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2017 年内蒙古兴安盟中考数学试卷（A 卷）
一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确.共12小题，每小题3分，共
36分）
1．（3分）（2017•兴安盟）√2的相反数是（ ）
A．√2 B．-√2C．±√2D．√-2
2．（3 分）（2017•兴安盟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（
）
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱锥 D．三棱柱
3．（3分）（2017•兴安盟）下列各式计算正确的是（ ）
A．3x+x=4x2 B．（﹣a）2•a6=﹣a8
C．（﹣y）3÷（﹣y）=y2（y≠0） D．（a2b3c）2=a4b6c
4．（3 分）（2017•兴安盟）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（
）
A．6，8，8B．6，8，10 C．6，8，12 D．6，8，14
5．（3分）（2017•兴安盟）纳米技术是一种高新技术，纳米是非常小的长度
单位，1纳米等于0.000000001米，将1纳米用科学记数法表示为（ ）
A．10﹣7米 B．10﹣8米 C．10﹣9米 D．10﹣10 米
6．（3分）（2017•兴安盟）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=48°，D为⊙O
上一点，则∠ADC的度数是（ ）
A．24° B．42° C．48° D．12°
7．（3分）（2017•兴安盟）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋 30双，各
种尺码的鞋销售量如下表：
尺码/厘米 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 1 2 5 11 7 3 1
鞋店老板比较关注哪种尺码的鞋最畅销，也就是关注卖出鞋的尺码组成一组数
据的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．（3 分）（2017•兴安盟）一元二次方程 16x2﹣8x+1=0 的根的情况是
（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．只有一个实数根D．有两个相等的实数根
第1页（共22页）9．（3分）（2017•兴安盟）下列命题正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方
形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形
10．（3分）（2017•兴安盟）甲、乙两人匀速在400米环形跑道上跑步，同时
同地出发，如果相向而行，每隔 1分钟相遇一次；如果同向而行，每隔 5分钟
相遇一次，已知甲比乙的速度快．设甲每分钟跑 x米，乙每分钟跑 y米，根据
题意，列出方程组正确的是（ ）
{&60x+60 y=400 {&x+ y=400
A． B．
&300x-300 y=400 &5x-5 y=400
{&60x+60 y=400 {&x+ y=400
C． D．
&300 y-300x=400 &5 y-5x=400
3
11．（3 分）（2017•兴安盟）下列关于反比例函数 y=- 的说法正确的是（
x
）
3
A．y随x的增大而增大 B．函数图象过点（2， ）
2
C．图象位于第一、第三象限 D．x＞0时，y随x的增大而增大
12．（3分）（2017•兴安盟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
D、E分别是AB、BC边上的动点，则AE+DE的最小值为（ ）
48 24 12
A． B． C．5 D．
5 5 5
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
13．（3分）（2017•兴安盟）分解因式：2a3﹣8a= ．
14．（3分）（2017•兴安盟）如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建
立平面直角坐标系，顶点 C、F在x轴上，顶点A的坐标为（1，√3），则顶点
D的坐标为 ．
15．（3分）（2017•兴安盟）计算：45°39′+65°41′= ．
16．（3分）（2017•兴安盟）一组数据 5，2，x，6，4的平均数是4，这组数
据的方差是 ．
17．（3分）（2017•兴安盟）如图，下列各图中的三个数之间具有相同规律．
第2页（共22页）依此规律用含m，n的代数式表示y，则y= ．
三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分）
5
18．（6分）（2017•兴安盟）计算： ﹣|2﹣√5|+（﹣2）﹣2﹣（π﹣3.14）
√5
0．
19．（6分）（2017•兴安盟）先化简，再求值：a（a﹣2b）﹣（a+b）（a﹣
1
b），其中a= ，b=﹣1．
2
20．（6分）（2017•兴安盟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为 A
（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0）．
（1）写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．
21．（6分）（2017•兴安盟）甲袋中装有 4个相同的小球，分别标有 3，4，
5，6；乙袋中装有3个相同的小球，分别标有 7，8，9．芳芳和明明用摸球记
数的方法在如图所示的正六边形 ABCDEF的边上做游戏，游戏规则为：游戏者
从口袋中随机摸出一个小球，小球上的数字是几，就从顶点 A按顺时针方向连
