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2018 年辽宁省盘锦市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号涂在答题卡
上．每小题3分，共30分）
1. ﹣2的绝对值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，
所以﹣2的绝对值是2，故选A．
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中
心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的定义．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. 3x+4y=7xy B. （﹣a）3•a2=a5 C. （x3y）5=x8y5 D. m10÷m7=m3
【答案】D
【解析】
分析：根据同类项的定义、幂的运算法则逐一计算即可判断．详解：A、3x、4y不是同类项，不能合并，此选项错误；
B、（-a）3•a2=-a5，此选项错误；
C、（x3y）5=x15y5，此选项错误；
D、m10÷m7=m3，此选项正确；
故选D．
点睛：本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同类项的定义、幂的运算法则．
4. 某微生物的直径为0.000 005 035m，用科学记数法表示该数为（ ）
A. 5.035×10﹣6 B. 50.35×10﹣5 C. 5.035×106 D. 5.035×10﹣5
【答案】A
【解析】
试题分析：0.000 005 035m，用科学记数法表示该数为5.035×10﹣6，故选A．
考点：科学记数法—表示较小的数．
5. 要从甲、乙、丙三名学生中选出一名学生参加数学竞赛，对这三名学生进行了10次数学测试，经过数据
分析，3人的平均成绩均为92分，甲的方差为0.024、乙的方差为0.08、丙的方差为0.015，则这10次测试
成绩比较稳定的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定
【答案】C
【解析】
分析：根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越
大，数据越不稳定解答即可．
详解：因为3人的平均成绩均为92分，甲的方差为0.024、乙的方差为0.08、丙的方差为0.015，
所以这10次测试成绩比较稳定的是丙，
故选C．
点睛：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均
数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数
越小，即波动越小，数据越稳定．
6. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（ ）A. 1.70，1.75 B. 1.70，1.70 C. 1.65，1.75 D. 1.65，1.70
【答案】A
【解析】
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数
是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
详解：共15名学生，中位数落在第8名学生处，第8名学生的跳高成绩为1.70m，故中位数为1.70；
跳高成绩为1.75m的人数最多，故跳高成绩的众数为1.75；
故选A．
点睛：本题为统计题，考查众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数．中位数是将一组
数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的
中位数．
7. 如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（ ）
A. 15° B. 25° C. 30° D. 50°
【答案】B
【解析】
分析：连接OB，由垂径定理及圆心角定理可得∠AOB=∠AOC=50°，再利用圆周角定理即可得出答案．
详解：如图连接OB，
∵OA⊥BC，∠AOC=50°，
∴∠AOB=∠AOC=50°，
则∠ADB= ∠AOB=25°，
故选B．点睛：本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握垂径定理与圆周角定理．
8. 如图，一段公路的转弯处是一段圆弧 ，则 的展直长度为（ ）
A. 3π B. 6π C. 9π D. 12π
【答案】B
【解析】
分析：直接利用弧长公式计算得出答案．
详解： 的展直长度为： =6π（m）．
