有 [: 了: ：入：：23] - ［乏: 二I:• = :f: :] - [[ 三:2 -—3入入入一－12] 由于方程组有韶的充要条件是r ( A ) = r (A) ，故仅当一入十 ] =0 ，即入＝］时，方程组有解，此 时秩r ( A ) = r （五）= 2 < II = 3 ，故方程组有无穷多韶 • 254 • ． 是 a l 佯 ' , K 片 觥 通 的 的 同 b 不 ＿ ＿ _ X A ^ 数 两 且常 的 且b 甲 j 意 了任 ＿ ＿ l j 为 A X 坝 ， 且 数 － － t 一 常 ］ 程 2 1 ． 音 心 一 一 五 王 l 性 ｛ l 为 l + 线 2 1 次 K --l ____ 1 0 . 5 5 - － 一 齐 k l 乍 ， 或 斗 系 2 + - “ 1 数 是 佯 ij 2 常 P h ~ x . R~ ｛ 韶 帝 i p l 基 任 知 的 为 l 通 勺 已 （ 盯 、 ． ） ＿ ＿ ! . 1 分 x 儿 一 1 秸 + I3 A 力 l l . ， 且 2 f 题 g 程 京 － , 导 ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ） , 1 1 2 3 5 方 性 .( _ 之 x 又 J 乡 － 觥 1 - ， 戈 且 程 ． 0 乡 1 9 次 方 9 _ ＿ l 齐 ( 3 应 俯 .~. 石 3 , I 令 X 是 刀 一 " (A) I~ 飞1 +k2 a l 矿 2a I k- 1 " 2 2a I k I = 2a.D 1,-1 - a 2 D. 2 = 2a （如k-1) －ci2 [ ( k - l) a,-z J = (k + l) a飞 命题正确 所以 I A I= (n + 1) 矿 ． ( U ) 据( I ) 由克拉队法则， I A l-=/=O 方程组有唯一解 ，故a -=/= 0 时方程组有唯一斛 · 且用 克拉默法则，有 0 2a 1 o 矿 2a 1 义一1 = 。 矿 2a I _ 11a ''1 _ 11 = = D ,, ( 11 + l)u" (11+l)a 方 1 － 数 “ 常 ＿ ＿ 意 一 心 任~ 为 I ＿ 一 次 、 丿 、 丿 A 。 , ( I . 由 ． ， , o 一一 ， 。 10 … O , -- 1 ( __ k I I + 1 2 ” Ix … xT --) 。 , 10 . . . , 。 , l , 。 ( 为 僻 通 其 构 结 的 解 按 觯 多 穷 无 有 组 程 1 l O 。 ( lll ) 当a=O 时 ，方程组为 • 259 • 【评注］ 本题的“三对角“行列式也可用逐行相加的技巧将其上三角化，即把笫一行的 2 - i- a 倍加至第二行，再把新笫二行的－－a 倍加至笫三行，…． 2 3 2a 1 2a 1 3 a 2 2a 1 。 — 2 a 1 a 2 2a 1 a 2 2a 1 I A I = I " 2 2a 1 " 2 2u 1 a 2 2a I. a 2 2a 2a 1 。 3 1 -2 a 。 4 1 — 3 a a 2 2a 1 a 2 2a 1 a 2 2a I ,, 2a 1 。 3 1 -2 - a 。 4 l — 3 a = ( n + l)a". 。 ~a n —1 。 1 n + l a ?I 本题难度系数牧一o . 305 ，数二o . 270 ，数三0 . 273 ，是2008 年考题中得分率较低的题目 之一． 三、公共解与同解 试题特点 如果已知两个方程组( I ) 和( ll ) ，那么将其联立{( T ) ，其联立方程组的俯就是( _[ )与 ( rr ) ( ll ) 的公共解 如果已知（ ．［）与（ l] ）的基础解系分别是a , . 贮 ．＂j 和 /J i , /J2 ，则可设公共解为Y ．那么 r = k1a , + k 2 a 2 ...L 如a .l = [I p, + l 2 化 由此得k 1 a , + ll2a 2 + k3a 3 - l, /J1 - l2/J2 = 0 ．韶出丸，1~ 2 ．如 ，l 1 , l z 可求出公共俯 r. 这两种常见的出题方法应当把握．而处理同斛的方法，往往是代入来处理，即把(I ) 的解 • 260 • 代入( | l ) 把( II ）的解代入( l ) m (1 99 4 ，八题，8 分）设四元齐次线性方程组( l ) 为 ：｛ 方程组( fl ) 的通韶为 Iq (0, l, l, 0)'．十伈（一 ］ ．2 ,2,1) 厂 (1) 求线性方程组( l ) 的基础俯系 ： x1 +x2 = 0 , 又巳知某线性齐次 m —X .1 = 0. (2) 问线性方程组( 1 ) 和( IJ ) 是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解．若没 有 ．则说明理由 ． 令平 (l ) 由巳知，（ 「）的系数矩阵为 1 1 0 0 A = lO l O - l] 由于 11 - r ( A ) = 2, x 3 ，工，可为自由变显，故（］）的扯础解系可取为 (O .O,l, O) . (- l,l, O,l) (2) 方程组（ ］）与方程组( Il ) 有非零公共韶． 将( l | ) 的通解 ．2·1 =- k2,.x, =丸＋2K2 m = k1 + 2K2,2 .i ＝如代入方程组(I) ，则有 厂如十九十2/: 2 = 0 k1 + 2 如一k ? = 0 僻出 I: l =- I切． 那么当k 1 = - k, -=/:- 0 时，向茧 k I CO , l. 1 . 0) + k, (- 1 . 2 . 2 , 1) ＝丸(1 ,-1, - 1. - 1 ) 是( | )与( [I ) 的非零公共解． 【评注】 由于（］_)的通解是 l1 (0,0,1,0) ＋队－ l ，1,o,1) ，（[[ ）的通解是k1CO ,l,l, O)+ 炬(— 1,2,2,1) ，因此若令公共解为 r ，则 r = l1(0,0,l,O) + l2(-l, l, O,J) = k,(0,1,1,0) 十如( - 1,2,2,1) 只要能求出不全力0 的 L1 ，凡则r # O ｀且r 是(I) 的解，也是(Il ）的解．由此可得L 心·丸， 妇的齐次方程组 [~ 11 — 0 0 } //l -『~ ~ 1 ~~] 可见当如＝－炬＃0 时 ，有非零公共解，下略． 肛iJ c2003 ．二（5) 题 ．4 分）设有齐次线性方程组Ax = 0 和Bx = 0 ，其中A . B 均为m X n 阶矩阵，现有 4 个命题 ： ＠若心＝ 0 的韶均是Bx = 0 的解 ．则秩( A ) ~ 秩( B ) ； ＠若秩(A) 娑秩( B ) ，则心＝ 0 的韶均是Bx = 0 的解 ； ＠若心＝ 0 与Bx = 0 同f（佯，则秩(A) ＝秋( B ) ； ＠若秩CA) ＝秩( B ) ，则Ax = 0 与Bx = 0 同悄． 以上命题中正确的是 CJ\) (D@ . CB) (DG). (C)@ @ . ( D) G)@. 答哀 B . 奸析 显然命题＠错误，因此排除(C)(D) 对于(A) 与(B) 其中必有一个正确，因此命题 • 261 • CD 必正确，那么＠与＠哪一个命题正确呢？ 由命题CD ,“ 若Ax = 0 的解均是nx = o 的阐，则秩(A) ~ 秩( B ) “ 正确，知“若Bx = 0 的 俯均是心＝0 的解 ，则秩( B ）诊秩(A ) “ 正确 ．可见“ 若Ax = 0 与Bx = O 同韶，则秩( A ) ＝秩 ( B )" 正确即命题＠正确 ．所以应当选CB) . 回(2007 . 21 越11 分）设线性方程组 与方程 1 ' , o oo - == __ a 5 55_ _ 2 3 " 立 + a ++ + 22 2 X X 工 ？ 2 4 工 +2 土 + + I I I 工 · 1 f|_ Yl_\rJ e @ 有公共韶 ．求u 的值及所有公共韶． ＠梪 本题考查两个方程组的公共解问题，应当有两种思路：一个是CD 与＠联立方程组 的俯就是公共解 ；一个是先求CD 的你（然后代入到＠中来确定公共解． 狂）（方法一） 因为方程组CD 与＠的公共解，即为联立方程组 /1--:：2++／：、一：三 x1+ 2 艾2 + J:3 = a - 1 @ 的解． 对方程组＠的增广矩阵A 施以初等行变换 ．有 1 11 3 l 1000 __ ► -l ] ooo- a ... lu ,dl ]2 4 2 -1ll] l- l 000- __ f -A a - ] 忒一 ］ 。 L 、 丿 u " ( 3 -l 2 “I ( 1 00 l OOO -- A ,_- nuo- u 。 。 ”- 1 0 1 : 1 - u l O : a-1 0 a - l l - u 由千方程组；初i:（故己心三』秩等于增广矩阵A的秩，千是（a- l)(a-2) ~ 0, 即Cl= l 或a= 2. 数 常 意 任 为 k 中 其 I I- _ O l -- I K l - oooo __ ,', '. x .. l OOO 为 解 OlOO ] 0 0 0 共 - - ► 公 勺 f @ -A . 寸 廿 与 l __ CD 七 “ 止 当 因 当a = 2 时，元－［：: 0 0 . -- O lO .. , 00 1 0 . O l OO 2 6 2 -100 01 . ► i- 咖 lO - - ··· ······ ··· ·',., l 0 10 因此CD 勹＠有唯一的公共斛为x = [ : 『 - 1 I l J （方法二） 先求出方程组O 的解 ，其系数行列式 J 2 a I= (u - l)(u - 2) . 1 4 u ? 当 u # ] . l/ # 2 时 ．方程组0 只有零婢但此时 ．＼= （0 ．o . 0 )T 不是方程＠的解．所以公 共紨发牛在(I= 1 或a = 2 时· 芍 (I = 1 时 ．对方程组0 的系数矩阵施以初等行变换 ． ['. ! il —►[i ;』 因此0 的通解为x = I? 『0 | ．其中k 为任慈常数 此前（也两足方程O所以力札纤l1 1 与0 的所有公共韶丿丿X - k勹l 其中k 为任意常数 、11 u = 2 时 ．对线性方和组CD 的系数矩阵施以初等行变换 A = [: : ：l—►[~ ; : ] 得到方程组CD 的通韶足入＝k(0 . - l , 1 ）厂j: 为任怼，常数 ，将其代入方程绢＠有 0 + 2(- k) + k = I 得k = — 1 . 囚此0 与＠的公共解睢一为x = (O ,!. - l) T 【评注】 这是给了两个方程组求公共解的题，大家还要会没有给两个方程组的题，例 如2002 年数四考题． ｛贮担-3 I. ' 帚｀二 . :, 8、 ) 设A 力／I 吤实矩阵 ．A T 是A 的转笠矩阵 ．则对于线性方程组( r ) , f\x = 0 和( [I ) : , \ T 心＝ o. 必有 (A) （ || )的觯是（ －r ) 的船 ．（ I ) 的解也是( II ）的解， (I}) （ | | )的解是(I) 的付斗、但( I ) 的解不是(ll) 的M· . (C) （ | 〉的韶不是( IJ ) 的解 ． （ II ) 的鲜也不是( I ) 的斛 ， ( l ) )( | ）的斛是( || ) 的解．但(l| ）的韶不是( I ) 的角牛 '' 、 r' "J . 兮 ）设 1 元齐，欠线性方程组( l ) 为 { 2.l 1 - 3.r -- 1 3 = 0 .l I L 幻· 2 一七l J - r 1 () 而已知另一 4 元齐，J.:. 线性方程纽(l | ）的一个从础解系力 a 1 (l . 1.u -f 2 . 1) ,- .a, = (- 1. 2 . -1.a +B )T （l) 求方程组（ ．［）的一个从础解系 ； (2) 当 a 为何值时，万程组( | )与 ( Il ) 有非零公共解？在有非本公共解时 ，求出全部非零公共斛． • 263 • 练习题参考答案 1. 【答案］ A. （茩祈】 若n 是(T) 的韶 ．则A11 = （,．那么 (AT A)” = A1 (An ) = A10 = 0 即 n 是( II ）的韶． 若a 足（仆）的韶 ．有A T Aa = o . m 矿左乘得 矿A ' Aa =O . 团I (,1.a ) l (11.a ) = 0 亦即Aa 自己的内积( Aa . 心）＝ 0 ．故必有心＝ O . E!il a 扯(I) 的解． 所以( | )与( ll ）同韶 ．故应选( r\ ) . 【评注】 若a = (a1 , a2 , --· . a,,)T . 则矿a = at+ a1 + .. 十a; ．可见矿a = ◊R a = 0. 2 . 【解】 （1 ) 对方程组(J ) 的系数知阵作初等行变换 · 4 i [ 2 3 - 1 0 -► 1 2 1 —l l 2 1 - 1 ] [ 1 3 - 2] 由于，, - r (A) =,1- 2 = 2 ．基础韶系由 2 个线性无关的韶向hl: 所构成 ，取门 ，l , 为自由变址 ．所以 p, = Ci . - 3 . 1 , 0) T. P. (- 3 . 2 , 0 . 1) 1 足方程组(l) 的拈础韶系． (2) 设 11 是方程组( T ) 与（ II ) 的非岑公共解 ．则 n = kIP1 + k洪＝1lo + l2a 2 其中k , ，如与/ I . L , 均不全为奀的常数． 由此得齐次方程组( Ill ) 000 ____ __ 2 2 2 』 LLL 2 4) 8 -- " ( 11 flll 2) + 2 + a ( , kkk 32 -+ III KIck -33 ,Y, + !,= 0 付非零解对系数矩阵作初等行变换 ．有 5 - 3 - 2 I 。 —a -2 - 4 -3 2 -2 。 I -1 一 (I - 8 。 一a - 2 - 4 。 2 -3a -5 - 14 。 I - 1 -a-8 0 -3 5a+8 21 l 0 -a -2 一 •1 0 l - 1 (l - 8 0 0 —3a —3 2a + 2 0 0 5a + 5 3u - 3 当且仅当a + l = O 时 ．r( 川）＜上方程组有1I 零／禅 此时，（ I ll ) 的同韶方程组是 { J.... I - I 1 - i / 2 = 0 k,- 1,- 71 =0 于是 n = （I ，十山）p , 十（1 , 一71 , 准 ＝l, (' 1 + P; ) - I 2 (I P 1 一机） I [ :ll+1 [:l • 26 <1 • 第几章 特征值与特征向昂 }～叩 特征值和特征向址是线性代数的重要内容之一 ．也是考研的重点之一 ．它涉及行列式 ．矩 阵 ．相关 、无关 ．秩 ．基础煞系 ．．．… 一系列问题 ．知识点多 ，综合性强 ．必须好好复习 ． 首先要掌握求特征值 、特征向世的各种方法 ；第二是相似，把握住和对角矩阵相似的充分 必要条件 ，会求可逆矩阵P ，第三（可能更重要），利用实对称矩阵的隐含信息处理求特征值、特 征向茄 ．用正交矩阵相似对角化等一系列问题． 一、特征值、特征向量的概念与计算 ｛－妇一 常见的命题形式 I ．用定义Aa = 权，a =I=- 0 推理、分析、判断． 2 . 由 1 入E - A = 0 和（入，E - A)x = O 求基础解系． 3 ．通过相似P ' AP = B. (1) 如Aa = 权 · 则B ( P一1 a ) ＝ 入(P一I a ) • (2) 如Ba = 入a ．则A ( Pa ) ＝入( Pa ) . 特别地，如 ,-(A) = l ．有 I ill - A l ＝入“ — 2 u ，入” 一1 、入I= ~ Cl,，山＝入3 = … ＝入, = 0 m ( 19 8 7 ，试卷 LI , 6 分）设入1 ，心为 ／I |价方阵A 的牡征值，且入1 ＃入2 , 而X 1 , X2 分别为对 应的特彻向扯 ．