文档内容
2017 年陕西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1
1．（3分）计算：（﹣ ）2﹣1=（ ）
2
5 1 3
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．0
4 4 4
2．（3分）如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的，则它的主
视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）若一个正比例函数的图象经过A（3，﹣6），B（m，﹣4）两点，
则m的值为（ ）
A．2 B．8 C．﹣2 D．﹣8
4．（3 分）如图，直线 a∥b，Rt△ABC 的直角顶点 B 落在直线 a 上，若
∠1=25°，则∠2的大小为（ ）
A．55° B．75° C．65° D．85°
x y
5．（3分）化简： ﹣ ，结果正确的是（ ）
x- y x+ y
x2+ y2
A．1 B．
x2- y2
第1页（共33页）x- y
C． D．x2+y2
x+ y
6．（3分）如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其
中点 A′与点 A 重合，点 C′落在边 AB 上，连接 B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，
AC=BC=3，则B′C的长为（ ）
A．3√3 B．6 C．3√2 D．√21
7．（3分）如图，已知直线l ：y=﹣2x+4与直线l ：y=kx+b（k≠0）在第一象限
1 2
交于点M．若直线l 与x轴的交点为A（﹣2，0），则k的取值范围是（ ）
2
A．﹣2＜k＜2 B．﹣2＜k＜0 C．0＜k＜4 D．0＜k＜2
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接
AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（ ）
3√10 3√10 √10 3√5
A． B． C． D．
2 5 5 5
9．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若
第2页（共33页）点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（ ）
5√3
A．5 B． C．5√2 D．5√3
2
10．（3分）已知抛物线y=x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对
称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（ ）
A．（1，﹣5） B．（3，﹣13） C．（2，﹣8） D．（4，﹣20）
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）在实数﹣5，﹣√3，0，π，√6中，最大的一个数是 ．
12．（3分）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
A．如图，在△ABC 中，BD 和 CE 是△ABC 的两条角平分线．若∠A=52°，则
∠1+∠2的度数为 ．
B.√317tan38°15′≈ ．（结果精确到0.01）
3m 2m-5
13．（3 分）已知 A，B 两点分别在反比例函数 y= （m≠0）和 y=
x x
5
（m≠ ）的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则m的值为 ．
2
14．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．
若AC=6，则四边形ABCD的面积为 ．
第3页（共33页）三、解答题（本大题共11小题，共78分）
1
15．（5分）计算：（﹣√2）×√6+|√3﹣2|﹣（ ）﹣1．
2
x+3 2
16．（5分）解方程： ﹣ =1．
x-3 x+3
17．（5分）如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D．请
用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．（保
留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）养成良好的早锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益，某中
学为了了解七年级学生的早锻炼情况，校政教处在七年级随机抽取了部分学生，
并对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间 x（分钟）进行了调查．现把调查
结果分成A、B、C、D四组，如下表所示，同时，将调查结果绘制成下面两幅
不完整的统计图．
第4页（共33页）请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图和扇形统计图；
（2）所抽取的七年级学生早锻炼时间的中位数落在 区间内；
（3）已知该校七年级共有1200名学生，请你估计这个年级学生中约有多少人
一天早锻炼的时间不少于 20分钟．（早锻炼：指学生在早晨 7：00～7：40之
间的锻炼）
19．（7 分）如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别为边 AD 和 CD 上的点，且
AE=CF，连接AF、CE交于点G．求证：AG=CG．
20．（7分）某市一湖的湖心岛有一颗百年古树，当地人称它为“乡思柳”，
不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小
军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩
带着侧倾器和皮尺来测量这个距离．测量方法如下：如图，首先，小军站在
“聚贤亭”的A处，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23°，此时测
