2024年1月“七省联考”考前押题卷01试题+答案(1)_2024年1月_021月合集_2024年1月高考数学“七省联考”考前押题预测卷（新高考地区专用）

2024年1月“七省联考”押题预测卷01 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． Ax|x20 B  x|2x 1  A B 1．若集合 ，集合 ，则  （ ） A. (2,) B. (0,2) C. (,2) D. R z 2．已知i是虚数单位，若非零复数z满足1iz  z 2 ，则 （ ） 1i A. 1 B. 1 C. i D. i 3．江南的周庄、同里、甪直、西塘、鸟镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水 乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬 软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处.某家庭 计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则只选一个苏州古镇的概率为（ ） 2 3 1 4 A. B. C. D. 5 5 5 5 4．基础建设对社会经济效益产生巨大的作用，某市投入a亿元进行基础建设，t年后产生 f taet亿元社会经济效益．若该市投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍， 且再过t年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍，则t （ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16          5．已知平面向量a,b(a b)满足 a 3，且b 与ba的夹角为30，则 b 的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6．设一组样本数据x，x ，…，x 的极差为 1，方差为 0.1，若数据ax b，ax b，…， 1 2 n 1 2 ax b的极差为2，则数据ax b，ax b，…，ax b的方差为（ ） n 1 2 n A. 0.02 B. 0.04 C. 0.2 D. 0.4 7．在 ABC中，已知AB2，AC 4，BAC 60，BC，AC边上的两条中线AM ，BN 相  交于点P，则MPN 的余弦值是（ ）．1 7 13 3 21 A. B. C. D. 14 14 14 14 1 8．已知函数 f(x) x2 cosx2，设a f log 0.2,b f log 0.2,c f  0.20.3 ，则 2 2 0.3 （ ） A acb B. abc C. cba D. bca . 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量，满足21，则D2D1 B. 若随机变量~ N  3,2 ，且P60.84，则P360.34 C. 若样本数据 x,y  （i 1，2，3，…，n）线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线 i i 经过该组数据的中心点x,y D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到2 4.712．依据0.05的独立性检验 （x 3.841），可判断X与Y有关 0.05 10．已知等差数列 a  的前n项和为S ，正项等比数列 b  的前n项积为T ，则（ ） n n n n A. 数列   S n  是等差数列 B. 数列  3a n  是等比数列  n  T  C. 数列 lnT  是等差数列 D. 数列 n2是等比数列 n T   n 11．已知圆O：x2  y2 4与圆C:x2  y2 2x4y40相交于A，B两点，直线 l:x2y50，点P为直线l上一动点，过P作圆O的切线PM ，PN ，（M ，N 为切点）， 则说法正确的是（ ） 4 5 A. 直线AB的方程为x2y40 B. 线段AB的长为 5  4 8 C. 直线MN 过定点  ,  D. PM 的最小值是2．  5 5 12．直四棱柱ABCDABC D ，所有棱长都相等，且DAB 60，M 为BB 的中点，P为四 1 1 1 1 1 边形BBCC内一点（包括边界），下列结论正确的是（ ） 1 1 A. 平面D AM 截四棱柱ABCDABC D 的截面为直角梯形 1 1 1 1 1 B. CB 面D AM 1 1 C. 平面BBCC内存在点P，使得DP AM 1 1 D. V :V 1:3 AADM CADM 1 1 1 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知  2x2 x3n 展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中x4的系数为_____________. （用数字作答）1  π π  14.若函数 f xsinxcosx cos2x 的图象在 ,内恰有2条对称轴，则的值可能为 2  6 4  _____________. 3π 15.甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为S 和S ，体积 甲 乙 2 S V 分别为V 和V .