文档内容
2008年普通高等学校招生全国统一考试
（广东卷）
数学(理科)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知0-3 B．a<-3 C．a>- D．a<-
3 3
【解析】 f '(x)3aeax，若函数在xÎR上有大于零的极值点，即 f '(x)3aeax 0
1 3
有正根。当有 f '(x)3aeax 0成立时,显然有a<0,此时x ln(- )，由x>0我
a a
们马上就能得到参数a的范围为a < -3
.
8．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线
uuur uuur uuur
与CD交于点F ．若AC a，BDb，则AF （ B ）
1 1 2 1 1 1 1 2
A． a b B． a b C． a b D． a b
4 2 3 3 2 4 3 3
【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出DF:FC 1:2,然后利用向量
的加减法则易得答案B.
开始
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9~12题）
9．阅读图3的程序框图，若输入m4，n6，则输出a ，i 输入m，n
（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“¬”或“:”） i 1
【解析】要结束程序的运算，就必须通过n整除a的条件运算，
而同时m也整除a，那么a的最小值应为m和n的最小公倍
ami
数12，即此时有i 3。
i i1
10．已知(1kx2)6（k是正整数）的展开式中，x8的系数小于120，
n整除a?
否
则k ．
是
【解析】(1kx2)6按二项式定理展开的通项为T Cr(kx2)r Crkrx2r，
输出a，i
r1 6 6
我们知道x8的系数为C4k4 15k4，即15k4 <120，也即k4 <8，
6 结束
而k是正整数，故k只能取1。
图3
11．经过圆x2 2x y2 0的圆心C，且与直线x y 0垂直的直线
第2页 | 共9页方程是 ．
【解析】易知点C为(-1,0)，而直线与x y 0垂直，我们设待求的
直线的方程为y xb，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的
值为b1，故待求的直线的方程为x- y10。
12．已知函数 f(x)(sinx-cosx)sinx，xÎR，则 f(x)的最小正周期是 ．
1-cos2x 1
【解析】 f(x)sin2 x-sinxcosx - sin2x,此时可得函数的最小正周期
2 2
2p
T p。
2
二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）
13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C，C 的极坐标方程分别为rcosq3，
1 2
æ πö
r4cosq ç r≥0，0≤q< ÷，则曲线C 与C 交点的极坐标为 ．
è 2ø 1 2
ìr2 3
ìrcosq3 p ï
【解析】我们通过联立解方程组í (r³0,0£q< )解得í
p
,即两曲线的交
îr4cosq 2 ïq
î 6
p
点为(2 3, )。
6
1
14．（不等式选讲选做题）已知aÎR，若关于x的方程x2 x a- a 0有实根，
4
则a的取值范围是 ．
1 1
【解析】方程即 a- a -x2 -xÎ[0, ],利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行
4 4
é 1ù
求解)可得实数a的取值范围为 0,
ê ú
ë 4û
15．（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA2．AC是圆O
的直径，PC与圆O交于点B，PB1，则圆O的半径R ．
【解析】依题意，我们知道DPBA DPAC,
:
PA PB
由相似三角形的性质我们有 ,
2R AB
PA AB 2 22 -12
即R · 3。
2PB 21
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
第3页 | 共9页16．（本小题满分13分）
已知函数 f(x) Asin(xj)(A>0，00，椭圆方程为 1，抛物线方程为x2 8(y-b)．如图4所示，过点
2b2 b2
F(0，b2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切