续跳动几个边长，跳回起点者获胜；芳芳只从甲袋中摸出一个小球，明明先后
从甲、乙口袋中各摸出一个小球．如：先后摸出标有4和7的小球，就先从点A
按顺时针连跳4个边长，跳到点E，再从点E顺时针连跳7个边长，跳到点F．
分别求出芳芳、明明跳回起点A的概率，并指出游戏规则是否公平．
四、（本题7分）
22．（7分）（2017•兴安盟）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB．
第3页（共22页）（1）作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD边上截取AF=AB，连接EF（要求：
尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）判断四边形ABEF的形状，并说明理由．
五、（本题7分）
23．（7分）（2017•兴安盟）为了了解某中学学生的身高情况，随机对该校
男、女生的身高进行抽样调查．抽取的样本中，男、女生的人数相同，根据所
得数据绘制成如图所示的统计图表．
组别 男女生身高（cm）
A 150≤x＜155
B 155≤x＜160
C 160≤x＜165
D 165≤x＜170
E 170≤x＜175
根据图表中提供的信息，回答下列问题：
（1）在样本中，男生身高的中位数落在 组（填组别序号），女生身高
在B组的
有 人；
（2）在样本中，身高在170≤x＜175之间的共有 人，人数最多的是
组（填组别序号）
（3）已知该校共有男生500人，女生480人，请估计身高在160≤x＜170之间
的学生有多少人？
六、（本题8分）
24．（8分）（2017•兴安盟）如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，且
BD∥OC，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB=OC=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）
第4页（共22页）七、（本题10分）
25．（10分）（2017•兴安盟）某车行经销的 A型自行车去年6月份销售总额
为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加 200元，今年6月份与去
年同期相比，销售数量相同，销售总额增加25%．
（1）求今年A型车每辆售价多少元？
（2）该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金新进一批A型车和B型车共50
辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？
今年A，B两种型号车的进价和售价如下表：
A型车 B型车
进 价 800 950
（元/辆）
售 价 今年售价 1200
（元/辆）
八、（本题13分）
26．（13 分）（2017•兴安盟）如图 1，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，
AC=4，D是AB的中点，EF是△ACD的中位线，矩形EFGH的顶点都在△ACD的
边上．
（1）求线段EF、FG的长；
（2）如图2，将矩形EFGH沿AB向右平移，点F落在BC上时停止移动，设矩
形移动的距离为x，矩形与△CBD重叠部分的面积为S，求出S关于x的函数解
析式；
（3）如图3，矩形EFGH平移停止后，再绕点G按顺时针方向旋转，当点H落
在CD边上时停止旋转，此时矩形记作E F GH ，设旋转角为α，求cosα的值．
1 1 1
第5页（共22页）2017 年内蒙古兴安盟中考数学试卷（A 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确.共12小题，每小题3分，共
36分）
1．（3分）（2017•兴安盟）√2的相反数是（ ）
A．√2 B．-√2C．±√2D．√-2
【考点】28：实数的性质；21：平方根；22：算术平方根．
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：√2的相反数是﹣√2．
故选B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上
“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数
是0．
2．（3 分）（2017•兴安盟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（
）
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱锥 D．三棱柱
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】根据三视图得出几何体即可．
【解答】解：由主视图和左视图都为三角形，而俯视图是圆，可得几何体是圆
锥，
故选B
【点评】本题考查了圆锥的三视图，关键是根据三视图得出几何体．
3．（3分）（2017•兴安盟）下列各式计算正确的是（ ）
A．3x+x=4x2B．（﹣a）2•a6=﹣a8 C．（﹣y）3÷（﹣y）=y2（y≠0） D ．
（a2b3c）2=a4b6c
【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：
幂的乘方与积的乘方．
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运
算分别判断得出答案．
【解答】解：A、3x+x=4x，故此选项错误；
B、（﹣a）2•a6=a8，故此选项错误；
C、（﹣y）3÷（﹣y）=y2（y≠0），故此选项正确；
D、（a2b3c）2=a4b6c2，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算