若 甲 2，则 甲 __________. 甲 乙 S V 乙 乙 x2 y2 16．如图，双曲线  1a,b0的右顶点为A，左右焦点分别为F,F ，点P是双曲线右支 a2 b2 1 2 b 上一点，PF 交左支于点Q，交渐近线y  x于点R,M 是PQ的中点，若RF  PF，且 1 a 2 1 AM  PF ，则双曲线的离心率是__________. 1 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A 17．已知  ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(acosCccosA)cos asinB． 2 （1）求角A； （2）若D为边BC上一点，且满足ADCD，S 2S ，证明： ABC为直角三角形． ACD ABD  S  18．已知数列 a  的前n项的和为S ，数列 n是公差为1的等差数列． n n  n  （1）证明：数列 a  是公差为2的等差数列； n  1  1 （2）设数列 的前n项的和为T ，若S 9，证明T  ． a a  n 3 n 2 n n119．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，E为棱AB的中点，AC⊥PE，PA=PD. （1）证明：平面PAD⊥平面ABCD； （2）若PA=AD，∠BAD=60°，求二面角EPD A的正弦值. x2 y2 20．设椭圆C:  1(ab0)的左右焦点分别为F，F .A，B是该椭圆C的右顶点和上顶 a2 b2 1 2 3 点，且 AB  5，若该椭圆的离心率为 . 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线l与椭圆C交于P，Q两点，且与x轴交于点D(x a).若直线PF 与直线QF 的倾斜 D 2 2 角互补，求 PQF 的面积的最大值.  221．为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问 2 3 卷调查.已知某单位有N名员工，其中 是男性， 是女性. 5 5 （1）当N 20时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； （2）我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市 范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的  2 概率记作P 1 ；有二项分布中（即男性员工的人数X  B   3, 5   ）男性员工恰有2人的概率记作P 2 . 那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即P P 0.001）的前提下认为超几何 1 2 分布近似为二项分布.（参考数据： 578 24.04） 22．已知函数 f xaex ex，（aR）. （1）若 f x 为偶函数，求此时 f x 在点  0, f 0 处的切线方程； （2）设函数g(x) f(x)(a1)x，且存在x,x 分别为g(x)的极大值点和极小值点. 1 2 （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）若a(0,1)，且gx kgx 0，求实数k的取值范围. 1 22024年1月“七省联考”押题预测卷01 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． Ax|x20 B  x|2x 1  A B 1．若集合 ，集合 ，则  （ ） A. (2,) B. (0,2) C. (,2) D. R 【答案】B 【解析】由题意，集合Ax|x20x|x2，B  x|2x 1  x|x0， 根据集合交集的运算，可得ABx|0 x2 . 故选：B. z 2．已知i是虚数单位，若非零复数z满足1iz  z 2 ，则 （ ） 1i A. 1 B. 1 C. i D. i 【答案】A 【解析】设z abia,bR，则 1iz 1iabiabbai， 由1iz  z 2 可得 abbaia2 b2， aba2 b2 z 所以， ，又因为z 0，所以，ab1，则z 1i，故 1. ba0 1i 故选：A. 3．江南的周庄、同里、甪直、西塘、鸟镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水 乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬 软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处.某家庭 计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则只选一个苏州古镇的概率为（ ） 2 3 1 4 A. B. C. D. 5 5 5 5 【答案】B【解析】从这6个古镇中挑选2个去旅游的可能情况有C2 15种情况， 6 C1C1 3 只选一个苏州古镇的概率为P 3 3  ． 15 5 故选：B 4．基础建设对社会经济效益产生巨大的作用，某市投入a亿元进行基础建设，t年后产生 f taet亿元社会经济效益．