文档内容
2017 年上海市中考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
1．（4分）下列实数中，无理数是（ ）
2
A．0 B．√2 C．﹣2 D．
7
2．（4分）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x=0B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1=0 D．x2﹣2x+2=0
3．（4分）如果一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、
四象限，那么k、b应满足的条件是（ ）
A．k＞0，且b＞0 B．k＜0，且b＞0 C．k＞0，且b＜0 D．k＜0，且b＜0
4．（4分）数据2、5、6、0、6、1、8的中位数和众数分别是（ ）
A．0和6 B．0和8 C．5和6 D．5和8
5．（4分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．菱形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．等腰梯形
6．（4分）已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件
中，能判断这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB
二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
7．（4分）计算：2a•a2= ．
{&2x＞6
8．（4分）不等式组 的解集是 ．
&x-2＞0
9．（4分）方程√2x-3=1的解是 ．
k
10．（4分）如果反比例函数y= （k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），
x
那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而 ．（填
“增大”或“减小”）
11．（4分）某市前年PM2.5的年均浓度为50微克/立方米，去年比前年下降了
10%，如果今年 PM2.5的年均浓度比去年也下降 10%，那么今年 PM2.5的年均
第1页（共27页）浓度将是 微克/立方米．
12．（4分）不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外
其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是 ．
13．（4分）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那
么这个二次函数的解析式可以是 ．（只需写一个）
14．（4分）某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值的百分比如图
所示，又知二月份产值是72万元，那么该企业第一季度月产值的平均数是
万元．
→ → →
15．（4分）如图，已知AB∥CD，CD=2AB，AD、BC相交于点E，设 = ，
AE a CE
→ → → →
= ，那么向量 用向量 、 表示为 ．
b CD a b
16．（4分）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA与边FE
叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋
转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是 ．
17．（4分）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以点A、B为圆
心画圆．如果点C在⊙A内，点B在⊙A外，且⊙B与⊙A内切，那么⊙B的半
第2页（共27页）径长r的取值范围是 ．
18．（4分）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长
对角线长度的比值叫做这个正 n 边形的“特征值”，记为 λ ，那么 λ =
n 6
．
三、解答题（本大题共7小题，共78分）
1 1
19．（10分）计算：√18+（√2﹣1）2﹣9 +（ ）﹣1．
❑2
2
3 1
20．（10分）解方程： ﹣ =1．
x2-3x x-3
21．（10分）如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，
中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC．
（1）求sinB的值；
（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE=2AE，且EF⊥BC，垂足为
点F，求支架DE的长．
22．（10分）甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方
案．
甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系，
如图所示．
乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面
积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4
元．
（1）求如图所示的y与x的函数解析式：（不要求写出定义域）；
（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家
第3页（共27页）公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
23．（12分）已知：如图，四边形 ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD
上一点，且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=﹣x2+bx+c
经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B．
（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为 m，联结AM，用含
m的代数式表示∠AMB的余切值；
（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点 C在x轴上．原抛物线
上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．
第4页（共27页）25．（14 分）如图，已知⊙O 的半径长为 1，AB、AC 是⊙O 的两条弦，且
AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；
（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S 、S 、S ，如果S 是S 和S 的
1 2 3 2 1 3
比例中项，求OD的长．
第5页（共27页）2017 年上海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
1．（4分）（2017•上海）下列实数中，无理数是（ ）
2
A．0 B．√2 C．﹣2 D．
7
【考点】26：无理数．
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【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
2
【解答】解：0，﹣2， 是有理数，
7
√2数无理数，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，
无限不循环小数为无理数．如π，√6，0.8080080008…（每两个8之间依次多1
个0）等形式．
2．（4分）（2017•上海）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x=0B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1=0 D．x2﹣2x+2=0