第6页（共22页）等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（3 分）（2017•兴安盟）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（
）
A．6，8，8B．6，8，10 C．6，8，12 D．6，8，14
【考点】KS：勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，
然后与较长的边进行比较作出判断即可．
【解答】解：A、∵√62+82=10＞8，6+8＞8，∴能组成锐角三角形；
B、∵√62+82=10是直角三角形，∴不能组成锐角三角形；
C、√62+82=10＜12，6+8＞12，∴不能组成锐角三角形；
D、∵6+8=14，∴不能组成三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜边
是解题的关键．
5．（3分）（2017•兴安盟）纳米技术是一种高新技术，纳米是非常小的长度
单位，1纳米等于0.000000001米，将1纳米用科学记数法表示为（ ）
A．10﹣7米 B．10﹣8米 C．10﹣9米 D．10﹣10 米
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣
n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起
第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：1纳米用科学记数法表示为10﹣9米，
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10﹣n，其中
1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6．（3分）（2017•兴安盟）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=48°，D为⊙O
上一点，则∠ADC的度数是（ ）
A．24° B．42° C．48° D．12°
【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径定理．
【分析】由OA⊥BC，根据垂径定理的即可求得^AC=^AB，又由∠AOB=48°，然后
根据圆周角定理，即可求得∠ADC的度数．
【解答】解：∵OA⊥BC，
第7页（共22页）∴^AC=^AB，
1 1
∴∠ADC= ∠AOB= ×48°=24°．
2 2
故选A．
【点评】此题考查了垂径定理与圆周角定理．此题难度不大，解题的关键是注
意数形结合思想的应用．
7．（3分）（2017•兴安盟）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋 30双，各
种尺码的鞋销售量如下表：
尺 2 2 2 2 2 2 2
码 2 2 3 3 4 4 5
/ . . .
厘
5 5 5
米
销 1 2 5 1 7 3 1
售 1
量
/
双
鞋店老板比较关注哪种尺码的鞋最畅销，也就是关注卖出鞋的尺码组成一组数
据的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【考点】W7：方差；W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可，得出鞋店老
板最关心的数据．
【解答】解：∵众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，
∴鞋店老板最喜欢的是众数．
故选：C．
【点评】此题主要考查了统计的有关知识，主要是众数的意义．反映数据集中
程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计
量进行合理的选择和恰当的运用．
8．（3 分）（2017•兴安盟）一元二次方程 16x2﹣8x+1=0 的根的情况是
（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．只有一个实数根D．有两个相等的实数根
【考点】AA：根的判别式．
【分析】计算方程根的判别式即可求得答案．
【解答】解：
∵16x2﹣8x+1=0，
∴△=（﹣8）2﹣4×16=64﹣64=0，
∴方程有两个相等的实数根，
故选D．
【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是
解题的关键．
第8页（共22页）9．（3分）（2017•兴安盟）下列命题正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的菱形是正方形
【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可．
【解答】解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，A错误；
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，B错误；
对角线相等的平行四边形是矩形，C错误；
对角线相等的菱形是正方形，D正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫
做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．（3分）（2017•兴安盟）甲、乙两人匀速在400米环形跑道上跑步，同时
同地出发，如果相向而行，每隔 1分钟相遇一次；如果同向而行，每隔 5分钟
相遇一次，已知甲比乙的速度快．设甲每分钟跑 x米，乙每分钟跑 y米，根据
题意，列出方程组正确的是（ ）
{&60x+60 y=400
A．
&300x-300 y=400
{&x+ y=400
B．
&5x-5 y=400
{&60x+60 y=400
C．
&300 y-300x=400
{&x+ y=400
D．
&5 y-5x=400