试证明x 1 + ．＼飞不是A 的特征向扯 丑吨 （反证法）若 ．＼飞于 ·`．2 是A 的特征向扭，它所对应的特征值为入则 A ( x 1 + .\飞） ＝ 入( x , + X1) 由已知义有 两式相减得 A ( x1 + x ,) ＝心: 1 + Ax z = 入心．1 ＋心X 2 （入一入I ) X 1+ （入—儿）X 2 = 0 巾入1 ＃入2 ，知入一从入一入2 不全为零 ．于是X 1 ,X z 线性相关，这与不同特征值的特徘向量线性无 关相矛店．所以，x 1 + x , 不是A 的特征向从 匿量1989 ，八题 ．8 分）假设入为？／阶可逆矩阵A 的一个特征伯，证明： (l) l 入 为A 的特征值 • 265 • I A I (2) 为A 的伴随矩阵A . 的特征值． 入 证吨 (l) 由入是A 的特征值可知 ．存在非零向扯a 使.4.a =入a. 两端左乘A l ．得 因为a -# O ，故入＃0 ，千是有 1 按特征值定义知一是A 一1 的特征值 入 (2) 由于A一1 ＝占勹 ，据（1 ）有 a = 汹－1 ” 1 A l a = - a 入 A ' l a =-“ I A I 入 从而得A.“ = | A | | A | 入 ＂．即 为伴随矩阵A ' 的特征俏． 入 匮量(1998 ，一（4 ）题，3 分）设A 为II 阶矩阵 I A l -# 0 ,A . 为A 的伴随矩阵．E 为 1／阶单位 矩阵．若A 有特征值入，则( A .) 2 + E 必有特征值 （红 （凶l 2 入） + 1. 纤析 本题考查相关矩阵特征值之间的关系． A 有特征值入 ⇒ A 有特征值I A I 入 ⇒ ( A .) 2 有特征俏（I A I\ 2 入 ） ⇒ (A.)2 + E 有特彻值（干）2 + 1 故应埴：（I .4 I\ 2 入） + 1. 巨量(1 999 ，一（4 ）题，3 分）设n 阶矩阵A 的元素全为 1 ，则A 的 /l 个特征值是 . 答哀 1l, o , o , … ，O(n - 1 个）． 、＝ 杠析 因为r( A ) = l ，所以A 的特征多项式为 入一 1 - 1 - 1 入一 l I 入E - A I = I . - ] - 1 ' — 1 — l ... 入－1 因此 ，A 的n 个特征值是 ，n, O ,o, ... , 0( 11 — l 个） ． 注意，若 r( A ) = 1 ，则 I .ill - A l = 入” — 2u , ，入', l 一 入“一成“ 1 回1999 ，十题，8 分）设矩阵A = ［: - l : l ，其行列式 I A 1~ 1 ，又A 的伴随 l - c O - a 矩阵A . 有一个特征值入。 ，屈于心的一个特征向肚为a = (- 1 , — l . l) 于 ．求（l . b . ( 禾II 儿的值． • 266 • 斜 因为a 是A . 屈于特征值入。的特征向挝，即 A' a =入。a 根据AA '=I A I E 及已知条件 I A l=-1 ，用A 左乘（1) 式两端有 — a = 入。Aa 即 由此可得 入。[1/ c —~]一；＂］[-1}l=- [-1}l { : 厂5 勹）十勹: : 1 l 入。( - ] + C —a) =- 1 (2) - (4) 得入。＝ 1 ．将入。＝ 1 代入(3) 得b= -3 ，代入(2) 得a= C. 由 I A l =-1 和a=(．有 (1) (2) (3) (4) " 5 l —a l3 。 - - " 3 l =a-3=-l - a 故a = c = 2 . 因此 a= 2,b =— 3,c = 2 , 入（I= 1 3 2 21 ro 1 o m 2003 ，九题，10 分）设矩阵A. = [2 3 2] .P = [J O l l ,B = P一' A"P ，求B +2E 2 2 3 1 10 0 1 的特彻值与特荷向址 ，其中A 为A 的伴随矩阵，E 为 3 阶单位矩阵． 斜由千 入－3 - 2 - 2 I IB - A l=l - 2 入－3 - 2 = （入－1)2(,\-7) -2 -2 入一3 故A 的特征值为入 ］ ＝入2 = ］小＝ 7 . 因为 I A l = II 入，＝7 , 若知＝权，则A 飞＝巨尸a ．所以，A 的特征值为 ：7, 7, 1. 由于B = P- 1 A ' p ，即A ' 与B 相似，故B 的特征伯为7,7,1 ．从而B + 2E 的特征值为9, 9 , 3 . 因为 B ( I厂1 a ) = (P- 1A· P )( P-1a ) = P 飞a = 宁尸 I A I | A | 按定义可知矩阵B 屈于特征侦——的特征向址是P 飞．因此B +2 E 屈于特征值——-＋2 的 入入 特彻向证是F 飞． 由千 尸＝[::—:]] • 267 • 当入＝］时 ．由(E-A) x = 0, -- 0 11 -- __ - - ll 3 a -- looo l -l p -- 1001 0 1 01O, -_ _ l1 _ _ 100 1 -- -- 100 - - =____ l ] 1 -- ► f , _ - - a __ 222, - -__ - -- -l 22l az 10 - - / 5 T p 222 - - 22 . 为 - － － 扯 l - － 4 - l l ,l O 向 22- - 222 alo - － － 征 4 __ - -_ ___ _ _ x 特 " 的 ） l 关 A l - P E 无 性 7线 帜的 ， I 一 、 几 l = 7 入 ＿ ＿于 入 屈 当到 街 得到屈于入＝ 7 的特征向扯为 那么 因此 ，B + 2 E 屈于特彻值入＝ 9 的全部特征向址为 k1 /l +k2[/l 心，如是不全为笭的任慈捎数 而B + 2E 属于特征值入＝ 3 的全部特征向社为 K3 [：心为非零的任密常数 回(2008 - 13 题，4 分）设A 为2』价矩阵，＂！，a，为线性无关的2 维列向归．应＝0，应＝ 2 a 1 一贮，则A 的非零特征值为 答哀 1. 矫析 根据已知条件本题有两种fiJ!（法． （方法一） 用定义，由 从1 , = 0 = Oa 1,A(2a 1 + a , ) = 2Aa 1 + Aa 2 = Aa 2 = 2 a 1+ 贮 知A 的特征值为 1 和0 因此A 的非笭特征值为 1. （方法二） 利用相似，有 0 2 A ( a l 心）= （0 , 2a 1 五）＝（g 1 心[。 1] 可知A ~ [ 0 2 卜亦可得A 的特征俏］和0 ，因此A 的非笭特征值为1. 0 1 • 268 • 【评注】 要掌握定义法，Aa ＝心 ，＂＃0 ，通过恒等变形推导出特征值、特征向童的信息． 若已知呵呵a 3 线性无关，又有 压＝五＋叩2 +a心如＝归＋归＋b心 ．如＝cl o ＋还＋c心 的信息一定不要忘记这有相似的背景． A ( a卫心）＝ （Aa 1 , Aa 2 ，如） = Ca1 a 1 + a2a 2 + a3 !l 3 ，归＋妇＋b J a 3 ，吨I + （如＋c心） = （a l 心心）[:; :; : 即FlAP = B其中P = (a 1,“ ::“1: JB (:l[: : :: :l ｛组尹氢一 ．、 ,i.' .,、 已知向仗a =(l . k,1)1 是矩阵 A = [: \』 的逆矩阵A-1 的特征向女，试求帘数k 的值 矩阵A =『}1 : : l 1 J ·~ I I” 俨~'"! - . 七人 • • 是 值 征 特 零 卡 4 的 r- llll 1. （铝】 设K 是o 所屈的特征值 ．即 于是 A 一1 0 = 入。＂ a = 入。Aa 即 入。[: : :] [:l = [:l 山此得 甘I 韶出!? = - 2 或 !? = l 2 【答案】 4. 【笫析】 由矩阵A 的特征多项式 入一 1 - I - I I 辽－A l = - I —l - 1 入－l - l k ll __ l-K -l=- 、`， )l) __ 2 _' l ++ k k 2 k2kk I ++++ 2 9}l3 ((( u 入入_ - I - l 入一，l 入一． 4 入一4 入一4 一 1 - 1 - l 入一 1 - 1 一 ］ 入－l -1 —l - 1 入一 l - 1 一 ］ 入－1 - 1 - 1 - l 入－l • 269 • 1 l l 1 O 入 0 0 = (,l.-4)1 I= （入一4) 入j 0 0 入 O 0 0 0 入 知矩阵A 的特征值是儿＝ 4 心＝入3 = 入，＝ 0 . 故应埴 ：4 【评注】 若r ( A ) = 1 ，则 I IB - A I = 入咒－互江，尸 ，于是矩阵A 的特征值是入1 = : u ,, ．心＝… ＝ 儿＝0 , 现A 的秩为1,2江，＝4 ，故知应填：4 . 二、相似与相似对角化 试题特点 围绕相似定义p- l AP = B ，相似的性质设计试题，或者考查判断是否和对角矩阵相似． A ~ A 台A 有n 个线性无关的特征向址 己如入是A 的K 重特征值，则入有K 个线性无关的特征向址． 如A 有n 个不同的特征值=A ~ A. 2 0 IEJI0988, 八题，8 分）已知矩阵A =[0 0 0 1 (1) 求义与y ; (2) 求一个满足P一1 AP = B 的可逆矩阵P. O I 12 O O l l 与B = [0 y O l 相似 .i.-1 10 0 - 1 斜 (1) 因为A ~ B ，故~a ,,= ~b , ，且 I A l=I B I , {2 +0+x = 2-y+ (- l ) - 2 =- 2y 所以x =O,y= l. (2) 因为B 是对角矩阵 ．知A 的特征值是 ：2 ,1. - l. 对入＝ 2 ，由(2E - A ) x = 0 得特征向拭a 1 = Cl .O, O)T 对入＝ 1' 由CE-A ) x = O 得特征向品a 2 = (0,1 ,l )T . 对入＝－ l ，由(- E - A) x = 0 得特征向址a 3 = (0 ,1, - 1)1 . 那么，令P = [a 1 , a心］= [; : : l ，有 0 1 - 1 p- ' AP = B 墅夏1992 ，九题，7 分）设3 阶矩阵A 的特征值为入 1 = 1 ，从＝2 心＝3 ，对应的特征向世 依次力g = [1}l s - [:l ; = [；] 又向扯p - [] (1 ) 将 JJ 用; 1 ，女，g 3 线性表出； (2) 求A飞(11 为自然数）． 斜 (1) 设p = 工心＋ ．互女十1中对增广矩阵[ a 1 , a 2 , a 3 ,/J］作初等行变换，有 • 270 · 屈 同 征 有 特 个 3 仁 J + 1 2- 9 s o - l 2 2 -23 l I 匕 J 已 l 2 3 S 3l--Clb 12 匕 J J i. = A ”3 入 P + 333 l 论 ， ＼ 尸 ' + + + 257 2 ? 1 1 结 埜 飞 7 口 7 [ - 2 斤 ” “ 222 __ 入 )- 2 l OO l J(1-- - - A .' 亡 － 据 S 1 2 2 2 － 值 征 A S 一 一 阵 2 入 ＿ ＿ 矩 O l 0 ＋ 根 2 “ 1 g ) ＿ ＿ 2 特 l i J 丁 0 0 - 2 3 一 一 是 ［ , 届 i - ' ） ＿ ＿ －1 3 9 二 一 的 应 2 3 ] g 3 ” l . S 3l] - f i 1 1 ~ 迂 l + N + ［ 对 由 向 ＝ 勹 牛 于 i l ＿ ＿ 所 理 征 1 3 9 P ( l 2 [ g g 月 特 “ 知 扭 说 佯 匕 J 已 仁 J “ 2 入 E ; 2 ． 已 向 ？ 从 124 ” .. l A 2 2 i ＿ 卜 tLdL , - 行 1 1 ,1 门 门 L 口 ． ＿ ＿ （ ＿ ） 分 寺 仇 } L 2 ' A - 飞 ＿ ＿ g － － 4 1 1 = － “ 门 儿 尸 U § 及 对 寺 A P A 牛 2 1 得 A 2 2 题 h 于 丁以 2 , ＿ ＿ ＿ ＿ ） " ｛ 屈 P Q 数 相 是 匕 J 已 } 入 ” ＿ ＿ ＿ ＿ A 七 参 否 s 匕 匕 2 7 定 ， 目 设 工 仁 J 9 A 9 圳 A ) l 1 I （ 试 问 U m ) ） 平 ＿ ＿ 甘 、 丿 . . ?'ll 2 A ( （ （ 令 出 足 韶 于 [_:1 -a b 1 / [_} l = 入u[J l 即 ＼: : : : : ::: -l + u + 2 = －入，J 韶得入，）= - I.(1 = - 3 ,h = 0. (2) 因为 入一2 ).£ A l=l - 5 l 知矩阶A 的特征仙为入1= 入 ＝入i = - l. —3 l - 2 山J 1 (— E-A) = r[— 52 - 3 = 2 从曲入＝－l 只有一个线性无义的特征向扯，故l 不;E相：以』才角化 mc2 00 0 ．十－超8 分）某试验性生产线匈年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统 l 计然后将一熟练丁支援J-L 他牛产部分 ．其缺额由招收新的非熟练丁补齐 新、老非熟练丁经 6 2 过培训及实践至年终考核有下成为熟练工设第 n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百 `) 入＋3 。 - 2 - 3 I = （入十］）3 入＋2 分比分别为3 ,，和＼，， ． i已成向从I.1,, , . 匕～V ，』 .' -- " , , xy __ A __ - - I I 们 旷 xy - - .. 飞 ． 工 杉 l F~7 阵 2 矩 ． 成 写 并 式 系 义 ,J ( l- ', ', , 勹 － ｀ ． - L -J - 1 忙 L , x\ li 求 ) ( (2) 验证1J 1 =［勹1J2 = [-1 1 ] 是A 的两个线性无关的特征向址贞求出相应的牡彻伯； 1 J (3) 当1:llj= ［il 盯，求[::-: . ', ', yy 2 _ 5 3 一5 ++ ”“ 工 工 9- 10 1 -l ____ Il J I ', ', 艾 Y ,Y, 得 简 化 \I , , y + , , x \ ， 丿 , l _6y + f\ 2 一5 " 又 l_6 + , , 工 （ 立 6 3 _ 5 == II ·1 ' , 为 ', 工 Y ,Y` ”r “E 示 有 表 意 库 题 矩 按 、 丿 0 用 其 斜 对 厂］＝[~ 1] 勹］ 于是A ＝厂勹 (2) 令p = [ 1J1 · 1J2 J =「4 - l ] ．则由 I P l =5 =/= 0 知 · 1]1 · 1]z 线性无关 Ll 1 因研＝「:l = 11 1 ，故7J 1 为A 的特征向址，且相应的特彻值入1 = l. 因A7J , = [：／日＝归？故n？力A 的特征向址且相应的持1正值入＝; 1 (3) ［二］＝A勹］＝A2 [: : ]== A [~y厂］＝A 勹 rl1P 1AP =I 一入 1 。 于是 义 故 ° ] ．有A = P队。 p l 入2 j-11 A = P ~ ·~ 入2 」 A"= p广° l',p -1 O 入2 p一1= 』l 1 1- :.> L- 1 4 1 14 —] I 0 A =了ll l ] [。 （主）＂］［＿厂'.] 1 14 + （十）n l - 1 （宁）” ＝了[1 - （十） 1 +4 ( 主）l • 272 • [; 1 ] =A/l ＝点厂：:it ;:1 m (2 OO l 才是8 分）已知3 阶矩阵A 与三维向扯x ．使得向址组x ,Ax . A ' x 线性无关，且 因此 满足A 1 x = 3心－2A玉． (I ) 记P = [x,Ax.A ' x ] ．水3 阶矩阵B . 使A = PHI_) I ; (2 ) 计岱行列式 I A + E I 分析 本题A 与B 相似 ．婓通过1“ 来求B. 