得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米，然后，小军在A处蹲下，用侧倾器测
得“乡思柳”顶端M点的仰角为24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为
1米．请你利用以上测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离 AN
的长（结果精确到 1 米）．（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，
tan23°≈0.4245，sin24°≈0.4067，cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452．）
第5页（共33页）21．（7分）在精准扶贫中，某村的李师傅在县政府的扶持下，去年下半年，
他对家里的3个温室大棚进行修整改造，然后，1个大棚种植香瓜，另外2个大
棚种植甜瓜，今年上半年喜获丰收，现在他家的甜瓜和香瓜已全部售完，他高
兴地说：“我的日子终于好了”．
最近，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划在农业合作社承包5个大棚，以后
就用8个大棚继续种植香瓜和甜瓜，他根据种植经验及今年上半年的市场情况
打算下半年种植时，两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜，并预测明
年两种瓜的产量、销售价格及成本如下：
品种 产量（斤/每 销售价（元/每斤） 成本（元/每棚）
棚）
项目
香瓜 2000 12 8000
甜瓜 4500 3 5000
现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为 x个，明年上半年8个大棚中所
产的瓜全部售完后，获得的利润为y元．
根据以上提供的信息，请你解答下列问题：
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）求出李师傅种植的8个大棚中，香瓜至少种植几个大棚？才能使获得的利
润不低于10万元．
22．（7分）端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗．节日期间，
小邱家包了三种不同馅的粽子，分别是：红枣粽子（记为A），豆沙粽子（记
为B），肉粽子（记为C），这些粽子除了馅不同，其余均相同．粽子煮好后，
小邱的妈妈给一个白盘中放入了两个红枣粽子，一个豆沙粽子和一个肉粽子；
给一个花盘中放入了两个肉粽子，一个红枣粽子和一个豆沙粽子．
根据以上情况，请你回答下列问题：
（1）假设小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少？
（2）若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子
中随机取一个粽子，请用列表法或画树状图的方法，求小邱取到的两个粽子中
一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率．
23．（8分）如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连
接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连
第6页（共33页）接BC，当∠P=30°时，
（1）求弦AC的长；
（2）求证：BC∥PA．
24．（10 分）在同一直角坐标系中，抛物线 C ：y=ax2﹣2x﹣3 与抛物线 C ：
1 2
y=x2+mx+n关于y轴对称，C 与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．
2
（1）求抛物线C ，C 的函数表达式；
1 2
（2）求A、B两点的坐标；
（3）在抛物线C 上是否存在一点P，在抛物线C 上是否存在一点Q，使得以
1 2
AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出
P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）问题提出
（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的
长为 ；
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且
AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？
若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成
第7页（共33页）的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，
以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要
能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转
角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样
往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．
如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D
作DE⊥AB交^AB于点E，又测得DE=8m．
请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现
他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）
第8页（共33页）2017 年陕西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1
1．（3分）（2017•陕西）计算：（﹣ ）2﹣1=（ ）
2
5 1 3