【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】设设甲每分钟跑 x米，乙每分钟跑 y米，根据相向而行第一次相遇时
两人的总路程为 400，同向行走第一次相遇甲比乙多走 400 米，可得出方程
组．
【解答】解：设甲每分钟跑x米，乙每分钟跑y米，
{&x+ y=400
由题意，得： ．
&5x-5 y=400
故选B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，是个行程问题，
一次相遇，一次追及，根据路程可列方程组求解．
3
11．（3 分）（2017•兴安盟）下列关于反比例函数 y=- 的说法正确的是（
x
）
3
A．y随x的增大而增大 B．函数图象过点（2， ）
2
第9页（共22页）C．图象位于第一、第三象限 D．x＞0时，y随x的增大而增大
【考点】G4：反比例函数的性质．
【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．
3
【解答】解：A、反比例函数y=- ，每个象限内，y随x的增大而增大，故此选
x
项错误；
3
B、函数图象过点（2，﹣ ），故此选项错误；
2
C、函数图象图象位于第二、第四象限，故此选项错误；
D、x＞0时，y随x的增大而增大，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆相关性质是解题关键．
12．（3分）（2017•兴安盟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
D、E分别是AB、BC边上的动点，则AE+DE的最小值为（ ）
48 24 12
A． B． C．5 D．
5 5 5
【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题．
【分析】作点 A 关于 BC 的对称点 A′，过点 A′作 A′D⊥AB 交 BC、AB 分别于点
E、D，根据轴对称确定最短路线问题，A′D的长度即为AE+DE的最小值，利用
勾股定理列式求出AB，再利用∠ABC的正弦列式计算即可得解．
【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点A′，过点A′作A′D⊥AB交BC、AB
分别于点E、D，
则A′D的长度即为AE+DE的最小值，AA′=2AC=2×3=6，
∵∠ACB=90°，BC=4，AC=3，
∴AB=√BC2+AC2=√32+42=5，
BC 4
∴sin∠BAC= = ，
AB 5
4 24
∴A′D=AA′•sin∠BAC=6× = ，
5 5
第10页（共22页）24
即AE+DE的最小值是 ．
5
故选B
【点评】本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，主要利用了勾股定理，垂
线段最短，锐角三角函数的定义，难点在于确定出点D、E的位置．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
13．（3分）（2017•兴安盟）分解因式：2a3﹣8a= 2 a （ a + 2 ）（ a﹣ 2 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】原式提取2a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=2a（a2﹣4）=2a（a+2）（a﹣2），
故答案为：2a（a+2）（a﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方
程是解本题的关键．
14．（3分）（2017•兴安盟）如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建
立平面直角坐标系，顶点 C、F在x轴上，顶点A的坐标为（1，√3），则顶点
D的坐标为 （﹣ 1 ，﹣ √3） ．
【考点】MM：正多边形和圆；D5：坐标与图形性质．
【分析】根据图形，利用对称的性质计算即可求出D的坐标．
【解答】解：根据图形得：D（﹣1，﹣√3），
故答案为：（﹣1，﹣√3）
【点评】此题考查了正多边形和圆，以及坐标与图形性质，熟练掌握对称的性
质是解本题的关键．
15．（3分）（2017•兴安盟）计算：45°39′+65°41′= 111°20 ′ ， ．
【考点】II：度分秒的换算．
【分析】两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满 60，则转化
为度．
【解答】解：45°39′+65°41′=111°20′，
故答案为：111°20′，
【点评】本题考查了角的加减乘除运算．遇到加法时，先加再进位；遇到减法
时，先借位再减；遇到乘法时，先乘再进位；遇到除法时，先借位再除．
16．（3分）（2017•兴安盟）一组数据 5，2，x，6，4的平均数是4，这组数
据的方差是 2 ．
【考点】W7：方差；W1：算术平均数．
第11页（共22页）【分析】先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算即可．
【解答】解：∵数据5，2，x，6，4的平均数是4，
∴（5+2+x+6+4）÷5=4，
解得：x=3，
1
∴这组数据的方差是 [（5﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2+（4﹣3）
5
2]=2；
故答案为：2．
【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设 n个数据，x ，x ，…x 的平均
1 2 n
1
数为x，则方差S2= [（x ﹣x）2+（x ﹣x）2+…+（x ﹣x）2]，它反映了一组数
n 1 2 n
据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
17．（3分）（2017•兴安盟）如图，下列各图中的三个数之间具有相同规律．