由于矩阵A 没有具体给出，因而应从定义出发． 注心 ．若 1' 1 AP = A ，则P 的列向址是A 的特征向丛，而p 1AP = B 时，P 的列向址不是A 的特 征向吊 ．这一点不要混淆 斜 ( l) （方法一） 1 11 于AP = PB ．即 A [ x ．心．A ' x ] =［心．A 2 x,A 3 x ] = [Ax ,A 2 x . 3心－2A 2 x ] 0 0 0 ~ [x .心．A i x] [1 0 3 l 0 J - 2 0 0 0 所以13 =[1 0 3』 0 1 - 2 所以 丁足 （方法二） 由千P = [ x.Ax,A 五］可逆 ．那么p I p = E, 即P- 1[ x,Ax,A 2 入］= E . P x = [\l F Ax -[] PA x - [[] B = p I AP = p - i [Ax,A 压，A ' x ] = P 1[Ax . A五3心－2 A 2 x ] =[ P I 心 ．P- I A气l" - P 1 (3心－2A飞）］ [: ~』 (2) 山（1 ) 知A ~ B 那么A + E ~ B + E ，从而 ] I A + E l = I B + E I = 11 。 肛讥2002 ．十题 ．8 分）设A .B 为同阶方阵 ( l ) 如果A .B 相似 ，试iiE A.B 的特征多项式相笱: ; 0 0 3 I =- 4 - l (2 ) 举一个2 阶方阵的例千说明( l ) 的逆命地不成立 ； (3) 当A.B 均为实对称矩阵时，试证（1 ) 的逆命迪成立 ． 证明 （l) 若A . B 相似那么存什可逆知阵P ，使P- ' AP = B ，故 I 入£ - B I = I ill - P-1 AP I = I J> IIBP - P-1 AP I = p I ( ;...E - A ) P I = I p I 11 心－A I I p I = I 入E - A I • 273 • ( 2) 令A =[ ~ 』B = [~ ~ I 那么 I ill —A I = A~ = I 入E - B I 但A, B 不相似否则存在可逆矩阵P 使 p-l AP = H = 0 从而A = POI) 一1 = 0 ，矛盾，亦可从 r ( A ) = l , r (H ) = 0 知A 与B 不相似． (3 ) 由A, B 均为实对称矩阵知.A , B 均相似千对角阵．若A, B 的特征多项式相等 ．记特征 多项式的根为入I • … ．入，＇，则有 A 相似于［入' ·. J .n 也相似于入' ·.. 入］ ［入l 即存在可逆矩阵P.Q 使 一入 1 p l AP = l l = Q一1 1JQ 入，＇ 于是( PQ 一1 尸A ( PQ - 1) = B. 由PQ -1 为可逆矩阵知 ，A 与B 相似 1 2 - 3 m(2004 . 21 题，9 分）设矩阵A =[— l ,I -3 的特征方程有一个二亚根，求（l 的值， 并讨1；勹言言二 l ( 1 5 ] 入一 1 - 2 3 入－2 2 - 入 0 I 入E - A l = I 1 入— 4 3 I= I L 入－4 3 - 1 -a 入－5 1 I - I -a 入－5 = （入— 2 ) （入2 _8入十 1 8 - 3a) 若入＝ 2 是特征方程的二玉根 ．则有 2 2 - 16 干 1 8 + 3a = 0 韶得a = -2. l —2 3 当(i =－2 时，A 的特补值为2 . 2 , 6 ，矩阵2E - A = [ l - 2 ; l 的秩为1 ,1如＝2 对 - 1 2 - 3 应的线性无关的特征向蜇有两个 ．从而A 可相似对角化． 若入＝ 2 不是特征方程的二重根 ．则入2 _8入十 1 8 - 3a 为完全平方 ．从而 ］8 --l 3u = 1 6 ，解 得a =- ~2 3 · 3 - 2 3 - l 宁－11 当a =－宁叮A 的特征俏为2 , 4 , 4 矩阵，lE - A = [ 1 0 3 的秩为2 ．故入＝.1 对应的线性无关的特征向队只有一个 ．从而A 不可相似对角化． • 274 · I 设知阵A 与B 相似，且 A = [_:3 :~1: -l2] B = [: : : (I) 求a . b 的值． (2) 求可逆矩阵P ，使 ［＇一1 AP = B ,, '• ., . , ，、设矩阵A = [- 3k — 2 1 4 2 -I;2] ，问当k 狂何值时，存在可逆矩阵P ，使得[r l AP 为对 一3 角矩阵？并求出P 和相应的对角矩阵． 练习题参考答案 1. . - B 是对角矩阵，那么A 与B 相似时的矩阵P 就是由A 的线性无关的特征向址所构成，求矩阵p 也就是求A 的特征向批． ? （l) 由千A ~ B ．故 { l +4+ (l = 2+ 2+ II G(a- ll =I A l=I n I = 4b 韶出a= 5 . b = 6. (2) 因为A~ B. A 与B 有相同的特征值．故矩阵A 的特征值是入，＝入，＝ 2 . ,\ 3 = 6. 当入＝ 2 时 ，由(2 E - A ) x = 0, [-:2 :? :2:l -[: :—:I] 得到基础韶系为 a , = ( —] . 1, 0) 1 , a, = ( l . 0 , l >"' 即为矩阵A 的屈于特征值入＝ 2 的线性无关的特征向拭． 当入＝ 6 时 ．由(6 E - A ) x = O . [-: 2 : 一:ll -►[: -:1 -: I] 其基础斛系为 即为矩阶A 屈于特征值入＝ 6 的牛r bl- 向批 那么 ．令 a 3 = ( 1. —2 . :1) T 0 1 3 ] P ＝如，a, 心］＝[-l l 』 _1 2 则有p-, Al' = B. 2 分r 因为A ~ A - A 有，，个线性无关的特补向从，而对千P一1 AP = A ．其中A 的对角线上的元素足 A 的全部特征值 ．P 的每一列是矩阵A 的对应特征值的线性儿关的特征向扯 ．因此，本题应当从矩阵A 的特征 值、特徘向扯入手，分析k 的取值对相似对角化的影响？ 由矩阵A 的特征多项式 • 275 • 入一3 - 2 2 入一 1 - 2 2 I 入E — A I = I k 入一－ I - k I= I 0 入 I- I —k - 4 —2 入+3 入一 I 2 入一3 入一 l - 2 2 = I o 入十 ］ - k I= （入一 l) （入十 1) 2 0 0 入十 l 得知矩阵A 的特征值为入 I = l ，入2 = 入3 =— 1. 由于A ~ A ，故入＝－ 1 时 ．矩阵A 必有 2 个线性无关的特征向从 ．因此秩 ,· ( - E - A ) = I. 由 E -A =『/..： :0: -:kl -►[-:4 _:, ~·] 知 ，k = 0. 当入＝ 1 时 ，由( E - A ) x = O. [_0: : 2: :l -►[: : 一:'] 得到矩阵A 屈于特征值入＝ l 的特徇向拭a l =( l.o . I ) .l勹 当入＝－ 1 时 ．由(- E - A) x = 0. [~: ~: :]- l: : :'] 得到矩阵A 屈丁特征值入＝－ l 的线性尤关的特征向 l1t a, = <- 1. 2 . 0)1 心 ＝(0 . l. I ) T - 1 0 那么，令 P = ［a 1 贮．a,] ~ ~ -:1 :l 有 I F IAlJ = A = [ —I -,] 【评注】 本题得分率不高，人均仅2 . 2 分有的同学是不会计算含有参数k 的特征多项式 尪－A ．有的 同牛不知用什么方法来确定k 的取值．其实 ，早在94 年就出现了用相似对角化理论 ．利用秩来确定参数的思想 方法． 三、实对称矩阵 炉主呻心 实对称矩阵有几个重要的定理 · 例如 ：头对称矩阵一定和对角矩阵相似（不管特征仙有没 有蜇根）；实对称矩阵特征伯不同时特征向址必相互正交（山此有内积为 0 ．从而可构造齐次力 程组求特征向队） ；实对称矩阵可以用正交知阵来相似对角化．试题就是旧绕这些定理来设计 的考研的重．I．I、飞 ．特别要复习好综合性强的韶答题 肛司(1995 ．八题，7 分）设3 阶实对称矩阵A 的特征值为入1 =－］，入~= 入＝ 1 ，对应于入1 的特征向址为＆=(o, 1, ］沪，求A . • 276 • 缉）设屈于入＝ l 的特征向植为§ = （山，工2 ,.m ) 「向于实对称矩阵的不同特征值所对应 的特简向拭相互正交 ．故 g飞 ＝1 2 + 1、3 =0 从而 <;2 = (1 . 0 . o) 丁 周令＝（0 ，1 , - l )·1 是屈千入＝ 1 的线性无关的特彻向从．于是 A[ .;1 ,<;2 心］= [- s 1 可女，g 3 ] A = ［— s 1 , 女,s 3] ［中心中］一1; = [/0} 00 -- 0 ] 。 1 -2 O l -2 。 l OO -- oo 。 l -2 —] -- l 00 肛卧2006,21 超9 分）设3 阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3 ，向扯a 1 = (- 1, 2 , - ］） ．l. 如＝（0. — L . l )) 是线性方程组Ax = 0 的两个解 （ 」 ）求A 的特征值与特征向址 ， (11 ）求正交矩阵Q 和对角矩阵A ，使得QT AQ = A. 吩拘本题矩阵A 未知，而( ] )要求出A 的特征值、特征向批．因而要有用定义法分析、 推导的构思． 奸 （［）因为矩阵A 的各行元素之和均为3 ，即有A [: 1 = ［:l /l ，所以3 是矩阵A 的 特荷伯 ．a = (1 . 1 . ])1 是A 属于 3 的特简向扯． 又Aa 1 = 0 = Oa 1.Aa 2 = 0 = O 亿．故a 1, a 2 是矩阵A 屈于入＝0 的两个线性无关的特征 向扯．从1 此矩阵A 的牡补值是3,0 . o . 入＝ 3 的特征向队为kC 1. 1. 1 ）·1 . 其中 k =I=- 0 为常数 ， 入＝0 的特征向妎为如( — 1 . 2 . — 1) T + k2 (0'- 1. 1) 气其中 k1 ，如是不全为0 的常数 ( II ）因为a l 如不正交 ，故要Schm 心正交化． P1 = a 1 = c- 1,2,- 1)1 勹－子[2l] －主丿 几 ＝a 2 - ( a 2 札 ） (P1, p l ) P1 = 单位化 丫一点[::2:l 丫一言l-：ll Y = \l 。 -- __ A __ Q A T Q E l 守 ,1 .. l 一 万 1 一 灯 1 一 点 ] 次 1 一 顶 那么令Q = （^( 1 . r 2 平）= 。 2 一 沉 。 l － 匠 I 屈 i} 3 • 277 • 【评注】 本题也可先求出矩阵A ，然后来完成(1 ) 和（II ），这样工作岳会大一些， 设A = [:: :: ：；：l 由题设有｛：；二二：: a l3 a,23 a33 a 13 + a 23 干a 33 = 3 ' 又由Aa 1 = O,Aa 2 = I) 有 , . 000 __ ____ 333 123 aaa - -- 223 122 aaa 222 +++ 123 111 e 于 aaa ,4 一 一 一 可 f — ｀ ~ 程 方 个 九 这 立 联 ',' ooo ___ __ _ 333 l 23 aaa + + + 22J l22 aa a - - l \ 和 A = [\ \ \ 进而由 1 入E - A I= 0 … 可完成本题． 当特征值有重根时，要注意此时的特征向量垂直吗？是否有S c hm i dt 正交化的考点？ 回(200 7,22 题．11 分）设3 阶实对称矩阵A 的特征值入 1 = 1 ，如＝2,A 3 =-Z ，且a 1 = (1 ,- 1,l) T 是A 的属千入）的一个特征向扯，记B = A 5 — 4A 飞＋E ，其中E 为 3 阶单位矩阵． (I) 验证q 是矩阵B 的特征向拭 ．井求B 的全部特彻值与特徘向址 ； （ II ）求矩阵B . 斜 c I) 巾知＝垃知A"a =入＇，a. 那么 加1 = CA5 - 4A' + E )a 1 = A飞1 - 4A3a 1 + a 1= （片－4店＋ 1 ）a l =— 2a 1 所以a 1 是矩阵B 屈千特征值µ 1 =- 2 的特征向扭． 类似地，若Aa 2 =入2 a 2 ,Aa , =入3 " 3 . 有 彻2 =（店— 4店＋1 ）” 2 = a 2, Ba3 =（入~- 4店＋l ) a 3 = a 3 因此 零矩阵B 的特征值为µl =- 2,µ2 = IJ.3 = 1. 由矩阵A 是对称矩阵知矩阵B 也是对称矩阵，设矩阵B 屈于特征值µ=l 的特征向址是/J = 炉 ，工2 ，工,)T ，那么因为实对称矩阵特征值不同特征向拯相互正交，有 " .lr /J = l 1 -义.2+ ．文3= 0 所以矩阵B 屈于特征值µ = 1 的线性无关的特征向址是几＝（l ，1, 0) ．l .p3 = （-1 , o,1) 气 因而，矩阵B 属于特征值µ 1 =-2 的特征向扯是K 1( l , - Ll) l ，其中丸是不为0 的任意常数． 矩阵B 屈于特征值µ=l 的特征向扯是如(1 , 1,0)°1 十如(-1,o,1) .\ ，其中／边 ，如是不全为 0 的任意常数． ( II ）由彻1 =— 2 a 1 ,B化＝P2 ,BP , = /JJ 有B ( a 1 •/J2,/J3) = (- Za 1 , Pz ，几）．那么 B = (- 2a 1,P2,/J3) C a i, Pi • 儿）l - 2 1 - 1 1 1 -1 一1 •) 2 1 。 - 1 1 。 = ') ( J . 丛 . ) -2 。 1 1 。 l •) 。 L —匕 。 1 - 1 1 。 — 1 1 。 • 278 • 【评注】 本题求矩阵B ，亦可用 I., ！”P = A 或Q IBQ = A 的方法来实现 ，例如 ，令P = —2 Ca,.p, .p, l 有B = I) [ ] llp l = . ．作力复刁．这里的计算建议同牛动手具体做做 要想到用正交内积为 0 未求特征向贲 t 巠哼｝ 设？吤实对称矩阵A 的扶力:? . ,\ _ =入 h 是A 的二重特征值，若a 1 = ( l . ] , 0) T , a <:Z . l . l) r .a =(— I . 2 . — i) 1 都；L ..\ 的壮，于特征值 6 的特征向咕． ( |）求 r\ 的另一衬征值和对厄的特征向咕 ， ( || )求矩阵A, 恒节习题参考答窒｝ ( 7 > ( l ) 巾秩，（.- \ ) 2 . 知 \ ＝ I) 所以 ;, = 0 比＼的另 牡征俏． 因为), , =入＝ Ii 足义对称矩阶，＼ (1（J －币牡补（八 ．故A 的I4 1 小叶1 ｛几{ = 6 的线Pl 儿义的特征向扯有2 个， 囚此“ ' ．“ . a 必线H II I 义 ，而＂1 .a , 见，＼的）心 l特简f1Il ,\ = 6 的线Pl 尤关的特征向植 ， 戊 ,\ = 0 所对肋的l'i 钊向以为a = ( I !.,.,) l ．巾丁实对称廿 I ;I, 小同竹t I I 仇的牡征向：i[ 相互正父 ．故仆 I Ct I Ct = r ！一 ．t : =() \ " -1 a = 2.r1 -., - - , = 1) 侦（此）丿 f'rl 电得丛础紨系a = (- 1. 1. l) 了 ．那么月ii;t，人＼屈于牡i| (fl A 0 的打礼向昂为k( －1. 1. ] ) 1. K 凡个为 零的（了意炖数 ． (I I ) 令P = -“` `q. a 7 ．则 [['),) /' I ;\/' = (i {) - () () 6 0 0 1沂 l `). ,\ = I' () 6 1) IJ ' () 0 I) 义 。 I I 2 l' 3 3 :, l I I $ $ :, 故 『'，:' 2 1 1 : ,, ] [ _ ° :i :, cl 2 2 I\ l l 6 0 ．