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．0
4 4 4
【考点】1G：有理数的混合运算．
【专题】11 ：计算题；511：实数．
【分析】原式先计算乘方运算，再计算加减运算即可得到结果．
1 3
【解答】解：原式= ﹣1=﹣ ，
4 4
故选C
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（3分）（2017•陕西）如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组
成的，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看下边是一个较大的矩形，上便是一个角的矩形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
第9页（共33页）3．（3 分）（2017•陕西）若一个正比例函数的图象经过 A（3，﹣6），B
（m，﹣4）两点，则m的值为（ ）
A．2 B．8 C．﹣2 D．﹣8
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】运用待定系数法求得正比例函数解析式，把点 B的坐标代入所得的函
数解析式，即可求出m的值．
【解答】解：设正比例函数解析式为：y=kx，
将点A（3，﹣6）代入可得：3k=﹣6，
解得：k=﹣2，
∴函数解析式为：y=﹣2x，
将B（m，﹣4）代入可得：﹣2m=﹣4，
解得m=2，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．解题时需灵活运用待定系
数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
4．（3分）（2017•陕西）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点B落在直线a
上，若∠1=25°，则∠2的大小为（ ）
A．55° B．75° C．65° D．85°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】由余角的定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质求出∠2的度数，
即可得出结论．
【解答】解：∵∠1=25°，
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣25°=65°．
∵a∥b，
∴∠2=∠3=65°．
第10页（共33页）故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
x y
5．（3分）（2017•陕西）化简： ﹣ ，结果正确的是（ ）
x- y x+ y
x2+ y2
A．1 B．
x2- y2
x- y
C． D．x2+y2
x+ y
【考点】6B：分式的加减法．
【专题】11 ：计算题；513：分式．
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
x2+xy-xy+ y2 x2+ y2
【解答】解：原式= = ．
x2- y2 x2- y2
故选B
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（3 分）（2017•陕西）如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和
△A′B′C′拼在一起，其中点 A′与点 A 重合，点 C′落在边 AB 上，连接 B′C．若
∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（ ）
第11页（共33页）A．3√3 B．6 C．3√2 D．√21
【考点】KQ：勾股定理．
【分析】根据勾股定理求出AB，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB′=90°，
根据勾股定理计算．
【解答】解：∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，
∴AB=√AC2+BC2=3√2，∠CAB=45°，
∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，
∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=3√2，
∴∠CAB′=90°，
∴B′C=√C A2+B' A2=3√3，
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，在任何一个
直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
7．（3 分）（2017•陕西）如图，已知直线 l ：y=﹣2x+4 与直线 l ：y=kx+b
1 2
（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l 与x轴的交点为A（﹣2，0），则k的
2
取值范围是（ ）
第12页（共33页）A．﹣2＜k＜2 B．﹣2＜k＜0 C．0＜k＜4 D．0＜k＜2
【考点】FF：两条直线相交或平行问题；F8：一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】17 ：推理填空题．
【分析】首先根据直线l 与x轴的交点为A（﹣2，0），求出k、b的关系；然
2
后求出直线l 、直线l 的交点坐标，根据直线l 、直线l 的交点横坐标、纵坐标
1 2 1 2
都大于0，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵直线l 与x轴的交点为A（﹣2，0），
2
∴﹣2k+b=0，
{& y=-2x+4
∴
& y=kx+2k
4-2k
{&x=
k+2
解得
8k
& y=
k+2
∵直线l ：y=﹣2x+4与直线l ：y=kx+b（k≠0）的交点在第一象限，
1 2
4-2k
{&
＞0
k+2
∴
8k
& ＞0
