文档内容
2009 年江西高考理科数学试题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3
至4页，共150分。
第Ⅰ卷
考生注意：
1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题
卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是
否一致。
2. 第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡
上作答。若在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式
如果事件A,B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)= P(A)+P(B) S =4pR2
如果事件A,B，相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A×B)= P(A)×P(B)
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是 p，那么 4
V = pR3
3
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
P (k) = Ck pk(1- p)n-k
n n
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．若复数z =(x2 -1)+(x-1)i为纯虚数，则实数x的值为
A．-1 B．0 C．1 D．-1或1
ln(x+1)
2．函数y = 的定义域为
-x2 -3x+4
第1页 | 共12页A．(-4,-1) B．(-4,1) C．(-1,1) D．(-1,1]
3．已知全集U = A B中有m个元素，(ð A) (ð B)中有n个元素．若AI B非空，则
U U U U
AI B的元素个数为
A．mn B．m+n C．n-m D．m-n
p
4．若函数 f(x)=(1+ 3tanx)cosx，0£ x< ，则 f(x)的最大值为
2
A．1 B．2 C． 3+1 D． 3+2
5．设函数 f(x)= g(x)+x2，曲线y = g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y =2x+1，则曲
线y = f(x)在点(1, f(1))处切线的斜率为
1 1
A．4 B．- C．2 D．-
4 2
x2 y2
6．过椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点F 作x轴的垂线交椭圆于点P，F 为右焦点，
a2 b2 1 2
若ÐFPF =60o，则椭圆的离心率为
1 2
2 3 1 1
A． B． C． D．
2 3 2 3
7．(1+ax+by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值
的和为32，则a,b,n的值可能为
A．a=2,b=-1,n=5 B．a=-2,b=-1,n=6
C．a=-1,b=2,n=6 D．a=1,b=2,n=5
np np
8．数列{a }的通项a =n2(cos2 -sin2 )，其前n项和为S ，则S 为
n n 3 3 n 30
A． 470 B． 490 C． 495
z
D．510 C
9．如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox， D
Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为
O
B y
A．O-ABC是正三棱锥
A
x
B．直线OB∥平面ACD
第2页 | 共12页C．直线AD与OB所成的角是45o
D．二面角D-OB-A为45o
10．为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡
片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为
31 33 48 50
A． B． C． D．
81 81 81 81
11．一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线
的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到
右依次记为t,t,t,t ，则下列关系中正确的为
1 2 3 4
°
°
A．t >t >t B．t >t >t C．t >t >t D．t >t >t
1 4 3 3 1 2 4 2 3 3 4 1
12．设函数 f(x)= ax2 +bx+c(a<0)的定义域为D，若所有点(s, f(t))(s,tÎD)构成
一个正方形区域，则a的值为
A．-2 B．-4 C．-8 D．不能确定
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上
r r r r r r
13．已知向量a=(3,1)，b=(1,3)，c=(k,7)，若(a-c)∥b，则k= ．
14．正三棱柱ABC-ABC 内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为p，则正三棱
1 1 1
柱的体积为 ．
15 ． 若 不 等 式 9-x2 £k(x+2)- 2的 解 集 为 区 间 a,b , 且 b-a=2, 则
k = ．
16．设直线系M :xcosq+(y-2)sinq=1(0£q£2p),对于下列四个命题：
A．M 中所有直线均经过一个定点
第3页 | 共12页B．存在定点P不在M 中的任一条直线上
C．对于任意整数n(n³3)，存在正n边形,其所有边均在M 中的直线上
D．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
ex
设函数 f(x)=
x
（1） 求函数 f(x)的单调区间；
（2） 若k >0，求不等式 f '(x)+k(1-x)f(x)>0的解集．
18．（本小题满分12分）
某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案
1
进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 .若某人获得两个“支
2
持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获
得“支持”，则不予资助，令x表示该公司的资助总额．
(1) 写出x的分布列； (2) 求数学期望Ex．
19．（本小题满分12分）
sinA+sinB
△ABC中，A, B, C所对的边分别为a,b,c，tanC = ,sin(B-A)=cosC.
cosA+cosB
（1）求A,C；
（2）若S =3+ 3,求a,c.
DABC
第4页 | 共12页P
20．（本小题满分12分）
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA^平面ABCD， N M
PA= AD=4，AB=2. 以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交
PD于点M ，交PC于点N A D
（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD；
O
（2）求直线CD与平面ACM 所成的角的大小； B C
（3）求点N 到平面ACM 的距离
21．（本小题满分12分）
x2 y2
已知点P(x ,y )为双曲线 - =1（b为正常数）上任一点, y
1 0 0 8b2 b2
F
2
为双曲线的右焦点,过P
1
作右准线的垂线,垂足为 A,连接F
2
A
P
P
2
A
P
1
并延长交y轴于P .
