文档内容
2012 年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题．每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出
符合胜目要求的一项.
1．（5 分）已知集合 A={x R|3x+2＞0}，B={x R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则
A∩B=（ ）
∈ ∈
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1， ） C．﹙ ，3﹚ D．（3，+∞）
【考点】1E：交集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．
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【专题】5J：集合．
【分析】求出集合B，然后直接求解A∩B．
【解答】解：因为B={x R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，
又集合A={x R|3x+2＞0 ∈ ﹜={x|x }，
∈
所以A∩B={x|x }∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力．
2．（5分）设不等式组 ，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一
个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域；CF：几何概型．
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【专题】5I：概率与统计．
第1页 | 共22页【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面
积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域 和到原点的距离大
于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．
【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S =4，
1
满足到原点的距离大于 2所表示的平面区域是以原点为圆心，以 2为半径的圆
外部，
面积为 =4﹣π，
∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=
故选：D．
【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、
的比值得到，本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值．
3．（5分）设a，b R．“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
∈
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；A1：虚数单位i、复数．
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【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用前后两者的因果关系，即可判断充要条件．
【解答】解：因为a，b R．“a=O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”．
“复数a+bi是纯虚数”则“a=0”一定成立．
∈
第2页 | 共22页所以a，b R．“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件．
故选：B．
∈
【点评】本题考查复数的基本概念，必要条件、充分条件与充要条件的判断，
考查基本知识的掌握程度．
4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【考点】EF：程序框图．
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【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．
【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，
第2次判断后S=2，k=2，
第3次判断后S=8，k=3，
第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．
故选：C．
【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．
5．（5分）如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点
E．则（ ）
第3页 | 共22页A．CE•CB=AD•DB B．CE•CB=AD•AB C．AD•AB=CD2 D．CE•EB=CD2
【考点】NC：与圆有关的比例线段．
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【专题】5B：直线与圆．
【分析】连接DE，以BD为直径的圆与BC交于点E，DE⊥BE，由∠ACB=90°，
CD⊥AB于点D，△ACD∽△CBD，由此利用三角形相似和切割线定理，能够
推导出CE•CB=AD•BD．
【解答】解：连接DE，
∵以BD为直径的圆与BC交于点E，
∴DE⊥BE，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴△ACD∽△CBD，
∴ ，
∴CD2=AD•BD．
∵CD2=CE•CB，
∴CE•CB=AD•BD，
故选：A．
【点评】本题考查与圆有关的比例线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，
仔细解答，注意三角形相似和切割线定理的灵活运用．
6．（5分）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字
第4页 | 共22页的三位数．其中奇数的个数为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
【考点】D3：计数原理的应用．
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【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选
一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．
【解答】解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两
个数字排在个位与百位，共有 =6种；
从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与
百位，共有 =6种；
2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有 =6种；
故共有3 =18种
故选：B．
【点评】本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关
键．
7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
A．28+6 B．30+6 C．56+12 D．60+12
第5页 | 共22页【考点】L!：由三视图求面积、体积．
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【专题】5Q：立体几何．
【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表
面积即可．
【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，
一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，
所以S = =10，
底
S = ，
后
S = =10，
右
S = =6 ．
左
几何体的表面积为：S=S +S +S +S =30+6 ．
底 后 右 左
故选：B．
【点评】本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象
能力计算能力．
8．（5分）某棵果树前n年的总产量S 与n之间的关系如图所示．从目前记录
n
的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（ ）
第6页 | 共22页A．5 B．7 C．9 D．11
【考点】38：函数的表示方法；3A：函数的图象与图象的变换．
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【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】由已知中图象表示某棵果树前 n年的总产量S与n之间的关系，可分
析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案．
【解答】解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点
则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率
由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大
即前9年的年平均产量最高，
故选：C．
【点评】本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义，其中正
确分析出平均产量的几何意义是解答本题的关键．
二.填空题共6小题．每小题5分．共30分.