若该市投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍， 且再过t年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍，则t （ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B ln2 tln2 【解析】由条件得ae42a，∴ ，即 f tae 4 ．设投资t年后，产生的社会经济效 4 tln2 益是投资额的8倍，则有 ，解得，t 12．所以再过1248年，该项投资产生的社 ae 4 8a 会经济笑意是投资额的8倍． 故选：B．          5．已知平面向量a,b(a b)满足 a 3，且b 与ba的夹角为30，则 b 的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C     【解析】因为 a 3，且b 与ba 的夹角为30 ，        如图所示，设ABa,ADb，则BDba， 由题意知ADB30，设ADB，  AB AD 因为 a 3，在△ABD中，由正弦定理得  ，解得AD6cos6， sin30 sin  所以 b 的最大值为6. 故选:C. 6．设一组样本数据x，x ，…，x 的极差为 1，方差为 0.1，若数据ax b，ax b，…， 1 2 n 1 2 ax b的极差为2，则数据ax b，ax b，…，ax b的方差为（ ） n 1 2 n A. 0.02 B. 0.04 C. 0.2 D. 0.4 【答案】D 【解析】由题意可知，一组样本数据x，x ，…，x 的极差为1，则 x x 1， 1 2 n n 1 又数据ax b，ax b，…，ax b的极差为2， 1 2 n则 ax bax b  ax x  2， n 1 n 1 所以 a 2， 故数据ax b，ax b，…，ax b的方差为220.10.4， 1 2 n 故选：D 7．在 ABC中，已知AB2，AC 4，BAC 60，BC，AC边上的两条中线AM ，BN 相  交于点P，则MPN 的余弦值是（ ）． 1 7 13 3 21 A. B. C. D. 14 14 14 14 【答案】B 【解析】由余弦定理得BC  416224cos60 2 3， 所以AB2 BC2  AC2，所以三角形ABC是直角三角形，且ABC 90，       以B为原点建立如图所示平面直角坐标系，A0,2,M 3,0 ,C 2 3,0 ,N 3,1 ，         MA  3,2 ,NB  3,1 ，MPN APB MA,NB ，     MANB 1 7 所以cosMPN cos MA,NB      . MA NB 72 14 故选：B 1 8．已知函数 f(x) x2 cosx2，设a f log 0.2,b f log 0.2,c f  0.20.3 ，则 2 2 0.3 （ ） A acb B. abc C. cba D. bca . 【答案】B 1 1 【解析】函数 f(x) x2 cosx2的定义域为R， f(x) (x)2 cos(x)2 f(x)，故 2 2 1 f(x) x2 cosx2为偶函数， 2 当x 0时， f(x) xsinx，令g(x) xsinx，则g(x)1cosx≥0，即g(x) xsinx 在[0,)上单调递增，故g(x) g(0)0，所以 f(x)0，则 f(x)在[0,)上单调递增， 1 由于log 0.2log log 5(3,2)，2log 0.09log 0.2log 0.31， 2 2 5 2 0.3 0.3 0.3 00.20.3 1，所以abc． 故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量，满足21，则D2D1 B. 若随机变量~ N  3,2 ，且P60.84，则P360.34 C. 若样本数据 x,y  （i 1，2，3，…，n）线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线 i i 经过该组数据的中心点x,y D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到2 4.712．依据0.05的独立性检验 （x 3.841），可判断X与Y有关 0.05 【答案】BCD 【解析】对A，由方差的性质可知，若随机变量，满足21，则 D22D4D，故A错误； 对B，根据正态分布的图象对称性可得P36 P60.50.34，故B正确； 对C，根据回归直线方程过样本中心点可知C正确； 对D，由2 4.7123.841可判断X与Y有关，故D正确. 故选：BCD． 10．已知等差数列 a  的前n项和为S ，正项等比数列 b  的前n项积为T ，则（ ） n n n n A. 数列   S n  是等差数列 B. 数列  3a n  是等比数列  n  T  C. 数列 lnT  是等差数列 D. 数列 n2是等比数列 n T   n 【答案】ABD 【解析】设 a  的公差为d， b  的公比为 q ， n n d  d  S d  d  则S  n2   a   n n  n  a  ， n 2  1 2 n 2  1 2 S S d 所以 n  n1  n2是常数，故A正确； n n1 2 3a n 易知 3a n a n1 3d n2是常数，故B正确； 3a n1 由lnT lnT lnb n2 不是常数，故C错误； n n1 n T T b n2  n1  n2 q2n2 是常数，故D正确. T T b n n1 n 故选：ABD 11．