【考点】AA：根的判别式．
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【专题】11 ：计算题．
【分析】分别计算各方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的
情况即可．
【解答】解：A、△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，
所以A选项错误；
B、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以 B
选项错误；
C、△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；
D、△=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．
故选D．
第6页（共27页）【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与
△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，
方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
3．（4分）（2017•上海）如果一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象
经过第一、二、四象限，那么k、b应满足的条件是（ ）
A．k＞0，且b＞0 B．k＜0，且b＞0 C．k＞0，且b＜0 D．k＜0，且b＜0
【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．
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【分析】根据一次函数的性质得出即可．
【解答】解：∵一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、
四象限，
∴k＜0，b＞0，
故选B．
【点评】本题考查了一次函数的性质和图象，能熟记一次函数的性质是解此题
的关键．
4．（4分）（2017•上海）数据2、5、6、0、6、1、8的中位数和众数分别是
（ ）
A．0和6 B．0和8 C．5和6 D．5和8
【考点】W5：众数；W4：中位数．
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【分析】将题目中的数据按照从小到大排列，从而可以得到这组数据的众数和
中位数，本题得以解决．
【解答】解：将2、5、6、0、6、1、8按照从小到大排列是：
0，1，2，5，6，6，8，
位于中间位置的数为5，
故中位数为5，
数据6出现了2次，最多，
故这组数据的众数是6，中位数是5，
故选C．
【点评】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会
第7页（共27页）找一组数据的众数和中位数．
5．（4分）（2017•上海）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（
）
A．菱形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．等腰梯形
【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．
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【分析】根据轴对称图形和中心对称图形对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、菱形既是轴对称又是中心对称图形，故本选项正确；
B、等边三角形是轴对称，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、平行四边形不是轴对称，是中心对称图形，故本选项错误；
D、等腰梯形是轴对称，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是
寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋
转180度后两部分重合．
6．（4分）（2017•上海）已知平行四边形 ABCD，AC、BD是它的两条对角线，
那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB
【考点】LC：矩形的判定；L5：平行四边形的性质．
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【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．
【解答】解：A、∠BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；
B、∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；
C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；
D、∠BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定；熟练掌握
矩形的判定是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
第8页（共27页）7．（4分）（2017•上海）计算：2a•a2= 2 a 3 ．
【考点】49：单项式乘单项式．
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【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分
别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
【解答】解：2a•a2=2×1a•a2=2a3．
故答案为：2a3．
【点评】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．
{&2x＞6
8．（4分）（2017•上海）不等式组 的解集是 x ＞ 3 ．
&x-2＞0
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大
小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x＞6，得：x＞3，
解不等式x﹣2＞0，得：x＞2，
则不等式组的解集为x＞3，
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基
础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则
是解答此题的关键．
9．（4分）（2017•上海）方程√2x-3=1的解是 x=2 ．
【考点】AG：无理方程．
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【专题】11 ：计算题．
【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方，解出 x的值，然后，验根解
答出即可．
【解答】解：√2x-3=1，
两边平方得，2x﹣3=1，
解得，x=2；
经检验，x=2是方程的根；
第9页（共27页）故答案为x=2．
【点评】本题考查了无理方程的解法，解无理方程的基本思想是把无理方程转
化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法，解无
理方程，往往会产生增根，应注意验根．
k
10．（4分）（2017•上海）如果反比例函数 y= （k是常数，k≠0）的图象经
x
过点（2，3），那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而
减小 ．（填“增大”或“减小”）
【考点】G4：反比例函数的性质．
