文档内容
2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
理科数学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1
1．若log a<0，( )b >1，则【 】
2 2
A．a>1,b>0 B．a>1,b<0
C. 00 D. 0 K.
A B
xÎ(-¥,+¥)，恒有 f (x)= f(x)，则【 】
K
A．K的最大值为2 B．K的最小值为2
C．K的最大值为1 D．K的最小值为1
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上
9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，
则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ _ _.
10．在(1+x)3+(1+ x)3+(1+ 3 x)3的展开式中，x的系数为___(用数字作答).
p p
11．若xÎ(0, )，则2tanx+tan( -x)的最小值为 .
2 2
12．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为60o，则双曲
线C的离心率为
13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为1
1
0的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为 ，则总体中的个体数为 。
28
14．在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则
（1）球心到平面ABC的距离为 ；
（2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为 .
15．将正DABC分割成n2(n³2,nÎN*)个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的
情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的
数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A ,B
,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为 f(n)，则有 f(2)=2， f(3)=
，… ， f(n)= .
第2页 | 共17页A A
图2 图3
B B
C C
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
uuur uuur uuur uuur uuur2
在DABC中，已知2AB×AC = 3 AB × AC =3BC ，求角A，B，C的大小
17．（本小题满分12分）
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建
1 1 1
设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的 ， ， .现在3名工人独立地从中任
2 3 6
选一个项目参与建设。
（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（II）记x为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求x的分布列及
数学期望。
18．（本小题满分12分） E
A 1 C 1
如图4，在正三棱柱ABC-ABC 中，AB= 2AA ，
1 1 1 1 D
B
1
点D是AB 的中点，点E在AC 上，且DE ^ AE
1 1 1 1
（I）证明：平面ADE ^平面ACC A ；
1 1 A C
（II）求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。
B
19．（本小题满分13分）
某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥
面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费
用为(2+ x)x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工
程的费用为y万元。
第3页 | 共17页（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；
（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
20．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和
记为d. 当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和
（Ⅰ）求点P的轨迹C；
（Ⅱ）设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。
21．（本小题满分13分）
对于数列{u },若存在常数M＞0,对任意的nÎN*，恒有
n
u -u + u -u + + u -u £M ,
n+1 n n n-1 L 2 1
则称数列{u }为B-数列.
n
（Ⅰ）首项为1，公比为q(q <1)的等比数列是否为B-数列？请说明理由;
请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题
判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（Ⅱ）设S 是数列x 的前n项和，给出下列两组论断；
n n
A组：①数列x 是B-数列, ②数列x 不是B-数列;
n n
B组：③数列S 是B-数列, ④数列S 不是B-数列.
n n
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论
组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；
(Ⅲ)若数列a ,b 都是B-数列，证明：数列a b 也是B-数列。
n n n n
第4页 | 共17页2009年高考湖南理科数学试题及全解全析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1
1．（09湖南理）若log a<0，( )b >1，则【 D 】
2 2
A．a>1,b>0 B．a>1,b<0 C. 00 D. 01Þb<0，易知D正确.
2 2
r r r r r r r
2．（09湖南理）对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a//b”的【 A 】
A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
r r r r r r r
解: a+b=0Þa=-b，\a//b；反之不成立，故选A.
Q
3．（09湖南理）将函数y =sinx的图象向左平移j(0£j<2p)个单位后，得到函数
p
y =sin(x- )的图象，则j等于【 D 】
6
p 5p 7p 11p
A． B． C. D.
6 6 6 6
p p 11p 11p
解:依题意得y =sin(x- )=sin(x- +2p)=sin(x+ )，\j= ，易知D正确.
6 6 6 6
4．（09湖南理）如图1，当参数l=l,l时，连续函数
1 2
x
y = (x³0)
1+lx
的图像分别对应曲线C 和C , 则【 B 】
1 2
A ．00，故可排除C,D,再取特殊值x=1，结合图像可得0 K.
f (x)= f(x)，则【 D 】
K
A．K的最大值为2 B．K的最小值为2
C．K的最大值为1 D．K的最小值为1
解:
由K ³ f(x)恒成立知K ³ f(x) ,故K有最小值，可排除A,C,又由直觉思维得在x=0时，
min
f(x)=2-x-e-x =2-0-1=1，排除B,因此选D.
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上
.
9．（09湖南理）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运
第6页 | 共17页动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ 12_ _.
解: 设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10-(15-x)= x-5，
故15+x-5=30-8Þ x=12.
注：最好作出韦恩图！ 或由15+10-(30-8)=3Þ15-3=12人.
10．（09湖南理）在(1+x)3+(1+ x)3+(1+ 3 x)3的展开式中，x的系数为__7__(用数字作答
).
解: ÞT =Crbr,故有：C1+C2 +C3 =23-C0 =7，得x的系数为7.
r+1 3 3 3 3 3
p p
11．（09湖南理）若xÎ(0, )，则2tanx+tan( -x)的最小值为 2 2 .
2 2
p p 1
解: xÎ(0, )Þ2tanx+tan( -x)=2tanx+ ³2 2 ，
Q
2 2 tanx
1 2
当且仅当2tanx= Þtanx= 时取等号.
tanx 2
12．（09湖南理）已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角
6
为60o，则双曲线C的离心率为 .