一 — | 2 2 ! - 2 `} l l - 1 俨1 () _ _ l 2 - ? 【评注】 如果入是．4 的K 重特征位 ．那么入至多有K 个线性无天的特征向受 ．而作为买对称矩阵 ．则K 贡 特征值必有 I，个线性无关的特征向注上述定理保证了本题中a 1 ．贮．＂l 一定线性相夭 在矩阵A 的求船上 ．亦可用矩阵万程来处狸由心l I ＝如， ．A” 2 = 6a , ｀j切＝ O a ，有 A [ a , . 贮 ．a ] = [ 6 a , . （如，O ] 从而 A = ［如， . 6贮 ．o ］［a , . 贮 · a」' • 279 • 第六卒 二次型 L～巴n 二次型买际上是特征值的儿何应用 ．复习二次型就一定要搞清它与特征值、特征向址之间 的内在联系 ． 考点主要有三个 ：一个是二次型化标准形的正、反两方面的问题 ．依托的是特征值、特征向 量相似对角化的理论与方法 ；一个是二次型的正定性 ．既有正定性的判定 ．又有正定性质的运 用 ，也都会涉及特征值 ；第三是合同 ，它是由二次型经坐标变换引申出来的概念． 数学一中还常有二次型与二次曲面相沟通的试题． 一、二次型概念与标准形 炉竺顷点｝ 用正交变换化二次型为标准形 ，求其标准形就是求二次型矩阵A 的特补值 ，求坐标变换就 是求A 的特征向晟． 若求二次型的表达式就是求矩阵A ，这样的试题一般都是实对称矩阶试题的翻版 厘眉(1990 ，八题，8 分）求一个正交变换化二次型 f= 叶＋4式＋4 式－4艾心2 + 4 ? l ? l — 8x2.1飞 为标准形． 伈二次型的矩阵是 A = ［一：2 /1: :ll 其特征多项式为 入－］ I 邓－A I= I 2 —2 所以A 的特征值是儿＝入2= 0 心＝ 9 . 对于入1= 入2 = 0 ，由(OE - A ) x = O , 即 4 2 -4 入 -2 4 I = 店（入— 9 ) 入— ll [::2: :4 ::4/l- [[ -: 2 丿 得到基础韶系a , = (2 , 1,0) T,a2 = (-2 . 0 , ]) T 令即为屈丁特征值入＝ 0 的特彻向柲． 对于入,= 9 ，由（9 E — A ) x = 0 ，即 • 280 • ) 5 ` 七 ,1 交 ~ 2 正 T 2 O ) ( l_5 。 . l = " . 2 -' X ,\ l .:i , 估 ＿ ＿ ， 只 1 1 . a fJfJ ` , 2 1 __ ap 父 (( ． 一 仆 ！ 爷 ， － 乡 2 82 厂 | | L ， 巳 0 － ） 甩 ＿ ＿ 2 } 旬 , “ 2 』 21t' ,'l － 扩 牛 . 丿 1' l 凸 U 伯 ( 彻 __ 土 寸 l 牛 " 系 同 解 小 11 1. .Ihl 基 1 1 1 ． 喻 i If ,` ,1 2 厂 J A r —; 2] —► [: 310 -- 410 把/1 1 , Pi , a :；单位化，布 丫］- __ 1~ “' . 2 一 岳 l － 石 。 = 3 “j . l- 2 3 上 飞 5 - 3 23 l -32-3 那么经止交变换 __ -- I 12 .rx 、 ` -- 2 一 石 1 一 万 。 2 万 ！ 一 产 』 －厉 3 33 l -3 2-3 2 -3 i- - v i ． 沁 y i — 次氏！［化为标准形 f = 9y2 回( 1 9 9 3 ｀七题 ．8 分）已知二次荆 f( .1"1 心，i· , ) = 2汁＋3 计＋3对＋2止t 公14 (u > 0) 通过吓父变换化成标汁i 形r = YT+ 2 灵 －I- 5 y ~ ，求参数a 及所川的止父变换矩阵． 斜）二次型J 的矩阶为 A = 200 -l 03 ll - - Ou3 它的特t什方程是 入一2 0 0 I 心— A I= I 0 入－3 - “ O — ( / 入－3 ＝饥－2 ）（入'-6入十9 －矿）= 0 J 经止父变换化为标巾形 ．那么标准形中半方项的系数］ ．2 . 5 就是A 的特征值 把入＝ 1 代入牲征方程 ．得 (／2 一 ，l = 0- u =工2 因 u > 0 ．故知Cl= 2 这时 A = 200 -- 032 - - 023 • 28] ] 00 ， 一 o - - __ x ) A E ( ·- ' l __ 入 寸 又 韶得a 1 = (0 . l . - l) 1 . 又寸入？ ＝'2 . 由(2 £ - A ) x = O. [[ filf 得a 2 = ( l . 0 . 0) 1 . 沁l 入3 = 5 . I廿(5 E - A ) x = O, [! 212 -- 。 12 ] l - 。 2 02i l- 22 -- 。 l OO -- 』►[[ - 00- ► -- 2 02 。 。 -i 010 00 _ _ O l O 0 ] 0 l- l 00 韶得a 1 = ( 0 . l.. 1) .I . 将a I 也，m 单位化 ，得 y ＝言［］］］Y = ［』Y 一言l:l 故所用的正交变换矩阵为 P = ［仇汀2 , r :iJ = O l - 疫 _ ＿ 疫 。 。 O l 一 迈 1 － 我 f 口 , 似 目 才 、 丿 下 换 － 5 － 变 交 2 -- 正 1 ~ 在 ( 阵 － － 矩 0 a 3 形 0 3 a 抸 准 200 -- 示 才 与 简阵 史 E 解 样 次 型 这 , 次 二 a 用 求利 肛 ] __ A 而 从 【评注】 ( 1 996 ．九题 ．8 分）已知二次刚 J( .1. 1 ．立.x , ) = s.d + s.1.; - “ ~ - 2x1 .1.:z + 6x1 .1. 3 - 6.1.亳红3 的秩为 2 . (1) 求参数（及此二次型对应知l许的特征值 ； (2) 指出方程J(x1 •.l.2'.l.:,1 ) = 1 表示何种二次曲而． (l) 二次型矩阵 矫 厂3] 一—5 /3 /33] 闪为二次观秩｝(f) = r(A) = 2 . 如l'r A 中有 2 阶千式非岑，故r ( A ) = 2己 I A I= 0. 5 -1 :1 I A l=l- l S -3 1= 2,l(c-3) 3 —3 ( . A = • 282 • fif(i| ', ( = 3. ]'I+ 「l:i A 的特征多项式 入一5 l 胧— A I= I l 入— 5 - :~ 3 -3 3 I= 入（入一4) （入－9) 入— 3 求得二次型矩阵的特征值为 ：0,-¼ . 9 (2) 因为二次型经正交变换可化 ，I A+ 9 灭，故JC.r 1 心r.1 ! ) = 1 即 伍＋9 对＝ ] 表示椭圆柱面 (199 8 . -t 题 ，6 分）已知l 二次曲面方程 ,.2 + uy1 + ：：：：~+ 2归y + 2.r：：：：斗 2y：：：：= 4 可以经过正交变换 ［蛉：：：：．l = P[] 化为椭圆柱面方程 T/2 十，lg = LL 求u 小的值和正交矩阵p 斜 经正交变换化二次型为标准形 ．一次型矩阵与标川形矩阵既合同又相似．于是 A = [:[ e; ;] ~ B = [° l /ll 从而 {1+u+ l = 0+ 1 +4 I A = (b —1)1 = B I= 0 韶出a=3 . b =l. 山( O E - A ) x = （）解出入＝ 0 对应的特征向蚊a 1=C l . O . - l) 厂 巾( E - A) x = O 犀li 入＝ 1 对应的特征向显a 2 = ( I. - I. 1) T _ 巾(4E - A) x = 0 ft作出入＝ 4 对丿W 的特征向礼U :1 = (I . 2 '1 ) T . 特彻伯不同特补向扯已正交，将其rL 位化有 l l l 丫1 = - ( 1. o ` - l) .I . Y: = —< 1 . - 1. 1) 1 . r,= — (l . 2 . 1).l 疫戎屈 1 l 1 迈祁屈 那么 P =[r,, r ! •r,J= I o ] 2 瓦屈 1 1 1 迈 沉 屈 为所川止交矩阵， (2002 , 一（4 ）题，3 分）巳知实二次型f(x , 心心）= u （叶＋过十式）＋4.1心2 +4.z-,:i-, I 4.r~ . i ·:, 绎在父变换X = Py 可化成标小形j. = 6 对，则 ll 一 . 答哀 2 . 斜析 因为二次型x'．Ax 经正父变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次刚 矩阵A 的特征仙 ．所以 6 . 0 , 0 是A 的特征值 又囚~a ;;= ~;., ，故 a -I a +a= G+ o+o • 283 • 从而知a = 2. 巾于经让交变换化二次型为标泭形时 11f I I I 二次型矩1｛个与标准形矩阵不仅合同而且还相似，亦 ll22 }_ 2 u 2 :] ~[6 。 -- 。 米求u .. 配(2005,20 超9 分）巳知二次卯j、C.1· , ,:r· 2 , T :\ ) = CI - a) 式＋（1 - a) 弓＋2叶＋2 0+ u) ？心2 的秩为 2 . (1) 求u 的伯 ： （ II ）求庄交变换X = Qy ．把／（<" 1 , ..r 2 •.1" 3 ) 化成标泭形， （Dl ）求方程j. （r1 · 亡，m ）= 0 的I，许 1 - a l + u ( | ) 二次型知阵A = [ l + u l - CI 0 0 即r(A) = 2 ．所以有 I A I = 21 I - a 1 令干 07 :j,rh f二次型j 的秩为2, 1 + a | =- 8« = 0 ，得a= 0. 1 —a - ] a 入一 1 ( II ）兰'i a= 0 II 寸． 11~ I 入E-A l=l- 1 。 入－l 。 o I= 入0-2) '=0 , 入一2 。 知矩阵A 的特征值是2, 2 . o. 对入＝2 ．rtI (2E - A )x = 0. [-l ] - l 1 :l -►［; 0 0 OJ LO 得特征向从a ,= (1.1, 0) 「,a 2 = (0 . 0 . 1) 厂 对入＝0 . 由(0/；- A) x = {1, [二 : =} ]J -► [; 0 0 - 2J LO 得特徘向扯a ,= ( 1. -1 . 0)T 巾于特征向址已经两两正交 ．只宙单位化 ．于是有 丫1 ＝二（1 . 1. 0)1 .y, = (0,0,l) .「 ．YJ = 上（］ ．－} • 0) I 迈迈 - l 。 。 . -- ooo 。 。 , l - 010 匠 I I ，那么，经正交变换X = Qy 有 迈 1 0 .I`( 1 I 心 ，艾3) = 2 对＋2y ~ ( Ill ) （方法—) 由（ II ）知，在正交变换x=Qy 下 ．j 炉，义豆 ，X 3 ) = 0 化成2对十2沁＝0' 韶之得 y, = O, y2 = O,y3 = t(I 为任范实数），从而 x = Q [[ ] ＝（Y 1 ．九．Yj ) ［勹＝lY.1 = 1 (l . - 1 . 0) ·r 即方程[(3. l , .1 2 ,.1· :, ) = 0 的韶是k(l , - ], O)T ,k 为任总实数． l － 迈 l - 控 。 。 令Q = < r 1 ．伈 ．Y 3 ) = 。 • 284 • （方，去二） 由于f(X 1 · .1"2 • .l" 3 ) ＝叶＋式千2式＋2丘r2= （又1+ 工2) 2 + 2忒＝ 0 ．所以 {m + .1.2 = 0 石＝0 其iillffl-｛（为x = k ( - l, 1, 0) 1 . } t I I I le 为任意常数 【评注】 本题的前两问是常规题，也是帘见的，只要按步骤处理即可，要注意对 （卧）的理解． (2 008 . 6 题 ．4 分）设A 为3 阶实对称矩阵 ．如果二次11 1 1 面 方和 (i · y . .:: )A[:.:::] - l 在止交变换下的标准方程的图形如图所示，则A 的正牲个I 们的个 数为 (f\)O . (C) 2. 答哀 B . (B) l. (D)3. . l' , 斜析 本题把线性代数与俯析儿何的内容有机地联系起来 ．首先要明白所给图形是什么 曲而？其标泭方程是什么？ 双叶双曲面，标准方程是 ： 1. ~ y 之 ----— = 1, (1 i b i ( 2 具次 ．二次型经正交变换化为标泭形时，其平方项的系数就是A 的特征值 ，所以应选(B). 【评注】 很多考生选择(C) ，是不是把标准方程记成了 立十立＿三＝－1 ＂2 矿 c2 而忽略了本题的条件是XTAx = 1. 一、二次型的正定 仁竺翌一 削绕正定的定义” Vx -:f= O 必有XT心＞0” 设计的试题一般难度较大，考特征伯、顺厅主子 式的考题是容易的 复习时伴意考定义法的题 一沉( l 99 l ．八题，6 分）设A 是II 阶叮定矩阵，E 儿 II 阶泊位矩阶，证明A + E 的行列式大 丁－ I. 说明J 本题解答讨参看第216 页第 4 题 ．本题考查的是正定矩阵的性质 ：特征值全大于 0 ．以及 I A I= IT 入， ．当然也可用实对称矩阵必可相似对角化等． . (1999 ．十一题 ，6 分）设A 为m 阶实对称矩阵且止釭．B 为Ill X II 实矩阵，n · 1 为B 的转 罚矩阶 ．试证 ：B I A1J 为正定矩阵的充分必要条件是B 的秩r(JJ) = 11 . • 285 • 证叫 必要性设矿AB 为正定矩阵 ．按定义 V x -:;t= 0 ，但有x 1CBTAB) x > 0. 即 V x -:;t= 0 ，恒有( Bx )°' A(Bx ) > 0 . 即 V X -:;t= （），恒有Bx -:;t= 0. 因此，齐次线性方程组Bx = 0 只有零fWf. ．从而r( B ) = 11 充分性 ：因( B ,. AB )T = BTAT( BT)T = B T AB ．知B 「从｝为实对称矩阵． 若r ( B ) = 11 ．则齐次方程组Bx = 0 只有岑w; . 那么 V x -:;t= 0 必有Bx -:;t= 0. 又A 为正定矩阵，所以对于Bx -:;t= 0 . 恒有 ( Bx ) TA CBx ) > 0 即当X -:j= 0 时．人.T (BT AB )x > 0 ，故B ．'AB 为芷定矩阵． Lf包璧｝ 1,, - . 飞 －- • 若二次型j、(．l.- 1 . l ; · 1l ) = 2对＋式＋ri + 2.l..1 12 - u· 2 .r3 是正定的 ，则 1 的取值范围 是 I O I ；．｀＇ 1( 、·` 设矩阵A = [0 2 0] ．矩阵B = （I五十,1) 2 ．其中I, 为实数．E 力单位矩阵求对角 I O I 矩阵A, 使B 与A 相似．升求k 为何值叶 ，B 为正定托阵． 练习题参考笞案 l . 【芒宝】 －疫＜ l < 疫 ［解析】 二次型f 的矩阵为 -- 0/ _ 2 l ll /_ 21 2 1 0 -- __ A 因为J 正定~A 的顺序主子式全大于零．又 I 2 l I f:!.1 = 2 ，心＝＝ 1 ，凶 ＝ I A I= 1 - —r I 1 I., _, '·-'. 2 故 ．（归已l －沪＞0 ．即— 打＜/ ＜疫． 【评注】 本题若用配方去，有 f = 2 ( x,, 长）2 +沪－lX3) - (1 - ＋r) ．叶 = 2y巨了沪(1 了）对 因此．J 正定R P = 3(=?1 - -i,-12 > 0. 2 2 ［分杆】 由千fJ 是实对称矩阵 ．B 必可相似对仇化．而对爪矩阵A l!lf 1±1 n 的特征伯组成 ．只要求出B 的 特彻值即知A ．又因正定的充分必要条件是特征仇全大千O . k 的值亦可求出 （浮］ 由于A 是实对称矩阵 ．有 旷＝ ［（社｀下A ) 于＝[( kE - A )T 千＝（I王十A) 2 = fJ 即B 是实对称矩阵，故B 必可相似对角化． 111 入一 l I 入E - A I = I o - I 0 I 入－2 o I = 入（入一2) 2 O 入－1 可得到A 的特简值是入， ＝ 入，＝ 2 , ,l, 3 = 0. • 286 • 故 那么压＋A 的特征伯足 l, +2 , k+2,k . 