故选B．
点睛：此题主要考查了弧长计算，正确掌握弧长公式是解题关键．
9. 如图，已知在▱ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F，则下列选项中的结论错
误的是（ ）
A. FA：FB=1：2 B. AE：BC=1：2
C. BE：CF=1：2 D. S ：S =1：4
ABE FBC
△ △
【答案】C
【解析】
分析：根据平行四边形的性质得到CD∥AB，CD=AB，根据相似三角形的判定定理和性质定理计算，判断
即可．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB，
∴△DEC∽△AEF，
∴ ，∵E为AD的中点，
∴CD=AF，FE=EC，
∴FA：FB=1：2，A说法正确，不符合题意；
∵FE=EC，FA=AB，
∴AE：BC=1：2，B说法正确，不符合题意；
∵∠FBC不一定是直角，
∴BE：CF不一定等于1：2，C说法错误，符合题意；
∵AE∥BC，AE= BC，
∴S ：S =1：4，D说法正确，不符合题意；
ABE FBC
△ △
故选C．
点睛：本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，
反比例函数y= （k≠0，x＞0）的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂
足为D，连接OM、ON、MN，则下列选项中的结论错误的是（ ）
A. ONC≌△OAM
B. △四边形DAMN与 OMN面积相等
C. ON=MN △
D. 若∠MON=45°，MN=2，则点C的坐标为（0， +1）
【答案】C
【解析】
分析：根据反比例函数的比例系数的几何意义得到 S =S = k，即 OC•NC= OA•AM，而
ONC OAM
△ △OC=OA，则 NC=AM，再根据“SAS”可判断△OCN≌△OAM；根据 S =S = k 和 S +S
OND OAM OND 四边形
△ △ △
=S +S ，即可得到S =S ；
DAMN OAM OMN 四边形DAMN OMN
△ △ △
根据全等的性质得到ON=OM，由于k的值不能确定，则∠MON的值不能确定，无法确定△ONM为等边
三角形，则ON≠MN；作NE⊥OM于E点，则△ONE为等腰直角三角形，设NE=x，则OM=ON=x，EM=
x-x=（ -1）x，在Rt△NEM中，利用勾股定理可求出x2=2+ ，所以ON2=（ x）2=4+2 ，
易得△BMN为等腰直角三角形，得到BN= MN= ，设正方形ABCO的边长为a，在Rt△OCN中，
利用勾股定理可求出a的值为 +1，从而得到C点坐标为（0， +1）．
详解：∵点M、N都在y= 的图象上，
∴S =S = k，即 OC•NC= OA•AM，
ONC OAM
△ △
∵四边形ABCO为正方形，
∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，
∴NC=AM，
∴△OCN≌△OAM，
∴A正确；
∵S =S = k，
OND OAM
△ △
而S +S =S +S ，
OND 四边形DAMN OAM OMN
△ △ △
∴四边形DAMN与△MON面积相等，
∴B正确；
∵△OCN≌△OAM，
∴ON=OM，
∵k的值不能确定，
∴∠MON的值不能确定，
∴△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，
∴ON≠MN，
∴C错误；作NE⊥OM于E点，如图所示：
∵∠MON=45°，∴△ONE为等腰直角三角形，
∴NE=OE，
设NE=x，则ON= x，
∴OM= x，
∴EM= x-x=（ -1）x，
在Rt△NEM中，MN=2，
∵MN2=NE2+EM2，即22=x2+[（ -1）x]2，
∴x2=2+ ，
∴ON2=（ x）2=4+2 ，
∵CN=AM，CB=AB，
∴BN=BM，
∴△BMN为等腰直角三角形，
∴BN= MN= ，
设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a- ，
在Rt△OCN中，∵OC2+CN2=ON2，
∴a2+（a- ）2=4+2 ，解得a= +1，a=-1（舍去），
1 2
∴OC= +1，∴C点坐标为（0， +1），
∴D正确．
故选C．
点睛：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正
方形的性质；本题难度较大，综合性强；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行推理计算．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 因式分解：x3-x=______________.