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【分析】先根据题意得出k的值，再由反比例函数的性质即可得出结论．
k
【解答】解：∵反比例函数y= （k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），
x
∴k=2×3=6＞0，
∴这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小．
故答案为：减小．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此
题的关键．
11．（4分）（2017•上海）某市前年PM2.5的年均浓度为50微克/立方米，去
年比前年下降了10%，如果今年PM2.5的年均浓度比去年也下降10%，那么今
年PM2.5的年均浓度将是 40.5 微克/立方米．
【考点】1G：有理数的混合运算．
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【分析】根据增长率问题的关系式得到算式50×（1﹣10%）2，再根据有理数
的混合运算的顺序和计算法则计算即可求解．
【解答】解：依题意有
50×（1﹣10%）2
=50×0.92
=50×0.81
=40.5（微克/立方米）．
答：今年PM2.5的年均浓度将是40.5微克/立方米．
第10页（共27页）故答案为：40.5．
【点评】考查了有理数的混合运算，关键是熟练掌握增长率问题的关系式．
12．（4分）（2017•上海）不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，
它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是
3
．
10
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】由在不透明的袋中装有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外
其它都相同，直接利用概率公式求解，即可得到任意摸出一球恰好为红球的概
率．
【解答】解：∵在不透明的袋中装有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜
色外其它都相同，
∴从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是：
3 3
= ．
2+3+5 10
3
故答案为： ．
10
【点评】此题考查了概率公式的应用．解题时注意：概率=所求情况数与总情况
数之比．
13．（4分）（2017•上海）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为
（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是 y=2 x 2 ﹣1 ．（只需写一
个）
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．
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【分析】根据顶点坐标知其解析式满足 y=ax2﹣1，由开口向上知a＞0，据此写
出一个即可．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），
∴该抛武线的解析式为y=ax2﹣1，
又∵二次函数的图象开口向上，
第11页（共27页）∴a＞0，
∴这个二次函数的解析式可以是y=2x2﹣1，
故答案为：y=2x2﹣1．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的顶点式是
解题的关键．
14．（4分）（2017•上海）某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值
的百分比如图所示，又知二月份产值是 72万元，那么该企业第一季度月产值的
平均数是 12 0 万元．
【考点】VB：扇形统计图．
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【分析】利用一月份的产值除以对应的百分比求得第一季度的总产值，然后求
得平均数．
【解答】解：第一季度的总产值是72÷（1﹣45%﹣25%）=360（万元），
1
则该企业第一季度月产值的平均值是 ×360=120（万元）．
3
故答案是：120．
【点评】本题考查了扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个
扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表
示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位 1），用
圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
15．（4分）（2017•上海）如图，已知 AB∥CD，CD=2AB，AD、BC相交于点
→ → → → → → → → →
E，设 = ， = ，那么向量 用向量 、 表示为 + 2 ．
AE a CE b CD a b b a
第12页（共27页）【考点】LM：*平面向量；JA：平行线的性质．
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→ → → →
【分析】根据 CD=CE + ED ，只要求出 ED 即可解决问题．
【解答】解：∵AB∥CD，
AB AE 1
∴ = = ，
CD ED 2
∴ED=2AE，
→ →
∵ AE=a ，
→ →
∴ ED=2a ，
→ → → → →
∴ CD=CE + ED=b +2a ．
【点评】本题考查平面向量、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三
角形法则求向量，属于基础题．
16．（4分）（2017•上海）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点 C 与F 重合，
边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺 DEF绕着点F按
顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是 4 5 ．
第13页（共27页）【考点】R2：旋转的性质；JA：平行线的性质．
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【分析】分两种情形讨论，分别画出图形求解即可．
【解答】解：①如图1中，EF∥AB时，∠ACE=∠A=45°，
∴旋转角n=45时，EF∥AB．
②如图2中，EF∥AB时，∠ACE+∠A=180°，
∴∠ACE=135°
∴旋转角n=360°﹣135°=225°，
∵0＜n°＜180，
∴此种情形不合题意，
故答案为45
【点评】本题考查旋转变换、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类
讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
17．（4分）（2017•上海）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别
以点A、B为圆心画圆．如果点C在⊙A内，点B在⊙A外，且⊙B与⊙A内切，
那么⊙B的半径长r的取值范围是 8 ＜ r ＜ 1 0 ．
第14页（共27页）【考点】MJ：圆与圆的位置关系；M8：点与圆的位置关系．
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【分析】先计算两个分界处r的值：即当C在⊙A上和当B在⊙A上，再根据图
形确定r的取值．
【解答】解：如图1，当C在⊙A上，⊙B与⊙A内切时，
⊙A的半径为：AC=AD=4，
⊙B的半径为：r=AB+AD=5+3=8；
第15页（共27页）如图2，当B在⊙A上，⊙B与⊙A内切时，
⊙A的半径为：AB=AD=5，
⊙B的半径为：r=2AB=10；