曲（kE , A )' 的牡钊值儿(I,+ 2>2 , (Ii + 2)1,k' B ~ A = [( K + 2) (K + 2) kol 因为矩阵B 正定的充分必要条件是特1iF 仇全大于0 ．可见当 ll #- 2 且 Ii# 0 时．矩IVf B 正汒 三、合同矩阵 仁彗翌一心 不是重点，埴空、选择为主． A :::::: ＂《仇1 = p ,1, q,\ = (Jli 通过什么来确定止、负惯性指数？牡补俏 ！有时也可川配方法． 注意相似与合同的联系和区别 l 回00 ] 二( ,, )题，3 分）设A = ［} l (A) 合同且相似 (C) 不合同但相似 答孚 A . 斜祈由 1 入E - A l = ,l. 1-4入3 =0 ．久I | 矩阵A 的特征值是 ，1 . 0 , 0 . o 义因A 足实对称矩阶 ． A 必能相似对角化 ．所以A 与对角矩阵B 相似 作为实对称矩阵．当A ~ B 时，知A 与B 有相同的牡征伯，从而二次型x -r Ax 1了x T Bx 们相 同的正负惯性指数因此A 与B 合同 所以本题应当选(I\) 注意 · 实对称矩阵合同时，它们不一定相似 ．但相似时一定合同．例如 1 1 17 1°1 0 0 0 1 l 1 1 10 0 O O ] I l ~ l l l, B =』oo o ol ，则A 与B 0 0 0 0 ( B ) 合同但小相似 (D) 不合同且不相似． A = [1 0] 与B = - L O] o 2 J - _o 3 它们的特征值不同，故A 与B 不相似，但它们的正惯性指数均为2 ．负惯性指数均为0 . 所以A 与B 合同 m(2007 . 8 题｀4 分）设矩阵A = [－勹 - ] ( A) 合同且相似 ( C) 不合同，但相似 答孚 B . 奸析 根据相似的必要条件 : : (ln = :仇，易见A 和B 肯定本相似．由此可排除(A ) 与( C ) . 而合同的充分必要条件是有相同的正惯性指数、负惯性指数为此可以用特征值加以判断由 入一2 I 入入 I 入E - A I= I l 入— 2 J I= I I 入－2 1 I = 入（入一3 ) 2 l 1 入－2 I I l l 入一2 B 与 A lj 贝 . -- 000 以 ,1 rrr 0 1 0 才 不 . 以 ,1 l OO 也 - - 甘 l __ , ` 百不 合 B 日 一 ,1 , 一 、 - - . ll ~ -I J 刁 2 1 一 一 合 既 、 丿 ＼ ＇ ll BD -(( 2 • 287 • 知矩阵A 的特荷伯为3 , 3 , 0 . 故二次型x ,. Ax 的正惯件指数jJ = 2 ．负惯H 指数q= O 而二次刑 x加的吓惯性指数亦为p = 2 ．负惯性指数q =O ，所以A 与B 合同．故应选( B) 【评注】 实对称矩阵A 和B 相似，则A 和B 必合同，（因为A ~ B =;,从＝心⇒pA = Pn · qA = q ,i ⇒A '.'.:::'. B ) 但合同不一定相似，一般情况通过特征值未判断合同是方便的 ． t三 I. （四 I • 't 三 ．，今）设A.B 力同阶可逆矩阵 ．则 ( A ) ／田＝叭． （B) 存在可逆矩阵 I' ．使 I' l ,W = B . ( C ) 存在可逆矩阵C ．使C' AC = ll. ( I) ) 存在可逆矩阵P 和Q. 使I,AQ = B ~· ~· It . .' 三 ． 个，设A 力 JI 阶去对林矩阵 ．秩( A ) ＝ I I . A ,1 是A = （化，儿，， 中元素u ，丿的代数余子式(i . 1 = ]. 2 .· · · . 11 ) ．二次型 j (J 1 , l , .·· · . .L,, ) ＝言言土T,1) ． ( I ) 记 ．~ = (. r , 心 ．… • ..I',, ) T ．把j ( .I I ' 1 . · ··· . J.n ) 写成矩阵形式 ，并证明二次型f( x ) 的矩阵为A一I : (2) 二次型叭x ) = x 1 心与f( x ) 的规范形是否相同＇，说明理由 ， 练习题参考答案 L 【答案】 D. ［解析】 矩阶乘法没有交换律 ．故(/1. ) 不止确 两个可逆矩阶不 定相似 ．因为牡11+ （八可以不一样故( B ) 不正~Jo . 两个可逆矩阶所对应的二次型的正 、负惯性指数可以小同 ．因们不一定合同．例如 I 0 7 . r l 0 A = | 0 2] 与n = [ 。 :3 ] l从不相似也不合同 A 与B 等价，即A 经初等变换可得到B. ll | l 有初等矩IVJ: P, . J>~. .... Q ,, Q, , .. ，使 R ·· · P2 RAQ I Q2 ·· ·Q, = B 亦即有可逆矩阵P 和Q 仗PAQ = B. 另一方面 ．A 与B 笠价= r ( A ) = r ( B ) ．从而知(D ) 正确．故应选(D ) 2 【分析】 如果f( x ) = X T 心 ．其中A 是文对称矩1作那么 ．＼·1 心就是二次型f( x ) 的矩阵表示 ．为此I讨改 出双和号的含义．曲个二次型如果具兀负忖W I 指数相同 ．它们的规范形就一样 ．反之亦然而根据惯性定即 ，纾 坐标变换二次型的仆负惯性指数不变 ，因而规范形相同 【解］ （ I ) 1h T f(.1·1 .. r_ . .... 立＂）＝言言气·1, .T, = ( 1 1 3.) ; [;1: :: :lnj /: 囚丿寸r(A ) = II饥I A "jjj'义因A 是）、对fJ: (；勺）4｝= ( AT) 1 /\ “f` I A Am 『”』 A . 得知 .4. I = ——－ 丿L 及对称矩阵 ．于足 1\ • Jl 对称的故二队利 f( x ) 的矩阵足A l . I A | (2) 经坐标变换x = A ' y ,1-1 g (x ) = x ' 心 ( A 1y)' A(1\ 1y ) = y I ( i\ 1) 1 J = y°1 A I y = f( J ) 即．~ ( x ) 与j( x ) 4f 柜 ' "] 的规范形 • 288 • 第三部分 概率论与数理统计 第 ＾齐 ,^ 陨i 札l.!:Ji f牛和I 批［冲； 严 术章是概率论与数理统计的基础 ．近几年单独出本章的考起较少 ．平均2~3 年一个小贬 ． 大多作为基本知识点出现在后而各幸考题中 ．应该将本竞中重点的基木概念 、基本理论和基本 方法理鲜透彻和熟练挛握 仁畔翌心 个盗的考题大多是选扦题或lJ'［空题．考核币，点个＇仆件的关系和运符 ．概率的性质．概率的开 大公式（加法公武、减必公式、乘法公式、全概华公式以及贝叶斯公式）．占典概型和伯努利概型． 一部分考生对古典概刚中的对题感到困难 ．其实考试大纲对古典概刚和几何概型的婓求 是只要会计符一般对皮的汹型就可以．因此不必刻心去做各种复杂的挫型． 木立的选择题或坦空题一般会综合3 ~ "个考点，计符虽不太大． L一压＿匠 事件关系、概率性质和五大公式 厦昌19 87 .f- (2) 题，2 分）二个箱子．第一个箱千有4 个黑球 1 个臼球 ．第二个箱子中小3 个黑球3 个白球，第二＇个箱 f 中们3 个黑球5 个( | 球．现屾机地取一个箱子 ．再从这个箱子中取 出 1 个球 ．这个球为自球的概卒笘丁 ，已知取出的球是 I勹球 ．此球屈于第二个箱子的 概牛为 答孚 53 20 120 . 53 · 斜祈设韦件A 取出球为白球．寸i 14 /3, 球取自第 l 箱 ．i = 1. 2 . j , 根据个概率公式．PC/\) = P(/31) P (/\ I 131) + PU九）P （A I l3; ) I P ( 1九）P （A | B j ) J " l, I " I , I " 5 8 + 20 + 25 53 = ~ X —+ - X- +— X - = = - - · 3 " 5' 3 " 2 . :-1 " 8 120 120 ' 1 1 根拟贝叶斯公式 ：P （B , I A ) = P （如P （A l九） 3 —X - = 2 20 一” = = · 沁 ~ P PCAC U 议: ) ＝P(AC ) + P （议：）＝－＋－＝－，这是不可能的． 4 6 6 3 兰(1 993 ，十（］）题 ，3 分）一批产品共有 1 0 个正品和2 个次品 噜任意抽取两次 ．每次抽一 个 ，抽出后不再放回 ．则第二次抽出的是次品的概率为 答孚 一． 1 6 • 290 • 斜析 ·:,c 设A ， 第 1 次抽得是次品 ，i = J. 2 显然儿 ，凡是Q 的完备4WI 组，根据全概率公式 ： 2 1 , 10 2 1 P(A 2) = P< A1) P (A1 I /\ 1) + P （瓦）P （A 4 l 凡）= — · —+— · —= - 12 11 ' 12 11 6 I ．丛＿） 2 又考虑第二次取10 个正品2 个次品旬一个都等可能被取到P CA 2 ) = —=-1 12 6 (1994 ．十（l ) 超3 分）已知A ,B 两个事件满足条件P(AB) = P （冗初 ，且P ( A ) = I八 则 P (B) = . 笭泉 1- p. 斜析 街P U\ ) + P (B) = l .I'(B) = 1 - P C/\) = l - /J. (1996 寸（l) 题 ，3 分）设T．厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为 ］％和2 % ，现从巾 A 厂和B 厂的产品分别古60 % 和40 ％的一批产品中助机抽取一件 ，发现是次品 ，则该次品是 A 厂生产的概率是 . i . P (AB) = P （冗万）= 1—P (A U B) = l - P (A) —P(B) + P (AB ) , 答点 斜析 设事件A一产品山A 生产，则冗－一产品巾B 生产．显然A . A 是9 的完备车件组． 事件B 取的产品为次品 现取得一产品发现为次品 ．则该次品屈A 牛产的概率应为P (A l B) 根据贝叶斯公式 PU\ I B) = P （八）P C H I A) .. 0. 6 X 0. 01 _ 0. 6 _ 3 = P(A ) P(B | A) + P （六）P （B I 冗）= 0 6 X O O1 +0. 4 X O. O2 = 0 6 + 0. 8 7 ,-- (1998 ，二（5) 题 ．3 分）设A, B 是两个随机平什且O < P (A) < l ,P (B) > O .P CB I A) = P ( B I 页），则必有 (A) P(A I B) = P （冗 I m . CC) P (AB) = P (A) P CH) . (B)P(A l B) # P （六 I B) . (D)PCAB)'F P (A)PCB) . 答哀 c P 0 . P(A I B) ＝ 1 ，则必有 C.A) P CA U B) > PC/\ ) _ CC)P(A U B) = PC/\ ) . (B>P(A U /:l) > P (B) . (D)P(A U 13) = PCH ) . 答衷 C. 奸析本题考查条件概率和概率的加丛公式． 由 P(A | B ) = P (!\13 ) P(J3 ) = 1 , 得到P ( AB ) = P(B ) ，再根据加认公式．有 P< /\ U B) = PCA ) + PCH ) - PU\H) = P （八） 答案应选(C) ． 、古典概型、几何概型和伯努利概型 (1987 ．十（ I ) 题．2 分）设在一次试验中 ．事件A 发生的概率为 f） ．现进行 II 次独立试 验 ．则A 至少发生一次的概才为 ，而小fll:A 至多发生一次的概率为 答泉 1 -(1-p)" ; （］— /J),, 十 Il /J （］- /J ) ”1 斜析可以看成足 II 次独立重复试验的伯努利栈型． A 至少发生一次可以看成一次也没发生的对}市件，一次也没发生的概率为(l — p) " . 儿对立事件为 J -( 1 - JJ )" ; A 至多发生一次，有二种可能 ：一次也没发牛或者只发牛 1，一次 ，其概率为 ( 1 — /J)" 十 叩(I - /) ）”- 1 . , _，一 ( 1 988 ．十 （］）题 ．2 分）设在二次独立试验中．事件八出现的概率相等，若巳饵IA 至少 19 出现一次的概率等于— ．则事件A 在一次试验中出现的概率为 27 答序 1 、 3· 斜析可以看成是 ：：：：：．次独立霄复试验的伯努利校型 设事件A 在一次试验中出现的概率为P { /\ } = p 已知在＝上次独立试验中A 至少出现一次 19 19 8 的概率为--;::: ，则在二次独立试验中一次也没出现的概率为( ]— J;) :, = 1 — 一＝— 2 f 2 7 2 7 ` 俯得 l 2 —p = — . p =— 3 r 3 . 概率为 6 C 1988 ，十（2) 题，2 分）在区间(0, I ) 中助机地取两个数，则事付“两数之和小于— ”的 5 • 293 • 答泉 17 —. 25 斜析 本题是几何型概率题 畸不妨假定随机地取出两个数分别 为X 和Y ，它们应是相互独立的．如果把(X . Y) 看成平面上一个点 的坐标，则由于O< X < LO l } =上- P { 2 < X <叶＝0 . 2 2 【评注］ 本题也可用积分来解P {2< X <4} ＝『J位）dx , P { X < 0} = [= J位）d几勹 2 J -= 利用对称性和积分代换也可求出 P { X 0) ，且二次方程 .),2 + 4y I 土X =O 无实根的概率为— ，则 = 2 µ 答哀 ，I. 斜析 二次方程无实根// - 4ac < 0 翡l 矿— 4 X 4 , 尤实根的概率P { X > 叶— 上 = i 2 ,µ =,1. 配夏（2 00 2 . ..:::..( 5) 题，3 分）设凡和凡是任总两个相互独立的连续型助机变扯，它们的概 率密度分别为I 1 (.r) 和jA I) ，分布函数分别为 F1 (:d 和F2 釭） ｀则 (A) 八釭）+ f z (.1- ）必为某一随机变从的概率密度 (B)/1 C.1) ．儿（T) 必为某一 1姐机变蓝的概率密度． (C)FIU) 十片(.1) 必为某一随机变屈的分布函数． (D)F1 (t ) F一，（｀1) 必为某一随机变从的分布函数 答导、 D 斜析 Xi ~ F 1 C.r) 和X2 ~ F 2 (.T), !-1. X 1, X 2 相互独TJ. . 令Z = max (X 1, X 2 ) ，则Z 的分布函数F / (t ）为 凡( :,:) = P { Z ,s:;; x } = P {max (X 1, X 2),s:;;.1 } ＝ P { X 1,s:;; 工,X , 冬忒 = P { X 1 冬d P { X 2 冬r } = F 1 C.1.) 贮（心 即E ( 、，d F2( .1) 是max ( X1 呵凡）的分布函数． 肛(200 4 . U 题，4 分）设随机变扯X 服从正态分布N (0 , l) ，对给定的a(O < a < 1) ，数 l/ “ 满足P { X > u.) = a . 若P {I XI < 工｝＝a ．则 ．1 等于 (A) 1／导 · 答阜 C . (B)u l--y · ( C ) u 宁 · ( D ) u 1 一a · 斜析 a = P{ I X I< ..l} = 1- P {I X |;,:: .T) = l — P { X ~ 式－P { X 冬一d = 1 — 2P { X ;,:: 功 I —G 1 - a 故2P { X 多．r } = l -a . P { X 娑叮＝ ，P { X > 义} ＝P { X 诊凶＝ ，x= u 早· 2 2 m c 20 06 . 1 -1 题 ．4 分）设随机变批X 服从正态分布N （伈，忒），Y 服从正态分布N C µ 2 . 