k+2
解得0＜k＜2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了两条直线的相交问题，以及一次函数图象的点的特征，
要熟练掌握．
8．（3分）（2017•陕西）如图，在矩形 ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边
CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（ ）
第13页（共33页）3√10 3√10 √10 3√5
A． B． C． D．
2 5 5 5
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LB：矩形的性质．
1 1
【分析】根据S = S =3= •AE•BF，先求出AE，再求出BF即可．
△ABE
2
矩形ABCD
2
【解答】解：如图，连接BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°，
在Rt△ADE中，AE=√AD2+DE2=√32+12=√10，
1 1
∵S = S =3= •AE•BF，
△ABE
2
矩形ABCD
2
3√10
∴BF= ．
5
故选B．
【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用面积法解决有关线段问题，属于中
考常考题型．
9．（3分）（2017•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O
的半径为 5，若点 P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB=AB，则 PA 的长为
（ ）
第14页（共33页）5√3
A．5 B． C．5√2 D．5√3
2
【考点】MA：三角形的外接圆与外心；KH：等腰三角形的性质．
【分析】连接OA、OB、OP，根据圆周角定理求得∠APB=∠C=30°，进而求得
∠PAB=∠APB=30°，∠ABP=120°，根据垂径定理得到 OB⊥AP，AD=PD，
∠OBP=∠OBA=60°，即可求得△AOB是等边三角形，从而求得PB=OA=5，解直
角三角形求得PD，即可求得PA．
【解答】解：连接OA、OB、OP，
∵∠C=30°，
∴∠APB=∠C=30°，
∵PB=AB，
∴∠PAB=∠APB=30°
∴∠ABP=120°，
∵PB=AB，
∴OB⊥AP，AD=PD，
∴∠OBP=∠OBA=60°，
∵OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=5，
√3 5√3
则Rt△PBD中，PD=cos30°•PB= ×5= ，
2 2
∴AP=2PD=5√3，
故选D．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定和性质以及解
直角三角形等，作出辅助性构建等边三角形是解题的关键．
第15页（共33页）10．（3分）（2017•陕西）已知抛物线y=x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于
坐标原点 O 的对称点为 M′，若点 M′在这条抛物线上，则点 M 的坐标为
（ ）
A．（1，﹣5） B．（3，﹣13） C．（2，﹣8） D．（4，﹣20）
【考点】H3：二次函数的性质．
【分析】先利用配方法求得点M的坐标，然后利用关于原点对称点的特点得到
点M′的坐标，然后将点M′的坐标代入抛物线的解析式求解即可．
【解答】解：y=x2﹣2mx﹣4=x2﹣2mx+m2﹣m2﹣4=（x﹣m）2﹣m2﹣4．
∴点M（m，﹣m2﹣4）．
∴点M′（﹣m，m2+4）．
∴m2+2m2﹣4=m2+4．
解得m=±2．
∵m＞0，
∴m=2．
∴M（2，﹣8）．
故选C．
【点评】本题主要考查的是二次函数的性质、关于原点对称的点的坐标特点，
求得点M′的坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）（2017•陕西）在实数﹣5，﹣√3，0，π，√6中，最大的一个数是
π ．
【考点】2A：实数大小比较．
【分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，比较即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
π＞√6＞0＞-√3＞﹣5，
故实数﹣5，-√3，0，π，√6其中最大的数是π．
故答案为：π．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键
是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
第16页（共33页）12．（3分）（2017•陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按
第一题计分．
A．如图，在△ABC 中，BD 和 CE 是△ABC 的两条角平分线．若∠A=52°，则
∠1+∠2的度数为 64 ° ．
B.√317tan38°15′≈ 2.03 ．（结果精确到0.01）
【考点】T6：计算器—三角函数；25：计算器—数的开方；K7：三角形内角和
定理．
【分析】A：由三角形内角和得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=128°，根据角平分线
1 1 1
定义得∠1+∠2= ∠ABC+ ∠ACB= （∠ABC+∠ACB）；
2 2 2
B：利用科学计算器计算可得．
【解答】解：A、∵∠A=52°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=128°，
∵BD平分∠ABC、CE平分∠ACB，
1 1
∴∠1= ∠ABC、∠2= ∠ACB，
2 2
1 1 1
则∠1+∠2= ∠ABC+ ∠ACB= （∠ABC+∠ACB）=64°，
2 2 2
故答案为：64°；
B、√317tan38°15′≈2.5713×0.7883≈2.03，