【答案】
【解析】
x3-x=x(x2-1)=
12. 计算： ﹣ =__．
【答案】
【解析】
分析：先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
详解：原式=3 -2
= ．
故答案为 ．
点睛：本题考查了二次根式的加减运算，解答本题得关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
13. 如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是__．
【答案】
【解析】
【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，而扇形面积是圆面积的 ，可得结论．
【详解】如图所示：连接OA，
∵正六边形内接于⊙O，
∴△OAB， OBC都是等边三角形，
∴∠AOB=∠△OBC=60°，
∴OC∥AB，
∴S =S ，
ABC OBC
△ △
∴S =S ，
阴 扇形OBC
则飞镖落在阴影部分的概率是 ；
故答案为 ．
【点睛】此题主要考查了正多边形和圆、几何概率以及扇形面积求法，得出阴影部分面积=S 是解题
扇形OBC
关键．
14. 若式子 有意义，则x的取值范围是__．
【答案】1≤x≤2
【解析】
分析：直接根据二次根式的意义建立不等式组即可得出结论．
详解：根据二次根式的意义，得
，
∴1≤x≤2，
故答案为1≤x≤2．
点睛：此题主要考查了二次根式的意义，解不等式组，建立不等式组是解本题的关键．15. 不等式组 的解集是__．
【答案】0＜x≤8
【解析】
分析：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
详解： ，
∵解不等式①得：x≤8，
解不等式②得：x＞0，
∴不等式组的解集为0＜x≤8，
故答案为0＜x≤8．
点睛：本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
16. 如图①，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处
停止．设点P运动的路程为x， PAB面积为y，如果y与x的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的面积
为__． △
【答案】24
【解析】
【分析】
根据图象②得出AB、BC的长度，再求出面积即可．
【详解】解：从图象②和已知可知：AB=4，BC=10-4=6，
所以矩形ABCD的面积是4×6=24，
故答案为24．
【点睛】本题考查了矩形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．
17. 如图，是某立体图形的三视图，则这个立体图形的侧面展开图的面积是__．（结果保留π）【答案】65π
【解析】
分析：从主视图以及左视图都为一个三角形，俯视图为一个圆形看，可以确定这个几何体为一个圆锥，由
三视图可知圆锥的底面半径为5，高为12，故母线长为13，据此可以求得其侧面积．
详解：由三视图可知圆锥的底面半径为5，高为12，所以母线长为13，
所以侧面积为πrl=π×5×13=65π，
故答案为65π．
点睛：本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆锥的侧面积．牢记公式是解题的关键，难度不大．
18. 如图，已知Rt ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2 +4，点M、N分别在线段AC、AB上，将
△
ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当 DCM为直角三角形时，折痕MN
△的长为__． △
【答案】 或
【解析】
分析：依据 DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当∠CDM=90°时， CDM是直角三角形；
当∠CMD=9△0°时， CDM是直角三角形，分别依据含30°角的直角三角形的性质以△及等腰直角三角形的性
质，即可得到折痕M△N的长．
详解：分两种情况：
①如图，当∠CDM=90°时， CDM是直角三角形，
△∵在Rt ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2 +4，
△
∴∠C=30°，AB= AC= +2，
由折叠可得，∠MDN=∠A=60°，
∴∠BDN=30°，
∴BN= DN= AN，
∴BN= AB= ，
∴AN=2BN= ，
∵∠DNB=60°，
∴∠ANM=∠DNM=60°，
∴∠AMN=60°，
∴AN=MN= ；
②如图，当∠CMD=90°时， CDM是直角三角形，
△由题可得，∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，
∴∠BDN=60°，∠BND=30°，
∴BD= DN= AN，BN= BD，
又∵AB= +2，
∴AN=2，BN= ，
过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，
∴AH= AN=1，HN= ，
由折叠可得，∠AMN=∠DMN=45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴HM=HN= ，
∴MN= ，
故答案为 或 ．
点睛：本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一
种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、解答题
19. 先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中a=2+ ．【答案】原式= = +1．
【解析】
分析：先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
详解：原式=
=
=
当a=2+
原式= ．
点睛：本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．
20. 某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四
类节目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整
统计图．
请你根据图中信息，回答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生．
（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角等于 度．
（3）补全条形统计图（标注频数）．
（4）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为 人．（5）九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节
目的编排，那么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？
【答案】（1）50；（2）72°；（3）补全条形统计图见解析；（4）640；（5）抽取的2名学生恰好来自同
一个班级的概率为 ．
【解析】
【分析】
（1）用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）用360°乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；
（3）先计算出最喜欢舞蹈类的人数，然后补全条形统计图；
（4）用2000乘以样本中最喜爱小品类的人数所占的百分比即可；
（5）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数，然
后根据概率公式求解．
【详解】（1）14÷28%=50，
所以本次共调查了50名学生；