咕） ，且P (| X - I.1 l < l} > P { I y — µ2| ＜日厕必有 (A)(J1< (Ji (B)(J1> (J2. （C 加< 1.12- CD)µ1 > 庄· 答哀/\ . 矫析山丁X 与Y 的分布不同 ．不能直接判断P { I X - 1.L1 I< 1 } 和P { I Y - µ2 I< l ) 的 大小与参数的关系如果将具标准化就可以方便地比较 P {I X - µ 1l< l } 勹气勹｝．随机变乱一气E ~ N(O,l) ，且其概率密度函数 是偶函数．故 P { 气＜t l= 2 P 尸勹巴＜臼＝2 ［三）－中( 0) ] = 2正吐）— 1 1 同理．p ｛I Y-I上2 I< I}= 2cp(;-) - 1 6 , 因为中口）是单调增加函数．芍p { I X - p I I < 1} > p { I y - µ2 I < l} 时， 2文）－l > 2` (/ - l 即中吐）＞中＼）所以t l 一 · R|l 6 1 ＜贮答案应选(A) 6 ? • 298 • 第；农 多维随机变阰及其分布 ｛本章导读丁 本痒是概率论重点之一，也是每年必考的内容 ｀且往往是解答题．尤其要压意少二维随机 变证的面数Z = g-(X , Y) 的分布函数F7(y) 求法；＠二维随机变堂CX,Y) 的两个分量之间的 关系 ．包括X 与Y 的相互独立的条件及不独立时的条件概率分布和条件概率密度等，都是这几 年常考的内容． 试题一般只涉及二纠随机变从，很少讨论三个随机变址的情况． 打涉及二绯离散型随机变址的题中，常要考生自已建立分布，计算边缘分布、条件分布．在涉 及二细迕续型随机变址的题中，常要考生熟练地）应用二厮积分和二次积分来计犹边缘密度，条件 密度 独立性及不相关性是一对面耍概念，要学握它们的关系及判定方法特别是对二维正态分 仆j 及其参数做独立性和不相关性的判定． 对二维均匀分布，密度函数是常数，如何判定该常数，以及在积分时如何利用这一特性 ，应 予以充分注意 t气堕症｝ 一、＼x ．Y) 的概率分布，＼与Y 相互独立性 (1995 ，十（2) 题 ，3 分）设X 和Y 为两个随机变扯，且 3 P { X ~ O,Y 多O } = — ,P { X ~ O }= P {Y 多O } = — 4 7 7 则P { max(X, Y) 多O} = 答导、 一． 5 7 斜析 P ( max(X,Y) ~O} = P { X 娑OU Y 诊O} = P { X 多0) + P { Y 娑O} - P { X 诊O . Y~O} 4 4 3 5 = — +- - — = -- 7 . 7 7 7. 1 ( 1 99 8 、一（5 ) 题，3 分）设平面区域D 巾曲线y= — 及直线y=O , "' . = 1 , X = e 2 所 1: 围成 ．二维随机变虽(X, Y ) 在区域D 上服从均匀分布，则( X 、Y ) 关于X 的边缘概率密度在 .r =2 处的值为 • 299 • 答泉 斜析 1 一 ． , I D 由y= 了＇y= O . x = l 和r = e2 所厮成的区域．其面积Sn=r (~ -0 ) 小＝ ， 一 c1 工 1 = 2. ( X . Y ) 的概率密度［亿y) = ~ 2 j 上 ＼。？． 其他 (X, Y) 关千X 的边缘概率密度在 .i: = 2 处的值为 八( 2) = 『f (2 . y)dy =『上d _y = 上x 上＝上 c 2 2 2 4 C.r . y) E o. ( 1 9 99 ．二（5) 题 ．3 分）设两个相互独立的随机变扯X 和Y 分别服从正态分布 和N ( l. l) ．则 (0 . 1) (A ) P { X + Y 冬O} = -i;- . I 2 ( C )P { X - Y 冬0 ) = —. l 2 CB ) P { X + Y 冬 l } = - I 2 ( D)P {X-Y ~ l} =—. I 2 答阜 斜析 B. X ~ /\JC O. l ) ,Y ~ N Cl ,]),X 与Y 独立．所以X --l- Y ~ N(l , 2) . X-Y ~ N( - 1. 2) ．就有P { X + Y 冬 1 } = - l 2· 巨量1 999 ，十二题．8 分）设随机变批X 与Y 相互独寸，下表列出了二绯随机变址( X,Y ) 联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布仲中的部分数伯，试将其余数伯从入表中的空臼处． : / )'1 Y2 Y:1 P ! X =义， ｝= p,. .2. I 1 8 .1-2 l 8 P {Y = Y1} = P -1 l 6 ] 设P { X = .:z., ,Y = y, } = P ,, , i = 1 、2 . j = 1. 2 . 3 . 因X,Y 独立 ．就有P ,）= P P 因此PI I P I P.I PI Pl 2 凡P Pl. P I., P J. P.i pl — = = - - = '2 = - - = = - P ~, - P 2. P., - P ,.'P22 - P 2. P.2 - P , .'P z] 凡．P -:1 - P1.. 总之P II P 12 P 13 P 1· P 21 —= - = - ＝— · 即( X . Y ) 的分布律中两行对应概率 P 22 P 2] P 2. 同时 ．独立时(X,Y ) 两列对应的概率也一定成比例． 斜 定成比例 300 • 首先有 X Y1 y ~ y 1 P,. .J. I I I •) 8 - l 3 ` 2 I 8 ] p . ) 6 1 且次 ．X .Y 独豆 ， P 12 P 22. P =- =--= = P 11 P 21 P. 1 2 ｀所以 了 y , y2 Y3 P , `1 l ] 1 2,1 8 `t·2 J ` ; 8 \ p ' } l I 6 ·.) 1 ' 内进一步有 \ .)'l 恤．V ·一, y; P , 义'.1 I l 2 4 8 义飞 I 3 8 8 P ) l 1 I 6 2 :{ l 址后求得 \ y l .)E Y:i P, X1 ] 1 I I 24 8 l ; i 立·2 1 3 ,, 8 8 ! p ., ] 1 l 6 ] 2 3 (200 1 . + －题 ．7 分）设某班车起点站上客人数X 服从参数为入（入＞0) 的泊松分布， 母位乘客在中途下车的概率为p(O < /) ＜l) · 且中途下牛与否相互独立 ．以Y 表示在中途下4::. 的人数．求 ： (l) 在发车时有 II 个乘客的条件下，中途有m 人下4 的概率 ； (2 ) 二维随机变址( X,Y ) 的概率分布． 斜 (1) 在发车时有 II 个乘客，他们在中途下车与乔是相互独立的，概率均为p ，所以可以 将旬位乘客下4二与否石成是一次伯努利试验，记cg= 1 ，则在发车时有 II 个乘客的条件下，有 m 个人下车的概率为 P {Y = 111 I X = n ) =C::' p "' ( l - p ) 一 ，0 ~ Ill ~ /1 , /1 = 0 ,]. 2 .••• (2) P {X = 11,Y = 111 ) = P {X = 11 }P {Y = m I X = 11 } 入” =—c ^c:?/)'”( l - p )'广“' , 0 ~ 111 ~ II, II = 0 , ], 2 ,'" II! (2003 ．一（5) 题 ．4 分）设二维助机变扯( X . Y ) 的概率密度为 f(x . y) = {6~1.:• O, 0,s;;;.1.,s;;; y,s;;; 1 其他 则P { X + Y ~ 1} = 答哀 －l 4 y 斗 l ·' 斜析 P { X + Y 冬1 } = JLf(.1·. y)d.rdy =rd:寸 釭dy () 』\＇ = f -l- 缸( l - 2.L) d工．＝上． 0. - - . - -- 4 v=x 。 __2 X x+y= I • 301 • 回( 2005 .6 题 ，4 分）从数l,2,3 , 4 中忏取一个数，记为X, ．再从 l . …，X 中任一个数，记 为Y ，则P { Y = 2} = ] 3 — . 48 答阜 斜析 先取一个数为X ，后取数为Y 显然Y 是受X 的取侐影响．现求Y=2 的概率，这就 涉及X 可能取2,3 或4 . （方法一） 先求出CX ,Y) 的概率分布．因为X 是等可能地取 1, 2,3, 4 . 故（X, Y ) 关千X 的边缘分布必有P { X = I =- ` l. = 4 1, 2 、3 . 11 . 而Y 只从 1 ~ X 中取 ．又是等可能取l,2 `…. 1 X ，概率必为—- ，所以P { X = i ,Y = j }= 4X , . 0 ] 石 1 > 1 卢；！即： X 1 2 3 4 ] 1 。 。 。 ] 4 4 2 1 ] 。 。 ] 8 8 4 3 l 1 l 。 1 12 12 12 4 4 l 11 6 1 1 l 16 16 16 t[ 1 , 1 故P {Y = 2 } = ~ +~+ 1 13 8 , 12 , 16 48 用全概率公式 归＝2 } = ±P{X = i }P {Y=2 I X = i ,=I ＝言扣{ Y = 2 I X = i} ＝气0 ＋丿三＋上 13 4 2 3 4) ＝碌 （方法二） (2005 . 13 题 ．4 分）设二维随机变敝(X . Y) 的概率分布为 勹 。 I 。 0. 4 " l b 0. l 巳知随机车件{ X = O} 与{ X + Y=l ) 相冗独立，则 • 302 • ( A)a = 0. 2 .b = 0. 3. (C)u = o. 3 ,b = 0. 2. 答泉 B . CB )a = 0. 1 .h = 0. 1. ( D)a = 0. I ,b = 0. 4. 纤祈 显然，0 . 4 - a + b + 0. l = l ，可知a + b = 0. 5 可山事件{ X = Of 利l { X + Y =l } 相互独立可以求出 a . b . （方法一） 由独立性可知 P {X = O,X + Y = 11 = P {X = O }J彗X 1-- Y = l } 而 l环X = O,X + Y = I}= P {X = O.Y = I)= a P {X =O} = P {X =O .Y =O}+ P {X =O .Y = l } =0 . 4 土” P { X + Y = l } = P { X = 0 , Y = l } - P { X = I . Y = 0} = a + h = 0. :i 代入独立性等式 ．得a= (0. 4+ a ) X0 . 5 . 觥得a = 0. ·I. I 仆甘ja -- b =0 . 5 得h = 0. 1. （方法二） 如果把独立性理韶为 P {X + Y = 1 1 X -0} = P {X + Y = I }, 即／彗Y = 1 1 X =O} = P {X + Y = 1} = u+ b =0 . 5 ．所以， P {Y = O I X = O} = l - P {Y = 1 I X = O} = 0. 5 . 即P { Y = l I X = O} = 1彗Y = o I X = O} = o. 5 ．从而 ．P { X =O .Y = I }= JJ{X =O .Y = O } ．即u = 0 . 4 , 又囚 u + h = 0. 5 , 得 ｛）= 0 1. 【评注】 也可以把本题的独立性理解成下列各式中任一个 (l) P {X = o , x + Y =I= 1} = P (X = O} P (X + Y #- l} ; (2 )P {X = LX + Y = l} = P {X = l} P {X + Y = l }; (3 ) P {X + Y = 1 I X = 1} = P {X + Y = 1} . 各有相应的解法． 谒1 ( 2 006 . 6 题 ．4 分）设随机变址X 勹Y 相互独立 · 且均服从区间［0 , 3] 」一的均匀分布 ．则 P {rnax{X ,Y} ~ 1} = 答孚 －． 1 9 奸析 本题考查均匀分布 ．两个随机变阰的独立性和它们的简斤1 函数的分伽 事件( m a x { X . Y} ~ l } = {X ~ l 曼Y ::,:;;: l }={ X ~ l } 门 { Y < l } ｀又根拟X . Y 仆l 互独立 · 均服从均匀分布 ，可以直坟写出P { X 冬 l } = — I 3 l l P {rnax {X ,Y} ~ l } = P {X ~ 1, Y ::,:;;: I}= P {X ~ 」 ｝P { Y 冬 1 } =--;';-- X --;';-- - —I 3 3 9 ' 氐2 00 7 . 1 0 题．4 分）设随机变屾( X . Y ) 服从二维IF 态分布 ．且X 与Y 不相关．一八(r) ． fi-(y) 分别表示X . Y 的概率密度，则打Y = y 的条件下 ．X 的条什概牛密度j\ \ (l y) 为 ( J\ ) 八（心 ， ( B ）八（y) . (C) 八（又）J \ ( y) . (D) . J\ (l) fy(y) . 答泉 A. 斜析 二维正态分布随机变址( X . Y ) 中．x 与Y 的独立等价于X 与Y 不相关 ． I们对忏恣 两随机变虽X 与）入如果它们相互独立 ．则有．（（工y) = j\ (l 兀(y) . 根据条件概率密度的定义 ．当在Y =y 的条件下｀如果(1 (_v) # 0 . 则 • :303 • 现jl (y) 显然不为0 . 因此I\ l ({ .f/\ \ (`1· | y) =.=. /'C.r .y) - /.\ (.1) 八(y) 八(y) fi(y) = fx(.r) y) = fx ( .1) 答案应选((\) . 【评注】 因为X,Y 不相关，（X,Y ) 又服从二维正态分布，故X 与Y 相互独立．直观上考 虑Y 的取值不影响X 的取值、所以fx 1· (x I Y) = f.＼.（工）． 对于不要求解题过程的选择题也是一种好方法． (2008 . 7 题 ，4 分）设肋机变屾 X,Y 独立同分布 ．且 X 的分布函数为FG ) Z = m ax{ X,Y } 的分布函数为 (A) F : (;·) . (C) I - [ 1 - F Cd T. 则 (B)F(.r)F(y). ( I)) [ l —F (.r)] [ 1 - F< y)] 答卒 奸析 不难推出 F／釭） F八r) = P {Z ~.r} = P { m ax( ，＼勹Y )~x}= P { X ~ .r . Y ~.1. ｝ = P {X ~.r} P { Y 冬叶＝ F( .1.、)F(.1") = F2 C.r) . 故答案应选CA) . A. 随机变址Z = max( X . Y ) 的分布函数F/( ～t) 应为F4( 文:) = P { Z ~ 义} ．山此定义 【评注】 不难验证(B) 选项中，F C.r) F (y) 恰是二维随机变童( X,Y) 的分布函数．（C ) 选项中，1 - [ 1 - F (x) 于是随机变世min(X,Y) 的分布函数． （D ) 选项中，［1- F （动］［1 - F(y) ］本身不是分布函数，因它不满足分布函数的充要条件． ． 、二维随机变量的函数Z - g(x.Y) 的分布 ( 1 987 ，十一题 ，6 分）设陆机变屈X . Y 相叮独立，凡概率密度函数分别为 八(t) = { l . 0< 1一冬 1 . o, 共他 求随机变扯Z = 2X+Y 的概率密度函数． 分析巾于随机变1 ,l: X . Y 相丛独立 ．所以二元随机变叶(X .Y ) 的概率密度为 e .` · 八(y) = {。． y> o. y 冬0 则F,( 之) = P {Z ~ ::::} = P {2X + Y~z l = JC.r ,y) = j入(r) • Jl (y) = { c `. o< 1 < 1.y > 0. 0, 其他． 设助机变虽Z = 2 X + Y 的分布函数为F z 长）＝P {Z ~ .::: ｝ ．