9．（5分）直线 （t为参数）与曲线 （α为参数）的交点个
数为 2 ．
【考点】J9：直线与圆的位置关系；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．
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【专题】5B：直线与圆．
【分析】将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可
得到结论．
第7页 | 共22页【解答】解：直线 （t为参数）化为普通方程为x+y﹣1=0
曲线 （α为参数）化为普通方程为x2+y2=9
∵圆心（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离为d=
∴直线与圆有两个交点
故答案为：2
【点评】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属
于基础题．
10．（5分）已知﹛a ﹜是等差数列，s 为其前n项和．若a = ，s =a ，则a =
n n 1 2 3 2
1 ．
【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．
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【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】由﹛a ﹜是等差数列，a = ，S =a ，知 = ，解得d= ，由
n 1 2 3
此能求出a ．
2
【解答】解：∵﹛a ﹜是等差数列，a = ，S =a ，
n 1 2 3
∴ = ，
解得d= ，
a = =1．
2
故答案为：1．
【点评】本题考查等差数列的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔
细解答．
第8页 | 共22页11．（5分）在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣ ，则b= 4 ．
【考点】HU：解三角形．
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【专题】58：解三角形．
【 分 析 】 根 据 a=2 ， b+c=7 ， cosB=﹣ ， 利 用 余 弦 定 理 可 得
，即可求得b的值．
【解答】解：由题意，∵a=2，b+c=7，cosB=﹣ ，
∴
∴b=4
故答案为：4
【点评】本题考查余弦定理的运用，解题的关键是构建关于b的方程，属于基
础题．
12．（5分）在直角坐标系xOy中．直线l过抛物线y2=4x的焦点F．且与该抛物
线相交于 A、B 两点．其中点 A 在 x 轴上方．若直线 l 的倾斜角为 60°．则
△OAF的面积为 ．
【考点】I2：直线的倾斜角；K8：抛物线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．
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【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】确定直线l的方程，代入抛物线方程，确定A的坐标，从而可求△OAF
的面积．
【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F的坐标为（1，0）
∵直线l过F，倾斜角为60°
∴直线l的方程为： ，即
第9页 | 共22页代入抛物线方程，化简可得
∴y=2 ，或y=﹣
∵A在x轴上方
∴△OAF的面积为 =
故答案为：
【点评】本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，确定 A的坐
标是解题的关键．
13．（5分）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则 的
值为 1 ．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
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【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】直接利用向量转化，求出数量积即可．
【解答】解：因为 = = = =1．
故答案为：1
【点评】本题考查平面向量数量积的应用，考查计算能力．
14．（5分）已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时满足
条件：
① x R，f（x）＜0或g（x）＜0；
② x （﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．
∀ ∈
则m的取值范围是 （﹣ 4 ，﹣ 2 ） ．
∃ ∈
第10页 | 共22页【考点】2H：全称量词和全称命题；3V：二次函数的性质与图象；4E：指数函
数综合题．
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【专题】5L：简易逻辑．
【分析】①由于g（x）=2x﹣2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x﹣2m）
（x+m+3）＜0在x＞1时成立，根据二次函数的性质可求
②由于x （﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2x﹣2＜0，则f（x）=m
（x﹣2∈m）（x+m+3）＞0在x （﹣∞，﹣4）时成立，结合二次函数的性质
可求
∈
【解答】解：对于①∵g（x）=2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0，
又∵① x R，f（x）＜0或g（x）＜0
∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立
∀ ∈
则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与 x轴交点都在（1，0）
的左面
则
∴﹣4＜m＜0即①成立的范围为﹣4＜m＜0
又∵②x （﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0
∴此时g（x）=2x﹣2＜0恒成立
∈
∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x （﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只
要﹣4比x
1
，x
2
中的较小的根大即可，
∈
（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，
（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，
（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，较小的根为2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．
综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．
故答案为：（﹣4，﹣2）．
第11页 | 共22页【点评】本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性
质的应用是解答本题的关键．
三、解答题公6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13分）已知函数f（x）= ．
