2024年1月“七省联考”考前押题卷01试题+答案(1)_2024年1月_021月合集_2024年1月高考数学“七省联考”考前押题预测卷（新高考地区专用）

2024年1月“七省联考”押题预测卷01
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
Ax|x20 B  x|2x 1 
A B
1．若集合 ，集合 ，则  （ ）
A. (2,) B. (0,2) C. (,2) D. R
z
2．已知i是虚数单位，若非零复数z满足1iz  z 2 ，则 （ ）
1i
A. 1 B. 1 C. i D. i
3．江南的周庄、同里、甪直、西塘、鸟镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水
乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬
软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处.某家庭
计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则只选一个苏州古镇的概率为（ ）
2 3 1 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
4．基础建设对社会经济效益产生巨大的作用，某市投入a亿元进行基础建设，t年后产生
f taet亿元社会经济效益．若该市投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，
且再过t年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍，则t （ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
        
5．已知平面向量a,b(a b)满足 a 3，且b 与ba的夹角为30，则 b 的最大值为（ ）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
6．设一组样本数据x，x ，…，x 的极差为 1，方差为 0.1，若数据ax b，ax b，…，
1 2 n 1 2
ax b的极差为2，则数据ax b，ax b，…，ax b的方差为（ ）
n 1 2 n
A. 0.02 B. 0.04 C. 0.2 D. 0.4
7．在 ABC中，已知AB2，AC 4，BAC 60，BC，AC边上的两条中线AM ，BN 相

交于点P，则MPN 的余弦值是（ ）．1 7 13 3 21
A. B. C. D.
14 14 14 14
1
8．已知函数 f(x) x2 cosx2，设a f log 0.2,b f log 0.2,c f  0.20.3 ，则
2 2 0.3
（ ）
A acb B. abc C. cba D. bca
.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是（ ）
A. 若随机变量，满足21，则D2D1
B. 若随机变量~ N  3,2 ，且P60.84，则P360.34
C. 若样本数据
x,y 
（i 1，2，3，…，n）线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线
i i
经过该组数据的中心点x,y
D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到2 4.712．依据0.05的独立性检验
（x 3.841），可判断X与Y有关
0.05
10．已知等差数列 a  的前n项和为S ，正项等比数列 b  的前n项积为T ，则（ ）
n n n n
A. 数列   S n  是等差数列 B. 数列  3a n  是等比数列
 n 
T 
C. 数列 lnT  是等差数列 D. 数列 n2是等比数列
n T
 
n
11．已知圆O：x2  y2 4与圆C:x2  y2 2x4y40相交于A，B两点，直线
l:x2y50，点P为直线l上一动点，过P作圆O的切线PM ，PN ，（M ，N 为切点），
则说法正确的是（ ）
4 5
A. 直线AB的方程为x2y40 B. 线段AB的长为
5
 4 8
C. 直线MN 过定点  ,  D. PM 的最小值是2．
 5 5
12．直四棱柱ABCDABC D ，所有棱长都相等，且DAB 60，M 为BB 的中点，P为四
1 1 1 1 1
边形BBCC内一点（包括边界），下列结论正确的是（ ）
1 1
A. 平面D AM 截四棱柱ABCDABC D 的截面为直角梯形
1 1 1 1 1
B. CB 面D AM
1 1
C. 平面BBCC内存在点P，使得DP AM
1 1
D. V :V 1:3
AADM CADM
1 1 1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知  2x2 x3n 展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中x4的系数为_____________.
（用数字作答）1  π π 
14.若函数 f xsinxcosx cos2x 的图象在 ,内恰有2条对称轴，则的值可能为
2  6 4 
_____________.
3π
15.甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为S 和S ，体积
甲 乙
2
S V
分别为V 和V .若 甲 2，则 甲 __________.
甲 乙 S V
乙 乙
x2 y2
16．如图，双曲线  1a,b0的右顶点为A，左右焦点分别为F,F ，点P是双曲线右支
a2 b2 1 2
b
上一点，PF 交左支于点Q，交渐近线y  x于点R,M 是PQ的中点，若RF  PF，且
1 a 2 1
AM  PF ，则双曲线的离心率是__________.
1
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A
17．已知

ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(acosCccosA)cos asinB．
2
（1）求角A；
（2）若D为边BC上一点，且满足ADCD，S 2S ，证明： ABC为直角三角形．
ACD ABD 
S 
18．已知数列 a  的前n项的和为S ，数列 n是公差为1的等差数列．
n n  n 
（1）证明：数列
a 
是公差为2的等差数列；
n
 1  1
（2）设数列 的前n项的和为T ，若S 9，证明T  ．
a a  n 3 n 2
n n119．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，E为棱AB的中点，AC⊥PE，PA=PD.
（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若PA=AD，∠BAD=60°，求二面角EPD A的正弦值.
x2 y2
20．设椭圆C:  1(ab0)的左右焦点分别为F，F .A，B是该椭圆C的右顶点和上顶
a2 b2 1 2
3
点，且 AB  5，若该椭圆的离心率为 .
2
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l与椭圆C交于P，Q两点，且与x轴交于点D(x a).若直线PF 与直线QF 的倾斜
D 2 2
角互补，求 PQF 的面积的最大值.
 221．为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问
2 3
卷调查.已知某单位有N名员工，其中 是男性， 是女性.
5 5
（1）当N 20时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；
（2）我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市
范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的
 2
概率记作P 1 ；有二项分布中（即男性员工的人数X  B   3, 5   ）男性员工恰有2人的概率记作P 2 .
那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即P P 0.001）的前提下认为超几何
1 2
分布近似为二项分布.（参考数据： 578 24.04）
22．已知函数 f xaex ex，（aR）.
（1）若 f x 为偶函数，求此时 f x 在点  0, f 0 处的切线方程；
（2）设函数g(x) f(x)(a1)x，且存在x,x 分别为g(x)的极大值点和极小值点.
1 2
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）若a(0,1)，且gx kgx 0，求实数k的取值范围.
1 22024年1月“七省联考”押题预测卷01
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
Ax|x20 B  x|2x 1 
A B
1．若集合 ，集合 ，则  （ ）
A. (2,) B. (0,2) C. (,2) D. R
【答案】B
【解析】由题意，集合Ax|x20x|x2，B  x|2x 1  x|x0，
根据集合交集的运算，可得ABx|0 x2
.
故选：B.
z
2．已知i是虚数单位，若非零复数z满足1iz  z 2 ，则 （ ）
1i
A. 1 B. 1 C. i D. i
【答案】A
【解析】设z abia,bR，则 1iz 1iabiabbai，
由1iz  z 2 可得 abbaia2 b2，
aba2 b2 z
所以， ，又因为z 0，所以，ab1，则z 1i，故 1.
ba0 1i
故选：A.
3．江南的周庄、同里、甪直、西塘、鸟镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水
乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬
软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处.某家庭
计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则只选一个苏州古镇的概率为（ ）
2 3 1 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
【答案】B【解析】从这6个古镇中挑选2个去旅游的可能情况有C2 15种情况，
6
C1C1 3
只选一个苏州古镇的概率为P 3 3  ．
15 5
故选：B
4．基础建设对社会经济效益产生巨大的作用，某市投入a亿元进行基础建设，t年后产生
f taet亿元社会经济效益．若该市投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，
且再过t年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍，则t （ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
【答案】B
ln2 tln2
【解析】由条件得ae42a，∴ ，即 f tae 4 ．设投资t年后，产生的社会经济效
4
tln2
益是投资额的8倍，则有 ，解得，t 12．所以再过1248年，该项投资产生的社
ae 4 8a
会经济笑意是投资额的8倍．
故选：B．
        