依此规律用含m，n的代数式表示y，则y= m （ n + 2 ） ．
【考点】37：规律型：数字的变化类．
【分析】根据数的特点，上边的数与比左边的数大2的数的积正好等于右边的
数，然后写出M与m、n的关系即可
【解答】解：∵1×（2+2）=4，
3×（4+2）=18，
5×（6+2）=40，
…，
∴y=m（n+2），
故答案为m（n+2）．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，观察出上边的数与比左边的数大2的
数的积正好等于右边的数是解题的关键．
三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分）
5
18．（6分）（2017•兴安盟）计算： ﹣|2﹣√5|+（﹣2）﹣2﹣（π﹣3.14）
√5
0．
【考点】79：二次根式的混合运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
【分析】分母有理化，化0指数幂为1，整理后得答案；
1
【解答】解：原式=√5-√5+2+ -1
4
1
=1 ．
4
【点评】本题考查了二次根式的混合计算，关键是根据根式与分数指数幂的互
化及其化简运算．
第12页（共22页）19．（6分）（2017•兴安盟）先化简，再求值：a（a﹣2b）﹣（a+b）（a﹣
1
b），其中a= ，b=﹣1．
2
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．
【分析】根据单项式乘多项式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将
a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：a（a﹣2b）﹣（a+b）（a﹣b）
=a2﹣2ab﹣a2+b2
=﹣2ab+b2，
1 1
当a= ，b=﹣1时，原式=﹣2× ×（﹣1）+（﹣1）2=1+1=2．
2 2
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的
化简求值的计算方法．
20．（6分）（2017•兴安盟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为 A
（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0）．
（1）写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H3：二次函数的性质；H8：待定系数法求
二次函数解析式．
【分析】（1）依据顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标
为（3，0），可得点C的坐标为（﹣1，0），设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）
（x+1），把A（1，﹣4）代入，可得二次函数解析式；
（2）当函数值为正数时，观察 x轴上方部分的抛物线，即可得到自变量的取值
范围是x＜﹣1或x＞3．
【解答】解：（1）∵顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐
标为（3，0），
∴点C的坐标为（﹣1，0），
设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x+1），
把A（1，﹣4）代入，可得
﹣4=a（1﹣3）（1+1），
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x﹣3）（x+1），
即y=x2﹣2x﹣3；
第13页（共22页）（2）由图可得，当函数值为正数时，自变量的取值范围是x＜﹣1或x＞3．
【点评】本题考查了二次函数的解析式的求法、二次函数的性质、二次函数与
二次方程的联系等代数问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的
要求．
21．（6分）（2017•兴安盟）甲袋中装有 4个相同的小球，分别标有 3，4，
5，6；乙袋中装有3个相同的小球，分别标有 7，8，9．芳芳和明明用摸球记
数的方法在如图所示的正六边形 ABCDEF的边上做游戏，游戏规则为：游戏者
从口袋中随机摸出一个小球，小球上的数字是几，就从顶点 A按顺时针方向连
续跳动几个边长，跳回起点者获胜；芳芳只从甲袋中摸出一个小球，明明先后
从甲、乙口袋中各摸出一个小球．如：先后摸出标有4和7的小球，就先从点A
按顺时针连跳4个边长，跳到点E，再从点E顺时针连跳7个边长，跳到点F．
分别求出芳芳、明明跳回起点A的概率，并指出游戏规则是否公平．
【考点】X7：游戏公平性；X6：列表法与树状图法．
【分析】运用树状图法，分别求得芳芳、明明跳回起点 A的概率，进而得出游
戏规则是否公平．
【解答】解：芳芳：
画树状图可得：
有4种等可能的结果，其中1种能跳回起点A，
1
故芳芳跳回起点A的概率为 ；
4
明明：
画树状图可得：
第14页（共22页）有12种等可能的结果，其中3种能跳回起点A，
1
故明明跳回起点A的概率为 ；
4
∴芳芳、明明跳回起点A的概率相等，故游戏规则公平．
【点评】本题主要考查了游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件
的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
四、（本题7分）
22．（7分）（2017•兴安盟）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB．
（1）作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD边上截取AF=AB，连接EF（要求：
尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）判断四边形ABEF的形状，并说明理由．