已知圆O：x2  y2 4与圆C:x2  y2 2x4y40相交于A，B两点，直线 l:x2y50，点P为直线l上一动点，过P作圆O的切线PM ，PN ，（M ，N 为切点）， 则说法正确的是（ ）4 5 A. 直线AB的方程为x2y40 B. 线段AB的长为 5  4 8 C. 直线MN 过定点  ,  D. PM 的最小值是2．  5 5 【答案】BC x2  y2 4 【解析】由题知，联立 ， x2  y2 2x4y40 两式相减得x2y40， 即直线AB的方程为x2y40，A错； x2  y2 4 联立 ， x2  y2 2x4y40  8 x x0   5 解得 或 ， y 2  6 y   5 2 2 8   6  4 5 所以 AB  0   2  ，B正确；     5   5  5 对于C，设M x ,y ,Nx ,y ， 1 1 2 2 因为M ，N 为圆O的切点， 所以直线PM 方程为 xx  yy 4， 1 1 直线PN 的方程为xx  yy 4， 2 2   又设P x,y ， 0 0 x x  y y 4 0 1 0 1 所以 ， x x  y y 4  0 2 0 2 故直线MN 的方程为x x y y 4， 0 0 又因为x 2y 50， 0 0 所以2x yy 5x40， 0  4 x 2x y 0   5 由 得 ， 5x40  8 y   5  4 8 即直线MN 过定点  , ，C正确；  5 5 因为PM2 OM2  PO2， 所以当 PM 最小时， PO 最小，005 且 PO 最小为  5 ， 122  2 所以此时 PM  5 4 1，D错. 故选：BC 12．直四棱柱ABCDABC D ，所有棱长都相等，且DAB 60，M 为BB 的中点，P为四 1 1 1 1 1 边形BBCC内一点（包括边界），下列结论正确的是（ ） 1 1 A. 平面D AM 截四棱柱ABCDABC D 的截面为直角梯形 1 1 1 1 1 B. CB 面D AM 1 1 C. 平面BBCC内存在点P，使得DP AM 1 1 D. V :V 1:3 AADM CADM 1 1 1 【答案】AB 【解析】对A，取BC 的中点为N ，AD //MN ，AMND 为截面， 1 1 1 1 因为DAB60 DC B ，设AD2,C N 1， 1 1 1 1 在  NC 1 D 1 中，D 1 N2 C 1 N2 C 1 D 1 2 2C 1 NC 1 D 1 cos60，得D 1 N2 3， 则DN2 C N2 C D2，即DN C N ， 1 1 1 1 1 1 又BB 平面ABC D ，DN 平面ABC D ，则DN  BB， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C N BB B ，C N 面BBCC，BB面BBCC， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 可知DN 面BBCC，且MN面BBCC，所以DN MN ，A对 1 1 1 1 1 1 对B，因为DN 面BBCC，且C B面BBCC，则DN CB ， 1 1 1 1 1 1 1 1 又MN CB ，MN DN N ，MN平面AMND ，DN 平面AMND ， 1 1 1 1 1 则CB 平面AMND ，B对； 1 1 对C，过D作DEAB，因为BB 平面ABCD，DE平面ABCD， 1 DE  BB ，BB AB B，BB,AB平面ABB A ， 1 1 1 1 1所以DE平面ABB A ，延长DP交面ABB A 于Q，连接EQ交BB 于F ， 1 1 1 1 1 则EF 为DP在面AABB的射影， 1 1 若DP AM ，又AM 平面ABB A ，则DE  AM ， 1 1 DPDE  D，DP,DE 平面DEP，则AM 平面DEP， EF 平面DEP，则有AM  EF ， 但当P在四边形BBCC内运动时，F 在BB 上运动，此时EF 不可能与AM 垂直，C错； 1 1 1 对D：连接BC 交BC于O，BC 交MN 于S，连接AD交D A于T , 1 1 1 1 1 CB //AD，因为CB 平面AMND ，则AD平面AMND ， 1 1 1 1 1 1 则AT 为点A到面ADM 的距离，CS 为点C到面ADM 的距离， 1 1 1 1 MN //BC ，则点B到面ADM 的距离即点O到面ADM 的距离，即OS， 1 1 1 则AT :OS 2:1，CS:OS 3:1，则AT :CS 2:3 1 1 1 1 V :V  S AT : S CO 2:3，D错； A 1 AD 1 M CAD 1 M 3 AD 1 M 1 3 AD 1 M 故选：AB 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知  2x2 x3n 展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中x4的系数为_____________. （用数字作答） 【答案】1120 【解析】由 2n 25628, 得n8.  2x2 x38 展开式的通项T Cr 2x28r x3r Cr28r1r x5r16， r1 8 8 令5r164, 得r 4, ,则展开式中含x4的项为T C428414 x4 1120x4. 5 8 所以x4的系数为1120. 