5．已知平面向量a,b(a b)满足 a 3，且b 与ba的夹角为30，则 b 的最大值为（ ）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
【答案】C
   
【解析】因为 a 3，且b 与ba 的夹角为30 ，
      
如图所示，设ABa,ADb，则BDba，
由题意知ADB30，设ADB，
 AB AD
因为 a 3，在△ABD中，由正弦定理得  ，解得AD6cos6，
sin30 sin

所以 b 的最大值为6.
故选:C.
6．设一组样本数据x，x ，…，x 的极差为 1，方差为 0.1，若数据ax b，ax b，…，
1 2 n 1 2
ax b的极差为2，则数据ax b，ax b，…，ax b的方差为（ ）
n 1 2 n
A. 0.02 B. 0.04 C. 0.2 D. 0.4
【答案】D
【解析】由题意可知，一组样本数据x，x ，…，x 的极差为1，则 x x 1，
1 2 n n 1
又数据ax b，ax b，…，ax b的极差为2，
1 2 n则 ax bax b  ax x  2，
n 1 n 1
所以 a 2，
故数据ax b，ax b，…，ax b的方差为220.10.4，
1 2 n
故选：D
7．在 ABC中，已知AB2，AC 4，BAC 60，BC，AC边上的两条中线AM ，BN 相

交于点P，则MPN 的余弦值是（ ）．
1 7 13 3 21
A. B. C. D.
14 14 14 14
【答案】B
【解析】由余弦定理得BC  416224cos60 2 3，
所以AB2 BC2  AC2，所以三角形ABC是直角三角形，且ABC 90，
     
以B为原点建立如图所示平面直角坐标系，A0,2,M 3,0 ,C 2 3,0 ,N 3,1 ，
       
MA  3,2 ,NB  3,1 ，MPN APB MA,NB ，
 
  MANB 1 7
所以cosMPN cos MA,NB      .
MA NB 72 14
故选：B
1
8．已知函数 f(x) x2 cosx2，设a f log 0.2,b f log 0.2,c f  0.20.3 ，则
2 2 0.3
（ ）
A acb B. abc C. cba D. bca
.
【答案】B
1 1
【解析】函数 f(x) x2 cosx2的定义域为R， f(x) (x)2 cos(x)2 f(x)，故
2 2
1
f(x) x2 cosx2为偶函数，
2
当x 0时， f(x) xsinx，令g(x) xsinx，则g(x)1cosx≥0，即g(x) xsinx
在[0,)上单调递增，故g(x) g(0)0，所以 f(x)0，则 f(x)在[0,)上单调递增，
1
由于log 0.2log log 5(3,2)，2log 0.09log 0.2log 0.31，
2 2 5 2 0.3 0.3 0.3
00.20.3 1，所以abc．
故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是（ ）
A. 若随机变量，满足21，则D2D1
B. 若随机变量~ N  3,2 ，且P60.84，则P360.34
C. 若样本数据
x,y 
（i 1，2，3，…，n）线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线
i i
经过该组数据的中心点x,y
D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到2 4.712．依据0.05的独立性检验
（x 3.841），可判断X与Y有关
0.05
【答案】BCD
【解析】对A，由方差的性质可知，若随机变量，满足21，则
D22D4D，故A错误；
对B，根据正态分布的图象对称性可得P36 P60.50.34，故B正确；
对C，根据回归直线方程过样本中心点可知C正确；
对D，由2 4.7123.841可判断X与Y有关，故D正确.
故选：BCD．
10．已知等差数列 a  的前n项和为S ，正项等比数列 b  的前n项积为T ，则（ ）
n n n n
A. 数列   S n  是等差数列 B. 数列  3a n  是等比数列
 n 
T 
C. 数列 lnT  是等差数列 D. 数列 n2是等比数列
n T
 