故答案为：2.03．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义及科学计算器的运
用，熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义是解题的关键．
第17页（共33页）3m
13．（3分）（2017•陕西）已知A，B两点分别在反比例函数 y= （m≠0）
x
2m-5 5
和y= （m≠ ）的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则m的值为 1
x 2
．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；P5：关于x轴、y轴对称的点
的坐标．
【分析】设A（a，b），则B（a，﹣b），将它们的坐标分别代入各自所在的函
数解析式，通过方程来求m的值．
【解答】解：设A（a，b），则B（a，﹣b），
3m
{&b=
a
依题意得： ，
2m-5
&-b=
a
3m+2m-5
所以 =0，即5m﹣5=0，
a
解得m=1．
故答案是：1．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关于 x轴，y轴对称的点
3m+2m-5
的坐标．根据题意得 =0，即5m﹣5=0是解题的难点．
a
14 ． （ 3 分 ） （ 2017• 陕 西 ） 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， AB=AD ，
∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为 1 8 ．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
第18页（共33页）【分析】作辅助线；证明△ABM≌△ADN，得到AM=AN，△ABM与△ADN的面
积相等；求出正方形AMCN的面积即可解决问题．
【解答】解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；
∵∠BAD=∠BCD=90°
∴四边形AMCN为矩形，∠MAN=90°；
∵∠BAD=90°，
∴∠BAM=∠DAN；
在△ABM与△ADN中，
{
&∠BAM=∠DAN
&∠AMB=∠AND ，
&AB=AD
∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴AM=AN（设为λ）；△ABM与△ADN的面积相等；
∴四边形ABCD的面积=正方形AMCN的面积；
由勾股定理得：AC2=AM2+MC2，而AC=6；
∴2λ2=36，λ2=18，
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质、正方形的判定及其性质
等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和正方形．
三、解答题（本大题共11小题，共78分）
1
15．（5分）（2017•陕西）计算：（﹣√2）×√6+|√3﹣2|﹣（ ）﹣1．
2
【考点】79：二次根式的混合运算；6F：负整数指数幂．
【分析】根据二次根式的性质以及负整数指数幂的意义即可求出答案．
第19页（共33页）【解答】解：原式=﹣√12+2﹣√3﹣2
=﹣2√3﹣√3
=﹣3√3
【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属
于基础题型．
x+3 2
16．（5分）（2017•陕西）解方程： ﹣ =1．
x-3 x+3
【考点】B3：解分式方程．
【分析】利用解分式方程的步骤和完全平方公式，平方差公式即可得出结论．
【解答】解：去分母得，（x+3）2﹣2（x﹣3）=（x﹣3）（x+3），
去括号得，x2+6x+9﹣2x+6=x2﹣9，
移项，系数化为1，得x=﹣6，
经检验，x=﹣6是原方程的解．
【点评】此题是解分式方程，主要考查了解分式方程的方法和完全平方公式，
平方差公式，解本题的关键是将分式方程转化为整式方程．
17．（5分）（2017•陕西）如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点 B作BD⊥BC
交AC于点D．请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等
于BP的长．（保留作图痕迹，不写作法）
【考点】N2：作图—基本作图．
【分析】根据题意可知，作∠BDC的平分线交BC于点P即可．
【解答】解：如图，点P即为所求．
第20页（共33页）【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此
题的关键．
18．（5分）（2017•陕西）养成良好的早锻炼习惯，对学生的学习和生活都非
常有益，某中学为了了解七年级学生的早锻炼情况，校政教处在七年级随机抽
取了部分学生，并对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间 x（分钟）进行了
调查．现把调查结果分成 A、B、C、D四组，如下表所示，同时，将调查结果
绘制成下面两幅不完整的统计图．
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图和扇形统计图；
（2）所抽取的七年级学生早锻炼时间的中位数落在 C 区间内；
（3）已知该校七年级共有1200名学生，请你估计这个年级学生中约有多少人
一天早锻炼的时间不少于 20分钟．（早锻炼：指学生在早晨 7：00～7：40之
间的锻炼）
【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；
W4：中位数．
【分析】（1）先根据A区间人数及其百分比求得总人数，再根据各区间人数之
和等于总人数、百分比之和为1求得C区间人数及D区间百分比可得答案；
（2）根据中位数的定义求解可得；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为10÷5%=200，
则20～30分钟的人数为200×65%=130（人），
D项目的百分比为1﹣（5%+10%+65%）=20%，
第21页（共33页）补全图形如下：