（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数=360°× =72°；
（3）最喜欢舞蹈类的人数为50-10-14-16=10（人），
补全条形统计图为：
（4）2000× =640，
估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为640人；
故答案为50；72；640；为
（5）画树状图 ：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数为4，
所以抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率= ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
21. 两栋居民楼之间的距离CD=30米，楼AC和BD均为10层，每层楼高3米．
（1）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻B楼的影子落在A楼的第几层？
（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．
【答案】（1）此刻B楼的影子落在A楼的第5层；（2）当太阳光线与水平面的夹角为45度时，B楼的影
子刚好落在A楼的底部．
【解析】
分析：（1）延长BG，交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可；
（2）连接BC，利用利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．
详解：（1）延长BG，交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，
由图可知，FH=CD=30m，
∵∠BFH=∠α=30°，
在Rt△BFH中，BH= FH＝10 ≈17.32，≈5.8，
答：此刻B楼的影子落在A楼的第5层；
（2）连接BC，∵BD=3×10=30=CD，
∴∠BCD=45°，
答：当太阳光线与水平面的夹角为45度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用，难度一般，解答本题的关键是利用利用直角三角形的性质和三角
函数解答．
22. 东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第
二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．
（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；
（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是
多少元？
【答案】（1）第一批悠悠球每套的进价是25元；（2）每套悠悠球的售价至少是35元．
【解析】
分析：（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，根据数量=总
价÷单价结合第二批购进数量是第一批数量的1.5倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出
结论；
（2）设每套悠悠球的售价为y元，根据销售收入-成本=利润结合全部售完后总利润不低于25%，即可得出
关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
的
详解：（1）设第一批悠悠球每套 进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，
根据题意得：
，
解得：x=25，
经检验，x=25是原分式方程的解．
答：第一批悠悠球每套的进价是25元．
（2）设每套悠悠球的售价为y元，
根据题意得：500÷25×（1+1.5）y-500-900≥（500+900）×25%，
解得：y≥35．
答：每套悠悠球的售价至少是35元．的
点睛：本题考查了分式方程 应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正
确列出分式方程是解题的关键；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23. 如图，在Rt ABC中，∠C=90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相
交于点F，∠B=△∠BAE=30°．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC=3，求⊙O的半径r；
（3）在（1）的条件下，判断以A、O、E、F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为2；（3）四边形OAFE是菱形，理由见解析.
【解析】
分析：（1）利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质得出∠AOE=60°，进而得出∠BEO=90°，即可得
出结论；
（2）先求出∠AEC=60°，利用锐角三角函数求出AE，最后用三角函数即可得出结论；
（3）先判断出△AOF是等边三角形，得出OA=AF，∠AOF=60°，进而判断出△OEF是等边三角形，即可判
断出四边相等，即可得出结论．
详解：（1）如图1，
连接OE，∴OA=OE，
∴∠BAE=∠OEA，
∵∠BAE=30°，
∴∠OEA=30°，
∴∠AOE=∠BAE+∠OEA=60°，
在△BOE中，∠B=30°，∴∠OEB=180°-∠B-∠BOE=90°，
∴OE⊥BC，
∵点E在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）如图2，
∵∠B=∠BAE=30°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°，
在Rt△ACE中，AC=3，sin∠AEC= ，
∴AE= ，
连接DE，∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED=90°，
在Rt△ADE中，∠BAE=30°，cos∠DAE= ，
∴AD= ，
∴⊙O的半径r= AD=2；
（3）以A、O、E、F为顶点的四边形是菱形，理由：如图3，在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
连接OF，∴OA=OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴OA=AF，∠AOF=60°，
连接EF，OE，
∴OE=OF，
∵∠OEB=90°，∠B=30°，
∴∠AOE=90°+30°=120°，
∴∠EOF=∠AOE-∠AOF=60°，
∵OE=OF，
∴△OEF是等边三角形，
∴OE=EF，
∵OA=OE，
∴OA=AF=EF=OE，
∴四边形OAFE是菱形．
点睛：此题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的性质，三角形的外角的性质，锐角三角函数，等边三角
形的判定和性质，菱形的判定，求出∠AEC=60°是解本题的关键．
24. 鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经
市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x
元，每星期的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）①当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得3910元的利润？
②若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？