n
【答案】ABD
【解析】设
a 
的公差为d，
b 
的公比为
q
，
n n
d  d  S d  d 
则S  n2   a   n n  n  a  ，
n 2  1 2 n 2  1 2
S S d
所以 n  n1  n2是常数，故A正确；
n n1 2
3a
n
易知 3a n a n1 3d n2是常数，故B正确；
3a
n1
由lnT lnT lnb n2 不是常数，故C错误；
n n1 n
T T b
n2  n1  n2 q2n2 是常数，故D正确.
T T b
n n1 n
故选：ABD
11．已知圆O：x2  y2 4与圆C:x2  y2 2x4y40相交于A，B两点，直线
l:x2y50，点P为直线l上一动点，过P作圆O的切线PM ，PN ，（M ，N 为切点），
则说法正确的是（ ）4 5
A. 直线AB的方程为x2y40 B. 线段AB的长为
5
 4 8
C. 直线MN 过定点  ,  D. PM 的最小值是2．
 5 5
【答案】BC
x2  y2 4
【解析】由题知，联立 ，
x2  y2 2x4y40
两式相减得x2y40，
即直线AB的方程为x2y40，A错；
x2  y2 4
联立 ，
x2  y2 2x4y40
 8
x
x0   5
解得 或 ，
y 2

6
y 
 5
2 2
8   6  4 5
所以 AB  0   2  ，B正确；
   
5   5  5
对于C，设M x ,y ,Nx ,y ，
1 1 2 2
因为M ，N 为圆O的切点，
所以直线PM 方程为 xx  yy 4，
1 1
直线PN 的方程为xx  yy 4，
2 2
 
又设P x,y ，
0 0
x x  y y 4
0 1 0 1
所以 ，
x x  y y 4

0 2 0 2
故直线MN 的方程为x x y y 4，
0 0
又因为x 2y 50，
0 0
所以2x yy 5x40，
0
 4
x
2x y 0   5
由 得 ，
5x40

8
y 
 5
 4 8
即直线MN 过定点  , ，C正确；
 5 5
因为PM2 OM2  PO2，
所以当 PM 最小时， PO 最小，005
且 PO 最小为  5 ，
122
 2
所以此时 PM  5 4 1，D错.
故选：BC
12．直四棱柱ABCDABC D ，所有棱长都相等，且DAB 60，M 为BB 的中点，P为四
1 1 1 1 1
边形BBCC内一点（包括边界），下列结论正确的是（ ）
1 1
A. 平面D AM 截四棱柱ABCDABC D 的截面为直角梯形
1 1 1 1 1
B. CB 面D AM
1 1
C. 平面BBCC内存在点P，使得DP AM
1 1
D. V :V 1:3
AADM CADM
1 1 1
【答案】AB
【解析】对A，取BC 的中点为N ，AD //MN ，AMND 为截面，
1 1 1 1
因为DAB60 DC B ，设AD2,C N 1，
1 1 1 1
在