∴⊙B的半径长r的取值范围是：8＜r＜10．
故答案为：8＜r＜10．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系和点与圆的位置关系和勾股定理，明确
两圆内切时，两圆的圆心连线过切点，注意当C在⊙A上时，半径为3，所以当
⊙A半径大于3时，C在⊙A内；当B在⊙A上时，半径为5，所以当⊙A半径小
于5时，B在⊙A外．
18．（4分）（2017•上海）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最
短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正 n边形的“特征值”，记为λ ，
n
√3
那么λ = ．
6 2
【考点】MM：正多边形和圆．
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【专题】23 ：新定义．
【分析】如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．易知
BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形的最短的对角线，只要证明△BEC
是直角三角形即可解决问题．
【解答】解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．
第16页（共27页）易知BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形的最短的对角线，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=∠OCB=∠BOC=60°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∵∠BOC=∠OEC+∠OCE，
∴∠OEC=∠OCE=30°，
∴∠BCE=90°，
∴△BEC是直角三角形，
EC √3
∴ =cos30°= ，
BE 2
√3
∴λ = ，
6 2
√3
故答案为 ．
2
【点评】本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识，
解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
三、解答题（本大题共7小题，共78分）
1 1
19．（10分）（2017•上海）计算：√18+（√2﹣1）2﹣9 +（ ）﹣1．
❑2
2
【考点】79：二次根式的混合运算；2F：分数指数幂；6F：负整数指数幂．
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【专题】11 ：计算题．
【分析】根据负整数指数幂和分数指数幂的意义计算．
【解答】解：原式=3√2+2﹣2√2+1﹣3+2
=√2+2．
第17页（共27页）【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，
然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能
结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半
功倍．
3 1
20．（10分）（2017•上海）解方程： ﹣ =1．
x2-3x x-3
【考点】B3：解分式方程．
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【分析】两边乘x（x﹣3）把分式方程转化为整式方程即可解决问题．
【解答】解：两边乘x（x﹣3）得到3﹣x=x2﹣3x，
∴x2﹣2x﹣3=0，
∴（x﹣3）（x+1）=0，
∴x=3或﹣1，
经检验x=3是原方程的增根，
∴原方程的解为x=﹣1．
【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注
意解分式方程必须检验．
21．（10分）（2017•上海）如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁
BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC．
（1）求sinB的值；
（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE=2AE，且EF⊥BC，垂足为
点F，求支架DE的长．
【考点】T8：解直角三角形的应用．
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AD
【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB= 计算即
AB
可；
第18页（共27页）EF BF BE 2
（2）由EF∥AD，BE=2AE，可得 = = = ，求出EF、DF即可利用勾股定
AD BD BA 3
理解决问题；
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∵BD=DC=9，AD=6，
∴AB=√BD2+AD2=√92+62=3√13，
AD 6 2√13
∴sinB= = = ．
AB 3√13 13
（2）∵EF∥AD，BE=2AE，
EF BF BE 2
∴ = = = ，
AD BD BA 3
EF BF 2
∴ = = ，
6 9 3
∴EF=4，BF=6，
∴DF=3，
在Rt△DEF中，DE=√EF2+DF2=√42+32=5．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，平行线分线段成比例定理等知识，解
题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）（2017•上海）甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养
护服务的收费方案．
甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系，
如图所示．
乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面
积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4
元．
（1）求如图所示的y与x的函数解析式：（不要求写出定义域）；
第19页（共27页）（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家
公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）绿化面积是1200平方米时，求出两家的费用即可判断；
{&b=400
【解答】解：（1）设y=kx+b，则有 ，
&100k+b=900
{&k=5
解得 ，
&b=400
∴y=5x+400．
（2）绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为6400元，乙公司的费用为
5500+4×200=6300元，
∵6300＜6400
∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
【点评】本题主要考查一次函数的应用．此题属于图象信息识别和方案选择问
题．正确识图是解好题目的关键．
23．（12分）（2017•上海）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，
E是对角线BD上一点，且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
第20页（共27页）【考点】LF：正方形的判定；LA：菱形的判定与性质．
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【分析】（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得
∠ADE=∠CDE，由 AD∥BC 可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得
