文档内容
2024—2025 学年上学期高一第一次联合教学质量检测
高一数学试卷解析版
满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴
在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为集合 ， ，
把集合 元素的范围表示在数轴上，如图，
可知 .
故选：B.
2．不等式 的解集为（ ）
A． B． 或 .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D． 或 .
【答案】B
【详解】不等式 化为： ，即 ，
整理得 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 或 .
故选：B
3．命题“ ，有 ”的否定是（ ）
A． ，有 B． ，有
C． ，有 D． ，有
【答案】C
【详解】由题意可得：命题“ ，有 ”的否定是“ ，有 ”.
故选：C.
4．一元二次方程 有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．a>0 C． D．
【答案】D
【详解】因为“一元二次方程 有一个正根和一个负根”的充要条件是“
”，
所以：“一元二次方程 有一个正根和一个负根”的一个充分不必要条件是“ （
）”，即选项D正确.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故选：D
5．设实数 ， 满足 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于A， ，得 ，A错误；
对于B，因为 ，所以 ，得 ，B错误；
对于C，因为 ，所以 ，
所以 ，C错误；
对于D，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，D正确.
故选：D
6．已知关于 的不等式 的解集为 ，其中 为常数，则不等式
的解集是（ ）
A． B． ，或
C． ，或 D．
【答案】A
【详解】关于 的一元二次不等式 的解集为 ，
则 ，且 是一元二次方程 的两根，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司于是 解得
则不等式 化为 ，
即 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 .
故选：A.
7．已知 ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】对于A，由 ， ，得 ，A正确；
对于B，由 ，得 ，而 ，则 ，B错误；
对于C，由 ， ，得 ，C正确；
对于D，由 ，得 ，而 ，则 ，D正确.
故选：B
8．已知方程 的两根都大于2，则实数 的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． D． 或
【答案】B
【详解】根据题意，二次函数 的图象与 轴的两个交点都在2的右侧，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司根据图象可得 ，即 ，
解得 .
故选：B.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．给出下列四个关系式，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】因为 是实数，因此选项A正确；
因为空间集中没有元素，显然 不正确，因此选项B不正确；
因为所有的整数都是有理数，因此整数集是有理数集的子集，所以选项C不正确；
因为空集是任何非空集合的真子集，所以选项D正确，
故选：AD
10．已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【详解】对于A， ， ，当且仅当 时等号成立，故A正确；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司对于B，C，由 ，可得 ，当且仅当 时等号成立，故B正确，C
错误；
对于D， ， ，
，当且仅当 时等号成立，故D错误.
故选：AB.
11．定义 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．对任意的 且
C．若对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是
D．若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围
【答案】ABD
【详解】对于A， ，即 ，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C， 恒成
立，
即 a） 恒成立，则 ，解得 ，故C错误；
对于D，由题可知存在 ，使得 成立，
即 成立，又 ，得 的取值范围是 ，故D正确.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故选:ABD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．定义集合 ， 的一种运算“ ”， ，若 ， ，则集合
的所有元素的和 .
【答案】
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∴所有元素之和 .
故答案为： .
13．满足条件 的集合 的个数为 .
【答案】16
【详解】解：因为 ，
所以 ，
即集合 为 的子集，且 中必包含元素 ，
又因为 的含元素 的子集为：
共16个.
故答案为：16
14．若 ，则 的最小值为 .
【答案】4
【详解】当 时， ，
则 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为4.
故答案为：4
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）
已知集合 .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若集合 中仅有一个整数元素，求 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意 ，
知 或 ， ,
因为 ，故 ，解得 ；
（2） 中的整数元素为 ，
而集合 中仅有一个整数元素，
当该整数元素为−2时， ，
此时 ，则 ；
当该整数元素为 时， ，
此时 ，则 .
16.（本小题15分）
解下列不等式：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1) ；
(2) ；
(3) .
【答案】(1)
(2) .
(3) 或 .
【详解】（1）由题设 ，解集为
（2）由 ，解集为 .
（3）由 ，
所以 ，解得： 或 .
17.（本小题15分）
解答下列各题.
(1)若 ，求 的最小值.
(2)若正数 满足 ，
①求 的最小值.
②求 的最小值.
【答案】(1)7；
(2)①36；② .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】（1）由题 .
当且仅当 ，即 时取等号；
（2）①由 结合基本不等式可得：
，又 为正数，
则 ，当且仅当 ，即 时取等号；
②由 可得 ，
则 .
当且仅当 ，又 ，
即 时取等号.
18.（本小题17分）
科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一
款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润 （单位：万元）与投入
的月研发经费 （ ，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，
；当投入月研发经费高于36万元时， ．对于企业而言，研发利润
率 ，是优化企业管理的重要依据之一， 越大，研发利润率越高，反之越小．
(1)求该企业生产此设备的研发利润率 的最大值以及相应月研发经费 的值；
(2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费 的取值范围．
【答案】(1)200%，30
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)
【详解】（1）解：由题意知，当 时，
，当且仅当 ，即 时取等号；
当 时， ，
在 上单调递减， .
又 ，∴当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值200%.
（2）由（1）可知，此时月研发经费 ，
于是，令 ，整理得 ，解得： ．
因此，当研发利润率不小于190%时，月研发经费的取值范围是 ．
19.（本小题17分）
设函数
(1)若 ，求 的解集．
(2)若不等式 对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
(3)解关于 的不等式： ．
【答案】(1)
(2)
(3)分类讨论，答案见解析.
【详解】（1）解：由函数 ，
若 ，可得 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司又由 ，即不等式 ，即 ，
因为 ，且函数对应的抛物线开口向上，
所以不等式 的解集为 ，即 的解集为 .
（2）解：由 对一切实数x恒成立，等价于 恒成立，
当 时，不等式可化为 ，不满足题意．
当 ，则满足 ，即 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ．
（3）解：依题意， 等价于 ，
当 时，不等式可化为 ，所以不等式的解集为 ．
当 时，不等式可化为 ，此时 ，
所以不等式的解集为 ．
当 时，不等式化为 ，
①当 时， ，不等式的解集为 ；
②当 时， ，不等式的解集为 ；
③当 时， ，不等式的解集为 ；
综上，当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司当 时，原不等式的解集为 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