NC
1
D
1
中，D
1
N2 C
1
N2 C
1
D
1
2 2C
1
NC
1
D
1
cos60，得D
1
N2 3，
则DN2 C N2 C D2，即DN C N ，
1 1 1 1 1 1
又BB 平面ABC D ，DN 平面ABC D ，则DN  BB，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
C N BB B ，C N 面BBCC，BB面BBCC，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
可知DN 面BBCC，且MN面BBCC，所以DN MN ，A对
1 1 1 1 1 1
对B，因为DN 面BBCC，且C B面BBCC，则DN CB ，
1 1 1 1 1 1 1 1
又MN CB ，MN DN N ，MN平面AMND ，DN 平面AMND ，
1 1 1 1 1
则CB 平面AMND ，B对；
1 1
对C，过D作DEAB，因为BB 平面ABCD，DE平面ABCD，
1
DE  BB ，BB AB B，BB,AB平面ABB A ，
1 1 1 1 1所以DE平面ABB A ，延长DP交面ABB A 于Q，连接EQ交BB 于F ，
1 1 1 1 1
则EF 为DP在面AABB的射影，
1 1
若DP AM ，又AM 平面ABB A ，则DE  AM ，
1 1
DPDE  D，DP,DE 平面DEP，则AM 平面DEP，
EF 平面DEP，则有AM  EF ，
但当P在四边形BBCC内运动时，F 在BB 上运动，此时EF 不可能与AM 垂直，C错；
1 1 1
对D：连接BC 交BC于O，BC 交MN 于S，连接AD交D A于T ,
1 1 1 1 1
CB //AD，因为CB 平面AMND ，则AD平面AMND ，
1 1 1 1 1 1
则AT 为点A到面ADM 的距离，CS 为点C到面ADM 的距离，
1 1 1 1
MN //BC ，则点B到面ADM 的距离即点O到面ADM 的距离，即OS，
1 1 1
则AT :OS 2:1，CS:OS 3:1，则AT :CS 2:3
1 1
1 1
V :V  S AT : S CO 2:3，D错；
A 1 AD 1 M CAD 1 M 3 AD 1 M 1 3 AD 1 M
故选：AB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知  2x2 x3n 展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中x4的系数为_____________.
（用数字作答）
【答案】1120
【解析】由 2n 25628, 得n8.
 2x2 x38 展开式的通项T Cr 2x28r x3r Cr28r1r x5r16，
r1 8 8
令5r164, 得r 4,
,则展开式中含x4的项为T C428414 x4 1120x4.
5 8
所以x4的系数为1120.
故答案为：1120.
1  π π 
14.若函数 f xsinxcosx cos  2x 的图象在 , 内恰有2条对称轴，则的值可能
2  6 4 
为_____________.
17π
【答案】 （答案不唯一）
12
1  π 1 1 3 1 
【解析】 f xsinxcosx cos  2x   sin2x   cos2x sin2x 
2  6 2 2  2 2 
1 3 1  π
 sin2x cos2x sin 2x ．
 
4 4 2  3
π  π π π
当x  , 时， 2x 2 ，
4  6 3 3
π  3π π 5π
因为函数 f x 的图象在 , 内恰有2条对称轴，所以 2  ，
4  2 3 2
11π 17π 17π
解得  ，则的值可能为
12 12 12
故答案为：（答案不唯一）
3π
15.甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为S 和S ，体积
甲 乙
2
S V
分别为V 和V .若 甲 2，则 甲 __________.
甲 乙 S V
乙 乙
8 5 8
【答案】 ## 5
5 5
【解析】设母线长为l，甲圆锥底面半径为r ，乙圆锥底面圆半径为r ，
1 2
S rl r
则 甲  1  1 2，所以r 2r ，
S rl r 1 2
乙 2 2
2πr 2πr 3π r r 3 l l
又 1  2  ，则 1 2  ，所以r  ,r  ，
l l 2 l 4 1 2 2 4
1 3
所以甲圆锥的高h  l2  l2  l，
1 4 2
1 15
乙圆锥的高h  l2  l2  l，
2 16 4
1 1 3
πr2h l2 l
所以 V 甲  3 1 1  4 2  8 5 .
V 1 1 15 5
乙 πr2h l2 l
3 2 2 16 48 5
故答案为： .
5
x2 y2
16．如图，双曲线  1a,b0的右顶点为A，左右焦点分别为F,F ，点P是双曲线右
a2 b2 1 2
b
支上一点，PF 交左支于点Q，交渐近线y  x于点R,M 是PQ的中点，若RF  PF，且
1 a 2 1
AM  PF ，则双曲线的离心率是__________.
1
【答案】2
x2  y2 c2
0 0 x a
【解析】设R(x ,y )，则{ b ，解得{ 0 ，即R(a,b)，由题意AM //F R，所以
0 0 y  x y b 2
0 a 0 0
x2 y2
1  1 1

 ac 2acb2 b(ac) a2 b2
AM  F R，所以M( , )．又设P(x ,y ),Q(x ,y )，则 ，两式
2c 2 2c 2c 1 1 2 2 x2 y2
2  2 1
a2 b2
(y  y )(y  y ) b2 b2 b(2acb2) b
相减得 1 2 1 2  ，即k k  ，所以k  ，又k k  ，
(x x )(x x ) a2 OM PQ a2 PQ a2(ac) PQ RF 1 ac
1 2 1 2
c
化简得c2a，e 2．
a
故答案为：2
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A
17．已知

ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(acosCccosA)cos asinB．
2
（1）求角A；
（2）若D为边BC上一点，且满足ADCD，S 2S ，证明： ABC为直角三角形．
ACD ABD 
π
【答案】（1）A （2）证明见解析
3
A
【解析】（1）在 ABC中，由正弦定理得(sin AcosCsinCcosA)cos sin AsinB，

2
A A
所以sinACcos sin AsinB，即sinBcos sinAsinB，
2 2
A
因为B(0,π),sinB0，所以sin Acos ，
2A  π A A A
又因为A(0,π)，   0, ，sin A2sin cos ，cos 0，
2  2 2 2 2
A 1 π
所以sin  ，所以A ；
2 2 3
（2）证明：因为S 2S ，所以CD2BD，
ACD ABD
设ACD ，在 ACD中，ADCD2BD，则CAD ．

π 2π
可得BAD  ，ABC  ，
3 3
BD AD

在△ABD中，由正弦定理得， π  2π ，
sin  sin 
   
3   3 
π  2π 
又因为AD2BD，所以2sin    sin   ，
3   3 
3 1
则 3cossin cos sin，
2 2
3  π π π
化简得tan ，因为0, ，即 ，则ABC  ．
3  3 6 2
所以 ABC是直角三角形．

S 
18．已知数列 a  的前n项的和为S ，数列 n是公差为1的等差数列．
n n  n 
（1）证明：数列
a 
是公差为2的等差数列；
n
 1  1
（2）设数列 的前n项的和为T ，若S 9，证明T  ．
 a a  n 3 n 2
n n1
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
S  S S
【解析】（1）因为数列 n是公差为1的等差数列，所以 n  1 n1 n1a ．
 n  n 1 1
从而可得S n2 a 1n．
n 1
当n2时，a  S S  a 2n1．
n n n1 1
即可得a a 2，所以数列 a  是公差为2的等差数列；
n n1 n
（2）根据第（1）问数列 a  是公差为2的等差数列可得S 3a 323a 69，
n 3 1 1
从而可得a 1．
1
所以数列 a  的通项公式a 2n1．
n n1 1 1 1 1 
所以 a a  2n12n1  2  2n1  2n1   ．
n n1
11 1 1 1 1 1  1 1
从而可得T           ．
n 21 3 3 5 2n1 2n1 2 4n2
1
所以T  成立．
n 2
19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，E为棱AB的中点，AC⊥PE，PA=PD.
（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若PA=AD，∠BAD=60°，求二面角EPD A的正弦值.
2
【答案】（1）证明见解析 （2） 13.
13
【解析】（1）
如图，连接BD,取AD中点O,连接PO,OE,因底面ABCD为菱形，故ACBD,又E为棱AB的
中点，故OE//BD，则AC OE，
已知 AC  PE,OE,PE 平面POE, OEPE  E，故 AC 平面POE，因PO平面POE，
则AC  PO，因PA PD，则PO  AD,
又AD,AC 平面ABCD, AD AC  A,则PO平面ABCD，又PO平面PAD，故平面
PAD平面ABCD.
（2）如图，连OB，由（1）知PO平面ABCD，且∠BAD=60°，则△ABD是正三角形，OB  AD,
故可以O  A  ,O  B  ,O  P  分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz.不妨设AD4,则
E(1, 3,0),P(0,0,2 3),D(2,0,0),A(2,0,0),
  