BC=CD，易得AD=BC，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，
由AD=CD可得四边形ABCD是菱形；
（2）由BE=BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的内
1
角和定理可得∠CBE=180× =45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形
4
的判定定理可得四边形ABCD是正方形．
【解答】证明：（1）在△ADE与△CDE中，
{
&AD=CD
&DE=DE，
&EA=EC
∴△ADE≌△CDE，
∴∠ADE=∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBD，
∴∠CDE=∠CBD，
∴BC=CD，
∵AD=CD，
∴BC=AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵BE=BC
第21页（共27页）∴∠BCE=∠BEC，
∵∠CBE：∠BCE=2：3，
2
∴∠CBE=180× =45°，
2+3+3
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE=45°，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形．
【点评】本题主要考查了正方形与菱形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解
答此题的关键．
24．（12分）（2017•上海）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛
物线y=﹣x2+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B．
（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为 m，联结AM，用含
m的代数式表示∠AMB的余切值；
（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点 C在x轴上．原抛物线
上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）依据抛物线的对称轴方程可求得b的值，然后将点A的坐标代入
y=﹣x2+2x+c可求得c的值；
（2）过点A作AC⊥BM，垂足为C，从而可得到AC=1，MC=m﹣2，最后利用锐
角三角函数的定义求解即可；
第22页（共27页）（3）由平移后抛物线的顶点在 x轴上可求得平移的方向和距离，故此 QP=3，
然后由点QO=PO，QP∥y轴可得到点Q和P关于x对称，可求得点Q的纵坐标，
将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的 x的值，则可得到点Q的坐
标．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，
b -b
∴x=﹣ =1，即 =1，解得b=2．
2a 2×(-1)
∴y=﹣x2+2x+c．
将A（2，2）代入得：﹣4+4+c=2，解得：c=2．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2．
配方得：y=﹣（x﹣1）2+3．
∴抛物线的顶点坐标为（1，3）．
（2）如图所示：过点A作AC⊥BM，垂足为C，则AC=1，C（1，2）．
∵M（1，m），C（1，2），
∴MC=m﹣2．
CM
∴cot∠AMB= =m﹣2．
AC
（3）∵抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在x轴上，
∴抛物线向下平移了3个单位．
∴平移后抛物线的解析式为y=﹣x2+2x﹣1，PQ=3．
∵OP=OQ，
∴点O在PQ的垂直平分线上．
又∵QP∥y轴，
∴点Q与点P关于x轴对称．
第23页（共27页）3
∴点Q的纵坐标为﹣ ．
2
3 3 2+√6 2-√6
将y=﹣ 代入y=﹣x2+2x﹣1得：﹣x2+2x﹣1=﹣ ，解得：x= 或x= ．
2 2 2 2
2+√6 3 2-√6 3
∴点Q的坐标为（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）．
2 2 2 2
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系
数法求二次函数的解析式、锐角三角函数的定义、二次函数的平移规律、线段
垂直平分线的性质，发现点Q与点P关于x轴对称，从而得到点Q的纵坐标是
解题的关键．
25．（14分）（2017•上海）如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两
条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；
（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S 、S 、S ，如果S 是S 和S 的
1 2 3 2 1 3
比例中项，求OD的长．
【考点】MR：圆的综合题．
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【 分 析 】 （ 1 ） 由 △ AOB≌ △ AOC ， 推 出 ∠ C=∠ B ， 由 OA=OC ， 推 出
∠OAC=∠C=∠B，由∠ADO=∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；
（2）如图2中，当△OCD是直角三角形时，可以证明△ABC是等边三角形即可
解决问题；
（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．想办法用x表示AD、AB、CD，再
证明AD2=AC•CD，列出方程即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，
第24页（共27页）在△AOB和△AOC中，
{
&OA=OA
&AB=AC，
&OB=OC
∴△AOB≌△AOC，
∴∠C=∠B，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=∠B，∵∠ADO=∠ADB，
∴△OAD∽△ABD．
（2）如图2中，
∵BD⊥AC，OA=OC，
∴AD=DC，
∴BA=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
在Rt△OAD中，∵OA=1，∠OAD=30°，
1 1
∴OD= OA= ，
2 2
√3
∴AD=√OA2-OD2= ，
2
第25页（共27页）∴BC=AC=2AD=√3．
（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．
∵△DAO∽△DBA，
AD OD OA
∴ = = ，
DB AD AB
AD x 1
∴ = = ，
x+1 AD AB
√x(x+1)
∴AD=√x(x+1)，AB= ，
x
∵S 是S 和S 的比例中项，
2 1 3
∴S 2=S •S ，
2 1 3
1 1 1
∵S = AD•OH，S =S = •AC•OH，S = •CD•OH，
2 2 1 △OAC 2 3 2
1 1 1
∴（ AD•OH）2= •AC•OH• •CD•OH，
2 2 2
∴AD2=AC•CD，
√x(x+1)
∵AC=AB．CD=AC﹣AD= ﹣√x(x+1)，
x
√x(x+1) √x(x+1)
∴（√x(x+1)）2= •（ ﹣√x(x+1)），
x x
整理得x2+x﹣1=0，
√5-1 -√5-1
解得x= 或 ，
2 2
√5-1
经检验：x= 是分式方程的根，且符合题意，
2
√5-1
∴OD= ．
2
第26页（共27页）【点评】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和
性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用
参数解决问题，属于中考压轴题．
第27页（共27页）