【考点】N2：作图—基本作图；L5：平行四边形的性质．
【分析】（1）由角平分线的作法容易得出结果，在 AD 上截取 AF=AB，连接
EF；画出图形即可；
（2）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB，证出BE=AB，由（1）
得：AF=AB，得出BE=AF，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）四边形ABEF是菱形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
第15页（共22页）∴BE=AB，
由（1）得：AF=AB，
∴BE=AF，
又∵BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF=AB，
∴四边形ABEF是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、作图﹣基本作图、等腰三角形的判
定、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质和角平分线作图，证明 BE=AB是
解决问题（2）的关键．
五、（本题7分）
23．（7分）（2017•兴安盟）为了了解某中学学生的身高情况，随机对该校
男、女生的身高进行抽样调查．抽取的样本中，男、女生的人数相同，根据所
得数据绘制成如图所示的统计图表．
组 男
别 女
生
身
高
（
c
m
）
A 1
5
0
≤
x
＜
1
5
5
B 1
5
5
第16页（共22页）≤
x
＜
1
6
0
C 1
6
0
≤
x
＜
1
6
5
D 1
6
5
≤
x
＜
1
7
0
E 1
7
0
≤
x
＜
1
7
5
根据图表中提供的信息，回答下列问题：
（1）在样本中，男生身高的中位数落在 D 组（填组别序号），女生身高在
B组的
有 1 2 人；
（2）在样本中，身高在170≤x＜175之间的共有 10 人，人数最多的是 C
组（填组别序号）
（3）已知该校共有男生500人，女生480人，请估计身高在160≤x＜170之间
的学生有多少人？
【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）
分布表；VB：扇形统计图；W4：中位数．
【分析】（1）先求出男生总人数，再根据中位数的定义解答即可，总女生总人
数乘以B组的百分比可得；
（2）将位于这一小组内的频数相加，分别计算出各组人数之和即可求得结果；
第17页（共22页）（3）分别用男、女生的人数乘以对应的百分比，相加即可得解．
【解答】解：（1）∵在样本中，男生共有2+4+8+12+14=40人，
∴中位数是第20和第21人的平均数，
∴男生身高的中位数落在D组，
女生身高在B组的人数有40×（1﹣30%﹣20%﹣15%﹣5%）=12人，
故答案为：D、12；
（2）在样本中，身高在170≤x＜175之间的人数共有8+40×5%=10人，
∵A 组人数为 2+40×20%=10 人，B 组人数为 4+12=32 人，C 组人数为
12+40×35%=26 人，D 组人数为 14+40×10%=18 人，E 组人数为 8+40×5%=10
人，
∴C组人数最多，
故答案为：10、C；
12+14
（3）500× +480×（35%+10%）=541（人），
40
故估计身高在160≤x＜170之间的学生约有541人．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利
用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判
断和解决问题．
六、（本题8分）
24．（8分）（2017•兴安盟）如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，且
BD∥OC，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB=OC=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）
【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OD，根据CD与圆O相切，利用切线的性质得到OD垂直于
CD，再由OC与BD平行，得到同位角相等与内错角相等，根据OB=OD，利用等
边对等角得到一对角相等，等量代换得到夹角相等，再由OA=OD，OC=OC，利
用SAS得到三角形 AOC与三角形DOC全等，利用全等三角形对应角相等得到
∠OAC=∠ODC=90°，即可得证；
（2）由OD=OB=DB得到三角形ODB为等边三角形，求出∠DOB=60°，根据图中
阴影部分的面积=扇形DOB的面积﹣△DOB的面积解答即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
第18页（共22页）∵CD与圆O相切，
∴OD⊥CD，
∴∠CDO=90°，
∵BD∥OC，
∴∠AOC=∠OBD，∠COD=∠ODB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠AOC=∠COD，
{
&OA=OD
在△AOC和△DOC中， &∠AOC=∠COD，
&OC=OC
∴△AOC≌△EOC（SAS），
∴∠CAO=∠CDO=90°，则AC与圆O相切；
（2）∵AB=OC=4，OB=OD，
∴Rt△ODC与Rt△OAC是含30°的直角三角形，
∴∠DOC=∠COA=60°，
∴∠DOB=60°，
∴△BOD为等边三角形，
图 中 阴 影 部 分 的 面 积 = 扇 形 DOB 的 面 积 ﹣ △ DOB 的 面 积 =
60⋅π×22 1 2π
- ×2×√3= -√3．
360 2 3
【点评】此题考查了切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及全等