于是DE (3, 3,0), DP (2,0,2 3),设平面DEPD的法向量为n(x,y,z)，则有

  n  DE 3x 3y 0 
 ,可取n( 3,3,1).


nDP2x2 3z 0

因OB  AD，PO BO故可取平面PDA的法向量为m(0,1,0).
  3 3
设二面角EPD A的平面角为，则为锐角，故cos|cosm,n|  13,则
13 13
2
sin 1cos2 13.
13
2
即二面角EPD A的正弦值为 13.
13
x2 y2
20．设椭圆C:  1(ab0)的左右焦点分别为F，F .A，B是该椭圆C的右顶点和上顶
a2 b2 1 2
3
点，且 AB  5，若该椭圆的离心率为 .
2
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l与椭圆C交于P，Q两点，且与x轴交于点D(x a).若直线PF 与直线QF 的倾斜
D 2 2
角互补，求 PQF 的面积的最大值.
 2
x2 1
【答案】（1）  y2 1 （2）
4 4
【解析】（1）由题可得， AB  a2 b2  5，
3 c 3
所以a2 b2 5 因为椭圆的离心率为 .所以e  ，结合椭圆中b2 a2 c2可知，
2 a 2
x2
a2，b1.所以椭圆C的标准方程为  y2 1.
4 
（2）F 3，0 ，设Px，y ，Qx，y .
2 1 1 2 2
因为直线PF 与直线QF 的倾斜角互补，
2 2
所以可知k k 0，
PF QF
2 2
y y
即 1  2 0，
x  3 x  3
1 2
化简得x y x y  3y  y 0.
1 2 2 1 1 2
设直线PQ:xmyn(n2)，
将x my n，x my n代入上式，
1 1 2 2
 
整理可得2my y  n 3 y  y 0.
1 2 1 2
 xmyn，
且由 消元化简可得
x2 4y2 4
 m2 4  y2 2mnyn2 40，
2mn n2 4
所以y  y  ，y y  ，代入上式
1 2 m2 4 1 2 m2 4
由 2m  n2 4    n 3  2mn 0，
m2 4 m2 4
4 3
解得n .
3
4 3
所以PQ:xmy .
3
1
 
因为点F 3，0 到直线PQ的距离d  ，
2 33m2
4 3m2 4
且 PQ   1m2y  y 2 4y y   1m2 
 1 2 1 2 3  m2 4 
1 1 1 4 3m2 4 2 3m2 4
所以S  d PQ    1m2   .
PQF 2 2 2 33m2 3  m2 4  3 m2 4
t2 4
令t  3m2 4，则m2 
3
2t 1
所以S   ，.
PQF 2 t2 16 4
20
当且仅当t 4，m2  时取等号.
3
1
所以 PQF 的面积的最大值为 .
 2 4
21．为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问2 3
卷调查.已知某单位有N名员工，其中 是男性， 是女性.
5 5
（1）当N 20时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；
（2）我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市
范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的
 2
概率记作P 1 ；有二项分布中（即男性员工的人数X  B   3, 5   ）男性员工恰有2人的概率记作P 2 .
那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即P P 0.001）的前提下认为超几何
1 2
分布近似为二项分布.（参考数据： 578 24.04）
6
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为
5
（2）N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即P P 0.001）的前提下认为超几何分
1 2
布近似为二项分布
【解析】（1）当N 20时，男性员工有8人，女性员工有12人.
X 服从超几何分布，X 0,1,2,3，
C3 220 11 C1C2 528 44
PX 0 12   ，PX 1 8 12   ，
C3 1140 57 C3 1140 95
20 20
C2C1 336 28 C3 56 14
PX 2 8 12   ，PX 3 8   ，
C3 1140 95 C3 1140 285
20 20
∴X 的分布列为
X 0 1 2 3
11 44 28 14
P
57 95 95 285
11 44 28 14 6
数学期望为EX0 1 2 3  .
57 95 95 285 5
1 2  3 2 
C2 C1 N N 1  N N N 1
2 N 3 N 5   5   5 18   5  
（2）P  5 5    ，
1 C3 1 25 N 1N 2
N
NN 1N 2
6
2
2 3 36
P C2   0.288，
 