2
F O F x
1 2
(1) 求线段P P 的中点P的轨迹E的方程;
1 2
第5页 | 共12页(2) 设轨迹E与x轴交于B、D两点,在E上任取一点Q（x ,y）(y ¹0),直线QB，QD分
1 1 1
别交y轴于M，N 两点.求证:以MN 为直径的圆过两定点.
22．（本小题满分14分）
各项均为正数的数列{a }，a =a,a =b，且对满足m+n= p+q的正整数m,n,p,q都有
n 1 2
a +a a +a
m n = p q .
(1+a )(1+a ) (1+a )(1+a )
m n p q
1 4
（1）当a= , b= 时，求通项a ;
2 5 n
（2）证明：对任意 a，存在与 a有关的常数l，使得对于每个正整数 n，都有
1
£a £l.
l n
第6页 | 共12页参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C D B A B D Ａ B D C B
ìx2 -1=0
1.由í Þ x=-1 故选A
îx-1¹0
ìx+1>0 ìx>-1
2.由í Þí Þ-1< x<1.故选C
î-x2 -3x+4>0 î-4< x<1
3.因为A B=ð [(ð A) (ð B)]，所以A B共有m-n个元素,故选D
I U U U U I
p
4.因为 f(x)=(1+ 3tanx)cosx=cosx+ 3sinx=2cos(x- )
3
p
当x= 是，函数取得最大值为2. 故选B
3
5. 由已知g¢(1)=2，而 f¢(x)= g¢(x)+2x，所以 f¢(1)= g¢(1)+2´1=4故选A
b2 3b2 c 3
6. 因为P(-c,± )，再由ÐFPF =60o有 =2a,从而可得e= = ，故选B
a 1 2 a a 3
7. (1+b)n =243=35，(1+a)n =32=25，则可取a=1,b=2,n=5，选D
np np
8. 由于{cos2 -sin2 }以3 为周期,故
3 3
12 +22 42 +52 282 +292
S =(- +32)+(- +62)+ +(- +302)
30 2 2 L 2
10 (3k-2)2 +(3k-1)2 10 5 9´10´11
=å[- +(3k)2]=å[9k- ]= -25=470故选A
2 2 2
k=1 k=1
9.将原图补为正方体不难得出B为错误，故选B
35 -(3´25 -3) 50
10． P= = 故选D
35 81
11．前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离，所以t =2 2 、
1
t =p、t =3，第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对平行边之
2 3
间的距离之比，所以t =2 3，则t >t >t >t，选C
4 4 2 3 1
第7页 | 共12页b2 -4ac 4ac-b2
12．|x -x |= f (x)， = ，|a|=2 -a ，a=-4，选B
1 2 max a2 4a
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13. 5 14.8 15. 2 16.B,C
3-k -6
13. = Þk =5
1 3
p 2 3
14.由条件可得ÐAOB= ，所以AB=2 2，O到平面ABC的距离为 ，所以所求
2 3
体积等于8
15.由数形结合，直线 y =k(x+2)- 2在半圆 y = 9-x2 之下必须b=3,a =1，则直线
y =k(x+2)- 2过点（1,2 2），则k = 2
16.. 因 为 xcosq+(y-2)sinq=1所 以 点 P(0,2)到 M 中 每 条 直 线 的 距 离
1
d = =1
cos2q+sin2q
即M 为圆C:x2 +(y-2)2 =1的全体切线组成的集合,从而M 中存在两条平行直线,所以A
错误
又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以B正确
对任意n³3,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确
M 中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF ,故D错误,
故命题中正确的序号是 B,C
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
1 1 x-1
17.解： (1) f '(x)=- ex + ex = ex, 由 f '(x)=0,得 x=1
x2 x x2
因为 当x<0时, f '(x)<0； 当0< x<1时, f '(x)<0； 当x>1时, f '(x)>0；
所以 f(x)的单调增区间是:[1,+¥)； 单调减区间是: (-¥,0)，(0,1].
x-1+kx-kx2 (x-1)(-kx+1)
(2) 由 f '(x)+k(1-x)f(x)= ex = ex >0,
x2 x2
得：(x-1)(kx-1)<0.
1
故：当 01时, 解集是：{x < x<1}
k
18.解：（1）x的所有取值为0,5,10,15,20,25,30
1 3 15 5
P(x=0)= P(x=5)= P(x=10)= P(x=15)=
64 32 64 16
15 3 1
P(x=20)= P(x=25)= P(x=30)=
64 32 64
3 15 5 15 3 1
（2）Ex=5´ +10´ +15´ +20´ +25´ +30´ =15
32 64 16 64 32 64
sinA+sinB sinC sinA+sinB
19．解：(1) 因为tanC = ，即 = ，
cosA+cosB cosC cosA+cosB
所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsin A+cosCsinB，
即 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB，
得 sin(C-A)=sin(B-C). 所以C-A= B-C,或C-A=p-(B-C)(不成
立).
p 2p
即 2C = A+B, 得C = ，所以.B+ A=
3 3
1 p 5p
又因为sin(B-A)=cosC = ，则B-A= ，或B-A= （舍去）
2 6 6
p 5p
得A= ,B=
4 12
1 6+ 2
(2)S = acsinB= ac=3+ 3
DABC 2 8
a c a c
又 = , 即 = ，
sinA sinC 2 3
2 2
得a=2 2, c=2 3.