三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
七、（本题10分）
25．（10分）（2017•兴安盟）某车行经销的 A型自行车去年6月份销售总额
为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加 200元，今年6月份与去
年同期相比，销售数量相同，销售总额增加25%．
（1）求今年A型车每辆售价多少元？
（2）该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金新进一批A型车和B型车共50
辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？
今年A，B两种型号车的进价和售价如下表：
A B
型 型
车 车
进 8 9
价 0 5
（
第19页（共22页）元 0 0
/
辆
）
售 今 1
价 年 2
（ 售
0
元 价
0
/
辆
）
【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设今年A型车每辆售价为x元，则去年A型车每辆售价为（x﹣
200）元，根据数量=总价÷单价结合今年 6月份与去年同期相比销售数量相
同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A型车m辆，则购进B型车（50﹣m）辆，根据总价=单价×数量
结合总费用不超过4.3万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得
出m的取值范围，再根据销售利润=单辆利润×购进数量即可得出销售利润关
于m的函数关系式，利用一次函数的性质解决最值问题即可．
【解答】解：（1）设今年A型车每辆售价为 x元，则去年A型车每辆售价为
（x﹣200）元，
1.6 1.6×(1+25%)
根据题意得： = ，
x-200 x
解得：x=1000，
经检验，x=1000是原分式方程的解．
答：今年A型车每辆售价为1000元．
（2）设购进A型车m辆，则购进B型车（50﹣m）辆，
根据题意得：800m+950（50﹣m）≤43000，
解得：m≥30．
销售利润为（100﹣800）m+（1200﹣950）（50﹣m）=﹣50m+12500，
∵﹣50＜0，
∴当m=30时，销售利润最多．
答：当购进 A 型车 30 辆、购进 B 型车 20 辆时，才能使这批车售完后获利最
多．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一次函数的最值以及一元一次不等式的
应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数
量关系，找出销售利润关于m的函数关系式．
八、（本题13分）
26．（13 分）（2017•兴安盟）如图 1，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，
AC=4，D是AB的中点，EF是△ACD的中位线，矩形EFGH的顶点都在△ACD的
边上．
（1）求线段EF、FG的长；
（2）如图2，将矩形EFGH沿AB向右平移，点F落在BC上时停止移动，设矩
形移动的距离为x，矩形与△CBD重叠部分的面积为S，求出S关于x的函数解
第20页（共22页）析式；
（3）如图3，矩形EFGH平移停止后，再绕点G按顺时针方向旋转，当点H落
在CD边上时停止旋转，此时矩形记作E F GH ，设旋转角为α，求cosα的值．
1 1 1
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）根据已知，由直角三角形的性质可知 AB=8，从而求得AD，CD，
利用中位线的性质可得EF，DF，利用三角函数可得GF，由矩形的面积公式可得
结果；
（2）首先利用分类讨论的思想，分析当矩形与△CBD重叠部分为三角形时（0
＜x≤1），利用三角函数和三角形的面积公式可得结果；当矩形与△CBD重叠
部分为直角梯形时（1＜x≤2），列出方程解得x；
（3）作H Q⊥AB于Q，设DQ=m，则H Q=√3m，又DG=1，H G=2，利用勾股定
1 1 1
理可得m，在Rt△QH G中，利用三角函数解得cosα．
1
【解答】解：（1）在△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，
∴AB=8，
又∵D是AB的中点，
1
∴AD=4，CD= AB=4，
2
又∵EF是△ACD的中位线，
∴EF=DF=2，
在△ACD中，AD=CD，∠A=60°，
∴∠ADC=60°，
在△FGD中，GF=DF•sin60°=√3，
1
∴矩形EFGH的面积S=EF•GF= ×2√3=√3；
2
（2）设矩形移动的距离为x，则0＜x≤2，
当矩形与△CBD重叠部分为三角形时，如图，
则0＜x≤1，
∴FN=x，∠FNM=∠ADC=60°．
∴FM=√3x
1 √3
S= x•√3x= x2，
2 2
当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时，如图2，
则 1＜x≤2，
∵FN=x，DG=x﹣1
第21页（共22页）1 1 √3
∴重叠部分的面积S= （DG+FN）FG= （x﹣1+x）×√3= （2x﹣1）；
2 2 2
（3）如图3，作H Q⊥AB于Q，
1
设DQ=m，则H Q=√3m，
1
∵DG=1，H G=2，
1
∴GQ=m+1，
在Rt△H QG中，根据勾股定理得，H Q2+GQ2=H G2，
1 1 1
∴3m2+（m+1）2=4，
√13-1
解之得m= （负的舍去），
4
√13-1 √13+3
∴QG=1+ =
4 4
√13+3
QG √13+3
∴cosα= = 4 = ．
H G 8
1 2
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的性质，矩形的性质，
中位线的性质和三角函数定义等，利用分类讨论的思想，构建直角三角形是解
答此题的关键．
第22页（共22页）