2 3 5 5 125
2 
N N 1
 
由于P P 0.001，则18 5  ，
1 2  0.2880.001
25 N 1N 2
2 
N N 1
 
即18 5  289 ，
 0.289
25 N 1N 2 10002 
N N 1
 
即 5  289 25 289，
  
N 1N 2 1000 18 720
由题意易知N 1N 20，
2 
从而720N  N 1  289N 1N 2 ，
5 
化简得N2 147N 5780，
578
又N 0，于是N  147.
N
578
由于函数y  x 在x 578 24.04处有极小值，
x
578
从而y  N  当N 25时单调递增，
N
578 578
又142 146.07147，143 147.04147.
142 143
因此当N 143时，符合题意，
2 3
而又考虑到 N 和 N都是整数，则N 一定是5的整数倍，于是N 145.
5 5
即N至少为145，
我们可以在误差不超过0.001（即P P 0.001）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.
1 2
22．已知函数 f xaex ex，（aR）.
（1）若 f x 为偶函数，求此时 f x 在点  0, f 0 处的切线方程；
（2）设函数g(x) f(x)(a1)x，且存在x,x 分别为g(x)的极大值点和极小值点.
1 2
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）若a(0,1)，且gx kgx 0，求实数k的取值范围.
1 2
【答案】（1）y20
（2）（i）(0,1)(1,)；（ii）(,1]
【解析】
（1） f(x)为偶函数，有 f(x)aex ex  f(x)aex ex，则a1，
所以 f(x)ex ex， f(x)ex ex
所以 f(0)2， f(0)0
所以 f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y20.
（2）（ⅰ）g(x) f(x)(a1)xaex ex (a1)x，
ae2x (a1)ex 1  aex 1  ex 1 
g(x)aex ex (a1)  ，
ex ex
因为函数g(x)既存在极大值，又存在极小值，
则g(x)0必有两个不等的实根，则a0，
令g(x)0可得x0或xlna，
所以lna0，解得a0且a 1.令mmin0,lna ，nmax0,lna
，则有：
x (,m) m (m,n) n (n,)
g(x) + 0  0 +
g(x) 极大值 极小值
  
xn
可知g(x)分别在xm和 取得极大值和极小值，符合题意.
综上，实数a的取值范围是(0,1)(1,).
（ⅱ）由a(0,1)，可得lna0，
所以x 0，x lna，gx a1，gx 1a(a1)lna且有gx  gx 0，
1 2 1 2 2 1
由题意可得a1k1a(a1)lna0对a(0,1)恒成立，
由于此时gx  gx 0，则k
0，
2 1
 1 a1
所以ka1lnak1a1，则lna  1   ，
 k  a1
 1 x1
令h(x)lnx  1   ，其中0 x1，
 k  x1
 1 2
(x1)2 2x  1  x2  x1
则 1  1 2  k  k ，
h(x)  1   
 
x  k  (x1)2 x(x1)2 x(x1)2
2 4 4
 1k2
令x2  x10，则 4 .
k k2 k2
①当0，即k 1时，h(x)0，h(x)在(0,1)上是严格增函数，
 1 a1
所以h(x)h(1)0，即lna  1   ，符合题意；
 k  a1
（2）当0，即1k 0时，
2
设方程x2  x10的两根分别为x ，x 且x  x ，
k 3 4 3 4
2
则x x  0，xx 1，则0 x 1 x ，
3 4 k 3 4 3 4
则当x  x1时，h(x)0，则h(x)在 x ,1 上单调递减，
3 3
 1 a1
所以当x  x1时，h(x)h(1)0，即lna  1   ，不合题意.
3  k  a1
综上所述，k的取值范围是(,1].