20．解：
方法一：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC。
又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，
所以CD⊥平面ＰＡＤ，则CD⊥AM，所以A M⊥平面PCD， P
所以平面ABM⊥平面PCD。
N M
（2）由（1）知，AM ^ PD，又PA= AD，则M 是PD的中点可得
AM =2 2，MC = MD2 +CD2 =2 3
1
则S AM ×MC =2 6 A D
DACM 2
设D到平面ACM的距离为h，由V =V 即2 6h=8，
D-ACM M-ACD O
2 6 B C
可求得h= ，
3
第9页 | 共12页h 6 6
设所求角为q，则sinq= = ，q=arcsin 。
CD 3 3
PN PA 8
（3） 可求得PC=6。因为AN⊥NC，由 = ，得PN= 。所以NC:PC =5:9。
PA PC 3
5
故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的 。
9
又因为 M 是 PD 的中点，则 P、D 到平面 ACM 的距离相等，由（2）可知所求距离为
5 10 6
h= 。
9 27
方法二：
（1）同方法一；
z
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，P(0,0,4)， P
B(2,0,0)， C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)；设平面 ACM 的一
M
r r uuur r uuuur ì2x+4y =0 Ng
个法向量n=(x,y,z)，由n^ AC,n^ AM 可得：í ，令
î2y+2z =0
z =1，则 A D
y
uuur r
r CD×n 6 Og
n=(2,-1,1)。设所求角为a，则sina= = ，
C uu D ur n r 3 B
x C
6
所以所求角的大小为arcsin 。
3
8
（3）由条件可得， AN ^ NC.在 RtDPAC中， PA2 = PN×PC,所以 PN = ,则
3
10 NC 5 5
NC = PC-PN = , = ，所以所求距离等于点P到平面ACM 距离的 ，设点P
3 PC 9 9
uuur r
AP×n 2 6 5 10 6
到平面ACM 距离为h则h= = ，所以所求距离为 h = 。
r
n 3 9 27
8 3y
21．解： (1) 由已知得F（3b，0），A（ b，y）,则直线F A的方程为:y =- 0 (x-3b),
2 3 0 2 b
令x=0得y =9y ,即P(0,9y ),
0 2 0
ì x
x= 0 ìx =2x
ï ï 2 ï 0 x 2 y 2 4x2 y2
设P（x，y）,则í ,即í y 代入 0 - 0 =1得: - =1,
y +9y y = 8b2 b2 8b2 25b2
ï y = 0 0 =5y ï î 0 5
ïî 2 0
x2 y2
即P的轨迹E的方程为 - =1
2b2 25b2
第10页 | 共12页x2 y2
(2) 在 - =1中令y =0得x2 =2b2,则不妨设B（- 2b，0），D（ 2b，0）,
2b2 25b2
y y
于是直线QB的方程为:y = 1 (x+ 2b), 直线QD的方程为:y = 1 (x- 2b),
x + 2b x - 2b
1 1
2by - 2by
则M（0， 1 ），N（0， 1 ）,
x + 2b x - 2b
1 1
2by 2by
则以MN 为直径的圆的方程为: x2 +（y- 1 ）（y+ 1 ）=0,
x + 2b x - 2b
1 1
2b2y2 x2 y2 2
令y =0得:x2 = 1 ,而Q（x ,y）在 - =1上,则x2 -2b2 = y2,
x2 -2b2 1 1 2b2 25b2 1 25 1
1
于是x=±5b,即以MN 为直径的圆过两定点(-5b,0),(5b,0).
a +a a +a
22．解：（1）由 m n = p q 得
(1+a )(1+a ) (1+a )(1+a )
m n p q
a +a a +a 1 4
1 n = 2 n-1 .将a = ,a = 代入化简得
(1+a )(1+a ) (1+a )(1+a ) 1 2 2 5
1 n 2 n-1
2a +1
a = n-1 .
n a +2
n-1
1-a 1 1-a
所以 n = × n-1,
1+a 3 1+a
n n-1
1-a
故数列{ n}为等比数列，从而
1+a
n
1-a 1 3n -1
n = ,即a = .
1+a 3n n 3n +1
n
3n -1
可验证，a = 满足题设条件.
n 3n +1
a +a
(2) 由 题 设 m n 的 值 仅 与 m+n有 关 , 记 为 b ,则
(1+a )(1+a ) m+n
m n
a +a a+a
b = 1 n = n .
n+1 (1+a )(1+a ) (1+a)(1+a )
1 n n
第11页 | 共12页a+x
考察函数 f(x)= (x>0),则在定义域上有
(1+a)(1+x)
ì 1
, a>1
ï
1+a
ï
ï 1
f(x)³ g(a)=í , a =1
2
ï
ï a
, 0