故答案为：1120. 1  π π  14.若函数 f xsinxcosx cos  2x 的图象在 , 内恰有2条对称轴，则的值可能 2  6 4  为_____________. 17π 【答案】 （答案不唯一） 12 1  π 1 1 3 1  【解析】 f xsinxcosx cos  2x   sin2x   cos2x sin2x  2  6 2 2  2 2  1 3 1  π  sin2x cos2x sin 2x ．   4 4 2  3 π  π π π 当x  , 时， 2x 2 ， 4  6 3 3 π  3π π 5π 因为函数 f x 的图象在 , 内恰有2条对称轴，所以 2  ， 4  2 3 2 11π 17π 17π 解得  ，则的值可能为 12 12 12 故答案为：（答案不唯一） 3π 15.甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为S 和S ，体积 甲 乙 2 S V 分别为V 和V .若 甲 2，则 甲 __________. 甲 乙 S V 乙 乙 8 5 8 【答案】 ## 5 5 5 【解析】设母线长为l，甲圆锥底面半径为r ，乙圆锥底面圆半径为r ， 1 2 S rl r 则 甲  1  1 2，所以r 2r ， S rl r 1 2 乙 2 2 2πr 2πr 3π r r 3 l l 又 1  2  ，则 1 2  ，所以r  ,r  ， l l 2 l 4 1 2 2 4 1 3 所以甲圆锥的高h  l2  l2  l， 1 4 2 1 15 乙圆锥的高h  l2  l2  l， 2 16 4 1 1 3 πr2h l2 l 所以 V 甲  3 1 1  4 2  8 5 . V 1 1 15 5 乙 πr2h l2 l 3 2 2 16 48 5 故答案为： . 5 x2 y2 16．如图，双曲线  1a,b0的右顶点为A，左右焦点分别为F,F ，点P是双曲线右 a2 b2 1 2 b 支上一点，PF 交左支于点Q，交渐近线y  x于点R,M 是PQ的中点，若RF  PF，且 1 a 2 1 AM  PF ，则双曲线的离心率是__________. 1 【答案】2 x2  y2 c2 0 0 x a 【解析】设R(x ,y )，则{ b ，解得{ 0 ，即R(a,b)，由题意AM //F R，所以 0 0 y  x y b 2 0 a 0 0 x2 y2 1  1 1   ac 2acb2 b(ac) a2 b2 AM  F R，所以M( , )．又设P(x ,y ),Q(x ,y )，则 ，两式 2c 2 2c 2c 1 1 2 2 x2 y2 2  2 1 a2 b2 (y  y )(y  y ) b2 b2 b(2acb2) b 相减得 1 2 1 2  ，即k k  ，所以k  ，又k k  ， (x x )(x x ) a2 OM PQ a2 PQ a2(ac) PQ RF 1 ac 1 2 1 2 c 化简得c2a，e 2． a 故答案为：2 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A 17．已知  ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(acosCccosA)cos asinB． 2 （1）求角A； （2）若D为边BC上一点，且满足ADCD，S 2S ，证明： ABC为直角三角形． ACD ABD  π 【答案】（1）A （2）证明见解析 3 A 【解析】（1）在 ABC中，由正弦定理得(sin AcosCsinCcosA)cos sin AsinB，  2 A A 所以sinACcos sin AsinB，即sinBcos sinAsinB， 2 2 A 因为B(0,π),sinB0，所以sin Acos ， 2A  π A A A 又因为A(0,π)，   0, ，sin A2sin cos ，cos 0， 2  2 2 2 2 A 1 π 所以sin  ，所以A ； 2 2 3 （2）证明：因为S 2S ，所以CD2BD， ACD ABD 设ACD ，在 ACD中，ADCD2BD，则CAD ．  π 2π 可得BAD  ，ABC  ， 3 3 BD AD  在△ABD中，由正弦定理得， π  2π ， sin  sin      3   3  π  2π  又因为AD2BD，所以2sin    sin   ， 3   3  3 1 则 3cossin cos sin， 2 2 3  π π π 化简得tan ，因为0, ，即 ，则ABC  ． 3  3 6 2 所以 ABC是直角三角形．  S  18．已知数列 a  的前n项的和为S ，数列 n是公差为1的等差数列． n n  n  （1）证明：数列 a  是公差为2的等差数列； n  1  1 （2）设数列 的前n项的和为T ，若S 9，证明T  ．  a a  n 3 n 2 n n1 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 S  S S 【解析】（1）因为数列 n是公差为1的等差数列，所以 n  1 n1 n1a ．  n  n 1 1 从而可得S n2 a 1n． n 1 当n2时，a  S S  a 2n1． n n n1 1 即可得a a 2，所以数列 a  是公差为2的等差数列； n n1 n （2）根据第（1）问数列 a  是公差为2的等差数列可得S 3a 323a 69， n 3 1 1 从而可得a 1． 