概率密度为J.z 位）＝启(z) . j『 f(x . y) 如dy . 2 r·.“了： 』一气八（义汃(y) d.1dy 』: ! ·(.r,y)clrcly = 当之~ o 时，F八：：：）＝ O ; 斜· （方法— ) 乌伈）= t. r0 ~,令 业O < 之冬2 时，F卢）＝丿')& d~lIf1 e ` cly = I(I (1 －产）cl .i. ＝三－豆(e｀一］）＝三十上(c-'- 1) 2 2 2 2 , `,. x =>2 • 304 • 、' 'r 2 < 之时，F1( 之) = f:, d.r『山c “ dy - ] 1 (l - e2r : ) d 1 (I .I O J () = I —J'c2·'' d.i· ~ I -豆（e2 — 1). 2 . y 2d . 、 丿 < ~~v} ( l I u < < 2 5 .I. ＇ ＼ ｀ － 一 ， e. ` 7 , ( . 、 . ) 、 丿 － 1 ( -4 e ) x . c l f o - - 又 } .- 2”j l (c _ ＿2 _ 于 ＿ ＿ r ,`. d __ w 、 丿（ \ 之 (J X 、 丿 .. I4 ( x . j 2u } , 、 、 · < [ ～ ． ~ 广 _ ， 尸 2 __ ~~ < < 2 v o d 1 ,`- .. 、 ~ ) ) y l] . --( .. ,3 f e . 、 C(· ',.' + ":.ii2rj J 之 ( ___ l _2l) 之 lJ\ ( , F __ ) 之 ,. ( __ z f7 I ． 法 方 之 总 （ o. 之 ,;:;;;; o. ::: <° . / / (::::) ＝启（：：：：）= I I.\ (.1) 人(·: - 2 t) d .1 = [l j\ (:::: 2.r) cl.i 、1 1.:: ~o 时 ．o 冬 .r ~ l ．所以.:: — 2.r ~ 0 . Jy (z - 2.r) —() ．儿（：：：：）= 0 ; 、1 '1 O < ：：：：冬2 时 ．（) ~龟[ < 三 II寸，儿(.:: 一2t) = e '-2,) ; 2 ~ < x ~ l 时．．I\ 丘－2.r) = o . 2 :-' ..,.' '1 j z (.:::) =[ C,, 2'' d.1. = - ( l - C ' ) I, 2 l 当2 < ：：：：时．儿（：：：：）= [ e 丘2 r) 小＝－（c2 - l)e一: ; 2 0 . :::: ~o . 总之 Iz(:::) = 1 —(l-e ' ) . 2 O < 之冬 2 . 上(c ~ - l) e ' . 2 < ::. 2 ( 1 991 ．十一题 ．6 分）设二绯汕机变址( X,Y) 的概率密度为 J(x .y) = { 2 c (,- 2.“ . o. 求随机变扯Z = X +2Y 的分布函数． 斜设Z 的分布函数为 归）＝P { Z 冬 ：：：：｝= P {X +2Y ~ ::: ) ＝ JI 八3·y) (hdy .r-'2y,c;_, 义｀> O, y > 0 其他 、l l::: ,.,;;; 0 时 ．F心）= P {Z ,.,;;; .: } = 0. 节：：：> 0 时．F1.C:::) = f 气，宁2c (r心' dy = J>' d .1..I厂2 c ~, dy = J: (e一．r - C') d.r = 1 — e 一二一之C, . y X x+2y== 所以 F7. 丘）= { 0 ' 1 - (1 + 之)e'' 之 :;;;; 0 之＞0 • 305 • (1992 ，十一题，6 分）设随机变扯X 与Y 独立，X 服从正态分布N(IA,(J2 ) ，Y 服从[- m 叶上的均匀分布，试求Z=X + Y 的概率分布密度（计符结果用标准正态分布函数贮）表示 ． 其中中(x) =_!_r. e令dt) . 尽 -· 分析 X 的概率密度为 , _ （＇“广 j \ ( .2) l = e 泛 J6 1 Y 的概率密度为八(y) = ｛纭 —, 0 ' X 与Y 独立，（X,Y) 的概率密度为 一六冬y !(飞， 其他 f丘y ) ＝ ．r＼心）八（y) ＝尸｀6e 宁， - ex:, <1· <+ ex:, . -= ＜又．＜＋= , 一 rr ~ y 冬 rr o, 其他 斜 1 方法— 庐）＝『八（：：：：－y ）八(y) cly _, ' l 穴 一军 - I C 比' cly 2 亢尽(J - 穴 （方法二） 【评注】 : -r,' 1 r~ -~ = 2 亢尽［宁e一仁dt ＝宁（二气－正（二 2 亢 6 卢）＝［三(:队(z - ．兀·)扣＝I二妘(J /(Je一气cl1 1 已 ? ',- = I e 了dt 2六尽于 ＝卢［年气二尸（二尸）］ 本题也可用定义法， 历(z) = P {Z ~z } = P { X + Y ~ 之｝= If 八（立fy(y)dxdy 上十 来求儿(z) = F ~ (z) 结果一样， (1994 ，十（2) 题 ，3 分）设相互独立的两个随机变队X,Y 具有同一分布律，且X 的分 布律为 x 。 1 p l l2 1 -2 则随机变乱Z = max { X ,Y } 的分布律为 . 306 • z 。 l 答哀 斜析 p l -4 3-4 Z = m ax( X,Y ) . z 可能取值为0 和1 l l P {Z = O} = P {maxCX,Y) = O} = P {X = 0 气Y = O} = P {X = O}P {Y = O} = — · —= - · 1 2 2 4 1 3 P {Z = 1} = 1 - P {Z = O} = 1 - —= - . 4 4 z 。 所以 hr 1 -4 3 -4 (2005,22 题 ，9 分）设二维助机变从( X,Y ) 的概率密度为 j (.r , y) = {l ` o < 1 < l,o < y ＜红 o, 其他 求 ：（ I )(X . Y) 的边缘概率密度j\, （工），fl (y) ; < Li )Z = 2X- Y 的概率密度j、4 位） ． 本题涉及公式为 分析 丿＼（工、）= I ·, j (几、,y)dy . 一、文 凡（：：）＝P { Z,s;;; ：：：：} = 斜 ➔ C T ) fx 釭）= [ jl' ( y) ＝厂J (x .y)clx. _ ` I『 .f. （工. y) 釭cly, 2 」 ”y· = J. （r . y) dy= ｛』:,- dy,O < 1· < l o. , 也 · 1 令 ， l, .o 卢 Y ` < l- .' 。 T x. 也 c l < { ) __ y ) 。 其 . . ~~ 几 x , ( ·( .z 20 f , F ~ j ,. 一 ， 寸 _ ＿ f 丿 ` ,1 。 __ < 、 丿 y ( 之 .1 当 j ) ( 儿（：：：：）= F~(::::) . 其他 y 2 O < y < 2~{:－京 o. 其他 二＝2x-y x O< y < 2. 具他． 当 O < ：：：：< 2 时，F八：：：：）= P {2X- Y ~ .::: } = 『 .f (I . y) 釭dy 2, d U,., = 1 - ff f 亿y)d沁＝ 1 - L d工厂dy =之＿三 二。 4 2r }，>二 : 当：：：：~ 2 时，Fz (z) = l. 所以 j / (乏）= { 1 - 令， 0 . O< z < 2, 其他 ， • 307 • 【评注】 由于f（工，y) 是均匀分布密度，积分 ］『f 位，y）也dy 可以不必求积，而看成 2r-y.:;; 二 求面积 ff f (x,y)dx dy = 『f' (x,y)d又－dy = 岛＝ 1 - (1 —巨＝z —三 2广否 I) 2 4 ' (2006 . 22 题 ．9 分）设肋机变赘X 的概率密度为 』 1 2 . — - l 2Y}; （ ll ）求Z= X + Y 的概率密度几丘）． 分析 本题考查二绯随机变扒相关事件的概率和两个随机变屾简单函数的分布， 计箕P { X > 2Y } 可用公式 P {X > 2Y ) = jJJC1·,y)d.1dy ．工＞2y 求Z = X + Y 的概率密度I1 丘） ．可用两个随机变址和的概率密度的一般公式求解 fz(z) = r :.r 丘－y . y)dy =』 1.(1 、之一1)d1 此公式简单 ，但讨论具体的积分 1 ：下限会较复杂 ． )/ 另一种方法可用定义先求出 凡( z) = P {Z 冬习 ＝P { X + Y ,s:;;;z} 然后几位）＝启( z) 斜 C ]. ) P { X > 2Y } = JI j 釭．y)d.1.·dy J, 2.\' =『(2 - `1 - y) 心dy /) = f d.rf,~'(2 —1 —y) dy = I1 (T —詹1"2) 心＝五 具中D 为区域：1 > x > Zy > o. ( l | ) （方注—) 根据两个随机变址和的概率密度的一般公式有 。 I- ?- x j／丘）= I 丈f (x,z -习如 先考虑被积函数f 位，z 一心中第一个自变盘工的变化池伟I , 根据题设条件只有当 O < :r ＜1 时八．1 . 之-x) 才不等于0 ． 囚此 ．不妨将积分范围改成 ： 几位）＝I：J(x 心一1)d.1 现祚考比被积函数「(::i; , z- ,~ 立 中第二个变礼 z －立、显然 ，只有当O 1 ，所以j／位）= o. j / (::::) =/.-/l:2: ::::2, r 方法＿） F1 位）＝P { Z P {z < ½ Ix = o}= p {x + Y < ½ Jx = o} = P ｛归占 J x =o }= P 尸甘＝; （ II ）F八：：：）= P {Z < ::: } = P { X + Y 冬z } = P { X + Y < 之,X =- 1} + P { X + Y < 之,X = O )+ P { X + Y 冬之，X = l} = P { Y < 之+ 1 ,X = - l }+ P {Y < z ,X = O} + P {Y < :::- l,X = 1) = P{Y < z + l }P{X = —1) + P{Y < z}P {X = 0) + P { Y 冬z — l } P { X = 1) = + [ P (Y < ::: + I}+ P{Y < z) + P {Y < z- l }] l = — [ Fl' 位十l) ＋氏( z ) +Fi,(z - 1) ] , 3 其中F\ （:::）为Y 的分布函数，巾此得到 1 上 庐）＝F＇L (z ) ＝了[Jl (z+ 1) 十八( z) + J\ (z - 1) ] ={ 3 o. 【评注】 Q) 本题主要考查条件概率和独立性的运用，关键在于 - 1 ,s:;五< 2' 其他 ． 叶X + Y 勹点 l x= o } = P 尸占 l x = o} = P ｛归卢｝ ＠在求氏( z) 时，也可用全概率公式 ： P { Z ~ z }= ，言; P { X = i} P { X + Y 冬之 I X = i} = ½，言I P { Y < z —i IX=/-} ＝宁，言IP { Y < z- I.} =t荨位一i) 一般地说，如果Z = X + Y ，其中X 是离散型随机变童，X 和Y 又独立，常常采用本题所 用的方法求解Fz ( z ) . l ＠ 当得到F卢）= －［F卢＋l) + F1, (z) + F心－l) ] 后，就有 3 1 儿( z ) ＝启（z) = 一［jy (z + l) ＋fy ( z ) + Ji位— l) ] 3 严格地说，因（z ) =八(z) 只有当 z # 0 和之＃］时成立，因在z = O 和z = l 处fy (z) 不连续 ． 实际上，F ＇l (z) 在之＝0 和z = 1 处不存在 ．但作为密度函数．八( z ) 个别点的取 值并不影响f凶心和氏（分的概率性质，就直接写成F'i, (z) = fy ( 分处处成立， • 311 • 第四辛 随机变坎的数字特征 本章是概率论的重点之一 ．有相当多的考题涉及这章内容．求随机变址的数字特征 ，包括 数学期望 、方差、矩 、协方差 、相关系数 ，所有这些数字特征都是求期望 ．即求随机变怪函数的数 学期望 ． 本单的试题除了求一些给定随机变星的数学期出外，很多题的数学期坠或方差的计符都与 常用分布有关 ，应该牢记常用分布的参数和它们的概率意义有些常用分布的参数就是该随机变 礼的数学期望或方差也应该会用数字特征的机本性质 ．会求一般随机变队函数的数学期塑． ｛－一 一、数学期望与方差 (1987 ，十（3) 超2 分）已知连续型随机变扯X 的概率密度为/(.r) = 丿-e-J2 一2广！．则 石 X 的数学期望为 汉的方差为 尽孚 1 ..、；了 1 －二卓 斜析正态分布阰机变肚N(µ ·62 ) 的概率密度函数j釭）= e 矿 ．－～＜x<+= . 尽(J 对此可以看出本题1丘）= 1 e－干了～1\J(l'(— 尽/ /). 2 而正态N(µ 忒）的数学期望为／J. ，方差为 (J2 ，故ECX) = l,D(X) =—. 1 2 __ (1989 ，十一题，6 分）设随机变挝X 与Y 独立 ．且X 服从均值为 l ，标准差（均方差）为 拉的正态分布，而Y 服从标准正态分布．试求随机变扯Z = 2X — Y +3 的概率密度函数 分析由相互独立两个正态随机变址的线性组合仍为正态分布，故Z = 2 X-Y +3 也一 定为止态分布 ｀求Z 的概率密度函数只要确定E(Z) 和O(Z) 即可．已知X ~ N(l,2) 和Y~ N(O , 1) . 斜 E(Z) = £( 2X - Y + 3) = 2ECX ) —E(Y) +3 = 2-0+ 3 = 5. D( Z) = D(2X) + D(Y) + 0 = 4D (X) + J = 8 + l = 9 ，故Z~N(5,9) . · 312 • Z 的概率密度函数f - （广3) z(z) = ~e 18, - oo < z <+ oo. 3 尽 匮量1990 ，十（3 ）题，2 分）已知随机变批X 服从参数为2 的泊松分布，且随机变批Z= 3X-2 ，则E(Z) = .4. 稀 E(X) = 2,E(Z) = E(3X-2) = 3E(X)-2 = 6-2 = 4. 匮量1990 ，十一题，6 分）设二维随机变批(X,Y) 在区域D:O ＜工＜ 1.lyl ＜工（如右图）内服从均匀分布，求关千X 的边缘概率密度函数及 随机变拯z = 2x+1 的方差D(Z). ＂区域D 如图所示，其面积为1 ，所以(X,Y) 的概率密度函数为 y (l, I) x f(x,y) = { 1, O 1 2 3 2 1 2 1 9 9 9 1 2 2 。 9 9 1 3 。 。 9 1 3 5 9 9 9 l 3 2 1 E(X) = - · 1+- · 2 ＋主．3= — 9 9 9 9. 厨量1997 ，二（5 ）题，3 分）设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4 和2 ，则随 机变批3X-2Y 的方差是 CA)8. 王＝ X } ~~89~$ P { X > f} = f;00 f(x)dx = f~ ½cos fdx = ½ • (4,½) 1 Y ~ B(4 ，了，因此E(Y) = 4 X ½ = 2, D(Y) = 4 X t X (1- 了）＝1. E(Y2) = D(Y) + [E(Y) 千＝ 1 + 22 = 5 m<2004,6 题，4 分）设随机变扯X 服从参数为入的指数分布，则P{X>/积了了｝= 卿十． " X 服从参数为入的指数分布，故D(X) ＝下· 1 入 += 沁＞顶劝＝P{X> 习＝［卢）dx = J: 汒dx =了 胚哥2008,14 题，4 分）设随机变擞X 服从参数为 1 的泊松分布，则P{X = E(X2)} = 寥上· " 入k X~P （入），则有P{X = k} ＝一e-入,k = O,l,2, … k ! 