（2）由于共有200个数据，其中位数是第100、101个数据的平均数，
则其中位数位于C区间内，
故答案为：C；
（3）1200×（65%+20%）=1020（人），
答：估计这个年级学生中约有1020人一天早锻炼的时间不少于20分钟．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从
不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示
出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．（7分）（2017•陕西）如图，在正方形 ABCD中，E、F分别为边AD和CD
上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G．求证：AG=CG．
【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】根据正方向的性质，可得∠ADF=CDE=90°，AD=CD，根据全等三角形的
判定与性质，可得答案．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
第22页（共33页）∴∠ADF=CDE=90°，AD=CD．
∵AE=CF，
∴DE=DF，
{
&AD=CD
在△ADF和△CDE中 &∠ADF=∠CDE，
&DF=DE
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠DAF=∠DCE，
{
&∠GAE=∠GCF
在△AGE和△CGF中， &∠AGE=∠CGF，
&AE=CF
∴△AGE≌△CGF（AAS），
∴AG=CG．
【点评】本题考查了正方形的性质，利用全等三角形的判定与性质是解题关键，
又利用了正方形的性质．
20．（7分）（2017•陕西）某市一湖的湖心岛有一颗百年古树，当地人称它为
“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏
柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有
一天，他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这个距离．测量方法如下：如图，首先，
小军站在“聚贤亭”的 A 处，用侧倾器测得“乡思柳”顶端 M 点的仰角为
23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米，然后，小军在A处蹲下，
用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24°，这时测得小军的眼睛距地面
的高度AC为1米．请你利用以上测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之
间的距离 AN 的长（结果精确到 1 米）．（参考数据：sin23°≈0.3907，
cos23°≈ 0.9205 ， tan23°≈ 0.4245 ， sin24°≈ 0.4067 ， cos24°≈ 0.9135 ，
tan24°≈0.4452．）
第23页（共33页）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E，设AN=x米，则BD=CE=x
米，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：如图，作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E，
设AN=x米，则BD=CE=x米，
在Rt△MBD中，MD=x•tan23°，
在Rt△MCE中，ME=x•tan24°，
∵ME﹣MD=DE=BC，
∴x•tan24°﹣x•tan23°=1.7﹣1，
0.7
∴x= ，解得x≈34（米）．
tan24°-tan23°
答：“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长约为34米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函
数的定义是解答此题的关键．
21．（7分）（2017•陕西）在精准扶贫中，某村的李师傅在县政府的扶持下，
去年下半年，他对家里的3个温室大棚进行修整改造，然后，1个大棚种植香瓜，
另外2个大棚种植甜瓜，今年上半年喜获丰收，现在他家的甜瓜和香瓜已全部
第24页（共33页）售完，他高兴地说：“我的日子终于好了”．
最近，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划在农业合作社承包5个大棚，以后
就用8个大棚继续种植香瓜和甜瓜，他根据种植经验及今年上半年的市场情况
打算下半年种植时，两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜，并预测明
年两种瓜的产量、销售价格及成本如下：
品种 产量（斤/每 销售价（元/每斤） 成本（元/每棚）
棚）
项目
香瓜 2000 12 8000
甜瓜 4500 3 5000
现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为 x个，明年上半年8个大棚中所
产的瓜全部售完后，获得的利润为y元．
根据以上提供的信息，请你解答下列问题：
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）求出李师傅种植的8个大棚中，香瓜至少种植几个大棚？才能使获得的利
润不低于10万元．
【考点】FH：一次函数的应用．
【分析】（1）利用总利润=种植香瓜的利润+种植甜瓜的利润即可得出结论；
（2）利用（1）得出的结论大于等于100000建立不等式，即可确定出结论．
【解答】解：（1）由题意得，
y=（2000×12﹣8000）x+（4500×3﹣5000）（8﹣x）
=7500x+68000，
（2）由题意得，7500x+6800≥100000，
4
∴x≥4 ，
15
∵x为整数，
∴李师傅种植的8个大棚中，香瓜至少种植5个大棚．