1 所以数列 a  的通项公式a 2n1． n n1 1 1 1 1  所以 a a  2n12n1  2  2n1  2n1   ． n n1 11 1 1 1 1 1  1 1 从而可得T           ． n 21 3 3 5 2n1 2n1 2 4n2 1 所以T  成立． n 2 19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，E为棱AB的中点，AC⊥PE，PA=PD. （1）证明：平面PAD⊥平面ABCD； （2）若PA=AD，∠BAD=60°，求二面角EPD A的正弦值. 2 【答案】（1）证明见解析 （2） 13. 13 【解析】（1） 如图，连接BD,取AD中点O,连接PO,OE,因底面ABCD为菱形，故ACBD,又E为棱AB的 中点，故OE//BD，则AC OE， 已知 AC  PE,OE,PE 平面POE, OEPE  E，故 AC 平面POE，因PO平面POE， 则AC  PO，因PA PD，则PO  AD, 又AD,AC 平面ABCD, AD AC  A,则PO平面ABCD，又PO平面PAD，故平面 PAD平面ABCD. （2）如图，连OB，由（1）知PO平面ABCD，且∠BAD=60°，则△ABD是正三角形，OB  AD, 故可以O  A  ,O  B  ,O  P  分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz.不妨设AD4,则 E(1, 3,0),P(0,0,2 3),D(2,0,0),A(2,0,0),    于是DE (3, 3,0), DP (2,0,2 3),设平面DEPD的法向量为n(x,y,z)，则有    n  DE 3x 3y 0   ,可取n( 3,3,1).   nDP2x2 3z 0  因OB  AD，PO BO故可取平面PDA的法向量为m(0,1,0).   3 3 设二面角EPD A的平面角为，则为锐角，故cos|cosm,n|  13,则 13 13 2 sin 1cos2 13. 13 2 即二面角EPD A的正弦值为 13. 13 x2 y2 20．设椭圆C:  1(ab0)的左右焦点分别为F，F .A，B是该椭圆C的右顶点和上顶 a2 b2 1 2 3 点，且 AB  5，若该椭圆的离心率为 . 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线l与椭圆C交于P，Q两点，且与x轴交于点D(x a).若直线PF 与直线QF 的倾斜 D 2 2 角互补，求 PQF 的面积的最大值.  2 x2 1 【答案】（1）  y2 1 （2） 4 4 【解析】（1）由题可得， AB  a2 b2  5， 3 c 3 所以a2 b2 5 因为椭圆的离心率为 .所以e  ，结合椭圆中b2 a2 c2可知， 2 a 2 x2 a2，b1.所以椭圆C的标准方程为  y2 1. 4  （2）F 3，0 ，设Px，y ，Qx，y . 2 1 1 2 2 因为直线PF 与直线QF 的倾斜角互补， 2 2 所以可知k k 0， PF QF 2 2 y y 即 1  2 0， x  3 x  3 1 2 化简得x y x y  3y  y 0. 1 2 2 1 1 2 设直线PQ:xmyn(n2)， 将x my n，x my n代入上式， 1 1 2 2   整理可得2my y  n 3 y  y 0. 1 2 1 2  xmyn， 且由 消元化简可得 x2 4y2 4  m2 4  y2 2mnyn2 40， 2mn n2 4 所以y  y  ，y y  ，代入上式 1 2 m2 4 1 2 m2 4 由 2m  n2 4    n 3  2mn 0， m2 4 m2 4 4 3 解得n . 3 4 3 所以PQ:xmy . 3 1   因为点F 3，0 到直线PQ的距离d  ， 2 33m2 4 3m2 4 且 PQ   1m2y  y 2 4y y   1m2   1 2 1 2 3  m2 4  1 1 1 4 3m2 4 2 3m2 4 所以S  d PQ    1m2   . PQF 2 2 2 33m2 3  m2 4  3 m2 4 t2 4 令t  3m2 4，则m2  3 2t 1 所以S   ，. PQF 2 t2 16 4 20 当且仅当t 4，m2  时取等号. 3 1 所以 PQF 的面积的最大值为 .  2 4 21．为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问2 3 卷调查.已知某单位有N名员工，其中 是男性， 是女性. 5 5 （1）当N 20时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； （2）我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市 范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的  2 概率记作P 1 ；有二项分布中（即男性员工的人数X  B   3, 5   ）男性员工恰有2人的概率记作P 2 . 那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即P P 0.001）的前提下认为超几何 1 2 分布近似为二项分布.