2
解: 设双曲线C的左右焦点为F,F ，虚轴的上下两个端点为B,B ，由于c>b,
1 2 1 2
3 b
故ÐFBF ¹60o,则有ÐBF B =60o ÞÐBFO=30o Þtan30o = = ,
1 1 2 1 2 2 1 2 3 c
c2 3 6
Þ2c2 =3a2, \e2 = = ,Þe= .
a2 2 2
13．（09湖南理）一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽
1
取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为 ，则总体中的个体数为 40
28
。
1 1
解: 设B层中的个体数为n，则 = Þn=8，则总体中的个体数为8´5=40.
28 C2
n
14．（09湖南理）在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则
（1）球心到平面ABC的距离为 12 ；
（2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为 3 .
第7页 | 共17页解: 由AB=6，BC=8，CA=10得DABC是以B为直角顶点的直角三角形，
（1）设斜边AC的中点为O¢,则r = BO¢=5，故d = R2 -r2 = 132 -52 =12;
d 12
（2）作O¢H ^ AB,则O¢H =4，故tanÐOHO¢= = =3.
O¢H 4
15．（09湖南理）将正DABC分割成n2(n³2,nÎN*)个全等的小正三角形（图2，图3分别给
出了n=2,
3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线
上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A ,B
,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为 f(n)，则有 f(2)=2， f(3)=
10 1
，… ， f(n)= (n+1)(n+2) .
3 6
解: 若依题意顶点A ,B
,C处的三个数互不相同且和为1，按等差数列的性质进行计算则显然运算量较大,故常规思
1
维不可取！可偏偏特取A ,B ,C处的数均为 （极限法）来思考：
3
1 1 1
则图2中有a =6个 ，得 f(2)=6´ =2；故图3中有a =10个 ，得
2 3 3 3 3
1 10 1
f(3)=10´ = ；易知n=4时有a =15个 ，
3 3 4 3 L
探讨数列a =6, a =10, a =15, a -a =3+(n-2)=n+1,
2 3 4 L n n-1
（可参考2006湖南卷: 逆序数）由叠加法推知:
1 1 1
a =6+[4+5+6+ +(n+1)]= (n+1)(n+2)个 ,\ f(n)= (n+1)(n+2).
n L 2 3 6
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（09湖南理）（本小题满分12分）
uuur uuur uuur uuur uuur2
在DABC中，已知2AB×AC = 3 AB × AC =3BC ，求角A，B，C的大小.
解： 设BC =a,AC =b,AB=c.
第8页 | 共17页uuur uuur uuur uuur 3
由2AB×AC = 3 AB × AC 得2bccosA= 3bc，所以cosA= .
2
p
又AÎ(0,p),因此A= .
6
uuur uuur uuur2 3
由 3 AB × AC =3BC 得bc= 3a2，于是sinC×sinB= 3sin2 A= .
4
5p 3 1 3 3
所以sinC×sin( -C)= ，sinC×( cosC+ sinC)= ，因此
6 4 2 2 4
p
2sinC×cosC+2 3sin2C = 3,sin2C- 3cos2C =0，既sin(2C- )=0.
3
p 5p p p 4p
由A= 知00. f(x)在区间（64，640）内为增函数.
m 640
所以 f(x)在x=64处取得最小值，此时n= -1= -1=9.
x 64
故需新建9个桥墩才能使y最小。
20．（09湖南理）（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和
记为d. 当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和 .
（Ⅰ）求点P的轨迹C；
（Ⅱ）设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。
解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），
则d =4 (x-3)2 - y2 +3|x-2|.由题设，d =18+x，
第13页 | 共17页即4 (x-3)2 - y2 +3|x-2|=18+x. ……①
1
当x>2时，由①得 (x-3)2 + y2 =6- x, ……②
2
x2 y2
化简得 + =1.
36 27
当x£2时，由①得 (3+x)2 + y2 =3+x,……③
化简得y2 =12x.
x2 y2
故点P的轨迹C是椭圆C : + =1在直线x=2的右侧部分
1 36 27
与抛物线C : y2 =12x在直线x=2的左侧部分（包括它与直
2
线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1.
（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2
与C ，C 的交点都是A（2，2 6 ），B（2，-2 6），
1 2
直线AF，BF的斜率分别为k =-2 6，k =2 6 .
AF BF
1
当点P在C 上时，由②知 PF =6- x. …… ④
1 2
当点P在C 上时，由③知 PF =3+x. …… ⑤
2
若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为y =k(x-3).
（ⅰ）当k≤k ，或k≥k ，即k≤-2 6或k≥2 6 时，直线l与轨迹C
AF BF
的两个交点M(x ,y ),N(x ,y )都在C 上，此时由④知
1 1 2 2 1
1 1
MF =6- x , NF =6- x ，
2 1 2 2
1 1 1
从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 - x ）+（6 - x ）=12 - ( x +x ).
2 1 2 2 2 1 2
ìy =k(x-3),
ï
由íx2 y2 得(3+4k2)x2 -24k2x+36k2 -108=0.
+ =1
ï
î36 27
24k2 1
则x ，y 是这个方程的两根，所以x +x = ，∣MN∣=12 - （x +x ）=12 -
1 1 1 2 3+4k2 2 1 2
第14页 | 共17页12k2
.
3+4k2
因为当k £-2 6,或k ³2 6时,k2 ³24,所以
12k2 12 12 100
MN =12- =12- £12- = .
3+4k2 3 3 11
+4 +4
k2 24
当且仅当k =±2 6 时，等号成立。
（ⅱ）当k