（1）求f（x）的定义域及最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性；HM：复
合三角函数的单调性．
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【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，（1）直接求出
函数的定义域和最小正周期．
（2）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即
可．
【 解 答 】 解 ：
=sin2x﹣1﹣cos2x= sin（2x﹣ ）﹣1 k Z，{x|x≠kπ，k Z}
∈ ∈
（1）原函数的定义域为{x|x≠kπ，k Z}，最小正周期为π．
（2）由 ∈，k Z，
∈
解得 ，k Z，又{x|x≠kπ，k Z}，
∈ ∈
第12页 | 共22页原函数的单调递增区间为 ，k Z， ，k Z
∈ ∈
【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，
复合三角函数的单调性，注意函数的定义域在单调增区间的应用，考查计算
能力．
16．（14 分）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E 分别是
AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A DE的位置，使
1
A C⊥CD，如图2．
1
（1）求证：A C⊥平面BCDE；
1
（2）若M是A D的中点，求CM与平面A BE所成角的大小；
1 1
（3）线段BC上是否存在点P，使平面A DP与平面A BE垂直？说明理由．
1 1
【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MN：向量语言表
述面面的垂直、平行关系．
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【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）证明A C⊥平面BCDE，因为A C⊥CD，只需证明A C⊥DE，即证
1 1 1
明DE⊥平面A CD；
1
（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面 A BE 法向量
1
， =（﹣1，0， ），利用向量的夹角公式，即可求得
CM与平面A BE所成角的大小；
1
（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a [0，3]，求出平
∈
第13页 | 共22页面A DP法向量为
1
假设平面A DP与平面A BE垂直，则 ，可求得0≤a≤3，从而可得结论．
1 1
【解答】（1）证明：∵CD⊥DE，A D⊥DE，CD∩A D=D，
1 1
∴DE⊥平面A CD，
1
又∵A C 平面A CD，∴A C⊥DE
1 1 1
又A C⊥CD，CD∩DE=D
1 ⊂
∴A C⊥平面BCDE
1
（2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A （0，0，2 ），
1
B（0，3，0），E（﹣2，2，0）
∴ ，
设平面A BE法向量为
1
则 ∴ ∴
∴
又∵M（﹣1，0， ），∴ =（﹣1，0， ）
∴
∴CM与平面A BE所成角的大小45°
1
（3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a [0，3]
∴ ， ∈
设平面A DP法向量为
1
则 ∴
第14页 | 共22页∴
假设平面A DP与平面A BE垂直，则 ，
1 1
∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2
∵0≤a≤3
∴不存在线段BC上存在点P，使平面A DP与平面A BE垂直
1 1
【点评】本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，既有传统方法，又
有向量知识的运用，要加以体会．
17．（13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余
垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民
生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃
圾，数据统计如下（单位：吨）；
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投
放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大
时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．
（求：S2= [ + +…+ ]，其中 为数据x ，x ，…，
1 2
第15页 | 共22页x 的平均数）
n
【考点】BC：极差、方差与标准差；CE：模拟方法估计概率．
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【专题】5I：概率与统计．
【分析】（1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃
圾投放正确的概率；
（2）生活垃圾投放错误有 200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概
率；
（ 3 ） 计 算 方 差 可 得 =
，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000．
【解答】解：（1）由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400
吨，故厨余垃圾投放正确的概率为 ；
（2）由题意可知：生活垃圾投放错误有 200+60+20+20=300，故生活垃圾投放
错误的概率为 ；
（3）由题意可知：∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均数为200
∴ = ，
∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2，因此有当a=600，b=0，c=0时，
有s2=80000．
【点评】本题考查概率知识的运用，考查学生的阅读能力，属于中档题．
18．（13分）已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，
求a、b的值；
（2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣
1）上的最大值．
第16页 | 共22页【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值；
6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有
公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；
（2）根据a2=4b，构建函数 ，求导函数，利
用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间
（﹣∞，﹣1）上的最大值．
【解答】解：（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则 f'（x）=2ax，k =2a，g（x）
1
=x3+bx，则g′（x）=3x2+b，k =3+b，
2
由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得： ．
（2）由题设a2=4b，设
则 ，令h'（x）=0，解得： ， ；
∵a＞0，∴ ，