（参考数据： 578 24.04） 6 【答案】（1）分布列见解析，数学期望为 5 （2）N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即P P 0.001）的前提下认为超几何分 1 2 布近似为二项分布 【解析】（1）当N 20时，男性员工有8人，女性员工有12人. X 服从超几何分布，X 0,1,2,3， C3 220 11 C1C2 528 44 PX 0 12   ，PX 1 8 12   ， C3 1140 57 C3 1140 95 20 20 C2C1 336 28 C3 56 14 PX 2 8 12   ，PX 3 8   ， C3 1140 95 C3 1140 285 20 20 ∴X 的分布列为 X 0 1 2 3 11 44 28 14 P 57 95 95 285 11 44 28 14 6 数学期望为EX0 1 2 3  . 57 95 95 285 5 1 2  3 2  C2 C1 N N 1  N N N 1 2 N 3 N 5   5   5 18   5   （2）P  5 5    ， 1 C3 1 25 N 1N 2 N NN 1N 2 6 2 2 3 36 P C2   0.288，   2 3 5 5 125 2  N N 1   由于P P 0.001，则18 5  ， 1 2  0.2880.001 25 N 1N 2 2  N N 1   即18 5  289 ，  0.289 25 N 1N 2 10002  N N 1   即 5  289 25 289，    N 1N 2 1000 18 720 由题意易知N 1N 20， 2  从而720N  N 1  289N 1N 2 ， 5  化简得N2 147N 5780， 578 又N 0，于是N  147. N 578 由于函数y  x 在x 578 24.04处有极小值， x 578 从而y  N  当N 25时单调递增， N 578 578 又142 146.07147，143 147.04147. 142 143 因此当N 143时，符合题意， 2 3 而又考虑到 N 和 N都是整数，则N 一定是5的整数倍，于是N 145. 5 5 即N至少为145， 我们可以在误差不超过0.001（即P P 0.001）的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 1 2 22．已知函数 f xaex ex，（aR）. （1）若 f x 为偶函数，求此时 f x 在点  0, f 0 处的切线方程； （2）设函数g(x) f(x)(a1)x，且存在x,x 分别为g(x)的极大值点和极小值点. 1 2 （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）若a(0,1)，且gx kgx 0，求实数k的取值范围. 1 2 【答案】（1）y20 （2）（i）(0,1)(1,)；（ii）(,1] 【解析】 （1） f(x)为偶函数，有 f(x)aex ex  f(x)aex ex，则a1， 所以 f(x)ex ex， f(x)ex ex 所以 f(0)2， f(0)0 所以 f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y20. （2）（ⅰ）g(x) f(x)(a1)xaex ex (a1)x， ae2x (a1)ex 1  aex 1  ex 1  g(x)aex ex (a1)  ， ex ex 因为函数g(x)既存在极大值，又存在极小值， 则g(x)0必有两个不等的实根，则a0， 令g(x)0可得x0或xlna， 所以lna0，解得a0且a 1.令mmin0,lna ，nmax0,lna ，则有： x (,m) m (m,n) n (n,) g(x) + 0  0 + g(x) 极大值 极小值    xn 可知g(x)分别在xm和 取得极大值和极小值，符合题意. 综上，实数a的取值范围是(0,1)(1,). （ⅱ）由a(0,1)，可得lna0， 所以x 0，x lna，gx a1，gx 1a(a1)lna且有gx  gx 0， 1 2 1 2 2 1 由题意可得a1k1a(a1)lna0对a(0,1)恒成立， 由于此时gx  gx 0，则k 0， 2 1  1 a1 所以ka1lnak1a1，则lna  1   ，  k  a1  1 x1 令h(x)lnx  1   ，其中0 x1，  k  x1  1 2 (x1)2 2x  1  x2  x1 则 1  1 2  k  k ， h(x)  1      x  k  (x1)2 x(x1)2 x(x1)2 2 4 4  1k2 令x2  x10，则 4 . k k2 k2 ①当0，即k 1时，h(x)0，h(x)在(0,1)上是严格增函数，  1 a1 所以h(x)h(1)0，即lna  1   ，符合题意；  k  a1 （2）当0，即1k 0时， 2 设方程x2  x10的两根分别为x ，x 且x  x ， k 3 4 3 4 2 则x x  0，xx 1，则0 x 1 x ， 3 4 k 3 4 3 4 则当x  x1时，h(x)0，则h(x)在 x ,1 上单调递减， 3 3  1 a1 所以当x  x1时，h(x)h(1)0，即lna  1   ，不合题意. 3  k  a1 综上所述，k的取值范围是(,1].