【答案】（1）y=100+10（60﹣x）=﹣10x+700；（2）每件售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最
大利润4000元；（3）①当每件童装售价定为53元或47元时，该店一星期可获得3910元的利润；②每星
期至少要销售该款童装170件．
【解析】
【分析】
（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论．
（2））设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．
（3）①根据方程即可解决问题；②列出不等式先求出售价的范围，即可解决问题．【详解】（1）y=100+10（60-x）=-10x+700．
（2）设每星期利润为W元，
W=（x-30）（-10x+700）=-10（x-50）2+4000．
∴x=50时，W最大值=4000．
∴每件售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润4000元．
（3）①由题意：-10（x-50）2+4000=3910
解得：x=53或47，
∴当每件童装售价定为53元或47元时，该店一星期可获得3910元的利润．
②由题意：：-10（x-50）2+4000≥3910，
解得：47≤x≤53，
∵y=100+10（60-x）=-10x+700．
170≤y≤230，
∴每星期至少要销售该款童装170件．
【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，学会利
用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．
25. 如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段
BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．
（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；
（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件
不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；
（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图
3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
【答案】（1）CM=EM，CM⊥EM；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）延长EM交AD于H，证明△FME≌△AMH，得到HM=EM，根据等腰直角三角形的性质可得结论；
（2）根据正方形的性质得到点A、E、C在同一条直线上，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证明即可；
（3）根据题意画出完整的图形，根据平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质证明即可．
【详解】解：（1）如图1，结论：CM=EM，CM⊥EM．
理由：∵AD∥EF，AD∥BC，
∴BC∥EF，
∴∠EFM=∠HBM，
在△FME和△BMH中，
，
∴△FME≌△BMH，
∴HM=EM，EF=BH，
∵CD=BC，
∴CE=CH，∵∠HCE=90°，HM=EM，
∴CM=ME，CM⊥EM．
（2）如图2，连接AE，
∵四边形ABCD和四边形EDGF是正方形，
∴∠FDE=45°，∠CBD=45°，
∴点B、E、D在同一条直线上，
∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M为AF的中点，
∴CM= AF，EM= AF，∴CM=ME，
∵∠EFD=45°，
∴∠EFC=135°，
∵CM=FM=ME，
∴∠MCF=∠MFC，∠MFE=∠MEF，
∴∠MCF+∠MEF=135°，
∴∠CME=360°-135°-135°=90°，
∴CM⊥ME．
（3）如图3，连接CF，MG，作MN⊥CD于N，
在△EDM和△GDM中，
，
∴△EDM≌△GDM，
∴ME=MG，∠MED=∠MGD，
∵M为BF的中点，FG∥MN∥BC，
∴GN=NC，又MN⊥CD，
∴MC=MG，
∴MD=ME，∠MCG=∠MGC，
∵∠MGC+∠MGD=180°，
∴∠MCG+∠MED=180°，
∴∠CME+∠CDE=180°，
∵∠CDE=90°，
∴∠CME=90°，
∴（1）中的结论成立．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．26. 如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣
x﹣1交于点C．
（1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不
存在，请说明理由；
（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，
使以点M、N、C为顶点的三角形与 AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
△
【答案】（1）抛物线解析式为：y= ，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P点坐标为（1，
﹣ ）；（3）N点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1）
【解析】
分析：（1）由待定系数法求解即可；
（2）将四边形周长最小转化为PC+PO最小即可；
（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N坐标，表示点M坐标代入抛物线解析式即
可．
详解：（1）把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得
解得∴抛物线解析式为：y= x2− x−1
∴抛物线对称轴为直线x=- ＝1
（2）存在
使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小
∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P点．
设过点C′、O直线解析式为：y=kx
∴k=-
∴y=- x
则P点坐标为（1，- ）
（3）当△AOC∽△MNC时，
如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E
∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°
∴∠CDN=∠CAO
由相似，∠CAO=∠CMN
∴∠CDN=∠CMN
∵MN⊥AC
∴M、D关于AN对称，则N为DM中点
设点N坐标 （a，- a-1）
为
由△EDN∽△OAC∴ED=2a
∴点D坐标为（0，- a−1）
∵N为DM中点
∴点M坐标为（2a， a−1）
把M代入y= x2− x−1，解得
a=4
则N点坐标为（4，-3）
当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM
∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N
由（2）N（2，-1）
∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）
点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答
时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．