x （﹣∞，
﹣ ）
﹣ ）
h′（x） + ﹣ +
h（x） 极大值 极小值
∴原函数在（﹣∞，﹣ ）单调递增，在 单调递减，在 ）
上单调递增
①若 ，即0＜a≤2时，h（x）在（﹣∞，﹣1]递增，无最大值；
②若 ＜﹣ ，即2＜a＜6时，最大值为 ；
第17页 | 共22页③若﹣1≥﹣ 时，即a≥6时，最大值为h（﹣ ）=1．
综上所述：当 a （0，2]时，无最大值；当 a （2，+∞）时，最大值为
∈ ∈
．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性
与最值，解题的关键是正确求出导函数．
19．（14分）已知曲线C：（5﹣m）x2+（m﹣2）y2=8（m R）
（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；
∈
（2）设 m=4，曲线 c 与 y 轴的交点为 A，B（点 A 位于点 B 的上方），直线
y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N，直线y=1与直线BM交于点G．求证：
A，G，N三点共线．
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；K3：椭圆的标准方程；KH：直线与
圆锥曲线的综合．
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【专题】15：综合题；16：压轴题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）原曲线方程，化为标准方程，利用曲线C是焦点在x轴点上的椭
圆可得不等式组，即可求得m的取值范围；
（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32（2k2﹣
3），解得： ，设N（x ，kx +4），M（x ，kx +4），G（x ，1），
N N M M G
MB 方程为： ，则 ，从而可得 ，
=（x ，kx +2），欲证A，G，N三点共线，只需证 ， 共线，利用韦达
N N
定理，可以证明．
【解答】（1）解：原曲线方程可化简得：
第18页 | 共22页由题意，曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得： ，解得：
（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32
（2k2﹣3）＞0，解得：
由韦达定理得： ①， ，②
设N（x ，kx +4），M（x ，kx +4），G（x ，1），MB方程为： ，
N N M M G
则 ，
∴ ， =（x ，kx +2），
N N
欲证A，G，N三点共线，只需证 ， 共线
即 成立，化简得：（3k+k）x x =﹣6（x +x ）
M N M N
将①②代入可得等式成立，则A，G，N三点共线得证．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共
线，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解．
20．（13分）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的
绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成
的集合．对于 A S（m，n），记 r （A）为 A 的第ⅰ行各数之和
i
（1≤ⅰ≤m），C
j∈
（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K（A）为|r
1
（A）|，|R （A）|，…，|Rm（A）|，|C （A）|，|C （A）|，…，|Cn
2 1 2
（A）|中的最小值．
第19页 | 共22页（1）如表A，求K（A）的值；
1 1 ﹣0.8
0.1 ﹣0.3 ﹣1
（2）设数表A S（2，3）形如
1 ∈ 1 c
a b ﹣1
求K（A）的最大值；
（3）给定正整数t，对于所有的A S（2，2t+1），求K（A）的最大值．
∈
【考点】F4：进行简单的合情推理；F5：演绎推理．
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【专题】16：压轴题；23：新定义；5M：推理和证明．
【分析】（1）根据r（A），C（A），定义求出r （A），r （A），c （A），
i j 1 2 1
c （A），c （A），再根据K（A）为|r （A）|，|R （A）|，|R （A）|，|C
2 3 1 2 3 1
（A）|，|C （A）|，|C （A）|中的最小值，即可求出所求．
2 3
（2）先用反证法证明k（A）≤1，然后证明k（A）=1存在即可；
（3）首先构造满足 的A={a }（i=1，2，j=1，2，…，2t+1），然后
i，j
证明 是最大值即可．
【解答】解：（1）由题意可知 r （A）=1.2，r （A）=﹣1.2，c （A）=1.1，c
1 2 1 2
（A）=0.7，c （A）=﹣1.8
3
∴K（A）=0.7
（2）先用反证法证明k（A）≤1：
若k（A）＞1
则|c （A）|=|a+1|=a+1＞1，∴a＞0
1
同理可知b＞0，∴a+b＞0
由题目所有数和为0
即a+b+c=﹣1
∴c=﹣1﹣a﹣b＜﹣1
与题目条件矛盾
第20页 | 共22页∴k（A）≤1．
易知当a=b=0时，k（A）=1存在
∴k（A）的最大值为1
（3）k（A）的最大值为 ．
首先构造满足k（A）= 的A={a }（i=1，2，j=1，2，…，2t+1）：
i，j
a =a =…=a =1，
1，1 1，2 1，t
a =a =…=a =﹣ ，
1，t+1 1，t+2 1，2t+1
a =a =…=a = ，
2，1 2，2 2，t
a =a =…=a =﹣1．
2，t+1 2，t+2 2，2t+1
经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，
且|r （A）|=|r （A）|= ，
1 2
|c （A）|=|c （A）|=…=|c（A）|=1+ ，
1 2 t
|c （A）|=|c （A）|=…=|c （A）|=1+ ．
t+1 t+2 2t+1
下面证明 是最大值．若不然，则存在一个数表 A S（2，2t+1），使得 k
∈
（A）=x＞ ．
由k（A）的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于 x，而两个绝对值
不超过1的数的和，其绝对值不超过 2，故A的每一列两个数之和的绝对值
都在区间[x，2]中．由于x＞1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相
同，且绝对值均不小于x﹣1．
设 A 中有 g 列的列和为正，有 h 列的列和为负，由对称性不妨设 g＜h，则
g≤t，h≥t+1．另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为
负．
考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t+1个负
数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对
第21页 | 共22页值不小于x﹣1（即每个负数均不超过1﹣x）．因此|r （A）|=r （A）≤t•1+
1 1
（t+1）（1﹣x）=2t+1﹣（t+1）x=x+（2t+1﹣（t+2）x）＜x，
故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾．因此k（A）的最大值为 ．
【点评】本题主要考查了进行简单的演绎推理，以及新定义的理解和反证法的
应用，同时考查了分析问题的能力，属于难题．
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