【点评】此题是一次函数的应用，主要考查了一次函数的应用以及解一元一次
不等式，解题的关键是：（1）根据数量关系，列出函数关系式；（2）根据题
意建立不等式，是一道基础题目．
22．（7分）（2017•陕西）端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗．
第25页（共33页）节日期间，小邱家包了三种不同馅的粽子，分别是：红枣粽子（记为A），豆
沙粽子（记为B），肉粽子（记为C），这些粽子除了馅不同，其余均相同．粽
子煮好后，小邱的妈妈给一个白盘中放入了两个红枣粽子，一个豆沙粽子和一
个肉粽子；给一个花盘中放入了两个肉粽子，一个红枣粽子和一个豆沙粽子．
根据以上情况，请你回答下列问题：
（1）假设小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少？
（2）若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子
中随机取一个粽子，请用列表法或画树状图的方法，求小邱取到的两个粽子中
一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．
【分析】（1）根据题意可以得到小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣
粽子的概率；
（2）根据题意可以写出所有的可能性，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
2 1
小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是： = ，
4 2
1
即小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是 ；
2
（2）由题意可得，出现的所有可能性是：
（A，A）、（A，B）、（A，C）、（A，C）、
（A，A）、（A，B）、（A，C）、（A，C）、
（B，A）、（B，B）、（B，C）、（B，C）、
（C，A）、（C，B）、（C，C）、（C，C），
3
∴小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率是： ．
16
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，
写出所有的可能性，利用概率的知识解答．
23．（8分）（2017•陕西）如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，
切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交
PB于点D，连接BC，当∠P=30°时，
第26页（共33页）（1）求弦AC的长；
（2）求证：BC∥PA．
【考点】MC：切线的性质．
【分析】（1）连接OA，由于PA是⊙O的切线，从而可求出∠AOD=60°，由垂
径定理可知：AD=DC，由锐角三角函数即可求出AC的长度．
（2）由于∠AOP=60°，所以∠BOA=120°，从而由圆周角定理即可求出
∠BCA=60°，从而可证明BC∥PA
【解答】解：（1）连接OA，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°
∵∠P=30°，
∴∠AOD=60°，
∵AC⊥PB，PB过圆心O，
∴AD=DC
5√3
在Rt△ODA中，AD=OA•sin60°=
2
∴AC=2AD=5√3
（2）∵AC⊥PB，∠P=30°，
∴∠PAC=60°，
∵∠AOP=60°
∴∠BOA=120°，
∴∠BCA=60°，
∴∠PAC=∠BCA
∴BC∥PA
第27页（共33页）【点评】本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，解直角三角形，平行线的
判定等知识，综合程度较高，属于中等题型．
24．（10分）（2017•陕西）在同一直角坐标系中，抛物线C ：y=ax2﹣2x﹣3与
1
抛物线C ：y=x2+mx+n关于y轴对称，C 与x轴交于A、B两点，其中点A在点B
2 2
的左侧．
（1）求抛物线C ，C 的函数表达式；
1 2
（2）求A、B两点的坐标；
（3）在抛物线C 上是否存在一点P，在抛物线C 上是否存在一点Q，使得以
1 2
AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出
P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由对称可求得a、n的值，则可求得两函数的对称轴，可求得m
的值，则可求得两抛物线的函数表达式；
（2）由C 的函数表达式可求得A、B的坐标；
2
（3）由题意可知AB只能为平行四边形的边，利用平行四边形的性质，可设出
P点坐标，表示出Q点坐标，代入C 的函数表达式可求得P、Q的坐标．
2
【解答】解：
第28页（共33页）（1）∵C 、C 关于y轴对称，
1 2
∴C 与C 的交点一定在y轴上，且C 与C 的形状、大小均相同，
1 2 1 2
∴a=1，n=﹣3，
∴C 的对称轴为x=1，
1
∴C 的对称轴为x=﹣1，
2
∴m=2，
∴C 的函数表示式为y=x2﹣2x﹣3，C 的函数表达式为y=x2+2x﹣3；
1 2
（2）在C 的函数表达式为y=x2+2x﹣3中，令y=0可得x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3
2
或x=1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）；
（3）存在．
∵AB的中点为（﹣1，0），且点P在抛物线C 上，点Q在抛物线C 上，
1 2
∴AB只能为平行四边形的一边，
∴PQ∥AB且PQ=AB，
由（2）可知AB=1﹣（﹣3）=4，
∴PQ=4，
设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t+4，t2﹣2t﹣3）或（t﹣4，t2﹣2t﹣3），
①当Q（t+4，t2﹣2t﹣3）时，则 t2﹣2t﹣3=（t+4）2+2（t+4）﹣3，解得 t=﹣
2，
∴t2﹣2t﹣3=4+4﹣3=5，