且E(X) ＝入，D(X) ＝入，现入＝ 1 ，直接代入即可． E(X2) = D(X) + [E(X) 千＝ 1 + 12 = 2 ，所以 12 P{X = E(X2)} = P{X = 2} =－矿＝- 1 2 ! 2e 、协方差Cov(X, Y) 蚁卧1993 ，十一题，6 分）设随机变批X 的概率分布密度为f(x) 1 ＝一e 一1.rI 2 ,- 00 < x<+ 00. (1) 求X 的数学期望E(X) 和方差D(X); (2) 求X 与IX I 的协方差，并问X 与 I XI 是否不相关？ (3) 问X 与IX I 是否相互独立？为什么？ 邸 (1) 因为汀(x) 是奇函数，所以E(X) ＝厂汀（x)dx = O, -oo +oo D(X) = E(X2) - [E(X) 千＝f 幻(x)dx-0 =厂丑e-.rdx = 2 -oo J 0 所以E(X) = O,D(X) = 2. (2)X 与 I XI 的协方差Cov(X, I XI)= E(X I XI) -E(X)E(I XI) ＝厂xlxl 炬）dx-0 = 0 -oo 注意x | x|f(x) 也是奇函数，协方差为0 ，则相关系数P= Cov(X, IX I) JJD(| X I) X 与 I XI 不相关． • 317 • 也为0. ｀显然事件{ X 冬 1 } 被包含{I'lWI I X 冬 1 内，O< P {1 X l< l le;:;;; ！召X < 11 （）．令y = ~ ~X, ，则 , (J- (f\ )Cov( X1,Y) =':'_ . 7 / (C) 0 (X1 + Y) II + 2., = II 矿 ． C l-3)Cov( X,Y) ＝矿 ． CDlD( X 1 - Y) = ~u' . 11 + 1 ,, II 答卒，1\ _ 斜析 CovC X 1. Y) = CO\· (入1 -+ ~ X, ) = CO\· (X 1 . ：入C 1) _j_ Cov( X 1 •+ ~入） 1 = ~Cov(X . .\' 1) -·-· 0 = ~ 矿 II II 肛习（2005 . 23 题 ．9 分）设 ．＼勹 ．x 、.. .. X ,』（1 1 > 2) 为来自总体N(O, I) 的简巾随机样本，灭 为样本均值 ．记Y, =)(;-X . i = l , 2 . -- ·.11 求( I ) Y ，的方差D ( Y;) , i = l , 2 . ···. 11; ( | |）｝勹与Y ,，的协方差C ovCY 1 , Y , 『） 分析 随机变益的方差、协力方 求D(Y , ) 时 ．Y , = X —飞 ．f/1i x 中义有X 的成分 ．因而X, 与Y 不独立故 D(Y,)= i丸＼＼一飞）# l)( X) - D(X) 应该将灭中的X , 成分与X, 合并旧川＼1 -X , .···. X,，的相互独立性求陪求Cov(Y ] ．Y,l) 也用类似的方 法． l " 斜( 」)D( Y , ）— D ( X , — X) = I)[ ( I —了）X , —[立 J 了一 ， = (1 －勹D （入）十』2D( X)) /I Il 口 1 1 I ·; I = (II —l) ` -L II —l = 'I - l , i = ],2 , 3 , ··· ,11 . I I - I I - I I ( Il)Cov(Yi , Y,, ) = E ：凡－E ( }]) ][y , - E(Y,,) ] = E (YI Y,』) = E(X - X) （入，－沁 = E ( ．＼勹．＼，，一．＼八－入，X －－X2 ) = E(XIX,,) －E(X仄）- E （入，X ）- E（飞 ） = E ( ．＼勹）E （X , ）— 2 E ( .\俨I X) + D(X) - [ E (X ) = = O — 2 X 上E (＼勹一－:'.SX 1 X1) — D （飞）- 0 II _ 2 ] ] =- --=- X ( I - 0) -—=-— II II II ［评注】 （1) 计算过程中用到E(X,) = ECX) = £CY,)= 0. (2) 在( l] ) 的计算中，由对称性得E ( X1 灭）= E （X,1冥）． (3 ) 协方差的计算，一般有几种生径 ： :11 s · Cov(Y1.Y.) = E[Y1 -ECY1)][ Y,, - E CY,, ) ] = ... Cov(Y1,Y,, ) = CovCX 1 — X,X,, 一X) = … Cov(Y1, Y.) = E 0 答案应选( [)） 【评注】 从 1 = P.w = ---== Cov(X .Y ) aCov( X . X ) a = 三J万可了 汀汀 = －，也可得到a= 2 2 • :121 第五章 大数定律和中心极限定理 炉…生 本章内容不是考试的重点．2001 年考过一次切比雪夫不等式，近十年就没再考过．本章内 容包括一个不等式：切比雪夫不等式；三个大数定律：切比雪夫大数定律、伯努利大数定律、辛 钦大数定律；二个中心极限定理：棣莫弗—拉普拉斯定理、列维—林德伯格定理． l已呾沪｝ 本章试题大多是简单的选择题和填空题．只要把这些不等式、定律和定理的条件与结论记 住就可以了．前几年数三、数四曾经有用中心极限定理来近似计算的解答题．但由千考试时不 能使用计算器，因计算批过大这类考题近几年也不太多出现． 仁!!ID m(200l ，一（5 ）题，3 分）设随机变址X 的方差为2 ，则根据切比雪夫不等式有估计P{I X- E(X) 彦2} ~ 咖丰． 鳍 P{IX-E(X) 彦2} 尸＝f.I= 上 22 22 2. r - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ] 各生也有流，而扣也儿洈。 —庄子 ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -·一一一一一一－－- - - - - - - - - - - - - J • 322 • 第六章 数理统计的基本概念 巨空归｝ 本章是数理统计的基础，也是重点之一．数理统计的基本概念包括总体、简单随机样本、统 计盘、样本均值、样本方差等．特别对正态总体的分布及其性质，应予以充分的注意，对x2 分 布、t 分布和F 分布，要掌握这些分布对应随机变世的典型模式和它们参数的确定． 仁竺壑沪｝ 这几年数一的数理统计考一个大题，有时还会有一个填空题或选择题．一般来说，数理统 计是历届考生的薄弱点，很多考生感到公式多不好记，其实只要熟记一个总体的灭，S2 ,E(X), D(X),E(XZ) 和x2 分布，t 分布，F 分布的典型模式和参数，尤其是正态总体抽样分布的一些 性质就可以了． 仁空空3, 11<2001 ，十二题，7 分）设总体X 服从正态分布N(µ ，切（a>O) ，从该总体中抽取简单随 2”“ 1 机样本X1,X2, … ,X2'，（n 多2) ，其样本均值为X= 玩~x, ，求统计扯Y= ~(X;+Xn+;-2X)2 '= 1 , = 1 的数学期望E(Y). 貊（方法一） 构造一个新的简单随机样本：（X1+X叶I)• (X2 + X.. +2) ,…, (X,,+X2n) . 可以将此样本看作来自总体N(2µ,2(J2) ，新样本均值为 2n 立 l (X.+X叶，）=- ~X; = 2灭 11 i= 1 n J - 1 新样本方差为』可言（X，十Xn于，－2对＝了吕Y. 1 因此，E（了＝产）＝ 2(J2 ，即E(Y) = 2(n — 1)(J气 （方法二） 记灭'= +言X，汉＇＇＝主言义，，显然有 灭'+X' ＝责言X, = 2灭 E(Y) = E［言（X，＋X叶，－2对］＝E ｛言[(X，一了')+（Xm, －劝］汀 = E{ I;[ l),Y= 上 X 2 ，则 (A)Y ~ x2-1 是未知参数，X1,X2, …，凡是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，分别 用矩估计法和极大似然估计法求0 的估计量． 。 +oo 斜矩估计址肛E(X) = [ : xf(x)dx = J: (0+ l)x11+1dx 0+1 =. -- OO 0+2 0+1 2了— 1 2灭－1 设灭＝上tx，为样本均值，令一一＝X，解得0= －-－＝，矩估计量6l =--- n ，一1 0+2 1-X 1—X n 极大似然估计量妇似然函数L = ITf(x;) = (0+1)'III 式， i 一1 i- 1 o, 工1 当O< 立. < 1 时，L > O,ln L = nln(0+ 1) +0 : 工” • 325 • n ~In 立， ，一1 X1 X2 o< < 1 ; Xn 其他 n din L 令飞了＝片与＋~In 工，＝0 ，解得0=-1 — ,I n i=I I;ln 工， ` ~ 1 从而得0 的最大似然估计拭为02 =-1-~ ~lnX; i=l 匾(1999 ，十三题，6 分）设总体X 的概率密度为 卢）＝芒{)-x) ， O 0 0, X ~0 其中0>0 为未知参数又设x口立，…，x,，是X 的一组样本观测值，求参数0 的最大似然估 计值 砂似然函数 . " L((J) = 11f( 工,；(J) = 2飞，一1 -22 伍－0) i= I 0, X1 , 忙＞0 时，L O,ln L0 Xn 其他 因dln L(O) d0 2n> 0 ，所以L(8) 单调增加． 工1 由千0 必须满足0 < ~2 ，因此，当0 取工！，立，…，工n 中最小值时，L(O) 取最大值，所以0 的 工，＇ 最大似然估计值为 0 = min(x1 ，立，…，x ，，） 匮量2002 ，十二题，7 分）设总体X 的概率分布为 三 X 2 3 p 0 2 1- 20 1 其中0(0 <8< 了）是未知参数，利用总体X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3 求0 的矩估计值和最大似然估计值． 稀矩估计值 E(X) = 0 X 矿＋1 X 20(1 - 0) + 2 X (/- + 3 X (1 - 20) = 3 —40 x= 卡（½+1+3+0+2+3)= 2 1 令E(X) ＝云，即3- 40 = 2 ，解得0 的矩估计值为0l = -. 4 最大似然估计值 对于给定的样本值，似然函数为L(8) = 4矿(1 - 8)2 (1 - 28)4. lnL(8) = ln4+6ln0+2ln(l-8)+41n(l-2()) din L(B) _ 6 2 8 6-288724矿 =-----= d0 0 1 - 01 - 20 0(1 - 0) ( l - 20) ^dln L(O) 古 75 平 2 ＋平 =O ，解得81.2 = ，因 1 d0 1 2 1 2 ＞一不合题意 2 所以0 的最大似然估计值为02 = 7 －平 12. 匡量2004,23 题，9 分）设总体X 的分布函数为 F（项）＝｛1 －卢 0' 工~l 其中未知参数{3> I. X1,X2, …，X,，为来自总体X 的简单随机样本．求： (1){3 的矩估计拭； (2){3 的最大似然估计扯． x>l 梦(l)X 的概率密度为j. （x;P) ＝卢 0, X¾l. E(X) = I三f气）d.T ＝厂工·上上 .1．扣· I d工＝p-1 x> 1, • 327 • 令E(X) = X ，即~=X {3- l x ，解得p ^ 所以p 的矩估计量/31= ＝—­ 灭 X-1 (2) 似然函数 " 灭 = - X-1 r L([3) = IT f(x; ;[3) = i=I (X1X2 … xn)护＇ o, 工1 工1 工2 : . 工． >1 其他 当气＞1 时，L（份＞O,ln L(/3) ＝nln/3一({3+ l心In 工，座立堑＝互＿ i=1 华 P 工” 解得{3=~＿，则p 的最大似然估计置P2=~. ~In 工， ~lnX; m(2006,23 题，9 分）设总体X 的概率密度为 f(x,()) =[(), 01己言， o, 其他． ~In 工，＝o, 其中0 是未知参数(0 < ()< D. X1,X2, …，凡为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值 工1 ，立，…，工n 中小于1 的个数求0 的最大似然估计． ＂最大似然估计的关键是写出似然函数．样本值中工，小于1 的概率为(),工，大千等千 1 的概率为(1-()) ．因此，似然函数应为 L(()) = IIf( 工, ；()) ＝铲(1 — ())n-N 秒似然函数为 n L(()) = IIf(x, ;O) ＝铲(1- ())',-N i-1 取对数，得 In L(8) = Nin 8 + (n - N)ln(l - 8) 两边对0 求导，得 dlnL(O) N n-N = - d0 0 1 - 0 dlnL(O) N N ^ N d0 令 = 0 ，得() =－，显然0= －,L(()) 最大．所以0 的最大似然估计为0 = -. n ---. · n · n 匾量2007,24 题，11 分）设总体X 的概率密度为 f(工;())＝』：;1-()) ＇ O 4(ECX))2> 叶叶）2> 铲 、无偏估计量与置信区间 m( I 998 ，十四题，4 分）从正态总休N(3 . 4,6 2 ) 中抽取容队为 II 的样本，如果要求其样 木均俏位丁IX 间( 1.. 4 . 5 . 4 ) 内的概率不小丁0 . 95 ．间样木容批 1 1 至少应取多大？ 附 ：i．小汁1 _1 L 态分布表 伈）＝『 l ,2 _ — e - dt 尽 之 1. 28 l. 64 5 1. 96 中（之） 0. 900 0. 950 a. 975 I 斜，以页人不该样本均俏 ．则 x - :i. 11 6 石～N(O, l ) • 329 • 2. 33 0. 990 从而有P{l.4O x~0 其中O>O 是未知参数．从总体X 中抽取简单随机样本X1 ,X2, …，X. ，记8 = min{X1,X2, …，X儿 (1) 求总体X 的分布函数F(x); (2) 求统计批0 的分布函数历(x); (3) 如果用0 作为0 的估计批，讨论它是否具有无偏性． 移O)F(x) = [ =f(t)dt = { l - e-2”-O) , x > 0, o, 工< o. (2) 加）＝P妇x } = P {min(X1,X2, …, X,,)¾ x} = 1- P{min(X1,X2, …，凡）＞功 = l-P{X1 >x,X2 > x , …，凡＞x} = 1-P{X1 >x}P{X2 >x}…P{X" > x} = l-[l-P{X1 ¾式]［1- P{X2 ¾ x } J..,[1- P{X" ¾ x}] = 1-[1-F（工）千＝{ 1 - e- 2n 丘书） ， 工＞ 0, 0, x < o. (3)8 的概率密度为 庐）＝F卢）= { 2ne-2" （r-0)' 工＞0, o, 工< o. 或）＝厂动(x)d工＝厂压e- 2（已）扣＝o+ 或）＝0 ＋卢尹 所以b 作为0 的估计扯不具有无偏性． • 330 • 1 玩 m(2OO8,23 题，11 分）设X1,X2, …，凡是总体N(µ,(J2) 的简单随机样本．记 灭＝这＼S2 ＝卢言(X1 －舒，T ＝立忤 (I) 证明T 是矿的无偏估计拭； ((I ）当µ = o,(J ＝ 1 时，求D(T). ”(I) 证明T 是矿的无偏估计盘，只要验证E(T) = E(X2 - ~S2) ＝矿．由 E (X) =µ,D （灭）＝已，E(S2) = a2 ，就不难求得E(T). n （ II ）当µ = O,a = 1 时，总体为标准正态分布N(O,l) ，且X 与S2 相互独立．如果用公式 D(T) = E(T2) - (E(T))2 = E(T2) = E仅－纽. s气 S4 n 习 计算会很繁杂． 如果利用灭，S2 的独立性，D(T) = D仅－上S2) = D