线经过椭圆的右焦点F ．
1
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得
△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出
这些点的坐标）．
1
【解析】（1）由x2 8(y-b)得y x2 b，
8
当y b2得x±4，
y
1 F
G点的坐标为(4,b2)，y' x，y'| 1，
4 x4 G
F
1 x
过点G的切线方程为y-(b2) x-4即y xb-2，
A O B
令y 0得x2-b，F点的坐标为(2-b,0)， 图4
1
由椭圆方程得F 点的坐标为(b,0)，
1
x2
2-bb即b1，即椭圆和抛物线的方程分别为 y2 1和x2 8(y-1)；
2
（2） 过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,
Q
以ÐPAB为直角的RtDABP只有一个，
同理 以ÐPBA为直角的RtDABP只有一个。
1
若以ÐAPB为直角，设P点坐标为(x, x2 1)，A、B两点的坐标分别为(- 2,0)
8
和( 2,0)，
第5页 | 共9页uuur uuur 1 1 5
PA PB x2 -2( x2 1)2 x4 x2 -10。
g
8 64 4
关于x2的二次方程有一大于零的解，x有两解，即以ÐAPB为直角的RtDABP有两
个，
因此抛物线上存在四个点使得DABP为直角三角形。
19．（本小题满分14分）
ì 1
ï
，x<1
设kÎR，函数 f(x)í1-x ，F(x) f(x)-kx，xÎR，试讨论函数
ï
î- x-1，x≥1
F(x)的单调性．
ì 1
ì 1 -k, x<1,
ï
ï -kx, x<1, ï(1-x)2
【解析】F(x) f(x)-kxí1-x F'(x)í
1
ï ï
î- x-1-kx, x³1, - -k, x³1,
ï î 2 x-1
1
对于F(x) -kx(x<1)，
1-x
当k £0时，函数F(x)在(-¥,1)上是增函数；
1 1
当k >0时，函数F(x)在(-¥,1- )上是减函数，在(1- ,1)上是增函数；
k k
1
对于F(x)- -k(x³1)，
2 x-1
当k ³0时，函数F(x)在1,¥上是减函数；
é 1 ö é 1 ö
当k <0时，函数F(x)在
ê
1,1 ÷上是减函数，在
ê
1 ,¥ ÷上是增函数。
ë 4k2 ø ë 4k2 ø
20．（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中
BD是圆的直径，ÐABD60o，ÐBDC 45o，PD垂直底面ABCD，PD2 2R，
P
PE DF
E，F分别是PB，CD上的点，且 ，过点E作BC的平行线交PC于G．
EB FC E
G
（1）求BD与平面ABP所成角q的正弦值；
（2）证明：△EFG是直角三角形；
A D
PE 1
（3）当 时，求△EFG的面积． F
EB 2 B
C
图5
第6页 | 共9页【解析】（1）在RtDBAD中， ÐABD60o，AB R,AD 3R
Q
而PD垂直底面ABCD，PA PD2 AD2 (2 2R)2 ( 3R)2 11R
PB PD2 BD2 (2 2R)2 (2R)2 2 3R,
在DPAB中，PA2 AB2 PB2,即DPAB为以ÐPAB为直角的直角三角形。
设点D到面PAB的距离为H ,
由V V 有PA AB H AB AD PD,
P-ABD D-PAB g g g g
即
AD PD 3R 2 2R 2 66
g g
H R
PA 11R 11
H 66
sinq ;
BD 11
PE PG PE DF PG DF
(2)EG//BC, ,而 ,即 ,GF //PD,
EB GC EB FC GC DC
GF ^ BC，
GF ^ EG,DEFG是直角三角形；
PE 1 EG PE 1 GF CF 2
（3） 时 , ,
EB 2 BC PB 3 PD CD 3
1 1 2 2 2 4 2
即EG BC 2Rcos45° R,GF PD 2 2R R,
3 3 3 3 3 3
1 1 2 4 2 4
DEFG的面积S EG GF R R R2
DEFG 2 g 2 3 3 9
21．（本小题满分12分）
设 p，q为实数，a，b是方程x2 - pxq0的两个实根，数列{x }满足x p，
n 1
x p2 -q，x px -qx （n3，4，…）．
2 n n-1 n-2
（1）证明：ab p，abq；
（2）求数列{x }的通项公式；
n
1
（3）若 p1，q ，求{x }的前n项和S ．
4 n n
p- p2 -4q p p2 -4q
【解析】（1）由求根公式，不妨设a