∴P（﹣2，5），Q（2，5）；
②当 Q（t﹣4，t2﹣2t﹣3）时，则 t2﹣2t﹣3=（t﹣4）2+2（t﹣4）﹣3，解得
t=2，
∴t2﹣2t﹣3=4﹣4﹣3=﹣3，
∴P（﹣2，﹣3），Q（2，﹣3），
综上可知存在满足条件的点P、Q，其坐标为P（﹣2，5），Q（2，5）或P（﹣
2，﹣3），Q（2，﹣3）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、对称的性质、函数图
象与坐标轴的交点、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在
（1）中由对称性质求得a、n的值是解题的关键，在（2）中注意函数图象与坐
第29页（共33页）标轴的交点的求法即可，在（3）中确定出PQ的长度，设P点坐标表示出Q点
的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
25．（12分）（2017•陕西）问题提出
（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的
长为 4√3 ；
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且
AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？
若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成
的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，
以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要
能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转
角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样
往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．
如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D
作DE⊥AB交^AB于点E，又测得DE=8m．
请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现
他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）
【考点】MR：圆的综合题．
AD
【分析】（1）构建Rt△AOD中，利用cos∠OAD=cos30°= ，可得OA的长；
OA
第30页（共33页）（2）经过矩形对角线交点的直线将矩形面积平分，根据此结论作出PQ，利用
勾股定理进行计算即可；
（3）如图3，作辅助线，先确定圆心和半径，根据勾股定理计算半径：
在Rt△AOD中，r2=122+（r﹣8）2，解得：r=13根据三角形面积计算高MN的长，
证明△ADC∽△ANM，列比例式求DC的长，确定点O在△AMB内部，利用勾股
定理计算OM，则最大距离FM的长可利用相加得出结论．
1 1
【解答】解：（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，则AD= AC= ×12=6，
2 2
∵O是内心，△ABC是等边三角形，
1 1
∴∠OAD= ∠BAC= ×60°=30°，
2 2
AD
在Rt△AOD中，cos∠OAD=cos30°= ，
OA
√3
∴OA=6÷ =4√3，
2
故答案为：4√3；
（2）存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线
段PQ将矩形ABCD的面积平分，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴CQ=AP=3，
过P作PM⊥BC于点，则PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12，
由勾股定理得：PQ=√PM2+MQ2=√122+122=12√2；
（3）如图3，作射线ED交AM于点C
∵AD=DB，ED⊥AB，^AB是劣弧，
∴^AB所在圆的圆心在射线DC上，
1
假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA=r，OD=r﹣8，AD= AB=12，
2
在Rt△AOD中，r2=122+（r﹣8）2，
解得：r=13，
∴OD=5，
过点M作MN⊥AB，垂足为N，
第31页（共33页）∵S =96，AB=24，
△ABM
1
∴ AB•MN=96，
2
1
×24×MN=96，
2
∴MN=8，NB=6，AN=18，
∵CD∥MN，
∴△ADC∽△ANM，
DC AD
∴ = ，
MN AN
DC 12
∴ = ，
8 18
16
∴DC= ，
3
∴OD＜CD，
∴点O在△AMB内部，
∴连接MO并延长交^AB于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离，
∵在^AB上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM，
∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，
即MF＞MG，
过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3，
∴OM=√M H2+OH2=√32+62=3√5，
∴MF=OM+r=3√5+13≈19.71（米），
答：喷灌龙头的射程至少为19.71米．
第32页（共33页）【点评】本题是圆的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、勾股定理、等
边三角形的性质及内心的定义、特殊的三角函数值、矩形的性质等知识，明确
在特殊的四边形中将面积平分的直线一定过对角线的交点，本题的第三问比较
复杂，辅助线的作出是关键，根据三角形的三角关系确定其最大射程为MF．
第33页（共33页）
